EA616B – Análise Linear de Sistemas - FEEC - 2s2014 - Prof.: Ricardo
PR2 (13.11.2014)
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RA: . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Obs.: Resolva as questões nas folhas de papel almaço e copie o resultado no espaço apropriado. Use três algarismos significativos. Números complexos devem ser representados
na forma polar, com ângulo em radianos.
1a Questão: Determine a solução forçada (regime permanente) para a
entrada x(t) = cos2 (t) do sistema representado pela função de transferência
H(s) =
s2
s + 28
+ 5s + 2
Solução:
x=
cos(2t) + 1
1 1
exp(j2t) + exp(−j2t)
= +
2
2 4
1 1
= + cos(2t)
2 2
1
1
yf (t) = |H(j0)| + |H(j2)| cos(2t + ∠H(j2))
2
2
= 7 + 1.376 cos(2t − 1.696) = 7 + 1.376 cos(2t − 97.224o )
1
2
3
4
5
1
H(j2) exp(j2t) + H(−j2) exp(−j2t)
yf (t) = 7 +
4
= 7 + (−0.346 − 2.730) exp(j2t) + (−0.346 + 2.730) exp(−j2t)
6
2a Questão: a) Determine os quatro pontos de equilı́brio do sistema
8
v̇1 =
1
1
1 2 1 2
v1 − v2 , v̇2 = v12 + v22 − 4
2
2
2
2
7
9
10
b) Determine os autovalores do sistema linearizado em torno de um dos
pontos de equilı́brio
Solução:
√
√
(2, 2) , (2, −2) , (−2, 2) , (−2, −2) ⇒ 2 ± 2j , ± 8 , ± 8 , −2 ± 2j
3a Questão: (a) Determine a equação diferencial (usando o operador p) do sistema
 
0
v̇ = Av + 0 x , y = 1 2 3 v + 5x
1
sendo
(p3 + 2p2 + 3p + 4)(pI − A)−1

p2 + 2p + 3
p+2
1
=
−4
p(p + 2) p 
−4p
−3p − 4 p2

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2
(b) Determine a resposta persistente (forçada) para a entrada u(t)
Solução:
(a) D(p) = (p3 + 2p2 + 3p + 4) , N (p) = 5p3 + 13p2 + 17p + 21 , (b) yF (t) = H(0)u(t) = (21/4)u(t)
4a Questão: Considere o sistema (A, b, c, d) e a transformação de similaridade v = T v̂ dados por
v̇ = Av + bx
y = cv + dx


 

0
0
1
0
0
1
0
, A= 0
0
1  , b = 0 , c = 1 2 3 , d = 0 , T = 1 0 0
0 1 0
1
−4 −3 −2

(a) Determine a equação diferencial em p do sistema original
(b) Determine a equação diferencial em p do sistema transformado
Solução:
D(p) = p3 + 2p + 3p + 4 , N (p) = 3p2 + 2p + 1
5a Questão: Complete os desenhos abaixo para que ambos representem o sistema da Questão 3
5
x
+
R
−1
+
+
+
3
2
1
v3
R
v2
R
2
3
+
+
y
3
4
v1
+
v1
R
+
2
1
4
2
R
v2
−1
R
+
v3
+
y
5
3
x
6a Questão: Determine a matriz de estado A do sistema abaixo e uma matriz Q da transformação
que diagonaliza a matriz A
14
8
+
R
+
3
1
7
R
−1
R
+
+
7
5
y
Solução:




0 0 −8
2 4 8
A = 1 0 −14 , Q = 3 5 6
0 1 −7
1 1 1
x
7a Questão: Determine exp(At) para
A=
1 −2
2 1
Solução:
cos(2t) −sen(2t)
exp(t)
sen(2t) cos(2t)
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8a Questão: Determine cos(A) com
0 1
A=
0 π
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3
Solução:
cos(λ) = ρ0 +λρ1 ,
1 −2/π
ρ0 = 1, ρ1 = −2/π, cos(A) =
0 −1
9a Questão: Determine um sistema linear homogêneo, com matrizes reais, e as condições iniciais,
na forma
ṽ˙ = Ãṽ , ṽ(0) = ṽ0 , y = c̃ṽ
cuja solução seja a mesma do sistema
v̇ = v + 2x , y = 3v + 4x , v(0) = 5 , x(t) = t cos(t)
Solução:

1 2 0 0
0 0 1 1

à = 
0 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −1

0
0

1
 ,
1
0
 
5
0
 

ṽ(0) = 
0 ,
1
0
c̃ = 3 4 0 0 0
10a Questão: Determine a resposta ao impulso (condições iniciais nulas) do sistema linear invariante
no tempo dado por
4 −4
1
v̇ =
v+
x
1 0
0
y= 1 1 v+ 1 x
Solução:
H(s) =
1
1
s2 − 3s + 5
=1+
+3
, h(t) = δ(t) + (1 + 3t) exp(2t)u(t)
(s − 2)2
s−2
(s − 2)2