CAPITULO 04
CAPACITORES
E INDUTORES
Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
CIRCUITOS I
4.1 INTRODUÇÃO
Destina-se o presente capítulo a apresentar o comportamento dos indutores e capacitores
como elementos essenciais da grande maioria dos circuitos elétricos e eletrônicos. Procuraremos dar
uma abordagem qualitativa desses elementos abordando os principais aspectos relativos ao
armazenamento de energia para em seguida apresentar as principais relações matemáticas que definem
o comportamento desses elementos e suas propriedades.
Veremos ainda o conceito de dualidade, a obtenção de circuitos duais, a obtenção das
equações íntegro-diferenciais, de malha e de nó dos circuitos contendo indutores.
4.2 O INDUTOR
O indutor é um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas de
energia. Ao contrário de uma fonte ideal, eles não podem fornecer quantidades ilimitadas de energia
ou manter o fornecimento de uma determinada potência média.
Vamos definir indutor e indutância estritamente do ponto de vista de circuitos, por sua relação
tensão-corrente.
Quando a corrente que atravessa um condutor varia, o fluxo magnético que o envolve também
varia. Esta variação de fluxo magnético ocasiona a indução de uma voltagem num circuito próximo ao
condutor. Esta voltagem induzida é proporcional à razão de variação da corrente geradora do campo
magnético com o tempo.
Essa constante de proporcionalidade é chamada indutância e é simbolizada pela letra L.
A relação é, portanto:
v (t ) = L
di ( t )
(4.1)
dt
A unidade de indutância é Henry (H).
i(t)
+
L
v(t)
-
Figura 4.1 – O indutor ideal.
O indutor cuja indutância é definida pela expressão (4.1), é um modelo matemático; é um
elemento ideal que pode ser usado para aproximar o comportamento de um dispositivo real.
Fisicamente, um indutor pode ser construído enrolando-se um pedaço de fio na forma de bobina.
Um indutor, ou bobina, com a forma de hélice de passo muito pequeno, possui uma
indutância, em Henry (H) dada por,
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µN 2 A
L=
l
Onde,
(4.2)
A = área da seção reta;
N = número de espiras;
l = comprimento da hélice;
µ = permeabilidade magnética do material que está dentro da hélice.
Para o ar µ = µ0 = 4π x 10-7 H/m.
A equação (4.1) nos mostra que a tensão no indutor só existe se houver variação da corrente
através do indutor. De modo mais objetivo ela nos mostra que não há tensão num indutor em que
exista apenas uma corrente constante, independentemente da magnitude dessa corrente. Logo o
indutor é um curto-circuito para corrente contínua.
Um outro fato, evidenciado pela equação (4.1), é relacionado a uma variação infinita da
corrente no indutor, como, por exemplo, a corrente variando bruscamente de um valor a outro. A esta
descontinuidade de corrente deve estar associada uma voltagem infinita. Em outras palavras, se
desejarmos produzir uma variação brusca na corrente de um indutor, devemos aplicar uma voltagem
infinita. Como uma voltagem infinita de excitação não pode ser gerada por um dispositivo físico real,
não é possível variar bruscamente a corrente num indutor.
A equação (4.1) também pode ser interpretada por métodos gráficos. Pela figura 4.2 podemos
verificar a tensão resultante sobre o indutor de 3H quando é aplicado sobre o mesmo a corrente i(t)
dada pelos gráficos:
i(t) (A)
v(t) (V)
3
1
a)
-1
0
1
2
3
-1
t(s)
0
1
3
t(s)
2 2,1
t(s)
2
-3
i(t) (A)
v(t) (V)
30
1
b)
-0,1 0
1
2 2,1
t(s)
-0,1 0
-30
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3
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i(t) (A)
v(t) (V)
1
∞
c)
1
0
2
-0,1 0
t(s)
2
t(s)
-∞
Figura 4.2 – Efeito de variação da corrente sobre um indutor de 3H.
4.3 RELAÇÃO PARA CORRENTE E ENERGIA NO INDUTOR
Da equação de definição do indutor podemos escrever:
di =
l
⋅ v (t ) ⋅ dt
L
Fazendo a integração de t0 a t:
l t
v ( t ) dt
i t0 )
L ∫t0
l t
i ( t ) − i ( t 0 ) = ∫ v ( t ) dt
L t0
i (t )
∫(
di =
Para t0 = 0-:
i ( t ) = i ( 0− ) +
l t
v ( t ) ⋅ dt
L ∫0−
(4.3)
A equação (4.3) nos fornece a corrente em função da voltagem e i(0-) pode ser considerada
como a corrente existente no indutor em t = 0- antes da aplicação da voltagem v(t).
Para um problema real, a seleção de t0 = -∞ assegura a não existência de corrente ou energia
inicial no indutor. Assim se i(t0) = i(-∞) = 0, então:
i (t ) =
l t
v ( t ) dt
L ∫−∞
(4.4)
O fluxo magnético num indutor atravessado por uma corrente i(t) é dado por:
φ ( t ) = L ⋅ i ( t ) Wb
(4.5)
Vamos deter nossa atenção para potência e energia. A potência absorvida é dada pelo produto
tensão-corrente.
p (t ) = v (t ) ⋅ i (t ) = L ⋅ i ( t ) ⋅
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di ( t )
dt
(4.6)
W
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A energia ωL recebida pela indutância é armazenada pelo campo magnético no intervalo de
tempo desejado.
∫
t
t0
t
p ⋅ dt = L ∫ i ⋅
t0
i (t )
di
⋅ dt = L ∫ i ⋅ di
i( t0 )
dt
Logo,
1
2
2
ωL ( t ) − ωL ( t 0 ) = L ⋅  i ( t ) − i ( t 0 )  J

