Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
Renata Cristina Alves Matni
O ensino de problemas com as 4 operações por meio
de atividades
Belém/PA
2014
Renata Cristina Alves Matni
O ensino de problemas com as 4 operações por meio de
atividades
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do título
de Licenciada em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Orientador: Profº. Dr. Pedro Franco de Sá
Belém/PA
2014
Dados Internacionais de Catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Matni, Renata Cristina Alves
O ensino de problemas com as 4 operações por meio de atividades. / Renata Cristina
Alves Matni. Belém, 2014.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado
do Pará, Belém, 2014.
Orientação de: Pedro Franco de Sá
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Aritmética – Estudo e ensino. I. Sá, Pedro Franco de
(Orientador). II. Título.
CDD: 21 ed. 510.7
Renata Cristina Alves Matni
O ensino de problemas com as 4 operações por meio de
atividades
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do título
de Licenciada em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Orientador: Profº. Dr. Pedro Franco de Sá
Data de Aprovação: 30/01/2014
Banca Examinadora:
______________________________ – Orientador
Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Doutor em Educação
Universidade do Estado do Pará
______________________________
Profª. Rosineide de Sousa Jucá
Mscª. Em Educação
Universidade do Estado do Pará
______________________________
Profª Benedita das Graças Sardinha da Silva
Especialista em Matemática do Ensino Básico
Universidade Federal do Pará
Aos meus amores, com carinho:
Milton Monte (in memorian) e Mary
Monte, meus avós, minha base.
Maria da Graça Alves Matni, minha
mãe, minha vida.
Erick Matni, meu irmão e amigo.
E as minhas tias, primos e meus
amigos que sempre me apoiaram
nos momentos mais difíceis.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por ter me dado forças para continuar em meio às
dificuldades.
Ao homem que me acolheu de braços abertos, o pai que nunca tive que
me educou e me mostrou o caminho certo a seguir, pois sei que mesmo em outro
plano ele está me acompanhando nos momentos de tristeza e nos de alegria, como
este, meu vovô, Milton de Aguiar Monte (in memorian) e a minha vovó Mary Matni
Monte, minha segunda mãe, um de meus alicerces, que sempre ajudou em meus
estudos, me apoiou e nunca deixou desistir de meus sonhos, principalmente o de ter
ingressado no curso hoje tanto amo, a eles sempre serei grata e os amarei.
A minha mãe, meu maior alicerce, Maria da Graça Alves Matni, que
sempre esteve ao meu lado, me incentivando, querendo o melhor para mim e que
sempre pegou em minha mão quando eu achava que tudo estava perdido. E ao meu
irmão e conselheiro, Erick Luiz Alves Matni que também sempre me apoiou e torceu
pelas minhas vitórias, amo vocês!
A minha tia e madrinha, Mary Cristine Matni Monte, minha terceira mãe,
minha tia Mary Catarine Matni Monte e ao meu tio Maércio Matni Monte, por
ajudarem em meus estudos, pelo incentivo, carinho, proteção e conselhos.
Aos meus primos Márcio Augusto Monte Bezerra e Camila Andresa Monte
Bezerra pelo carinho, incentivo e por se preocuparem comigo.
Aos meus amigos, em especial e amiga Jéssica Fernandes, Anderson
Fernandes da Cunha, Tayssa Suellen, Sammya Sué da Conceição Barata Silva,
Erick Cristian Tourão Oliveira, Mariza Figueiredo, Sérgio Vinicius Quemel Silva e
Yasmin Lisboa que sempre me acompanharam nessa jornada e nos momentos em
que mais precisei, com palavras incentivadoras. Uma amizade que independe da
distância.
A minha melhor amiga Gisele Fernandes e ao meu melhor amigo Felipe
Yukihiro Lopes Watanabe, pela sinceridade, carinho, incentivo e apoio independente
da hora e distância. E ao povo espiritual de luz que me acompanha.
A tia Sara que sempre acreditou em mim e me cobrava o TCC pelos
corredores da UEPA. E aos meus professores pelas orientações acadêmicas.
Ao professor Pedro Franco de Sá pela orientação não apenas neste
trabalho, mas em outros, pela paciência, conselhos e amizade.
É preciso que o professor se esforce no
sentido de dar um caráter concreto aos
problemas que apresenta aos estudantes.
Huisman
RESUMO
MATNI, Renata Cristina Alves. O ensino de problemas com as 4 operações por
meio de atividades. 2014. 111f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa experimental sobre o ensino
de problemas cujo objetivo foi avaliar os efeitos de uma sequência didática no
ensino de resolução de problemas envolvendo as quatro operações com
números naturais por meio de atividades. Para viabilizar esse estudo foi aplicada
uma sequência didática com destaque na utilização de jogos e na tradução dos
dados de problemas para linguagem simbólica, junto a 32 alunos do 6º ano de uma
escola pública de Belém do Pará. Foi utilizado um questionário socioeconômico, um
pré-teste e dois pós-testes correspondentes como instrumentos de coleta de dados.
A pesquisa decompôs-se em quatro etapas distintas, a primeira foi o levantamento
de informações com análise do questionário e pré-teste geral que se subdividiu em:
pré-teste geral – problemas aditivos e pré-teste geral – problemas multiplicativos,
seguida das etapas de construção e aplicação de uma atividade usando os jogos e
das etapas comparativas do pré-teste geral e pós-teste aditivo, multiplicativo. O
diagnóstico dos resultados fundamentou-se na categorização de problemas
aritméticos e algébricos e critérios de análise proposto por teóricos renomados. Os
resultados indicaram que o ensino dos problemas verbais por meio de atividades é
um caminho que pode amenizar as dificuldades dos discentes e que o desempenho
dos mesmos pode ser aprimorado se as atividades dessa sequência didática forem
associadas a atividades para o domínio da tabuada e dos procedimentos de cálculo.
Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino por atividades. Ensino de Problemas
envolvendo as 4 operações.
ABSTRACT
MATNI, Renata Cristina Alves. O ensino de problemas com as 4 operações por
meio de atividades. 2014. 111f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
This work presents the results of an experimental research on teaching problems
whose objective was evaluate the effects of an instructional sequence for teaching
problem solving involving the four operations with natural numbers through activities.
To achieve this study applied a teaching sequence with emphasis on the use of
games and data translation problems for symbolic language, along with 32 students
of the 6th year in a public school in Belém of Pará. A socioeconomic questionnaire, a
pre-test and post-test two correspondents as instruments of data collection was
used. The search decomposed into four distinct stages, the first was a survey of
information with analysis of the questionnaire and general pre-test that was
subdivided into: general pretest - additives and general problems pretest multiplicative problems, followed the steps of building and implementing an activity
using games and comparative stages of the overall pre-test and post-test additive,
multiplicative. The diagnosis of the results was based on the categorization of
arithmetic and algebraic problems and analysis criteria proposed by renowned
theorists. The results indicated that the teaching of verbal problems through activities
is one way that can ease the difficulties of students and their performance can be
enhanced if the instructional sequence activities that are associated with activities for
mastery of math facts and procedures calculation.
