Curso de Matemática Aplicada
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Margarete Oliveira Domingues
PGMET/INPE
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Sistema de números reais e complexos
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Conjuntos
Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo uma
característica específica é fundamental em matemática
Exemplo
um conjunto de estações climatológicas,
todas as letras do alfabeto
membros ou elementos — objetos individuais
subconjunto — qualquer parte de um conjunto
conjunto vazio — conjunto sem elementos
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Conjunto de Números Reais
Conjunto dos números inteiros
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Conjunto de Números Reais
Conjunto dos números inteiros
Números Naturais ou inteiros positivos Usados
para contar membros de um conjunto
Inteiros Negativos e zero Permitem soluções de
em que e são
equações tais como
quaisquer números naturais.
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Conjunto de Números Reais
Conjunto dos números inteiros
Números racionais ou frações
Permitem soluções como
a operação de divisão
numerador
denominador
Os números inteiros são um caso particular dos
números racionais, quando
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Conjunto de Números Reais
Números racionais
ser expressos como
Números irracionais Tais como
e são números
que não são racionais, i.e., números que não podem
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Conjunto de Números Reais
Números racionais
Números irracionais
O conjunto de números racionais e irracionais é chamado
de conjunto de números reais.
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Representação decimal
Qualquer número real pode ser expresso na sua
representação decimal, e.g.,
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Representação decimal
No caso dos números racionais a expansão decimal pode
terminar ou se ela não terminar um número ou um grupo
de números passa a se repetir
No caso dos números irracionais tais repetições não
podem ocorrer, e.g.,
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Representação decimal
Para indicar os decimais que serão repetidos algumas
vezes coloca-se pontos sobre os dígitos que estão sendo
repetidos, e.g.,
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Representação decimal
É sempre possível considerar uma expansão de diversas
formas, e.g.,
1.375
1.375000000. . .
1.374999999. . .
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e
O sistema octal utiliza oito dígitos
O sistema binário utiliza dois dígitos
O sistema decimal utiliza dez dígitos
Representação decimal
na base decimal é expresso por
Obs: O número
O sistema hexadecimal utiliza os dígitos e letras
na base binária.
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Representação Geométrica
A representação de números reais como pontos em
uma reta é chamado de eixo real.
Para cada número real existe uma correspondência
com cada ponto dessa reta.
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Representação Geométrica
Conj. Denso — Entre quaisquer dois números
racionais (e irracionais) na reta existe infinitos
números racionais (e irracionais).
Obs.: No sistema de representação numérico das
máquinas computacionais (ponto flutuante) não é
possivel representar um conjunto denso de pontos.
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Axiomas
Lei associativa da multiplicação
Lei comutativa da multiplicação
Lei associativa da adição
Lei comutativa da adição
Lei distributiva
e
Lei de fechamento
, então:
*Se
é chamado identidade com respeito a adição
é chamado identidade com respeito a multiplicação
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Axiomas
Para qualquer existe
. Esse número
é chamado de inverso com respeito a adição e é
.
denotado por
ou .
,
denotado por
Para cada
existe
. Esse número
é chamado de inverso com respeito a multiplicação e é
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Axiomas
Com esse axiomas é possível operar de acordo com
as regras usuais da álgebra.
Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que os
membros satisfazem esses axiomas é chamado de
campo.
Observação: Na aritmética de ponto flutuante a Lei
Associativa não é válida em todos os casos,
i.e.,
no caso geral.
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Desigualdades
é um número não negativo, então
ou
, então
ou
Se não existe a possibilidade
.
.
Se
e são quaisquer números reais, então:
ou
ou
ou
Lei transitiva se
e
, então
se
, então
Se
,e
, então
Se
,e
, então
Se
, que significa que é um número real que pode
ser ou qualquer número menor que .
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O valor absoluto de um número real , denotado por
definido por
ou
ou
Por exemplo,
Propriedades
.
se
ou
se
,é
;
se
Valores absolutos
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expoente e
em que
de um número real
vezes é denotado por
mesmo
O produto de
Expoentes e raízes
por ele
é chamado
é chamado de base.
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Expoentes e raízes
O produto de
de um número real por ele
mesmo vezes é denotado por em que é chamado
expoente e é chamado de base. Propriedades
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Expoentes e raízes
Se
, em que pertence aos inteiros positivos,
é chamado de p–ésima raiz de , e é escrita com
.
Pode haver mais de um número que seja a p–ésima
raiz de .
são inteiros positivos, define–se
e
Se
Por exemplo, desde que
e
existe duas
raizes reais de . É costume se denotar a raiz positiva
por
e a negativa por
.
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Logaritmos
, então existe um único
Se e são positivos e
número real para .
Propriedades
na base ,
Se
, é chamado de logaritmo de
escreve–se como
Na prática duas bases são as mais utilizadas a base
e base natural
, conhecida
como base do sistema Neperiana.
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Conjunto de pontos e intervalos
Um conjunto de pontos (números reais) na reta real é
chamado de conjunto de pontos unidimensionais.
O símbolo representa qualquer número de um
conjunto e é chamado variável.
e são chamados constantes.