2 
(4.7)
Considerando que em t0 a energia seja zero:
1
2
ωL ( t ) = L ⋅ i ( t ) J
2
(4.8)
Vamos agora fazer uma lista das principais características de um indutor e que resultam da sua
equação de definição.
1. A voltagem num indutor é zero se a corrente que passa através dele for independente do
tempo. Uma indutância é, portanto, um curto-circuito para corrente contínua.
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num indutor, mesmo que a
voltagem na indutância seja zero, caso em que a corrente é constante.
3. É impossível alterar instantaneamente, de um valor finito a corrente num indutor, pois
isto requer um valor infinito de voltagem.
4. Um indutor ideal nunca dissipa energia, apenas armazena.
Exemplo:
 30t 2 ,
Determine a corrente em um indutor de 5H se a tensão for de v ( t ) = 
0,
Determine também, a energia armazenada em 0 < t < 5s.
Solução:
Como i =
i=
1 t
v ( t ) dt + i ( t 0 ) e L = 5H,
L ∫ t0
1 t
t3
2
30t
.dt
0
6
+
=
×
= 2t 3 A
∫
0
5
3
A potência é a p = v.i = 60t 5 e a energia armazenada é, portanto,
5
t6
w = ∫ p.dt = ∫ 60t .dt = 60
= 156, 25kJ
0
6 0
5
5
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5
t>0
.
t<0
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Alternativamente, podemos obter a energia armazenada utilizando a Equação (4.7), dispondo
1
1
1
5
w 0 = L.i 2 ( 5 ) − L.i ( 0 ) = ( 5 ) 2 × 53
2
2
2
(
)
2
− 0 = 156, 25kJ
como obtido anteriormente.
4.4 O CAPACITOR
O capacitor é também um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas
de energia.
Através da relação corrente-tensão podemos definir capacitor e capacitância como sendo:
i (t ) = C
dv
dt
(4.9)
i(t)
+
C
v(t)
-
Figura 4.3 – O capacitor ideal.
O capacitor, cuja capacitância é definida pela equação (4.9) é, novamente, o modelo
matemático de um dispositivo real. A construção do elemento físico é sugerida pelo símbolo do
capacitor do mesmo modo que o símbolo em hélice usado para o indutor representa o fio enrolado
desse elemento de circuito. Fisicamente um capacitor consiste de duas superfícies condutoras em que
cargas podem ser armazenadas e essas superfícies são separadas por uma resistividade bastante
elevada.
Um capacitor construído com duas placas condutoras em paralelo, com área A, separadas por
uma distância d, possui uma capacitância:
C=
ε⋅A
d
(4.10)
onde: ε = permissividade ou constante de isolação do material entre as placas.
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Para o ar ou vácuo:
ε = ε 0 = 8, 85 × 10
−12
F 10−9 F
=
m 36π m
Várias características importantes do capacitor podem ser analisadas através da sua equação
de definição.
Uma voltagem constante através de um capacitor requer que uma corrente nula passe por ele,
logo o capacitor é um circuito aberto para corrente contínua. É também evidente que uma
mudança brusca de tensão implica numa corrente infinita. Como não existe dispositivo físico real
que forneça uma corrente infinita, o capacitor não permite uma mudança instantânea da tensão
sobre ele aplicada. Esta restrição será retirada quando admitirmos a existência de correntes
impulsivas.
4.5 RELAÇÕES PARA TENSÃO E ENERGIA NO CAPACITOR
A voltagem num capacitor pode ser obtida através da equação (4.9).
dv (t ) =
1
i ( t ) ⋅ dt
C
Integrando de t0 a t:
v (t ) =
1 t
i ( t ) ⋅ dt + v(t 0 )
C ∫t0
Quando t0 = 0-:
v ( t ) = v ( 0− ) +
1 t
i ( t ) dt
C ∫0−
(4.11)
Considerando o capacitor descarregado em t = 0-, isto é, v(0-) = 0 e como a integral da corrente
é a carga armazenada sobre as placas do capacitor:
v (t ) =
Logo:
q (t )
C
q (t ) = C ⋅ v (t )
(4.12)
A similaridade entre as várias equações integrais introduzidas nesta seção e as que aparecem na
discussão sobre indutância é enorme e sugere que a dualidade pode ser aplicada entre indutâncias e
capacitâncias.
Considere o exemplo da figura 4.4 em que uma tensão v(t) é aplicada sobre um capacitor de
5µF e observe a corrente resultante.
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i(t)(mA)
v(t) (V)
8
-1
20
0
1
2
3
0
t(ms)
4
1
2
4 t(ms)
3
Figura 4.4 – Efeito de variação da tensão sobre um capacitor de 5µF.
Para determinação da energia armazenada num capacitor ao qual é ligada uma fonte de tensão,
consideremos a potência entregue ao capacitor.
p (t ) = v (t ) ⋅ i (t ) = C ⋅ v (t ) ⋅
dv ( t )
dt
A energia é a integral da potência.
∫
t
t0
t
dv (t )
t0
dt
p ( t ) dt = C∫ v ( t ) ⋅
1
2
2
v ( t ) dv ( t ) = C  v ( t ) − v ( t 0 ) 
v (t 0 )

