EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ESTADO GERAL DE TENSÕES
ESTADO PLANO DE
TENSÕES
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ESTADO PLANO DE TENSÕES
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ESTADO PLANO DE TENSÕES
σ x τ xy 
τ

 yx σ y 
onde τxy= τyx para equilíbrio estático
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EXEMPLO
Transformações de Coordenadas
σ x' =
σ y' =
σ x +σ y
2
σ x +σ y
+
−
σ x −σ y
2
σ x −σ y
2
2
= σ x + σ y − σ x'
cos 2θ + τ xy sin 2θ
Para o estado de tensão apresentado determine a tensão normal e
cisalhante para uma face que está girada 30o no sentido antihorário.
y
cos 2θ − τ xy sin 2θ
y’
10 MPa
y
x’
20 MPa
A
x
30o
A
x
10 MPa
τ x' y' = −
σ x −σ y
2
sin 2θ + τ xy cos 2θ
1
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EXEMPLO
EXEMPLO
Solução:
Solução:
Tensões principais:
Tensões principais:
y
y’
σ x' =
σ x' =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
τ x' y' = −
20 + (− 10 ) 20 − (− 10 )
+
cos 2 30 o + (− 10 ) sin 2 30 o
2
2
( )
( )
σ x −σ y
2
sin 2θ + τ xy cos 2θ
x’
3,84 MPa
20 − (− 10 )
sin 2 30 o +
2
+ (− 10 ) cos 2 30 o
( )
τ x' y' = −
A
( )
σx’ = 3,84 MPa
x
17,99 MPa
τ x' y' = - 17,99 MPa
EM423
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
DIREÇÕES PRINCIPAIS, TENSÕES PRINCIPAIS
Resistência dos Materiais
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
DIREÇÕES PRINCIPAIS, TENSÕES PRINCIPAIS
O ângulo θp define as direções principais onde as únicas tensões são
As tensões normais (σx’ e σy’) e a tensão cisalhante (τx’y’) varia
tensões normais. Estas tensões são chamadas tensões principais e
suavemente com respeito ao ângulo de rotação θ, conforme
são encontradas a partir das tensões originais (expressas nas
as equações de transformação de coordenada.
direções x,y,z) por:
tan 2θ p =
2τ xy
σ x −σ y
σ 1 ,2 =
EM423
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
DIREÇÕES DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE
σ x +σ y
2
2
 σ x −σ y 
2
± 
 + τ xy
 2 
Resistência dos Materiais
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DIREÇÕES DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE
Outro ângulo importante (θs) é onde a tensão cisalhante
máxima acontece:
2
 σ x −σ y 
σ −σ 2
 + τ xy2 = 1
2
2


τ máx = 
tan 2θ s = −
σ1 −σ 2
2τ xy
θ s = θ p ± 45 o
2
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CÍRCULO DE MOHR
Introduzido por Otto Mohr em 1882, o Círculo de Mohr
ilustra as tensões principais e as transformações de tensão
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Derivação do Círculo de Mohr
Para estabelecer o Círculo de Mohr, nós recordamos as
fórmulas de transformação de tensão,
por meio de um formato gráfico,
σ x' −
As duas tensões principais são
mostradas em vermelho, e a
máxima tensão cisalhante é
τ x' y' = −
Derivação do Círculo de Mohr
2
=
σ x −σ y
2
cos 2θ + τ xy sen 2θ
σ x −σ y
sen2θ + τ xy cos 2θ
2
Usando uma relação trigonométrica básica (cos2θp + sin2θp = 1)
combinando as duas equações temos,
2
mostrada em amarelo.
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σ x +σ y
σ +σ y 

 σ −σ y
 σ x ' − x
 + τ x2' y ' =  x
2


 2
2

 + τ xy2

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Derivação do Círculo de Mohr
Interpretamos σx e σy como sendo as duas tensões principais,
A equação do círculo agora assume uma forma mais familiar,
e τxy como sendo a tensão cisalhante máxima. Então
podemos definir a tensão média, σavg, e um " raio " R (que
é igual à tensão cisalhante máxima),
σ avg =
σ x +σ y
2
'
x
)
2
− σ avg + τ x2' y' = R 2
2
 σ −σY 
2
R=  X
 + τ xy
2


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Círculo de Mohr (3D)
(σ
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EXEMPLO – Construção do Círculo de Mohr
Para o estado de Tensão abaixo determine:
1) As tensões principais;
2) A tensão máxima de cisalhamento.
y
10 MPa
40 MPa
O
x
50 MPa
3
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EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EXEMPLO
EXEMPLO
Solução:
Solução (cont.):
y
10 MPa
40 MPa
10
Y
10 MPa
40 MPa
Y
x
O
y
10
40
40
40
X
X
50
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EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EXEMPLO
EXEMPLO
Solução (cont.):
Solução (cont.):
y
10 MPa
40 MPa
10
Y
40
Y
40
σ
20
40
- 30 MPa
CF = 50 – 20 = 30 MPa
10 MPa
40 MPa
D
50 MPa
70 MPa
F
y
10
x
O
- 30 MPa
50
τ
50 MPa
τ
σ
20
40
X
Raio =
σ máx
σ mín
50
E
= 50 MPa
402 + 302
= 20 + 50 = 70 MPa
= 20 – 50 = - 30 MPa
τ
σ
40
X
50
50 MPa
70 MPa
F
2θ p
20
x
O
FX = 40 MPa
τ
50 MPa
70 MPa
F
σ
- 30 MPa
x
O
50 MPa
tan(2θ p ) =
FX 40
=
CF 30
2θ p = 51,3o
θ p = 26 ,6 o
τ max = 50 MPa
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EXEMPLO
d
Solução (cont.):
e
σ ' = 20 MPa
b
σ max = 30 MPa
O
τ max = 50 MPa
y
a
O
45o
σ max = 70 MPa
26,6o
O
x
4