Estatística
Aula 07
Medidas de posição
Prof. Diovani Milhorim
Medidas de posição
O estudo que fizemos sobre distribuições de
freqüência, até agora, permite-nos descrever,
de modo geral, os grupos de valores que uma
variável pode assumir. Dessa forma, podemos
localizar a maior concentração de valores de
uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza
no início, no meio ou no final, ou, ainda, e há
uma distribuição por igual.
Medidas de posição

Para ressaltar as tendências características de cada
distribuição necessitamos de conceitos que se
expressem através de números, que permitam
traduzir essas tendências. Esses conceitos são
denominados elementos típicos da distribuição e
são:




medidas de posição;
medidas de variabilidade ou dispersão;
medidas de assimetria;
medidas de curtose.
Medidas de posição

As medidas de posição mais importantes são
as medidas de tendência central, que
recebem tal denominação pelo fato de os da
dos observados tenderem, em geral, a se
agrupara em torno dos valores centrais.
Dentre as medidas de tendência central,
destacamos:



a média aritmética;
a mediana;
a moda.
Medidas de posição
As outras medidas de posição
separatrizes, que englobam:



a própria mediana;
os quartis;
os percentis.
são
as
Medidas de posição
Média aritmética
Média aritmética é o quociente da divisão da
soma dos valores da variável pelo número
deles:
Sendo:
x – a média aritmética
xi – os valores da variável
n – o número de valores.
Medidas de posição
Média aritmética
Dados não agrupados:
Quando desejamos conhecer a média dos dados nãogrupados, determinamos a média aritmética simples.
Medidas de posição
Média aritmética
Dados não agrupados:
Exemplo:
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para
produção média da semana:

x = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 / 7 98/7
x = 14 litros
Medidas de posição
Média aritmética
Dados não agrupados:
Às vezes, a média pode ser um número diferente de
todos os da série de dados que ela representa. Neste
caso, costumamos dizer que a média não tem
existência concreta.
No exemplo anterior o valor 14 não faz parte do rol
original de dados.
Medidas de posição
Média aritmética
Desvios em relação à média:
Denominamos desvio em ralação à média a diferença
entre cada elemento de um conjunto de valores e a
média aritmética.
Designando o desvio por di, temos:
di = xi - x
Medidas de posição
Média aritmética
Desvios em relação à média:

Para o exemplo dado, temos:
d1 = x1 – x
d2 = x2 – x
d3 = x3 – x
d4 = x4 – x
d5 = x5 – x
d6 = x6 – x
d7 = x7 – x
d1 = 10 – 14
d2 = 14 – 14
d3 = 13 – 14
d4 = 15 – 14
d5 = 16 – 14
d6 = 18 – 14
d7 = 12 – 14
-4
0
-1
1
2
4
-2
Medidas de posição
Média aritmética
Propriedades da média:
1ª Propriedade:
A soma algébrica dos desvios tomados em relação à
média é nula.

Medidas de posição
Média aritmética
Propriedades da média:
1ª Propriedade:
No exemplo anterior temos:

7
∑ di = (-4) + 0 + (-1) + 1 + 2 + 4 + (-2) = (-7) + 7 = 0
i-1
Medidas de posição
Média aritmética
Propriedades da média:

2ª Propriedade:
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou
diminuída) dessa constante.
Medidas de posição
Média aritmética
Propriedades da média:

2ª Propriedade:
Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado
temos:
y1 = 12, y2 =16, y3 = 15, y4 = 17, y5 = 18, y6 = 20, y7 = 14
7
∑ yi = 12 + 16 + 15 + 17 + 18 + 20 + 14 = 112
i=1
Como n = 7, vem:
y = 112 / 7 = 16
16 = 14 + 2
Medidas de posição
Média aritmética
Propriedades da média:

3ª Propriedade:
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável
por uma constante (c). a média do conjunto fica multiplicada (ou
dividida) por essa constante.
Medidas de posição
Média aritmética
Propriedades da média:

3ª Propriedade:
Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado,
obtemos:
y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, y4 = 45, y5 = 48, y6 = 54 e y7 = 36
7
∑ yi = 30 + 42 + 39 + 45 + 48 + 54 + 36 = 294
i=1
n = 7, temos:
y =294 / 7 = 42
42 = 14 . 3
y=x.3
Medidas de posição
Média aritmética
Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos,
tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:
Medidas de posição
Média aritmética
Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):
Neste caso, como as freqüências são números indicadores da
intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores
de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética
ponderada, dada pela fórmula:
Medidas de posição
Média aritmética
Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na
tabela, uma coluna correspondente aos produtos xifi;
Medidas de posição
Média aritmética
Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):
Na tabela anterior:
Temos, então: ∑ xifi = 78
Logo:
Isto é:
x = ∑ xifi / ∑ fi
e
∑ fi = 34
x = 78 / 34 = 2,29
x = 2,3 meninos
x = 2,3
Medidas de posição
Média aritmética
Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):
Aplicação prática:
1) Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da
distribuição (calcule a média)
Medidas de posição
Média aritmética
Com intervalos de classe:
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em
um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto
médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da
fórmula:
x = ∑ xifi / ∑ fi,
onde xi é o ponto médio da classe.
Medidas de posição
Média aritmética
Com intervalos de classe:
Exemplo: Consideremos a distribuição:
Medidas de posição
Média aritmética
Com intervalos de classe:
Exemplo: na tabela anterior
Como, neste caso:
∑ xifi = 6.440,
então: x = 6.440 / 40
∑ fi = 40
x = 161
e
x = ∑ xifi / ∑ fi,
x = 161 cm
Medidas de posição
Média aritmética
Com intervalos de classe:
Exercício:
1) Complete o esquema e calcule a média aritmética da
distribuição de freqüência:
Custos(R$)│ 450 ├ 550 ├ 650 ├ 750 ├ 850 ├ 950 ├ 1.050 ├ 1.150
fi
│
8
10
11
16
13
5
1
Medidas de posição
Média aritmética
Emprego da Média:
A média é utilizada quando:
a)
desejamos obter a medida de posição que possui a maior
estabilidade;
a)
houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.