2 
dt = C∫
v (t )
1
2
2
ωC ( t ) − ωC ( t 0 ) = C  v ( t ) − v ( t 0 ) 

2 
Se a energia armazenada é nula em t0:
1
2
ωC ( t ) = C ⋅ v ( t )
2
(4.13)
Vamos fazer agora uma lista das principais características de um capacitor.
1. Se a voltagem num capacitor não varia com o tempo, então a corrente será nula. Um
capacitor é circuito aberto para corrente contínua.
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num capacitor, mesmo quando a
corrente através do capacitor é nula.
3. É impossível alterar, instantaneamente, a voltagem em um capacitor, pois requer uma
corrente infinita.
4. Um capacitor nunca dissipa energia, apenas armazena. Embora isto seja verdadeiro para
um modelo matemático, não é verdadeiro para um capacitor real.
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Exemplo:
Obtenha a energia armazenada em cada capacitor do circuito (a) abaixo em condições cc.
2mF
+ v1
2kΩ
2kΩ
5kΩ
6mA
-
4kΩ
3kΩ
5kΩ
6mA
4mF
3kΩ
4kΩ
+
v2
-
Solução:
Em condições cc, substituímos cada capacitor por um circuito aberto, como mostrado no
circuito (b). A corrente através da combinação série dos resistores de 2kΩ e 4kΩ é obtida pela divisão
de corrente.
i=
3
( 6mA ) = 2mA
3+2+4
Logo, as tensões v1 e v2 dos capacitores são:
v1 = 2000i = 4V
v 2 = 4000i = 8V
As energias armazenadas são:
1
1
2
w1 = C1 v12 = 2 × 10−3 (4 ) = 16mJ
2
2
1
1
2
w 2 = C2 v 2 2 = 4 × 10 −3 (8 ) = 128mJ
2
2
(
)
(
)
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4.6 ASSOCIAÇÃO DE INDUTÂNCIAS E CAPACITÂNCIAS
Vários indutores em série são somados diretamente dando como resultado um indutor
equivalente.
L1
i
L2
+ v1 -
+
v2
...
-
i
+
vN
vs
LN
Leq
vs
-
Figura 4.5 – Associação de indutores em série.
v s = v1 + v 2 + ...... + v N = L1
v s = ( L1 + L 2 + ...... + L N )
v s = Leq
di
;
dt
di
di1
di
+ L 2 2 + ......L N N
dt
dt
dt
di
dt
(4.14)
Leq = L1 + L 2 + ...... + L N
Indutores em paralelo são associados para formar um indutor equivalente da mesma forma que
resistências em paralelo.
i2
+
is
v
L1
L2
-
iN
LN
+
is
Leq
v
-
Figura 4.6 – Associação de indutores em paralelo.
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Leq =
1
(4.15)
1
1
1
+ ...... +
+
L1 L2
LN
Para dois indutores em paralelo:
‘
Leq =
L1 ⋅ L 2
L1 + L 2
(4.16)
Capacitores em série são associados para formar um capacitor equivalente de maneira similar a
indutores em paralelo.
+ v1
-
+ v2
C1
...
C2
vs
vs
CN
Ceq
Figura 4.7 – Associação de capacitores em série.
Ceq =
1
1
1
1
+ ...... +
+
C1 C2
CN
(4.17)
Capacitores em paralelo são associados para formar um capacitor equivalente somando-se
diretamente os valores dos capacitores.
...
i1
+
is
v
C1
i2
C2
iN
+
CN
v
is
-
Ceq
-
Figura 4.8 – Associação de capacitores em paralelo.
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Ceq = C1 + C2 + ...... + CN
(4.18)
Exemplos:
Calcule a indutância equivalente para o circuito indutivo em escada da figura abaixo.
20mH
50mH
Leq
100mH
40mH
40mH
20mH
30mH
Resposta: 25mH