Keywords: Mathematics Education. By teaching activities. Teaching Problems
involving the 4 operations.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
IMAGEM 1: Problema de multiplicação .................................................................... 65
IMAGEM 2: Problema de divisão ............................................................................. 65
IMAGEM 3: Erro de escolha da operação na 2ª questão do teste multiplicativo ....... 72
IMAGEM 4: Erro de cálculo na 1ª questão do teste multiplicativo ............................ 72
IMAGEM 5: Erro de indeterminado na 4ª questão do teste multiplicativo ................ 73
IMAGEM 6: Erro na montagem da sentença na 4ª questão do teste aditivo ............ 73
IMAGEM 7: Erro de cálculo na 9ª questão do teste aditivo ...................................... 78
IMAGEM 8: Erro de cálculo na 2ª questão do teste multiplicativo ............................ 85
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1: Faixa etária dos alunos ....................................................................... 43
GRÁFICO 2: Escola em que estudou o 5º ano ........................................................ 44
GRÁFICO 3: Dependente ou repetente ................................................................... 45
GRÁFICO 4: Costuma fazer compras ...................................................................... 46
GRÁFICO 5: Escolaridade do responsável masculino ............................................. 47
GRÁFICO 6: Escolaridade do responsável feminino ................................................ 48
GRÁFICO 7: Profissão do responsável masculino ................................................... 49
GRÁFICO 8: Profissão do responsável feminino ..................................................... 50
GRÁFICO 9: Dificuldades em aprender matemática ................................................ 51
GRÁFICO 10: Auxílio nas tarefas de matemática em casa ...................................... 52
GRÁFICO 11: Como geralmente são as notas de matemática ................................ 53
GRÁFICO 12: Gosto pela matemática ..................................................................... 54
GRÁFICO 13: Ocorrência de distração nas aulas de matemática ........................... 54
GRÁFICO 14: Como acontece a maioria das aulas de matemática da escola ........ 55
GRÁFICO 15: Maneira que o professor (a) de matemática costuma ensinar para o
aluno entender melhor ............................................................................................. 56
GRÁFICO 16: Operações que o aluno tem mais dificuldade em efetuar ................. 57
GRÁFICO 17: Domínio da tabuada .......................................................................... 58
GRÁFICO 18: Costume de estudar matemática ...................................................... 59
GRÁFICO 19: Resultado do pré-teste geral – problemas aditivos ........................... 61
GRÁFICO 20: Resultado do desempenho geral – problemas aditivos ..................... 62
GRÁFICO 21: Resultado do pré-teste geral – problemas multiplicativos ................. 64
GRÁFICO 22: Resultado do desempenho geral – problemas multiplicativos ........... 66
GRÁFICO 23: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral –
problemas aditivos e pós-teste aditivo ...................................................................... 68
GRÁFICO 24: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral –
problemas multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................. 70
GRÁFICO 25: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral
– problemas aditivos e pós-teste aditivo .................................................................. 74
GRÁFICO 26: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e
pós-teste aditivo ....................................................................................................... 76
GRÁFICO 27: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e
pós-teste aditivo ....................................................................................................... 78
GRÁFICO 28: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral
– problemas multiplicativos e pós-teste multiplicativo .............................................. 80
GRÁFICO 29: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas
multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................................... 82
GRÁFICO 30: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos
e pós-teste multiplicativo .......................................................................................... 84
LISTA DE TABELAS
TABELA 1: Resultado do pré-teste geral – problemas aditivos ................................ 60
TABELA 2: Resultado do pré-teste geral – problemas multiplicativos ...................... 63
TABELA 3: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas
aditivos e pós-teste aditivo ........................................................................................ 67
TABELA 4: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas
multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................................... 69
TABELA 5: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral –
problemas aditivos e pós-teste aditivo ..................................................................... 74
TABELA 6: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e pósteste aditivo .............................................................................................................. 76
TABELA 7: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e pósteste aditivo .............................................................................................................. 77
TABELA 8: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral –
problemas multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................. 79
TABELA 9: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas multiplicativos
e pós-teste multiplicativo .......................................................................................... 82
TABELA 10: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos
e pós-teste multiplicativo .......................................................................................... 83
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1: Faixa etária .......................................................................................... 43
QUADRO 2: Escola em que estudou o 5º ano ......................................................... 44
QUADRO 3: Dependente ou repetente .................................................................... 45
QUADRO 4: Costuma fazer compras ....................................................................... 46
QUADRO 5: Escolaridade do responsável masculino .............................................. 47
QUADRO 6: Escolaridade do responsável feminino ................................................ 48
QUADRO 7: Profissão do responsável masculino ................................................... 49
QUADRO 8: Profissão do responsável feminino ...................................................... 50
QUADRO 9: Dificuldades em aprender matemática ................................................ 51
QUADRO 10: Auxílio nas tarefas de matemática em casa ...................................... 52
QUADRO 11: Como geralmente são as notas de matemática ................................. 53
QUADRO 12: Gosto pela matemática ...................................................................... 53
QUADRO 13: Ocorrência de distração nas aulas de matemática ............................ 54
QUADRO 14: Como acontece a maioria das aulas de matemática da escola ......... 55
QUADRO 15: Maneira que o professor (a) de matemática costuma ensinar para o
aluno entender melhor ............................................................................................. 56
QUADRO 16: Operações que o aluno tem mais dificuldade em efetuar .................. 57
QUADRO 17: Domínio da tabuada .......................................................................... 58
QUADRO 18: Costume de estudar matemática ....................................................... 59
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 15
2 ESTUDOS SOBRE OS PROBLEMAS QUE ENVOLVEM AS QUATRO
OPERAÇÕES ....................................................................................................... 17
2.1 Um pouco sobre resolução de problemas e os problemas envolvendo as quatro
operações no campo dos números naturais............................................................. 17
2.2 O que são problemas aritméticos e problemas algébricos? ............................... 24
2.3 Os campos conceituais e alguns estudos sobre problemas verbais - problemas
envolvendo as quatro operações com os números naturais .................................... 29
3 PERCURSO METODOLÓGICO .......................................................................... 35
3.1 Metodologia ........................................................................................................ 35
4 EXPERIMENTO ................................................................................................... 39
4.1 Descrição do Experimento ................................................................................. 40
5 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE .......................................................................... 42
5.1 Sistematização e análise dos dados socioeconômicos ..................................... 43
5.2 Sistematização e análise das informações do pré-teste geral............................ 60
5.3 Sistematização e análise comparativa do pré-teste geral - aditivo e pós-teste
aditivo ...................................................................................................................... 66
5.4 Sistematização e análise comparativa do pré-teste geral - multiplicativo e pósteste multiplicativo ................................................................................................... 69
5.5 Sistematização e análise comparativa das modalidades de acertos e erros ..... 72
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 87
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 88
APÊNDICES ............................................................................................................ 92
APÊNDICE A – Questionário Socioeconômico ........................................................ 93
APÊNDICE B – Questionário (Pré-Teste Geral) ....................................................... 96
APÊNDICE C – Questionário (Pós-Teste Aditivo) .................................................... 99
APÊNDICE D – Questionário (Pós-Teste Multiplicativo) ........................................ 101
APÊNDICE E – Pif-Paf das quatro operações ....................................................... 103
APÊNDICE F – Folha de cartas ............................................................................. 105
15
1 INTRODUÇÃO
O ensino de matemática vem sofrendo criticas de diversas naturezas e
origens. Uma delas é originada dos resultados dos testes de larga escala como a
Prova Brasil e o exame do Programme for International Student Assessment (PISA)
– Programa internacional de Avaliação de Estudantes que indicam uma ampla
dificuldade dos alunos dos anos inciais e finais do ensino fundamental brasileiro em
resolver problemas envolvendo as quatro operações com números naturais. A
pesquisa sobre o ensino dos problemas verbais tem um volume considerável de
trabalhos que procuram determinar os fatores que tornam um problema mais ou
menos difícil para os discentes de diferentes níveis de escolaridade e outros que
visam entender as relações entre aritmética e álgebra e a sua respectiva transição.
Entre esses, podemos citar Sá (2003), Lins e Gimenez (1996 apud SILVA, 2007) e
Coxford (1995 apud ROCHA, 2012).
Os resultados de estudos, como Jucá e Sá (2006), Chaquiam; Sá e
Souza (2002), Fossa e Sá (2008) e Carvalho (2009, 2010 apud LIMA, 2013), sobre o
ensino de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais com números
naturais indicam que há uma expressiva dificuldade por parte dos discentes no
processo de ensino, aprendizagem e avaliação dos problemas em questão, no caso
do conhecimento, tem-se obstáculos principalmente quanto à compreensão e
interpretação dos problemas. A importância da habilidade de resolver tais questões
é inquestionável devido às mesmas surgirem no dia-a-dia das pessoas e em
situações profissionais também. Os problemas verbais quando trabalhados
pedagogicamente na maioria das escolas tendem a ser abordados de maneira que
se inicia com definição seguida de exemplos e exercícios, o que não tem indicado
ser a metodologia mais adequada em virtude do fato da maioria dos alunos
perguntarem ao resolver uma questão qual é a operação a ser realizada, isso é
relatado pelos docentes com muita frequência.
Para ajudar os alunos a superar essas dificuldades, procuramos métodos
diferenciados, deparando-nos assim, com os trabalhos de Polya (1967, 1995), Sá
(2003), entre outros, que nos apresentam alternativas metodológicas para o trabalho
pedagógico com a resolução de problemas envolvendo as quatro operações com
números naturais, sendo que a maioria desses estudos refere-se a turmas do 6º ano
do ensino fundamental. Porém, o professor deve está em constante formação para
16
saber utilizá-las de forma adequada, por conseguinte, poderá ajudar os educandos
na tradução dos dados dos problemas para a linguagem simbólica.
O núcleo desse trabalho é fundamentado na distinção entre problemas
aritméticos e problemas algébricos proposta por Sá (2003), a qual nos conduziu a
seguinte questão: os alunos modelando os problemas envolvendo as quatro
operações com números naturais conseguem melhorar seu desempenho na
resolução desses problemas? Face ao exposto, tivemos como objetivo avaliar os
efeitos de uma sequência didática no ensino de resolução de problemas
envolvendo as quatro operações com números naturais por meio de
atividades.
O presente trabalho está formatado de acordo com as normas de
Condurú e Moreira (2007) e fragmentado em quatro seções, a seguir, apresentamos
um breve resumo sobre cada uma delas:
A Seção I apresenta uma revisão bibliográfica acerca dos problemas
envolvendo as quatro operações.
