Modelação Lagrangeana
Lagrangeano vs Euleriano
ck
ck

uj

t
x j x j
dck


dt x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Se não houvesse difusão
dc k
 ( Fk  Pk )
dt
Malhas vs traçadores
• Os modelos eulerianos usam malhas e
calculam taxas de acumulação em cada célula
como a divergência dos fluxos advectivo e
difusivo, das fontes e dos poços.
• Nos modelos lagrangeanos seguem-se
volumes de fluido, sendo as taxas de
acumulação resultantes das trocas de massa
com o fluido envolvente e das fontes e poços.
Modelos lagrangeanos
• Os modelos lagrangeanos precisam de saber onde está
o volume de controlo, mas não precisam de calcular
fluxos difusivos.
• As fontes e os poços são calculadas exactamente como
nos modelos eulerianos (conhecendo as concentrações
no interior dos volumes).
• Os fluxos difusivos são facilmente calculados num
modelo euleriano se conhecermos a difusividade
porque o gradiente é fácil de calcular.
• Os fluxos difusivos são difíceis de calcular num modelo
lagrangeano porque os gradientes são difíceis de
calcular.
Difusão Turbulenta
Vórtices maiores que os traçadores

Deslocamento aleatório . A
velocidade aleatória é
proporcional à velocidade média.
A trajectória é a dimensão dos
vórtices.
Vórtices menores que os traçadores

Aumento do volume. A taxa de
aumento do volume é
proporcional ao próprio volume
  
  
dV
 uL2  L L2  L3  V 
dt
Descrição do Modelo
Deslocamento dos Traçadores
As coordenadas espaciais são calculadas a partir da
definição de velocidade:

dxi
 ui  xi , t 
dt

Para calcular a velocidade em qualquer ponto do
domínio, é utilizada uma interpolação linear
Ux
Ux+dx
x 1
x 2
U médio
U x  x2  U x  x  x1

x1  x2
Modelo de Dispersão Lagrangeano
Tridimensional
•
•
•
•
•
Objectivos
Enquadramento
Descrição do Modelo
Validação do Modelo
Aplicações a Casos
Reais
• Conclusões
• Trabalho Futuro
Difusão 3D
+
Velocidade nula
•400.000 traçadores emitidos
•16h30m depois da emissão
Difusão vertical
+
perfil de velocidades linear oscilatório
160.000 segundos
depois da emissão
Validação Qualitativa
por comparação com os resultados obtidos por Allen,
1982
t'=4
Concentração/Concentração Máxima
1.00
Modelo
0.75
0.50
0.25
0.00
60
65
70
75
80
x/h
Allen, 1982
85
90
95
Descrição do Modelo
Propriedades dum Traçador
•
•
•
•
•
•
coordenadas espaciais (x,y,z);
velocidade aleatória horizontal/vertical;
Comprimento do deslocamento aleatório;
velocidade de sedimentação (ou de ascenção);
Massa de cada componente;
volume.
Aplicações a Casos Reais
•
•
•
•
Atlântico Nordeste
Tejo
Carlingford Lough (Irlanda)
Santos (Brasil)
TEJO
centro de massa dos traçadores
Animação
TEJO
concentração de coliformes
Caudal total 1m3/s
Concentração inicial 107
coliformes fecais/ 100 ml
Animação
Atlântico Nordeste
Upwelling ao longo do talude
Animação
Atlântico Nordeste
Upwelling ao longo do talude
Atlântico Nordeste
Produtividade Primária
Animação
The warning system
How to use model results for
assessing fecal pollution in a
Bathing Water?
Monitoring boxes
Results for Santo Amaro de Oeiras
Relative contribution of each stream
Modelação lagrangeana
• Vantagens:
– Permite visualizar o escoamento
– Não está sujeita a difusão numérica. É adequada
para manchas pequenas comparadas com a
malha.
• Inconvenientes:
– Cálculo da difusão. Permite o cálculo da
sobreposição de traçadores. Minimiza-se
calculando a concentração na malha euleriana.