Calcule a capacitância equivalente vista nos terminais do circuito da figura abaixo.
50µ
µF
Ceq
70µ
µF
60µ
µF
20µ
µF
120µ
µF
Resposta: 40µ
µF
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4.7 EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS PARA CIRCUITOS COM INDUTORES E
CAPACITORES
Vamos escrever as equações nodais para o circuito da figura 4.9.
C1
L
vs
v1
R
v2
C2
vs
is
Figura 4.9 – Uma rede RLC com nós e voltagens identificadas.
Para o nó central:
v1 − v 2
dv1
1 t
v
v
dt
i
t
C
−
+
+
+
=0
(
)
(
)
1
s
L
0
2
L ∫t0
R
dt
Para o nó da direita:
C1
d ( v 2 − vs )
dt
−
v1 − v 2
− is = 0
R
Reescrevendo as duas equações:
v1
dv 1 t
v
1 t
+ C2 1 + ∫ v1dt − 2 = ∫ vsdt − i L ( t 0 )
R
dt L t0
R L t0
dv
v v
dv
− 1 + 2 + C1 2 = C1 s + i s
R R
dt
dt
Estas são as equações íntegro-diferenciais para o exemplo da figura 4.9.
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4.8 DUALIDADE
Definiremos em termos de equações de circuitos. Dois circuitos são duais se a equação de
malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza
o outro. Eles serão chamados duais exatos se cada equação de malha de um for numericamente
idêntica à correspondente equação nodal do outro.
Para o circuito da figura 4.10 vamos obter as equações de malha e depois escrever as duais e
tentar obter o circuito dual.
8F
3Ω
+ vc
2cos 6t V
i1
4H
i2
5Ω
Figura 4.10 – Exemplo para obtenção do dual.
v c ( 0 ) = 10V
di1
di
− 4 2 = 2cos 6t
dt
dt
di
di 1
−4 1 + 4 2 + ∫ i 2dt + 5i 2 = −10
dt
dt 8
3i1 + 4
As equações duais são obtidas substituindo-se as correntes por tensões.
dv1
dv
− 4 2 = 2cos 6t
dt
dt
dv
dv 1
−4 1 + 4 2 + ∫ v 2dt + 5v 2 = −10
dt
dt 8
3v1 + 4
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Para a obtenção do circuito dual usa-se o método descrito pela seguinte seqüência de
procedimentos:
a) Traça-se uma linha de referência em volta do circuito que se deseja obter o dual;
b) Numeram-se as malhas colocando-se um ponto no centro das mesmas;
c) Obtêm-se os elementos duais desenhando-se estes elementos sobre o circuito original, a
partir dos pontos locados no centro das malhas. Uma fonte de tensão é substituída por uma
fonte de corrente de mesmo valor; um indutor por um capacitor, uma resistência por uma
condutância e assim por diante.
3Ω
8F
3
8H
1
2cos 6t V
4H
2
5Ω
5
4F
2cos 6t A
REF.
Figura 4.11 – O dual do circuito da figura 4.10 é construído
diretamente a partir do diagrama do circuito.
1
4F
2
2cos 6t A
3
8H
5
Figura 4.12– O dual exato.
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4.10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1. A um indutor perfeito sem energia armazenada aplica-se em t = 0 uma tensão contínua de 10V.
Sabe-se que ao fim de 1µs a energia armazenada é de 0,5µJ. Qual o valor da indutância?
Solução:
p ( t ) = v ( t ) .i ( t ) = v ( t ) ⋅
1 t
v ( t ) dt
L∫0
Como v ( t ) = V = 10 Volts
V2
p (t ) =
L
V2
∫ 0 dt = L t
t
V2
w ( t ) = ∫ p (t ) dt =
0
L
−6
100 10
w (t ) =
t.dt
L ∫0
t
∫
t
0
t.dt
10−6
100 t 2 
0, 5 × 10−6 =