A Seção II explicita o percurso metodológico desta pesquisa que se
dividiu em quatro etapas distintas: 1ª etapa com a aplicação do pré-teste geral
(quatro operações), 2ª etapa com construção da atividade, 3ª fase com a aplicação
da atividade e 4ª fase com o pós-teste aditivo e multiplicativo. Foram utilizados como
instrumento de coleta de dados questionários contendo problemas relativos a cada
etapa da pesquisa.
A Seção III apresenta a descrição do experimento, as dificuldades
encontradas durante a pesquisa e a execução das etapas metodológicas.
A seção IV expõe a sistematização e análise dos dados obtidos nos
testes, os quais diagnosticamos o desempenho dos alunos e o desempenho em
cada questão.
17
2 ESTUDOS SOBRE OS PROBLEMAS QUE ENVOLVEM AS QUATRO
OPERAÇÕES
Esta seção apresenta uma revisão bibliográfica de trabalhos sobre o
ensino de problemas envolvendo as 4 operações com os números naturais. A seção
subdividiu-se em três partes que apresentaremos a seguir.
2.1 UM POUCO SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E OS PROBLEMAS
ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES NO CAMPO DOS NÚMEROS
NATURAIS
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) das séries iniciais ou ciclos
do Ensino Fundamental apontam a importância de problemas envolvendo as quatro
operações com números naturais e procedimentos a serem utilizados, realizando a
ampliação da construção de significados das operações, baseando-se na utilização
de situação-problema que faça com que o aluno procure estratégias, tanto pessoais,
como convencionais para resolver. Portanto, nesta subseção, propomo-nos
apresentar uma revisão sobre estudos a cerca da resolução de problemas e da
resolução de problemas envolvendo as quatro operações.
Para o trabalho pedagógico no ensino fundamental dos conteúdos de
matemática há vários recursos recomendados, entre eles temos o ensino por
atividades, a resolução de problemas, o uso de jogos, entre outros. Segundo Brasil
(1998):
É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar
centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na
resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes
como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para
a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que
privilegie uma formalização precoce dos conceitos. (p.63)
Ainda de acordo com Brasil (1998):
É consensual a ideia de que não existe um caminho que possa ser
identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em
particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de
trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua
18
prática. Dentre elas, destacam-se a História da Matemática, as tecnologias
da comunicação e os jogos como recursos que podem fornecer os
contextos dos problemas, como também os instrumentos para a construção
das estratégias de resolução. (p.42)
Sendo isso uma maneira de superar as dificuldades e despertar o
interesse dos alunos pela disciplina e pela busca do conhecimento, abordando o
assunto de uma forma dinâmica, com fatos que podem ser relacionados com o
cotidiano e não somente da maneira estática que normalmente é ensinada em sala
de aula.
O construtivismo, que é um dos métodos que o aluno pode aprender em
sala de aula, faz com que o mesmo construa seu próprio conhecimento fazendo o
docente identificar formas de conduzir sua aula, desmistificando assim, a ideia de
que o discente aprende somente por meio da transferência do conhecimento.
É interessante observar, no entanto, que as “condições de aprendizagem”
do ensino tradicional, embora sejam predicadas com o propósito de facilitar
a transferência de conhecimento, tendem a melhorar a atenção do aluno.
Assim, fazem com que o aluno fique envolvido no processo de ensinoaprendizagem e, consequentemente, promova a construção do seu próprio
conhecimento. Desta forma, o ensino tradicional também promove a
aprendizagem, só que de forma menos eficiente do que práticas
construtivas, pois o ensino tradicional é apenas marginalmente consoante
com a natureza da aprendizagem. (FOSSA apud SÁ, 2009, p.11).
A construção da Matemática por atividades faz com que os discentes
possam utilizar informações de sua realidade cotidiana para relacionar com o
assunto trabalhado pelo professor, sendo que esse deverá administrar o modo de
elaboração dessas atividades que podem ser os jogos, pois, uma das ferramentas
didáticas que possui sucesso na busca pela construção do processo ensinoaprendizagem e causa instigação, sem a cansativa formalidade, colocando o
discente como indivíduo principal na construção do conhecimento é o lúdico.
O Lúdico é um método didático ativo que estabelece relações sociais e
propõem comportamentos saudáveis de como lidar com a derrota e a vitória como
parte inerente ao ato de jogar. Neste sentido o educador tem um papel fundamental
de canalizar as energias de forma produtiva.
Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos
19
alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la.
Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a
motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos
falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes
mais positivas frente a seus processos de aprendizagem. (BORIN, 1996, p.9
apud ROMERO, [2007 ou 2008], p.1)
Segundo Malba Tahan (1968), ''para que os jogos produzam os efeitos
desejados é preciso que sejam, de certa forma, dirigidos pelos educadores''.
Além do lúdico, outro recurso que pode ser usado pelo docente é a
tendência matemática denominada de resolução de problemas, que pode ser
analisada como uma “perspectiva metodológica”, no caso de perspectiva, significa
“uma forma de ver”, “um ponto de vista”, ou seja, para se resolver problemas, não se
deve verificar somente a metodologia a ser utilizada, e sim, ao ler a questão, se
fazer questionamentos, verificando os vários métodos na qual a mesma pode ser
resolvida a partir da própria análise do discente.
[...] o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las;
o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema
se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e
a estruturar a situação que lhe é apresentada [...] (BRASIL, 1997, p. 32)
Para resolver um problema, não se deve considerar somente o algoritmo,
que são os dados que já vêm explícitos na questão, mas também, a heurística que
são as possibilidades de se resolver a questão. Um dos objetivos de resolução de
problemas é não gerar somente situações didáticas – quando surge uma situação, e
sim, criar uma situação adidática – o problema surge a partir dos questionamentos
do aluno, não provem do professor.
Há muitas outras razões para focalizarmos o processo de resolução de
problemas em sala de aula. Certamente uma aula na qual os alunos estão
ajudando o professor a resolver problemas e (pelo menos aparentemente)
contribuindo ativamente para as soluções é provavelmente mais dinâmica e
motivadora do que uma que siga o modelo clássico “exposição e exercício”.
Explicar aos alunos de onde vêm os argumentos – ou, melhor ainda,
compreender os argumentos com eles, quando possível – pode ajudar a
desmistificar a matemática e permitir-lhes enfrenta-la com menos medo e
apreensão.
20
[...] Todos os momentos em sala de aula dão oportunidades para mostrar
aos alunos como pensar matematicamente. (KRULIK ; REYS, 1997, p.22)
Em oposição ao ensino memorístico e expositivo, a presente metodologia
de ensino visa o desenvolvimento de habilidades metacognitivas, favorecendo a
todo o momento a reflexão e o questionamento. O discente aprende a pensar por si
mesmo, levantando hipóteses, testando-as, tirando conclusões e até discutindo-as
com os colegas.
Na Resolução de Problemas apresentam-se conceitos, propriedades,
regras e etapas que são utilizadas posteriormente para resolução de uma situaçãoproblema como término da linha de raciocínio. Utiliza-se a mesma e a partir dela
constrói conceitos e definições do tema proposto pelo problema, isto pode ser bem
executado na no momento em que lhe é proposta essa situação e seguindo o passo
a passo citado por Polya (1995) para resolver problemas, da seguinte forma:
compreensão do problema; estabelecimento de um plano; execução do plano e
retrospecto, conforme detalhamento abaixo:
 Compreender o problema: é quando a pessoa que vai resolver deve
procurar entender o enunciado e os requisitos propostos no problema e, sobretudo
saber qual é o questionamento a ser respondido, ou seja, o aluno pode realizar o
seguinte procedimento:
 Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?
 É possível satisfazer as condições?
 Separar as condições em partes.
Esse processo de compreensão do problema foi subdividido por Polya
(1995) em familiarização e aperfeiçoamento da compreensão.
 Estabelecimento de um plano: ocorre quando a pessoa que vai resolver
cria uma conexão entre os dados do problema e a incógnita, a fim de construir um
caminho que leve a solução. Talvez seja conveniente considerar problemas
auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo plausível. O
aluno pode usar isso para "montar" um plano ou estratégia de resolução do
problema. Logo, ele pode se fazer os seguintes questionamentos a seguir:
21
 Já vi esse mesmo problema ou algum parecido?
 Conheço teoremas ou fórmulas que possam me ajudar?
 Ao olhar para a incógnita, tentar achar um problema familiar e que
tenha uma incógnita semelhante.
 Consigo enunciar o problema de outra maneira?
 Estou levando em conta todos os dados e todas as condições?
 Execução do plano: é quando a pessoa que vai resolver tem que
colocar em prática o seu plano para encontrar a solução do problema, conferindo
cada passo dado e se consegue mostrar claramente que os mesmos estão corretos.
Frequentemente, essa é a etapa mais fácil do processo de resolução de um
problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular para ela
prematuramente, e consequentemente tem bons resultado. Outros elaboram
estratégias inadequadas e por consequência se complicando terrivelmente na
execução.
