Universidade Federal de Alagoas
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo
Curso de Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural
Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 2007
2007-2
Professor: Eduardo Nobre Lages
Estática das Partículas
Maceió/AL
Objetivo
Estudo do efeito de sistemas
de forças concorrentes.
TAC
Wcaixa
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
TAB
Resultante de Duas Forças
Concorrentes
Regra do Paralelogramo para Adição de Forças:
Forças:
Duas forças atuando numa partícula podem ser substituídas
por uma única força, chamada resultante, obtida traçando a
diagonal do paralelogramo que tem por lados as duas forças
dadas.
R
A
Q
Observações:
• As forças concorrentes devem apresentar origens em comum;
• As inclinações das forças devem ser obedecidas;
• Os tamanhos dos vetores devem obedecer a uma única escala
de conversão.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
P
Resultante de Duas Forças
Concorrentes
Exemplo:
Exemplo:
4,5 kN
50º
6 kN
Duas forças são aplicadas à cabeça de um parafuso
preso em uma viga. Determine a intensidade, a
direção e o sentido de sua resultante.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
25º
Resultante de Duas Forças
Concorrentes
Exemplo (continuação):
Princípio da Transmissibilidade
Lei do Paralelogramo
≈ 88º
6 kN
25º
4,5 kN
50º
50º
6 kN
Resposta: 6,5 kN
88º
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
25º
4,5 kN
Resultante de Duas Forças
Concorrentes
A
P
R
Q
O mesmo vetor força resultante pode ser
determinado combinando-se os dois vetores
força originais na seqüência pontaponta-a-cauda e,
em seguida, unindo-se a cauda do primeiro
desenhado à ponta do segundo desenhado.
Q
P
R
A ordem da combinação dos vetores originais não altera a
força resultante (a soma de vetores é comutativa).
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Regra do Triângulo
Triângulo::
Da lei do paralelogramo é possível
deduzir um outro método para se
determinar a força resultante.
Resultante de Mais de Duas
Forças Concorrentes
A princípio é possível encontrar a força resultante
aplicando-se sucessivamente a lei do paralelogramo ou a
regra do triângulo.
Aplicação sucessiva da lei
do paralelogramo:
P
S
A
RPQ
Q
A ordem da combinação dos vetores originais não altera a
força resultante (a soma de vetores é comutativa).
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
R
Resultante de Mais de Duas
Forças Concorrentes
Regra do Polígono:
Polígono:
O vetor força resultante de um sistema de várias forças
concorrentes pode ser determinado como uma extensão da
regra do triângulo, combinando-se os vetores força originais
ponta-a-cauda e, em seguida, unindo-se a cauda
na seqüência pontado primeiro desenhado à ponta do último desenhado.
P
R
S
A
Q
Q
P
A ordem da combinação dos vetores originais não altera a
força resultante (a soma de vetores é comutativa).
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
S
Componentes de uma Força
Nos slides anteriores vimos que um sistema de duas ou mais
forças concorrentes pode ser substituído por uma força
única que gera o mesmo efeito sobre o corpo em que atua.
Essas forças são chamadas de componentes da força
original, e o processo de substituição da original por elas é
denominado decomposição dos componentes da força.
Para cada força existe um número infinito de possíveis
conjuntos de componentes.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Reciprocamente, uma força única pode ser substituída por
duas ou mais forças que, juntas, geram o mesmo efeito
sobre o corpo em que atuam.
Componentes de uma Força
Pensando no processo prático de decomposição de uma
força em duas outras, para o caso plano, duas situações
podem ser propostas:
P
F
O segundo componente é obtido
aplicando-se a regra do triângulo
unindo-se a ponta do componente
conhecido à ponta da força original.
Q
P
F
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
1) Um dos dois componentes, P, é conhecido
Componentes de uma Força
2) A linha de ação de cada componente é conhecida
A intensidade e o sentido dos componentes são obtidos
aplicando-se a lei do paralelogramo traçando-se retas, a
partir da ponta da força original, paralelas às linhas de ação
dadas.