L 2 0
L = 10−4 H
2. O circuito LC da figura que segue começou a operar em t = 0, quando a corrente era nula e o
capacitor tinha uma carga de 5C. Sabendo-se que o valor máximo de corrente é igual a 3A,
determinar a indutância L.
i(t)
L
2,5F
i (0) = 0
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Solução:
A tensão inicial no capacitor:
v0 =
q
5
=
= 2V
C 2, 5
A corrente será máxima no instante em que a energia armazenada no capacitor for totalmente
transferida ao indutor.
1 2 1
L.i = C.v 2
2
2
2
C.v
2, 5 × 4
L= 2 =
i
9
L = 1,1H
3. Para o circuito que segue determine o dual e escreva as equações íntegro-diferenciais de malha
do circuito resultante.
2kΩ
2k
ix
1
10-3cos 104t A
+ 30mF
vx 30mH
-
2
0,01µF
0,01µH
3
10-3vx
10-3ix
10-3cos 104t V
i L ( 0 ) = 2A
v C ( 0 ) = 2V
i X = i1
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ix
30mF
2k
i1
10-3cos 104t V
0,01µH
i2
10-3ix
t
i −i
1
i1 .dt + 1 2
∫
0, 03 0
2000
i −i
di
10−3 i1 = 2 1 + 10−8 2
2000
dt
(
)
10−3 cos 104 t = 2 +
4. Os dois capacitores do CKT que segue são carregados por uma ligação momentânea dos dois
terminais A e B a uma fonte de tensão constante de 50V. Os terminais A e B, então, reunidos,
depois de retirada a fonte. Qual a carga final em cada capacitor?
A
B
20µF
40µF
Solução:
A carga total fornecida a cada um dos capacitores em série é:
q1 = q 2 = CT .V
20 × 40 80
=
= 13, 33µF
20 + 40 6
q1 = q 2 = 13, 33 × 10−6.50 = 666, 67µC
CT =
Após serem ligados os terminais A e B os capacitores ficam em paralelo e após algum tempo
a tensão sobre os capacitores é a mesma.
v=
q1
C1
v=
q2
C2
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A carga total com os capacitores em paralelo:
q = q1 + q 2 = 1333, 34 µC
q1 q 2
=
C1 C2
q1 =
C1
⋅ q2
C2
20
666, 67 × 10−6
40
q1 = 444, 33 µC
q1 =
(
)
q 2 = 888, 67 µC
(
)
5. A corrente através de uma capacitor de 0,2µF é i C ( t ) = 60cos 104 t + 36D mA para todo t. A
tensão média no capacitor é zero.
a) Qual o valor máximo de energia armazenado no capacitor?
b) Qual é o primeiro instante t, não negativo, em que a energia máxima é armazanada?
Solução:
ic
C
C = 0, 2µF
T=
2π
104
(
)
i C ( t ) = 60cos 104 t + 36D mA
período
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19
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CIRCUITOS I
1
2
w C = C.v (t )
2
( )
v C ( t ) = v C 0− +
1 t
i ( t ) .dt
C ∫0
( )
(
(0 ) + 30sen (10 t + 36 ) V
)
t
v C ( t ) = v C 0− + 5 × 106 ∫ 60cos 104 t + 36D .dt × 10−3
0
v C (t ) = v C
−
D
4
Como a tensão média deve ser zero.
Vméd =
104
0=
2π
( )
1 102 π4 
v C 0− + 30.sen 104 t + 36D  dt
T ∫0 
( )
(
)
2π
4
30