 Retrospecto: o resolvedor deve examinar se o resultado obtido satisfaz
as condições e a pergunta do problema, se o mesmo pode obter a solução de outro
modo. E se ele consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema.
Utilizando essas etapas a resolução de problemas se torna menos
complicada e mais satisfatória para o aluno e para o professor que poderá observar
a resolução do problema passo a passo.
É relevante distinguir problema de exercício, pois, segundo Dante (2007,
p.9) "problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucionála”. E de acordo com Zeitz (1999, p.3 apud SÁ, 2004) exercício é uma questão que o
indivíduo sabe como resolver de imediato.
A partir desta distinção conclui-se que para o aluno tornar uma situaçãoproblema em um exercício, ele deve ter experiência na resolução do mesmo para
obter confiança e segurança no seu desenvolvimento.
Segundo Polya (1967 apud SÁ, 2004):
Os problemas são divididos em dois grandes grupos, a saber: os rotineiros
e os não-rotineiros. Os rotineiros são os que exigem tão somente a
aplicação de uma regra bem conhecida. Os não-rotineiros são os que
exigem criatividade na resolução dos mesmos. (p.13, grifos do autor).
22
Para Polya (1967 apud SÁ, 2004) os problemas envolvendo as quatro
operações com números naturais sendo rotineiros, não desenvolvem em quase
nada o cognitivo do aluno. O que para Sá (2003), tal fato não se aplica, pois os
problemas rotineiros são tão importantes quanto os não-rotineiros.
De acordo com Mendonça (1999, p.16-17 apud SÁ, 2004):
Encontramos uma interpretação da expressão resolução de problemas
dividida em três tipos, a saber: como um objetivo, um processo e um
ponto de partida. Assim descritos:
 Como objetivo, a resolução de problemas significa que se ensina
matemática para resolver problemas;
 Como processo, a resolução de problemas significa olhar para o
desempenho/ transformação dos alunos como resolvedores de
problemas. Analisando-se as estratégias dos alunos.
 Como ponto de partida, os problemas são usados como recurso
pedagógico para iniciar o processo de construção de um dado
conhecimento específico. (p.15, grifos do autor)
Logo, após o conhecimento acima é oportuno fazermos uma relação entre
Polya (1995) e Mendonça (1999 apud SÁ, 2004), pois o método proposto por Polya
no aspecto de passo a passo pode ter vindo a servir de base para a utilização de
problemas como: objetivo, processo e ponto de partida de Mendonça.
Podemos então afirmar que a utilização dessas situações pelos dois
modelos tem significativa importância, pois a resolução de problemas como ponto de
partida é um método que utilizando o passo a passo de Polya poderá satisfazer
completamente a explicação do conteúdo e utilizando como objetivo servirá para
satisfazer a pós-explicação, isso será utilizado na execução de exercícios.
A partir do mencionado acima, podemos observar que a resolução de
problemas é um recurso metodológico que propicia um melhor aprendizado ao
educando, na medida em que o mesmo constrói conceitos matemáticos por meio de
investigações, curiosidades. Podendo assim, tentar resolver os problemas
envolvendo as quatro operações com números naturais, que além de ser a base
tanto para vida pessoal, como para a formação do discente, onde ele poderá
empregar em seu cotidiano, é um assunto no qual eles apresentam dificuldades
consideráveis, como as seguintes: a falta de realizar cálculos necessários - os
algoritmos, e principalmente no que se refere à interpretação do problema proposto,
entre outras.
23
Uma das maiores dificuldades dos alunos ao que se refere à resolução de
problemas envolvendo as quatro operações fundamentais com os números
naturais é a identificação da operação matemática que deve ser realizada
com os dados de um problema para que seja encontrada a solução do
mesmo. (JUCÁ; SÁ, 2006, p.02).
Desta forma, podemos inferir que isso ocorre porque durante as séries
iniciais, não é desenvolvido com as crianças a compreensão dos conceitos por trás
das operações e nem são criadas viabilidades para que as turmas ampliem a visão
sobre a Matemática. O aluno deveria ser estimulado a progredir de forma autônoma
na resolução dos problemas e assim poderia minimizar as dificuldades na resolução
de cada problema.
Também
podemos
notar
outras
dificuldades
apresentadas
pelos
educandos, que são as de armar e efetuar os cálculos das operações básicas,
sobretudo os que se relacionam à multiplicação e à divisão, que são problemas
usuais. Pesquisas realizadas por Chaquiam; Sá e Souza (2002, p.07) revelam que
na visão dos professores “o domínio das quatro operações está prioritariamente
interligada com a memorização de resultados (tabuada) e algoritmos (armar e
efetuar contas), simultaneamente [...]”.
as competências para o desenvolvimento de cálculos matemáticos são:
Cálculo escrito (fazer os cálculos usando os algoritmos); Cálculo mental
(fazer os cálculos usando estratégias que dispensem os algoritmos
escritos); Estimativa (cálculo realizado sem compromisso com a precisão
dos resultados); Calculadora (cálculo realizado com o auxílio da máquina de
calcular). (BIGODE, 1998, p. 34 apud CHAQUIAM; SÁ e SOUZA, 2002,
p.05)
Porém, tanto o cálculo mental, como o uso de tecnologias - calculadora e
computador, de acordo com as análises efetivadas não estão presentes na prática
escolar.
Estudos sobre os anos iniciais, como os de Carvalho (2009, 2010 apud
LIMA, 2013, p.01), “indicam que os conteúdos de multiplicação e divisão são
considerados pelos professores os mais complexos para trabalhar com os alunos
[...]”, pois os mesmos não atribuem significados aos algoritmos aplicados.
[...] o fraco desempenho dos alunos em problemas de divisão é fruto da
limitação no estudo do campo multiplicativo, em que se enfatiza o campo
dos números naturais [...], direcionando para a aprendizagem de
24
concepções equivocadas de que a “multiplicação sempre aumenta” e a
“divisão sempre diminui”, assim como ensinar a multiplicação por meio da
continuidade de raciocínio (uso do campo aditivo), isto é, da adição repetida
ou da subtração sucessiva, para resolução de problemas que envolvem o
campo multiplicativo. (CUNHA, 1997 apud LIMA, 2013, p.02)
Ainda para Cunha (1997 apud LIMA, 2013, p.02), “a utilização do
raciocínio do campo aditivo em situações-problema do campo multiplicativo fortalece
as continuidades do que já foi aprendido, impedindo que os alunos avancem em
termos conceituais”, ou seja, o discente resolve o problema por meio de lógicas, mas
não sabem identificar a operação correta a ser efetuada, não compreendendo o
sistema simbólico utilizado no contexto escolar, onde podemos observar os
obstáculos na construção dos conceitos de multiplicação e divisão ou do campo
conceitual multiplicativo.
Vergnaud (1990 apud CRUCIOL e SILVA, 2013, p.02) criou a Teoria dos
Campos Conceituais, que de acordo com o mesmo “as operações de multiplicação e
divisão compõem um único campo conceitual denominado campo conceitual
multiplicativo”, o qual veremos detalhadamente nos estudos sobre problemas
verbais.
Vale ressaltar que os problemas envolvendo as quatro operações
recebem várias denominações, dentre elas, a de problemas verbais, para Borasi
(1986 apud SÁ, 2003, p.18), tendo os seguintes detalhamentos: “contexto, todo
explicado no texto; formulação, única e explícita; solução, geralmente única e
exata; método de solução, combinação de algoritmos.” Doravante, essa mesma
denominação de Borasi adotaremos no desenvolvimento desta pesquisa e
utilizaremos também, outros referenciais como base.
2.2 O QUE SÃO PROBLEMAS ARITMÉTICOS E PROBLEMAS ALGÉBRICOS?
Existem distintas categorizações para resolução de problemas verbais. Sá
(2003) realizou uma ampla pesquisa sobre esses problemas, no qual, os divide em
dois grandes grupos: problemas aritméticos e problemas algébricos.
Conforme Sá (2003, p.68), podemos citar Filloy e Rojano (1989),
Linchevski e Hercovics (1996), Schmidt e Bednarz (1995), como estudiosos “[...] que
procuram determinar os fatores que tornam um problema mais ou menos difícil para
os discentes de diferentes níveis de escolaridade e outros que visam entender as
25
relações entre aritmética e álgebra e a sua respectiva transição”, pois não tem como
definir o conceito de problema aritmético ou algébrico isoladamente.
“A palavra Aritmética começa a ter seu atual significado no século XVI,
com a expansão do comércio europeu e a respectiva necessidade de formar
pessoas hábeis nas tarefas do comércio”. (EVES, 1995, p.299 apud SÁ, 2003, p.69).