P
F
Q
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
F
Identidades Trigonométricas
para Soluções Analíticas
Teorema angular de Tales:
b
γ
α
Lei dos senos:
a
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
Lei dos coco-senos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
c β
α + β + γ = 180o
Identidades Trigonométricas
para Soluções Analíticas
Regra do Triângulo
Exemplo Anterior:
Anterior:
4,5 kN
25º
4,5 kN
6 kN
50º
25º
θ
Lei dos coco-senos:
50º
6 kN
α
R
R 2 = 4,52 + 6 2 − 2 ⋅ 4,5 ⋅ 6 ⋅ cos 75o
⇒ R = 6,502 kN
Lei dos senos:
Como
sin 75o sin α
=
⇒ α = 41,954o
R
4,5
50o + α + θ = 180o ⇒ θ = 88,046o
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
50º
Componentes Cartesianos
de uma Força
Anteriormente foram apresentados métodos gráficos (lei
do paralelogramo, regra do triângulo e regra do polígono),
assim como um método analítico (derivado da regra do
triângulo), para composição de forças concorrentes.
O método analítico,
analítico derivado da regra do triângulo, está
limitado à composição de duas forças concorrentes. Para o
caso de mais forças é preciso aplicar este método analítico
sucessivamente.
O próximo passo será definir um método analítico
prático que possa trabalhar um sistema com uma
quantidade qualquer de forças concorrentes.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Os métodos gráficos,
gráficos a exemplo da regra do polígono, podem
ser aplicados na determinação da força resultante de um
sistema de forças concorrentes, porém incorpora ao cálculo
imprecisões inerentes ao processo de manipulação gráfica.
Componentes Cartesianos
de uma Força
P
F
Q
Estabelecendo direções de decomposição perpendiculares, o
paralelogramo se transforma num retângulo, o que leva a
expressões analíticas simples para os componentes da força
(componentes
componentes cartesianos ou retangulares
retangulares).
y
r
Fy
O
r
F
θ
r
Fx
x
r r r
F = Fx + Fy
r
Fx = Fx ˆi Fx = F cos θ
r
Fy = Fy ˆj Fy = F sin θ
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Anteriormente foi discutido o conceito
de componentes de uma força,
força em
particular, quando se estabelecem, no
caso plano, duas direções de
decomposição, tendo como suporte a lei
do paralelogramo.
Adição de Forças pela
Soma dos Componentes
Independentemente das direções de decomposição, os
componentes da força resultante de um conjunto de forças
concorrentes podem ser determinados através das somas
dos componentes das forças envolvidas.
envolvidas
y
y
r
P
S y ĵ
Py ĵ
Px î
x
r r r r
R = P+Q+S
x
S x î
r
Q
(
) (
Qx î
Q y ĵ
) (
)
r
R = Px ˆi + Py ˆj + Qx ˆi + Q y ˆj + S x ˆi + S y ˆj
r
R = (Px + Qx + S x )ˆi + (Py + Q y + S y )ˆj
Rx
Ry
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
r
S
Adição de Forças pela
Soma dos Componentes
Exemplo:
Exemplo:
210 cm
12
702 N
5
A
B
53º
450 N
Sabendo que a tração na haste AC vale 638 N, determine
a resultante das três forças exercidas no ponto A da
viga AB.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
200 cm
C
Adição de Forças pela
Soma dos Componentes
Exemplo (continuação):
y
638 N
702 N
53º
x
450 N
Rx = 638 ⋅ cos 43,6o + 702 ⋅ cos 202,6o + 450 ⋅ cos 307 o
Rx = 84,7 N
R y = 638 ⋅ sin 43,6o + 702 ⋅ sin 202,6o + 450 ⋅ sin 307 o
R y = −189,2 N
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
5
arctan  = 22,6 o
 12 
A
 200 
o
arctan
 = 43,6
 210 
Adição de Forças pela
Soma dos Componentes
Exemplo (continuação):
y
A
84,7 N
x
189,2 N
R = Rx2 + Ry2
207,3 N
⇒ R = 207,3 N
 Ry 
θ = arctan 
 Rx 
⇒ θ = −65,9o
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
65,9º
Equilíbrio de uma Partícula
Quando a força resultante equivalente de TODAS as forças
concorrentes que atuam numa partícula é igual a zero, a
partícula está em equilíbrio.
