Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos
Exercícios: Probabilidade / Variáveis aleatórias
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Em um estudo sobre crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exemplares da espécie A e 5 da espécie B. A
evolução de peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas periódicas.
Determine a probabilidade de, em três jacarés capturados de uma vez, obtermos:
a) todos da espécie A; b) Nem todos serem da espécie B; c) A maioria ser da espécie A; d) usando modelo binomial, qual
o número médio de jacarés da espécie A?
Um estagiário descuidado mistura 4 amostras de leite com microorganismos indesejáveis junto com outras 16 amostras
sem contaminação. Quatro técnicos de laboratório desavisados da separação feita pelo estagiário escolhem cada um uma
amostra de leite. Calcule a probabilidade de 3 terem pegado as amostras contaminadas. Qual a probabilidade de nenhum
dos técnicos ter levado as amostras contaminadas? E de terem sido levadas todas as contaminadas?
Seja 0,2 a probabilidade de o nível de poluição do ar em certa região ultrapassar o limite de segurança. Qual a
probabilidade de tal ocorrência 7 dias em um mês de n=30 dias? Qual o número médio de dias “insalubres”em um mês de
30 dias?
Os carros chegam independentemente a um cruzamento. Supondo que em média, 25% dos carros virem à esquerda e que a
pista de virada tenha capacidade para 5 carros, qual a probabilidade de a capacidade da pista de virada ser atingida,
quando 10 carros ficam retidos por um sinal vermelho?
Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se saírem faces 1 ou 6, o
cliente tem um desconto de 25% sobre o total de sua conta. Se saírem faces 4 ou 5, o desconto é de 15%. Se ocorrerem
faces 2 ou 3, o desconto é de 5%.
a) Calcular a probabilidade de que num grupo de 10 clientes, ao menos um consiga um desconto maior que 10 %
b) Calcular a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a conseguir 25%.
c) Em média, qual é o desconto concedido?
Cada controlador de tráfego aéreo em um aeroporto tem a responsabilidade de orientar n máximo 20 decolagens e
aterrisagem por hora. Durante determinado período, a taxa média de decolagens e ateriisagens é de uma a cada dois
minutos. Admitindo que as chegadas e partidas sejam variáveis de Poisson, determine a probabilidade de serem
necessários dois controladores naquele período de tempo.
O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante um período especificado é uma v.a. com distribuição de
Poisson. Se a probabilidade de não haver emissões for igual a 1/3, qual é a probabilidade de que 2 ou mais emissões
ocorram?
Um telefone recebe chamadas a uma taxa de 0,25 por hora. Qual a probabilidade de em 4 horas receber (a) no máximo 2
(b) exatamente 3 (c) no máximo 3 chamadas?
Um vendedor de automóveis sabe que o número de carros vendidos por dia em sua loja comporta-se como uma v.a. de
Poisson cuja média é 2 nos dias de tempo bom, e é 1 nos dias chuvosos. Se em 70% dos dias faz tempo bom, qual é a
probabilidade de que em certo dia do ano sejam vendidos pelo menos 3 automóveis?
Na verificação rotineira de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer
uma falha em qualquer uma das partes é de 0,01; independente das demais. O tempo de conserto é de 10, 20 ou 50 minutos
para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se a falha elétrica aparece junto com a falha mecânica,
teremos um acréscimo de 20 minutos devido à complicações no conserto. Para um máquina escolhida ao acaso, qual a
probabilidade do tempo de conserto:
durar menos de 25 minutos? b) ultrapassar 40 minutos?
Suponha que n componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série. Admita que a duração até falhar,
de cada componente, seja normalmente distribuída, com média de 50 horas e desvio-padrão de 5 horas.
Se n=4, qual a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funionar depois de 52 horas de operação?
Se n componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de n, para que a probabilidade de falhar durante as
primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a 0,01?
Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto, que é fornecido em lotes de 500 peças cada.
O comprador A, que paga R$8,00 por peça e não exige nenhum ensaio.
O comprador B, que, para cada lote recebido, retira uma amostra de 10 peças ao acaso e as examina: se todas forem
perfeitas, paga R$5000,00 pelo lote; se entre 10 houver uma defeituosa, paga R$4000,00 pelo lote; e se entre as 10 houver
duas ou mais peças defeituosas, paga apenas R$2500,00 pelo lote.
Sabendo o industrial ser de 10% a porcentagem de peças defeituosas que produz, qual a melhor a.lternativa para a venda
de seu produto?
Um fabricante de produtos alimentícios vende um de seus produtos em latas de 900 g de conteúdo líquido. Para embalar o
produto adquiriu uma máquina que permite obter o peso desejado com distribuição normal e desvio padrão de 10 g. O
Instituto de Pesos e Medidas exige que no máximo 5% das latas contenham menos do que o peso líquido nominal. Se a
máquina for regulada para 910 g, poderá satisfazer esta exigência? Qual deverá ser a regulagem da máquina para que a
exigência do IPM seja observada? Feita esta nova regulagem da máquina, as latas são enviadas ao comércio.De vinte
xícaras de café, quinze são preparadas começando com água fria e cinco começando com água quente. Depois de provar
todas as vinte xícaras, um provador escolhe cinco que supõe sejam aquelas cujo preparo se iniciou com água quente. Qual
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é a probabilidade de que, se sua seleção for feita meramente ao acaso, escolha um grupo contendo quatro ou cinco que
efetivamente foram preparadas com água quente?
Suponha que 100 tiros independentes são disparados contra um alvo e que a probabilidade de acerto é 0,25. Seja X o
número total de acertos nestes 100 ensaios e Y o número de tiros certos nos primeiros 50 ensaios. Encontre P(Y=k | X=j).
