AS SÉRIES DE FOURIER
Valores médios de funções.
Queremos calcular a área que fica abaixo
da curva que representa uma função f(x)
em um dado trecho. Isso é muito fácil se
a função f(x) for constante, como na
figura ao lado. A área S é simplesmente o
produto da base pela altura do retângulo,
isto é, S = A Y.
Se a função não for constante o cálculo
não é tão simples pois envolve uma
integral da função no trecho considerado.
No entanto, esse valor sempre pode ser
encontrado e aqui vamos supor que ele é
conhecido. Isto é, para todos os efeitos, o
valor da área S sob a curva pode ser
calculado, resultando em um número bem
determinado.
A área S sob a função f(x) no trecho entre 0 e A é dada pela integral:
Uma vez conhecido o valor da área S é
sempre possível achar um retângulo de
base A com a mesma área S. O valor
da altura desse retângulo (tal que S =
A
) é o VALOR MÉDIO da função f(x)
no trecho entre 0 e A. Isto é:
= S / A.
Os colchetes < > são usados para indicar
"valor médio".
Portanto, o valor médio de f(x) entre os extremos 0 e A é dado por:
A função f(x) pode ter valores positivos e
negativos no trecho considerado. No
gráfico ao lado, f(x) é positivo até o ponto
intermediário C e depois passa a ser
negativo. Nesse caso, a área S é dada
por S = S1 - S2 e o valor médio de f(x)
será
= (S1 - S2)/A.
No caso da função sen(x) a área da parte
positiva é igual à área da parte negativa
no trecho corresponente a um período.
Portanto, a área S é nula e o valor médio
da função sen(x) em um período é zero.
O mesmo ocorre com a função cos(x).
O valor da área S1 é 2. Isso pode ser
verificado com o uso da integral de sen(x)
entre 0 e , mas, você pode
simplesmente aceitar esse resultado
como correto. Mais adiante ele será
usado.
Agora, vejamos o caso da função f(x) =
sen2(x) cujo gráfico é mostrado na figura
ao lado. Agora, tanto S1 quanto S2 são
positivos e têm o mesmo valor. Para
achar o valor médio dessa função em um
período podemos lançar mão da simetria.
Traçando a reta na altura y=1/2
verificamos que as partes sob a curva
que estão acima dessa reta preenchem
exatamente os vazios das partes que
estão abaixo. Portanto,
.
Isto é:
Esses resultados serão usados a seguir no cálculo dos coeficientes de uma série
de Fourier.