D  10
4
−
v
0
cos
10
t
36
+
−
 C

104

0
( )
(
)
2π
30
2π

 30
= 4 cos  104 × 4 + 36D  − 4 cos 36D
4
10
10
10

 10
30
30
cos 360D + 36D −
cos 36D
=
2π
2π
( )
v C 0− ×
( )
)
(
(0 ) = 0V
(t ) = 30sen (10 t + 36 ) V
v C 0−
vC
vC
( )
−
4
D
a) A energia máxima é obtida para v C ( t )máx = 30V .
1
2
WC = × 0, 2 × 10−6 × ( 30 ) = 90 × 10−6 = 90µJ
2
b) O instante em que a tensão é máxima corresponde ao arco em que 104 t + 36D =
104 t + 0, 6283rad = 1, 5708rad
t = 94, 3µs
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20
π
.
2
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CIRCUITOS I
6. Encontre a indutância oferecida nos terminais a – b do circuito que segue quando os terminais
x – x’ estão:
a) em aberto.
b) em curto.
2H
4H
1H
x
3H
x'
a
9H
6H
10H
12H
b
Solução:
a) Com x – x’ em aberto.
10H
a
15H
10H
6H
a
12H
b
10H
12H
b
a
a
10H
b
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6,48H
18H
b
21
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CIRCUITOS I
b) Com x – x’ em curto.
15H
a
5H
10H
5H
12H
b
15H
a
50
H
15
a
60
H
17
b
a
3,333H
b
18,53H
2,82H
b
7. Cada capacitor no circuito que segue e de 1µF. Encontre a capacitância equivalente se:
a)
b)
c)
d)
1-2 e 1-3 estão curto circuitadas;
1-2 e 1-3 estão abertas;
1-2 abertos e 1-3 curto circuitadas;
1-2 em curto e 1-3 abertos;
a
b
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2
1
1
3
22
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CIRCUITOS I
Solução:
a)
1µF
a
1µF
b
1,2,3
1µF
a
1µF
b
a
a
1µF
3µF
Ceq
b
Ceq
0,75µF
b
b) Com 1-2 e 1-3 abertos
0,5µF
1µF
1µF
1µF
1µF
0,5µF
1µF
1µF
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1µF
23
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CIRCUITOS I
1µF
a
a
1µF
1µF
1,5µF
0,5µF
0,6µF
b
b
c) Com 1-2 abertos e 1-3 em curto.
a
a
1µF
0,5µF
2µF
1µF
2µF
2µF
0,4µF
b
b
a
a
1µF
2,4µF
0,706µF
Ceq
b
b
d) Com 1-2 em curto e 1-3 aberto.
a
a
1µF
2µF
1µF
b
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1µF
2µF
1µF
1µF
b
24
0,5µF
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CIRCUITOS I
a
a
1µF
1,5µF
0,6µF
Ceq
b
b
8. Seja is = 4 (1 − e−3t ) A para t > 0 e vc ( 0− ) = 20V no circuito que segue. Em t=0,5s, encontre os
valores de energia.
a) Armazenados no indutor;
b) Armazenados no capacitor;
c) Dissipados no resistor desde t = 0.
5Ω
2H
1
F
9
is
vc
+
Solução:
a)
WL ( 0, 5 ) =
( )
1
2
Li ( 0, 5)
2
i L 0− = 0
di
t>0
= 2 × 4 3e −3t
dt
di
v L ( t ) = L = 24 e −3t
t>0
dt
1 t
i ( t ) = i L 0− + ∫ v L ( t ) dt
L 0
0,5
1 0,5
i ( 0, 5) = ∫ 24e−3t dt =  −4e−3t  = −4 [0, 223 − 1] = 3,107A
0
0
2
1
WL ( 0, 5 ) = × 2 × 3,107 = 9, 66J
2
v L (t ) = L
(
)
( )
( )
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Solução alternativa:
1
2
WL ( t ) = Li ( t )
2
1
WL ( t ) = × 2 × 16 1 − 2e−3t + e −6t
t = 0,5
2
WL ( 0, 5 ) = 16 (1 − 2 × 0, 223 + 0, 05)
(
)
WL ( 0, 5 ) = 9, 66J
b)
1
2
2
Wc ( t ) = C  v ( t ) − v ( 0 ) 