Podemos defini-la como, os números e suas operações, porém, para Lins e
Gimenez (1996 apud SILVA, 2007), além disso, ela compreende:
[...] representações e significações diversas, pontos de referencias e
núcleos, que ampliam a idéia simples do manipulativo (técnicas e
algoritmos). Eles são importantes, mas precisam ser revestidos de
significados que justifiquem o seu uso e torne esse uso adequado e
racional. (p.02)
Diferentemente, a palavra Álgebra não tem um significado definido, ela é
uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr) que foi
usada no título de um tratado sobre equações do matemático de Bagdá AlKhowarizmi, por volta de 825 d.C., intitulado Hisab al-jabr w´al-muqabalah. Esse
título foi traduzido literalmente como ciência da restauração (ou reunião) e redução
(FERREIRA e NOGUEIRA, 2009 apud ROCHA, 2012), Ciência da Transposição e
da Oposição ou, mais livremente, como Ciência da Transposição e do
Cancelamento, que de acordo com Boher (s.d. apud ROCHA, 2012, p.17) “temos a
transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação e o
cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação”. A
palavra al-jabr, na Europa, tornou-se Álgebra como sinônimo de ciência das
equações.
A álgebra é considerada uma generalização da aritmética, na qual esse
sistema permite que letras ou outros símbolos substituam os números, porém,
segundo Coxford (1995 apud ROCHA, 2012) ela tem um conceito mais amplo.
a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras
para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as
manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representam os
números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes
espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam a coisas [...]
que de maneira nenhuma são números. (COXFORD, 1995, p.9 apud
ROCHA, 2012, p.18).
26
Sá e Fossa (2008) ao avaliarem os problemas verbais em que após a
modelação da sentença, ou seja, a tradução dos dados para linguagem simbólica
eles
realizam
uma
divisão
em
dois
grupos:
os
problemas
em
que
a
pergunta/incógnita está isolada em um dos membros da igualdade, essa, por sua
vez é utilizada para indicar o resultado da operação efetivada, isto é, ela representa
transformações ou resultados. E ao contrário desses, temos os problemas onde a
pergunta/incógnita não está isolada em um dos membros da igualdade, nesse caso,
a igualdade é utilizada para indicar a relação de equilíbrio exigida entre os dados.
Os dois tipos de problemas apresentam expressões que os definem como
problemas aritméticos ou algébricos, conforme exemplificado abaixo:
1º Grupo - Nos problemas que levam ao esquema a seguir, a operação a
ser efetuada é escolhida diretamente a partir do contexto do problema, por meio da
interpretação, ou seja, da transformação ocorrida com os dados, que está indicada
pelo enunciado do problema. E sua modelação resulta em uma expressão no qual o
valor desconhecido fica isolado no segundo membro da igualdade.
c+d=?
c-d=?
cˣd=?
c÷d=?
2º Grupo - Nos problemas que levam ao esquema a seguir, a escolha da
operação não é realizada diretamente a partir da conotação semântica, e sim, com
embasamento na propriedade da operação inversa. E sua modelação resulta em
uma expressão no qual o valor desconhecido não fica isolado. Sendo que, conforme
Nesher, Greeno, e Riley (1982 apud SÁ e FOSSA, 2008) os alunos têm mais
dificuldade nos problemas aditivos do 2º grupo – que usam uma operação, isso pode
deve-se:
[...] no fato de que esses problemas são apresentados, normalmente, após
o ensino de cada uma das operações fundamentais e que essas são
apresentadas com grande apelo ao seu significado semântico, não
destacando as relações entre as operações (p.269).
27
?+c=d
?-c=d
c-?=d
cˣ?=d
c÷?=d
?÷c=d
A partir do exposto, podemos notar que há semelhanças entre esses dois
tipos de problemas, na medida em que ambos são modelados por sentenças
envolvendo incógnitas. E diferenças na modelagem dessas sentenças e em seu
processo de resolução.
Portanto, na resolução dos problemas do 1º tipo – de uma operação, os
quais a modelação é escolhida diretamente a partir do contexto/conotação
semântica do enunciado do problema, as propriedades aditivas e multiplicativas da
igualdade não são empregadas, diferente dos problemas do 2º tipo que essas
propriedades são utilizadas.
Nos problemas do 1º tipo, o isolamento da questão permite o simples
registro do resultado (x=5) ou a iteração de registros (x=2+3=5). Nos
problemas do 2º tipo, em contraste a operação inversa é usada para
transpor valores de um lado da equação para o outro de tal forma a manter
a validade da igualdade. Isto corresponde exatamente às raízes históricas
da álgebra. (SÁ e FOSSA, 2003 apud BARBOSA e SANTOS, 2012, p.23)
Por conseguinte, Sá e Fossa (2008) apresentam as seguintes definições
em relação aos problemas aritméticos e algébricos:
DEFINIÇÃO 1: Problema Aritmético é aquele problema que, em sua
resolução operacional, não são usadas de maneira implícita ou explicita as
propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade.
Os problemas aritméticos se subdividem em simples e combinados.
DEFINIÇÃO 2: Os problemas aritméticos simples são aqueles que só
envolvem uma operação na sua resolução.
Exemplo: Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com
quantas bolas de gude Marcos ficou naquele momento?
DEFINIÇÃO 3: Os problemas aritméticos combinados são aqueles
problemas aritméticos que envolvem duas ou mais operações ou a repetição de uma
28
mesma operação na sua resolução, porém o mesmo não será o enfoque da
pesquisa.
Exemplo: Um fazendeiro tinha 285 bois. Comprou mais 176 bois e depois
vendeu 85 deles. Quantos bois esse fazendeiro tem agora?
DEFINIÇÃO 4: Os problemas algébricos são aqueles problemas em que,
na sua resolução operacional, são utilizadas de maneira explícita ou implícita as
propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade. Eles são classificados da
seguinte forma: Imediato simples, Imediato combinado e Estruturado.
DEFINIÇÃO 5: Os problemas algébricos imediatos simples são aqueles
os quais, na sua resolução operacional, é usada apenas uma operação sem o uso
explícito de uma variável ou incógnita.
Exemplo: O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma
dessas canetas?
DEFINIÇÃO 6: Os problemas algébricos imediatos combinados são
aqueles nos quais, na sua resolução operacional, são efetuadas mais de uma
operação sem o uso explícito de incógnita ou quando pode ser decomposto em
problemas aritméticos simples e problemas algébricos imediatos.
Exemplo: O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa 07
dessas canetas?
DEFINIÇÃO 7: Os problemas algébricos estruturados são aqueles nos
quais, na sua resolução operacional, é necessário o uso de variáveis ou incógnitas,
para que fique explicita cada etapa da resolução.
Exemplo: Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo
que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o
primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos.
Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?
No diagrama a seguir estão sistematizados os problemas envolvendo as
operações fundamentais da aritmética:
29
Diagrama 01: Tipos de Problemas das Quatro Operações
Fonte: Sá e Fossa (2008, p.272)
2.3 OS CAMPOS CONCEITUAIS E ALGUNS ESTUDOS SOBRE PROBLEMAS
VERBAIS - PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES COM OS
NÚMEROS NATURAIS
Fayol (1996 apud SÁ, 2003), menciona que Vergnaud (1982 apud SÁ,
2003) contribuiu consideravelmente para o entendimento dos problemas verbais, por
meio da teoria dos campos conceituais, supondo que o conhecimento conceitual tem
seu surgimento dentro das situações problemas. De acordo com esse autor, um
conceito deve ser visto como uma terna: o agrupamento de situações em que o
conceito está presente; o conjunto de invariantes que podem ser usados como
objetos de exame dessas situações e o conjunto de representações simbólicas que
podem ser usado para representar e indicar esses invariantes.
Segundo Magina, Merlini e Santos (2010), a teoria dos campos
conceituais pressupõe que os conceitos matemáticos descrevem seus sentidos,
30
sustentada em uma diversidade de situações e, usualmente, cada situação, não
pode ser analisada com o auxílio de apenas um conceito. E, não podemos nos
apropriar de um conceito a partir da experiência de uma única situação.
Para Vergnaud (1990, p.62 apud GONÇALVES, 2008, p.82) “Um campo
conceptual pode ser definido como um conjunto de situações, das quais o domínio
requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em
estreita conexão”. Ou seja, os discentes devem saber os significados matemáticos
das palavras: conceito de algarismo, número, antecessor, sucessor, adição,
subtração, transformação de tempo, relação de comparação e símbolos para
aprenderem em que situações podem aplicá-las.