Um barco pode transportar seis passageiros ou 500 kg de carga total. Se o peso dos passageiros é normalmente distribuído,
com média de 70 kg e desvio padrão de 4 kg, e se cada um deles leva 15 kg de bagagem, com desvio padrão de 3 kg, (a)
qual a probabilidade de ele lotar e o peso total exceder o limite estabelecido? (b) Quatro barcos idênticos serão escolhidos
para transportar um grupo de passageiros, qual a probabilidade de nenhum deles ter uma sobrecarga acima de 50 kg, sendo
que todos sairão lotados?
Um lote de 50 caixas com 30 unidades de abacaxi deve ser totalmente rejeitado ou vendido, dependendo do resultado do
seguinte procedimento: 20 unidades são escolhidas ao acaso e inspecionadas. Se dez ou mais estiverem com o pH abaixo
do especificado, isto é, se as frutas forem consideradas ácidas, o lote será rejeitado; caso contrário, será aceito. Suponha
que cada caixa custa R$ 15,00 e seja vendida por R$ 20,00. Se cada caixa contiver 2 abacaxis ácidos, qual será o lucro
médio do produtor para o lote?
As concentrações de poluentes causadas por uma fonte de poluição podem ter como modelo a fdp (a>0)
f (r )  0
r0
 ar
 ae
r0
onde R é a distância da fonte. Determine o raio da região dentro da qual se concentram 95% dos poluentes.
18. Como é mais econômico limitar as chamadas telefônicas interurbanas a três minutos, a função de distribuição de X,
duração dessas chamadas em minutos, pode tomar a forma
F ( x)  0
 1  e x / 3
1
 1  e x / 3
2
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x0
0 x 3
x3
Determine a probabilidade de X (a) ser superior a dois minutos, (b) estar compreendida entre dois e seis minutos.
O tempo de prateleira de um iogurte é uma v.a. exponencialmente distribuída, com vida média de 20 dias. Calcule:
A probabilidade de um iogurte durar mais de 25 dias
Suponha que quatro desses iogurtes foram selecionados ao acaso de uma caixa e reservados para um teste sobre a
validade do produto, qual a probabilidade de que dentre esses quatro dois deles não estejam em condições de consumo
após 25 dias?
Determine o parâmetro λ da distribuição exponencial, considerando que a probabilidade de um iogurte selecionado ao
acaso durar mais de 30 dias seja igual a 0,1.
Suponha que uma pessoa esteja aguardando numa fila para o caixa eletrônico de um banco. Seja X, o tempo gasto até a
pessoa concluir sua operação, uma v.a. exponencialmente distribuída com parâmetro , f(x)= e-x para >0.
Seja Y a v.a. inteira definida em termos de X por: Y=m se mX<m+1, onde m é um inteiro não negativo. Calcule
P[Y=3|Y>2].
A duração de vida de um satélite é uma v.a. exponencialmente distribuída, com duração da vida esperada igual a 1,5 anos.
Se três desses satélites forem lançados simultaneamente, qual será a prob. de que ao menos dois ainda venham a estar em
órbita depois de 2 anos?
Suponhamos que o vão de uma porta em construção deve ser utilizado por um tipo de pessoas cujas alturas são
normalmente distribuídas com média 1,80 m e desvio padrão de 8 cm. Qual a altura mínima do vão da porta para
determinar que não mais de 2% das pessoas batam com a cabeça na porta? Se o vão da porta tiver 1,90 m de altura, que
porcentagem da população baterá com a cabeça na porta caso não se abaixe? Encontre os quartis para a altura das pessoas.
Suponha que T a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com E(T)=90 horas e desvio-padrão 5
horas. Quantas horas de operação deverão ser consideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de 0,90; 0,95; 0,99?
Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição Normal de média 130 kg e
desvio padrão de 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 25% dos pacientes de menor peso são
classificados de “magros”, enquanto os 25% de maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma
dessas classificações.
Suponha que em um processo de secagem de uvas são utilizadas uvas cuja distribuição é aproximadamente normal com
média 3,3cm e desvio padrão de 0,3cm. Uma amostra de 50 uvas é selecionada ao acaso e classificada antes de submetidas
ao processamento da seguinte forma:
normal: cujo diâmetro chega até 3,8cm e extra: para uvas com diâmetro acima de 3,8cm. Determine:
qual a probabilidade de serem encontradas pelo menos duas uvas de tamanho extra na amostra?
se o custo para processar uma batelada de 50 uvas de tamanho normal for de R$2,00 e no caso da extra for de R$2,40,
qual o custo médio no processamento da batelada?
Uma empresa de engarrafamento de refrigerantes mantém registros sobre o número de garrafas não aceitas pelas máquinas
de engarrafamento e fechamento. Com base em dados do passado, a probabilidade de que uma garrafa venha da máquina I
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e não esteja de acordo com os padrões é 0,01, e a probabilidade de que a garrafa venha da máquina II e não esteja de
acordo com os padrões é de 0,025. Metade das garrafas é abastecida na máquina I e a outra metade é abastecida na
máquina II. Se uma garrafa for escolhida aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ela seja uma garrafa dentro dos
padrões? Sabendo-se que: 1. o custo de uma garrafa fora das especificações é de R$0,48; 2. que uma caixa contém 24
unidades; 3. que cada garrafa é vendida a R$ 0,90, qual o lucro médio por caixa?
28. A vida média de certo aparelho é de oito anos, com desvio-padrão de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que
acusam defeito dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos que apresentem defeito,
qual deve ser o prazo de garantia?