Os números
é chamado de intervalo fechado e é
.
denotado por
é chamado de intervalo aberto e é
.
denotado por
Os conjuntos de pontos
são
chamados de intervalos semi–abertos ou
e
.
semi–fechados denotados por
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Conjunto de pontos e intervalos
Exemplo
O conjunto de todas os que representam
,
i.e.,
é representado pelo intervalo aberto
.
representa todos os valores de
O conjunto de
também pode ser representado
. Tal conjunto é chamado intervalo
por
infinito ou ilimitado. Similarmente,
na reta real.
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Enumerabilidade
Conjunto enumerável – seus elementos podem ser
colocados em uma correspondência 1–1 com os
números naturais.
números naturais
números pares
é
Por exemplo, o conjunto de números pares
um conjunto contável pois eles possuem uma
correspondência 1–1 com os números naturais
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Enumerabilidade
Um conjunto é infinito se ele tem uma
correspondência 1–1 com um sub–conjunto dele
mesmo. Um conjunto infinito é contavelmente infinito.
Por exemplo, o conjunto de números racionais é
contavelmente infinito enquanto os racionais não.
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Enumerabilidade
O número de elementos em um conjunto é chamado
de número cardinal.
Um conjunto contavelmente infinito é denotado ter
cardinalidade (letra aleph–null do alfabeto Hebreu)
O conjunto de números reais (ou qualquer outro
conjunto que possa ter correspondência 1–1 com este
conjunto) é dado o número de cardinalidade ,
chamada cardinalidade do continuum.
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Vizinhança
Um conjunto de todos os pontos de tais que
, em que
, é chamado de vizinhança de
um ponto .
O conjunto de todos os pontos de tais que
, em que
é excluído, é chamado
de vizinhança de um ponto sem a fronteira.
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Pontos limites
Os pontos limites, pontos de acumulação ou
agrupamento de um conjunto de números é um
número tal que toda a vizinhança sem fronteira
contenha membros do conjunto.
de
Em outras palavras, para todo
, por menor que
seja, é possível achar um membro do conjunto o
qual não é igual a mas é tal que
.
Considerando valores menores e menores de é
possível verificar-se que deve existir infinitos valores
de .
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Pontos limites
Um conjunto finito não pode ter pontos limites. Um
conjunto infinito pode ou não ter pontos limites.
Um conjunto que contém seus pontos limites é
chamado de conjunto fechado.
Exemplo
O conjunto
O conjunto dos racionais não é fechado. por exemplo
não pertence ao conjunto de números racionais.
é fechado.
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de um conjunto existe um
, o conjunto é dito limitado
,
conjunto limitado — se
, o conjunto é limitado
limite inferior — se
inferiormente.
limite superior —
tal que
número
superiormente
Limitadores
o.
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Limitadores
Mínimo limite superior — Se
é um número tal que
nenhum dos membros do conjunto é maior que ,
mas existe ao menos um membro que ultrapassa
para todo
.
Máximo limite inferior — Se nenhum membro do
conjunto é menor que , mas pelo menos um membro
para todo
.
é menor que
O Teorema de Weistrass–Bolzano estabelece que
todo o conjunto infinito limitado possui pelo menos um
ponto limite.
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N algébricos e transcendentais
que é solução de
número algébrico — Um número
uma equação polinomial
em que
são inteiros e
positivo, chamado grau da equação.
é um inteiro
Um número que não pode ser expresso dessa forma é
chamado número transcendental.
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N algébricos e transcendentais
Exemplo
Números algébricos
Números transcendentais
Casos ainda não definidos
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Conjunto dos n complexos
Como não existe um número real que satisfaça a
equação polinomial
ou equações similares,
os números complexos foram introduzidos. Um
número complexo tem a seguinte forma
são iguais se
e
Dois números complexos
e
.
e somente se
em que e são números reais chamados parte real e
é chamada unidade imaginaria.
imaginária e
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Conjunto dos n complexos
é definido como
é definido como
O complexo conjugado de
.
O valor absoluto ou módulo de
.
corresponde ao número real .
O número
É possível se considerar os números reais como um
.
subconjunto dos números complexos, com
é denotado de
O complexo conjugado de um número
.
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Conjunto dos n complexos
No desenvolvimento de operações algébricas os
números complexos podem ser operados como se
fossem números reais substituindo
.
Do ponto de vista da fundação axiomática dos
números complexos, é desejável tratar um número
complexo como um par ordenado
de números
reais sujeitos a certas regras de operação:
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associado
Tem–se que
em que é o símbolo para
Conjunto dos n complexos
.
Desigualdades não são definidas para números
complexos.
O conjunto dos números complexos obedecem os
axiomas apresentados, então esse conjunto de
números constitui um campo.
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Forma polar
pode ser expresso como um par ordenado
é possível presentear tal número em um plano
conhecido como plano complexo ou diagrama de
Argand.
Se escalas reais são escolhidas em dois eixos
e
(os eixos
mutuamente perpendiculares
e ) é possível localizar qualquer ponto no plano
determinado por essas linhas pelo par ordenado
chamado de coordenadas retangulares do ponto.
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, em que o módulo
,
Forma polar
é chamado de amplitude ou argumento, é o ângulo que a
linha
faz com o eixo positivo de
.
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, em que
conhecida como a forma polar de um número complexo,
em que e são as coordenadas polares.
Propriedades
Para
e
Forma polar
é um número real.
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Forma polar
(
(
diferentes valores para
Disto tem–se que haverá
é um inteiro positivo
Se
O Teorema de Moivre é utilizada para determinar raizes de
números complexos.
.
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Obrigada a todos!
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