Duval relaciona os aspectos semióticos encontrados nas representações
matemáticas ao processo de ensino e aprendizagem da matemática,
considerando que a utilização dessas representações está diretamente
ligada ao processo de raciocínio, visualização e análise matemática, já que
nesta ciência toda comunicação se dá por meio das representações. O
estudo de linguagens matemáticas diversificadas, objeto de estudo das
representações semióticas, deve ser vinculado ao currículo, buscando
estimular a capacidade cognitiva do aluno. (ANDRADE FILHO, 2012, p.10)
Na Matemática é necessário dois campos conceituais devido esses,
serem a base de todos os outros conceitos matemáticos: o campo conceitual das
estruturas aditivas e o campo conceitual das estruturas multiplicativas. O campo
aditivo é descrito como um conjunto de situações que precisam em seu algoritmo da
operação de adição e/ou subtração. E o multiplicativo, como um conjunto de
situações que precisam da operação de multiplicação e/ou divisão. (VERGNAUD,
s.d. apud MAGINA; MERLINI e SANTOS, 2010).
Para que realmente o campo conceitual aditivo seja considerado como
saber para os alunos, é fundamental que as práticas de ensino sofram uma
modificação: do modelo do exercício, que oferece apenas a repetição de um mesmo
procedimento para a realização de cálculos; para o cenário e investigação
(SKOVSMOSE, 2008 apud ANDRADE; SOUZA e LUNA, 2010), no qual se
considera importante que os estudantes construam sentido para o que aprendem.
Com a finalidade de que isso ocorra, o docente pode propor diferentes ambientes a
fim de criar condições para a aprendizagem acontecer.
31
Nesse campo que envolve os problemas de adição e subtração, podemos
perceber os graus de dificuldades de acordo com cada categoria abaixo e entre elas,
propostas por Nesher; Greeno e Riley (1982 apud SÁ e FOSSA, 2008):
 Combinação,
aqueles
que
envolvem
relações
estáticas
entre
quantidades, indagando sobre o todo ou sobre uma das parcelas.
 Mudança, aqueles que detalham crescimento ou decrescimento de um
estado inicial, para produzir um estado final.
 Comparação,
aqueles
que
envolvem
relações
estáticas
de
comparação entre quantidades.
Sá (2003) fez uma análise das dificuldades e das outras pesquisas que
discutem sobre problemas verbais, a saber, VERGNAUD (1983), BROWN (1981)
NESHER (1991), SCHWARTZ (1991), entre outros, a fim de responder, entre outras
questões, “por que alguns tipos de problemas, dentro da mesma categoria nos
campos conceituais, são mais difíceis que outros?” (SÁ, 2003, p.15, grifo do
autor). Propondo a definição de álgebra e aritmética mencionados na subseção
anterior.
Em relação ao campo multiplicativo, consoante Moreira (2002 apud
CRUCIOL e SILVA, 2013):
segundo a teoria dos campos conceituais “o conhecimento está organizado
em campos conceituais que o indivíduo aprende ao longo da vida”. Assim, a
teoria proporciona uma estrutura e um conjunto de princípios que orientam o
estudo do desenvolvimento da aprendizagem de conhecimentos complexos,
como é o caso dos conceitos matemáticos de multiplicação e divisão. (p.5)
Nessa perspectiva exposta, Vergnaud (2003 apud CRUCIOL e SILVA,
2013, p.5) diz que “as operações de multiplicação e divisão compõem um mesmo
conceitual e são definidas por um conjunto de situações cujo tratamento implica em
esquemas, conceitos e teoremas que estão conectados entre si”.
Porém, para amenizar essa complexidade, a Matemática admite a
representação de seus objetos das mais variadas formas, sendo que a escolha
adequada do sistema de representação pode auxiliar a construção do conhecimento
pelo aluno. Isso de se trabalhar um mesmo conteúdo com distintas representações é
abordada pela Semiótica, como já mencionado anteriormente.
32
[...] a utilização de diferentes registros de representações semióticas é uma
maneira didática/metodológica que o professor pode usar quando ele busca
a conceitualização, a aquisição de conhecimento. [...] Para isso, é
necessário que o professor tenha claro o objeto matemático a ser ensinado:
isso lhe possibilitará definir quais os registros de representação semiótica
que possibilitarão a construção do mesmo. (DAMM, 2008 apud ANDRADE
FILHO, 2012, p.10).
Segundo Damm (2008 apud ANDRADE FILHO, 2012, p.10), “a noção de
representação semiótica surgiu com um problema de modelização da linguagem”,
modelo esse que o discente faz ao representar a situação-problema dos problemas
verbais de forma aritmética ou algébrica.
Com referência aos problemas verbais diversas pesquisas foram
realizadas por teóricos, como as de: Sá (2003), Correia (2013), Santos e Souza
(1997 apud PINHEIRO e SÁ, 2002), Sá e Jucá (2006), Conceição e Silva Junior
(2011 apud SÁ, 2003), entre outros, os quais serão citados no decorrer da pesquisa.
Problemas não verbais são problemas que incluem apenas notações e
fórmulas matemáticas e algumas frases matemáticas como «Resolve a
equação». Em conformidade, por problemas verbais entendem-se
problemas que contêm palavras que constituem termos matemáticos e que
precisam de ser interpretadas matematicamente. (TOOM, 2010 apud
CORREIA, 2013, p.30)
Situações de problemas verbais, onde exige dos estudantes o
envolvimento de várias operações cognitivas têm seu foco principalmente na
assimilação do enunciado, sendo que se essa etapa falhar, as outras ficam
gravemente comprometidas; nos métodos de resolução, “exigindo a construção de
dois tipos de representação (a construção do modelo da situação e o esquema do
problema) e convocam para a sua resolução quer o conhecimento conceptual, quer
o conhecimento processual”. (CORREIA, 2013, p.35)
A resolução de problemas verbais abrange uma relação limitada entre o
sujeito e o enunciado do problema, admitindo um papel de tarefa complexa, na qual
é necessário desenvolver transformações, não somente no plano material externo,
como também no aspecto mental interno.
Para se adequar ao primeiro ciclo de escolarização dos anos iniciais, em
que os discentes apresentam normalmente a faixa etária até 10 anos, Charles &
Lester (1984 apud CORREIA, 2013, p.36), citados em Borralho (1995), classificaram
33
os problemas referidos em três tipos: “problemas verbais de cálculo, problemas
verbais de processo e problemas verbais abertos”.
Os problemas verbais de cálculo requerem a tomada de decisão quanto
à(s) operação(ões) a aplicar face aos dados apresentados no enunciado.
Os alunos leem o problema, avaliam os dados do enunciado e o que é
pedido na questão e, finalmente, efetuam uma ou mais operações que
considerem apropriadas (Boavida et al., 2008 apud CORREIA, 2013, p.36).
Neste âmbito, podem identificar-se problemas de um passo, i.e.,
problemas que podem ser resolvidos pela aplicação direta de algoritmos de
uma das quatro operações fundamentais e problemas de dois ou mais
passos, ou seja, problemas que requerem para a sua resolução duas ou
mais das quatro operações aritméticas fundamentais. (CORREIA, 2013,
p.36, grifos do autor)
Os problemas verbais de processo que são resolvidos não somente
pela seleção da(s) operação(ões) apropriada(s). Eles estão, normalmente,
introduzidos em contextos mais complexos e exigem um esforço maior para
compreender quais os procedimentos mais adequados para se chegar à resolução
(Boavida et al., 2008 apud CORREIA, 2013). Nessa categoria há apenas um
resultado possível.
A resolução adequada dos problemas verbais de processo reside, muitas
vezes, na capacidade de compreender e identificar a estrutura matemática
do problema. Neste tipo de problemas, pode haver ausência de informação
que oriente as estratégias a desenvolver ou podem ser dadas indicações
concretas sobre o resultado pretendido. (p.38)
Os problemas verbais abertos (ou de investigação) são aqueles que
têm mais de uma resposta correta e, como consequência, os alunos podem usar
várias estratégias para se chegar ao resultado final. A resolução desse tipo de
problemas leva à realização de explorações para descobrir regularidades e formular
pressupostos, recorrendo ao desenvolvimento do raciocínio, do espírito crítico e da
capacidade de reflexão. (CORREIA, 2013)
Santos e Souza (1997 apud PINHEIRO e SÁ, 2002) executaram uma
pesquisa diagnóstica sobre a aptidão de resolver problemas verbais envolvendo
mais de uma operação, realizada nas escolas públicas de Belém do Pará, obtendo
assim resultados não muito satisfatórios, os quais levaram os mesmo a procurarem
alternativas metodológicas, como os jogos, para alcançarem um bom rendimento
34
dos educandos. A partir disso Branelli (1996 apud PINHEIRO e SÁ, 2002) afirma
que intervir no processo de ensino-aprendizagem por meio de jogos, faz com que o
sujeito possa constatar os erros e lacunas da sua estratégia, criando assim, outras
táticas, sendo que o professor deve traçar um objetivo ao utilizar essa metodologia,
o que já expomos na primeira subseção.