2
1 t
v ( t ) = v c 0− + ∫ i ( t )dt
C 0
( )
(
0,5
)
v ( 0, 5 ) = 20 + 9 ∫ 4 1 − e −3t dt
0
0,5
 1

v ( 0, 5 ) = 20 + 36  t + e −3t 
 3
0
1


v ( 0, 5 ) = 20 + 36  0, 5 + × 0, 223 − 0, 333  = 28, 689V
3


1 1
2
Wc ( 0, 5 ) = × ( 28, 689 ) − 202  = 23, 5J

2 9
c)
WR ( 0, 5) = ∫
(
0,5
)
2
5 ×  4 1 − e −3t  dt

0
WR ( 0, 5) = 80 ∫
0,5
0
(1 − 2e
−3t
)
+ e−6t dt
0,5
1
 2

WR ( 0, 5) = 80 ⋅  t + e −3t − e −6t 

6
 3
0
2
0, 05 2 1 

WR ( 0, 5) = 80 ⋅  0, 5 + × 0, 233 −
− + 
3
6
3 6

WR ( 0, 5) = 80 ⋅ ( 0, 5 + 0,149 − 0, 008 − 0, 666 + 0,166 )
WR ( 0, 5) = 80 × 0,141 = 11, 28J
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26
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9. Para o circuito que segue faça is ( t ) = 0,1e −400t A com i 2 ( 0 ) = 0, 03A :
a) Encontre v(t) para todo t;
b) Encontre i2(t) para todo t;
c) Encontre i1(t) para todo t.
100Ω
i1
100Ω
i2
+
is
12mH
8mH
v(t)
is
Leq=4,8mH
-
-
a)
di s
d
0,1e −400t
= 4, 8 × 10−3
dt
dt
−3
−400t
v ( t ) = 4, 8 × 10 −40e
V
(
v ( t ) = L eq
(
v ( t ) = 0,192e −400t V
b)
i 2 (t ) = i 2 ( 0 ) +
)
)
1 t
103
v
t
dt
0,
03
=
+
(
)
L ∫0
8
∫ ( −0,192e
t
0
−400t
) dt
t
 0,192 −400t 
−400t
+ 0, 06
i 2 ( t ) = 0, 03 + 125  −
e
 = 0, 03 +  0, 06e
400
−

0
i 2 ( t ) = 0, 09 + 0, 06e −400t A
c)
i1 ( t ) = i s ( t ) − i 2 ( t )
i1 ( t ) = 0,1e−400t − 0, 09 − 0, 06e −400t
i1 ( t ) = −0, 09 + 0, 04e−400t A
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+
v
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10. Para o circuito abaixo sabe-se que:
v c1 ( 0 ) = 5V, v c2 ( 0 ) = 6V, v c3 ( 0 ) = 7V, i L1 ( 0 ) = 8A e i L2 ( 0 ) = −8A.
Construa o dual e exato e indique os valores iniciais dos indutores e capacitores resultantes.
20
iL1
20Ω
0,1H
1
40sen 20t V
0,1F
t>0
iL2
0,4F
0,5F
0,4H
+
vc1 2
0,5H
+ 3
vc2
0,2F
+
vc3
-
-
0,2H
-
0,3H
40sen 20t A
Solução:
iL1
1
iL2
2
0,2H
0,1H
20
40 sen 20t A
t>0
i L1 ( 0) = 5A
v C1 ( 0 ) = 8V
+
vc1
0,4F
3
iL3
0,3H
+
vc2
-
i L2 ( 0) = 6A
v C2 ( 0 ) = −8V
Professor Silvio Lobo Rodrigues
-
i L3 ( 0) = 7A
28
0,5F