F4 = 1800 N
Polígono de forças
Equilíbrio
Polígono fechado
F3 = 900 N
F2 = 779,4 N
Algebricamente o equilíbrior corresponde a
r
R =0
que em termos dos componentes retangulares pode ser
expresso como
Rx = ∑ Fx = 0
R y = ∑ Fy = 0
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
A
F1 = 1350 N
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
A maioria dos problemas que tratam do equilíbrio de
uma partícula se enquadra em duas categorias:
• Imposição:
Imposição: quando algumas das forças que atuam na
partícula são desconhecidas e se deseja saber quem
são essas forças desconhecidas que garantem a
condição de equilíbrio.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
• Verificação:
Verificação: quando todas as forças que atuam na
partícula são conhecidas e se deseja saber se a condição de
equilíbrio é ou não atendida.
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
Alguns problemas podem ser estabelecidos:
• Quão resistentes devem ser os cabos?
• Quão resistentes devem ser os fixadores das roldanas?
• Quão fortes devem ser os operários?
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Para identificação da
situação física real do
problema de equilíbrio
faz-se um esboço
conhecido como
diagrama espacial.
Para os problemas que envolvem o equilíbrio de
uma partícula, escolhe-se uma partícula
SIGNIFICATIVA e traça-se um diagrama
separado, denominado de diagrama de corpo
livre, mostrando essa partícula e todas as forças
que atuam sobre ela.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
B
C
30º
50º
TAB
α
TAB
TAC
TAC
TAB
TAB
TAC
THE
THD
TAC
50º
A
30º
Wcaixa
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
θ
TChC
TChB
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como
mostra a figura. Visando a especificação dos trechos de
cabo AC e BC, determine as trações nos mesmos.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Exemplo:
Exemplo:
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
Exemplo (continuação):
Diagrama de Corpo Livre
 36 
arctan  = 36,9o
 48 
C
 60 
arctan  = 43,6o
 63 
2700 N
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
TBC
TAC
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
y
Exemplo (continuação):
43,6 o
36,9o
C
x
2700 N
Rx = 0 ∴TBC cos 43,6o + TAC cos143,1o + 2700 cos 270o = 0
R y = 0 ∴ TBC sin 43,6o + TAC sin 143,1o + 2700 sin 270o = 0
0,724 ⋅ TBC − 0,800 ⋅ TAC = 0
TAC = 1981,8 N
0,690 ⋅ TBC + 0,600 ⋅ TAC = 2700
TBC = 2189,8 N
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Imposição do Equilíbrio
TBC
TAC
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de uma Partícula
Exercício
Exercício::
3,2 m
4,2 m
γAÇO =77 kN/m3
L=40cm e=20cm
O outro trecho de cabo deverá ser fixado em algum
ponto na saliência da parede esquerda.
Defina a posição do gancho à esquerda que levará
ao menor custo com os dois trechos de cabo.
Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL
Para sustentar a obra afastada
4,0 m da parede direita, será
empregado um arranjo de dois
trechos de cabos, onde um dos
trechos será fixado na horizontal
num gancho pré-existente.
4,0 m
2,8 m
No salão Funanestru, utilizado
para exposições de artes
suspensas, você irá apresentar
sua grande obra (bloco prismático
de seção hexagonal).
1,2 m