A pesquisa de Almeida (2011 apud BARBOSA e SANTOS, 2012),
também possui as mesmas características deste trabalho, objetivou avaliar a
competência de 44 alunos da 5ª série de duas escolas diferentes, com idade entre 9
e 16 anos, todos frequentadores de escolas públicas, residentes do município de
Salvaterra,
na
resolução
de
problemas envolvendo
as quatro
operações
fundamentais. Os resultados obtidos foram um desempenho abaixo da expectativa,
sendo assim, eles não conseguem interpretar e resolver problemas aritméticos e
algébricos referente às questões que envolviam as quatro operações, porém nas
questões das operações multiplicação e divisão os discentes tiveram um
desempenho regular, enquanto que nas questões da adição e subtração o resultado
foi satisfatório.
Sá e Jucá (2006) apresentaram uma metodologia de ensino diferenciada,
com a finalidade de analisar o desempenho dos alunos na resolução de problemas
envolvendo as quatro operações com os números naturais sem o uso dos algoritmos
das quatro operações fundamentais da aritmética. A aplicação ocorreu no 6º ano de
uma escola localizada no Distrito de Icoaraci, em Belém do Pará, obtendo como
resultado uma melhora expressiva na resolução de problemas que envolvem apenas
uma operação; sendo que a quantidade de questões em branco, tanto de uma ou
mais de uma operação, diminuiu bastante; aumentou o número de erros em algumas
questões, principalmente nas questões que envolviam mais de uma operação.
Outro trabalho que também podemos citar foi o realizado por Conceição e
Silva Junior (2011 apud BARBOSA e SANTOS, 2012) que tinha a finalidade de
avaliar o processo de ensino dos problemas verbais, a fim de instigar a habilidade de
transpor enunciados em linguagem matemática por meio de jogos propostos por
atividade. O mesmo deu-se com 15 alunos do 5º ano de uma escola pública do
município de Salvaterra. A intervenção ocorreu através de jogos de cartas que
consiste na leitura e tradução de problemas matemáticos. O resultado da aplicação
de um jogo de cartas apontou que em 75% das questões os acertos se
sobressaiam. E também, com relação aos problemas aritméticos em escala segue
35
os seguintes parâmetros: insatisfatório, baixo, regular, bom e excelente, obteve-se
um percentual de 34% bom. Porém, nos algébricos têm-se um percentual de 67%
insatisfatório.
Face ao exposto, a metodologia desenvolvida também irá basear-se nos
trabalhos exibidos acima.
3 PERCURSO METODOLÓGICO
O objetivo desta seção é apresentar as etapas metodológicas da
pesquisa.
3.1 METODOLOGIA
No começo do ano de 2013 iniciamos as etapas metodológicas desta
pesquisa realizando o levantamento de literaturas sobre o ensino de problemas
envolvendo as quatro operações com números naturais, com o objetivo de obter
informações baseadas em estudos científicos a respeito do mesmo, para isso, foi
tomada como ponto de partida a tese de Sá (2003). E, paralelo a isso reunimos
problemas encontrados em trabalhos envolvendo esses tipos de questões que nos
serviram como base para essa pesquisa, e também, questões de livros didáticos do
6º ano, sendo que algumas foram adaptadas. No mês de julho categorizamos as
questões encontradas conforme a proposta de Sá (2003), em problemas aritméticos
e algébricos, logo após, produziu-se os testes geral, aditivos e multiplicativos de uma
operação, por fim, o jogo de cartas com o objetivo de verificar o efeito da utilização
do mesmo no desenvolvimento da habilidade de resolver os tipos de problemas
mencionados, de acordo com as colocações de Pinheiro e Sá (2002).
Devido à greve dos professores, somente podemos iniciar a aplicação do
experimento no final de novembro e encerramos quase em meados do mês de
dezembro, o que nos deu pouco tempo, impedindo-nos de realizar atividades de
fixação e revisão. Então, a mesma ocorreu em três encontros, dois dias com
duração de 135 minutos e um com 90 minutos, em uma turma do 6º ano de uma
escola pública estadual localizada em Belém do Pará, contando com a participação
de 32 alunos que se disponibilizaram a ser nossa fonte de pesquisa. E desenvolveuse por meio de quatro etapas, aplicação do pré-teste geral com as quatro operações,
36
construção da atividade baseada nas dificuldades dos estudantes que foram
observadas quando os mesmos resolviam o pré-teste geral, aplicação da atividade,
aplicação do pós-teste aditivo e multiplicativo que eram compostos pelas mesmas
questões, em sua maioria. Essas etapas serão detalhadas abaixo:
1ª etapa - pré-teste geral: nesta, houve a aplicação de um questionário
composto de perguntas referentes aos dados socioeconômicos dos alunos, por
exemplo: idade, sexo, escolaridade dos responsáveis, dificuldades em aprender
matemática, metodologia utilizada por seu (sua) professor (a), entre outros
questionamentos. As questões socioeconômicas (ver apêndice A) tiveram o objetivo
de auxiliar a construção do perfil dos alunos, associadas a um pré-teste geral com
os problemas verbais - problemas envolvendo as quatro operações com os números
naturais, com o intuito de avaliarmos o conhecimento prévio dos alunos acerca do
assunto em estudo, o qual foi disposto das seguintes questões:
1ª – Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem
3 brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?
2ª – Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo
permitido assistir filme em pé, quantas pessoas são necessárias para lotar o
cinema?
3ª – Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas
bolas de gude Marcos ficou naquele momento?
4ª – O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada
uma dessas canetas?
5ª – Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.
Quantas bolas Meire deu para Luís?
6ª – Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons
cada. Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?
7ª - Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto
Anderson tem agora?
8ª – A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?
9ª – Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.
Quantos carrinhos Erick têm agora?
10ª - Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da
cidade B para cidade C, quantas maneiras diferentes há para se ir de A para C
passando B?
37
11ª – Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas
Rafael ficou?
12ª – O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?
13ª – Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros
têm Carlos?
14ª – Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao
final das parcelas, terei pago um total de R$ 295,00 pela bicicleta. Qual foi o valor
das prestações por mês?
15ª – Marcela recebeu uma encomenda de 972 ovos de chocolate. Já
fabricou 413. Quantos ovos ela precisa fabricar para completar essa encomenda?
16ª – Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos
ovos possui em seu depósito?
17ª – Uma pessoa nasceu em 1951 e faleceu em 1997. Quantos anos
essa pessoa viveu?
18ª – Se o preço de uma caneta é R$ 8,00. Quanto custa 15 dessas
canetas?
19ª - Joaquim tem 283 figurinhas de coleção e resolve dar 97 dessas
figurinhas para seu irmão. Quantas figurinhas Joaquim passou a ter?
20ª – Um barco se move 14 metros em 2 segundos. Quantos metros ele
percorreu por segundo em média?
2ª etapa – construção da atividade: como citado anteriormente usou-se
como referência os resultados da revisão da literatura e as análises dos resultados
do diagnóstico inicial para elaboração da atividade, a mesma foi um jogo
denominado de Pif-Paf das quatro operações (ver apêndice E) que se constituía de
60 cartas com problemas distribuídas em: 20 cartas com o enunciado, 20 cartas
sentença e 20 cartas resposta, sendo que cada um era dividido em 10 cartas com
modelos aritméticos e 10 algébricos.
3ª etapa – aplicação da atividade: nesta etapa da pesquisa foi proposta
a aplicação do jogo intitulado Pif-Paf, cujo objetivo consistiu em exercitar a tradução
dos dados para a linguagem simbólica e a resolução de questões das quatro
operações fundamentais da matemática, associando uma carta problema, a uma
carta contendo a expressão traduzida e uma carta resposta.
4ª etapa – pós-teste aditivo e multiplicativo: antes de aplicar os póstestes explicou-se aos alunos por meio de exemplos da atividade realizada (jogo de
38
cartas), o modelo de resolução de questões aritméticas e algébricas, para, por fim,
aplicar um pós-teste aditivo composto somente por questões das operações de
adição e subtração; e um pós-teste multiplicativo composto somente por questões
das operações de multiplicação e divisão, as mesmas utilizadas no pré-teste geral,
dentre as quais eram divididas em problemas aritméticos e problemas algébricos,
tendo em vista uma comparação entre os dados inicialmente encontrados antes de
qualquer intervenção e os dados coletados após todas as intervenções. Ressaltando
que os pós-testes foram aplicados no mesmo dia devido à falta de tempo, já que os
discentes tinham que retomar as suas atividades escolares normais, para poder
conclui o ano letivo que foi comprometido com a greve.
Os problemas aditivos e multiplicativos estão descritos a seguir:
Questões do pós-teste aditivo:
1ª – Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem
3 brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?
2ª - Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas
bolas de gude Marcos ficou naquele momento?
3ª – Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.
Quantas bolas Meire deu para Luís?
4ª - Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto
Anderson tem agora?
5ª - Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros
têm Carlos?
6ª – Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.
Quantos carrinhos Erick têm agora?
7ª - Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas
Rafael ficou?
8ª – Mário tinha 7 moedas. Ele deu algumas de suas moedas para Kátia.
Agora ele tem 4 moedas. Quantas moedas ele deu para Kátia?
9ª - Uma pessoa nasceu em 1962 e faleceu em 1999. Quantos anos essa
pessoa viveu?
10ª - Renan tem 9 bolas. Bianca tem 6 bolas. Quantas bolas Renan têm a
mais que Bianca?
39
Questões do pós-teste multiplicativo:
1ª – Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo
permitido assistir filme em pé. Qual o número máximo de pessoas que pode assistir
a um filme neste cinema em cada sessão?
2ª - O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada
uma dessas canetas?
3ª – Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons
cada. Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?
4ª - A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?
5ª – Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da
cidade B para cidade C, quantas maneiras diferentes há para se ir de A para C
passando B?
6ª - O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?
7ª - Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao final
das parcelas, terei pago um total de R$ 295,00 pela bicicleta. Qual foi o valor das
prestações por mês?
8ª - Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos
ovos possui em seu depósito?
9ª – Se o preço de uma caneta é R$ 7,00. Quanto custa 12 dessas
canetas?
10ª - Um barco se move 12 metros em 3 segundos. Quantos metros ele
percorreu por segundo em média?
4 EXPERIMENTO
Nos primeiros contatos com a professora da turma do 6º ano que foi alvo
de nossa pesquisa, recebemos as seguintes informações sobre os alunos: apenas
um aluno fazia dependência, havia alguns que eram desinteressados na turma, a
maioria tinha um raciocínio rápido e todos respeitavam a professora. Diante dessa
realidade, começamos o experimento em uma turma contendo 32 (trinta e dois)
alunos.
40
4.1 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
1º dia de experimento: ocorreu no dia 27/11/2013
O experimento teve seu início em uma conversa realizada com os trinta e
dois alunos presentes, a mesma versou a respeito das atividades que seriam
desenvolvidas com eles.
Ao propor o questionário socioeconômico, os discentes mostraram-se
interessados em respondê-los, porém, alguns não sabiam responder certas
perguntas, como: a profissão de seus responsáveis, a metodologia de ensino da
professora, entre outros. Com relação ao pré-teste geral, os discentes se mostraram
agitados (três em especial mostraram o desinteresse conversando em quase toda a
atividade, mas a fizeram) e perguntavam se era prova e valia ponto, então houve a
necessidade de explicar que o teste era apenas para saber quais questões eles
sabiam resolver e que a professora decidiria se valeria ponto ou não como
complemento da prova da instituição.
Alguns educandos tinham muita dificuldade em ler e interpretar as
questões, não sabendo o significado de algumas palavras, como: “quarta parte”,
“dobro”, “triplo”, “prestações”, “sentença” (quando falei para eles mostrarem a
sentença – registro da questão - no papel). Ressaltamos que durante a aplicação
dessa atividade não houve intervenção, apesar dos alunos fazerem perguntas do
tipo: “como se resolve essa questão?”, “É de mais ou de menos?”, “É de
multiplicação ou divisão?”, “Como se divide isso?”, “Quanto é essa
multiplicação?”, “Adição é de vezes?”, mantive uma postura de espectadora,
observando o comportamento dos discentes e relembrando-os que não poderia
ajudá-los.
2ª dia de experimento: ocorreu no dia 10/12/2013
Essa atividade ocorreu com um espaçamento de tempo em relação a
primeira, maior, porque no dia 03/12/2013 a professora não pôde estar presente por
motivo de viagem, então os discentes tiveram aula de outra disciplina. Ao dar
prosseguimento, expliquei aos alunos que seria desenvolvido o jogo Pif-Paf das
quatro operações e as regras do mesmo, o material utilizado foi: folha de papel,
caneta ou lápis e 60 cartas do baralho com problemas verbais distribuídas em 20
cartas problemas, 20 cartas sentença e 20 cartas resposta.
Participantes: de 03 a 08
41
Regras do jogo:
 As cartas são embaralhadas e distribuídas 9 (nove) para cada jogador,
uma a uma;
 As cartas não usadas na distribuição serão colocadas sobre a mesa
com a face virada para baixo e constituirão o monte de compras;
 O jogo inicia pelo jogador à esquerda de quem distribuiu as cartas;
 Na sua vez o jogador compra uma carta, verifica se ela forma uma
trinca e descarta a que não servir;
 Uma trinca é formada por uma carta com o enunciado, uma carta
sentença e uma carta resposta;
 Ganha jogo quem primeiro formar 03 trincas.
A turma foi organizada em quatro grupos, cada um, com oito alunos,
durante o desenvolvimento dessa atividade foi preciso explicar mais de uma vez
para os alunos o que era para fazer, apesar de que o Pif-Paf é um jogo do cotidiano
e alguns falarem que já jogaram, porém, quando eles realmente foram para a
prática, conseguiram entender a atividade, havia dois grupos que estavam
entusiasmados, pois, os membros do mesmo conseguiam formar as trincas,
contrário dos outros dois que apenas depois de certo tempo, e ao ver que seus
outros colegas de classe formavam as trincas, prestaram mais atenção no jogo e
começaram a executá-la de forma adequada.
Observamos as diversas estratégias que os alunos montavam para jogar,
muitos em um primeiro momento apenas associavam os dados numéricos dos
enunciados com os dados numérico da sentença, no entanto em algumas questões
esta associação não poderia acontecer, pelo fato do enunciado conter dados a mais,
fazendo com que os mesmos reavaliassem a estratégia de jogo, o que levou os
alunos a criarem novas estratégias para jogarem, passando a fazerem o registro da
resolução das questões no papel.
O jogo em questão pode auxiliar o desenvolvimento do raciocínio lógico
dos discentes, onde ele traça uma estratégia que melhor lhe ajudará a formar as
trincas de cartas, mas ainda permite a interação entre os alunos uma vez que são
eles que verificam quando a trinca formada está correta, somente em caso de
dúvida, como no início da atividade, que era chamada com frequência, contudo, aos
poucos eles ganharam mais autonomia.
42
Para aumentar o nível de dificuldade do jogo e da interação entre eles, foi
pedido que os membros de cada grupo se unissem, com a finalidade de
encontrarem todas as trincas formadas pelas cartas, nesse processo, um aluno
auxiliava o outro.
3ª dia de experimento: ocorreu no dia 11/12/2013
A professora informou aos alunos que os pós-testes valeriam parte da
avaliação deles. Porém os estudantes já estavam cansados e não queriam mais
realizar a atividade, foi preciso insistir para que alguns fizessem e o fizeram
desmotivados.
Então, para finalizar os experimentos, iniciamos com a aplicação do pósteste aditivo, composto pelas mesmas questões aditivas do pré-teste geral. Quando
os alunos concluíram esse pós-teste, lhes foi entregue o pós-teste multiplicativo que
tinham as mesmas também tinham as mesmas questões multiplicativas do pré-teste
geral. Ambos eram iguais em relação ao pré-teste para que pudéssemos comparálos, a fim de analisar o desempenho dos alunos nas aplicações de nossas
atividades.
Ressaltamos que os testes foram aplicados no mesmo dia, em uma aula
de 135 minutos, porque a docente dos alunos tinha que dar continuidade na matéria,
já que na outra semana iniciarão as provas.
Ao final do experimento, obtivemos muitas informações para serem
tabuladas, analisadas e comparadas com resultados de outras pesquisas que
serviram de suporte para o desenvolvimento da pesquisa em questão.
5 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE
Esta seção traz a sistematização das informações produzidas no
diagnóstico final em tabelas, quadros e gráficos. E, análise dos dados obtidos nos
pré e pós-testes da pesquisa, os critérios para a mesma foram estabelecidos com
base em Sá (2003), Jucá e Sá (2006) e Santos e Souza (1997 apud Sá, 2003). A
pesquisa realizou-se com o universo de 32 alunos, sendo que todos os discentes
analisados cursavam a 5ª série ou 6º ano de uma escola pública localizada no
município de Belém do Pará.
43
5.1 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS SOCIOECONÔMICOS:
Os alunos entrevistados eram compostos de 46,88% do sexo feminino e
53,12% do sexo masculino. E a partir disso obtemos os dados abaixo do
questionário socioeconômico, os quais, os resultados do mesmo são importantes
para entender o pós-teste da pesquisa.
Quadro 1: Faixa etária
Faixa etária
Valor Absoluto
Percentual de Alunos (%)
10
2
6,25
11
19
59,38
12
11
34,37
Total
32
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos visualizar os dados do quadro 1 no gráfico abaixo:
Gráfico 1: Faixa etária dos alunos
Faixa Etária
12 anos
11 anos
10 anos
34,37
59,38
6,25
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O gráfico nos informa que os alunos pesquisados têm idade variante entre
10 e 12 anos, entre eles, destacamos que o maior percentual está na faixa etária de
11 anos e 12 anos, com 59,38 % e 34,37%, respectivamente. E o menor percentual
de idade é de 6,25%, que corresponde a 10 anos.
Esse fato é considerado comum para a série em que se encontram, pois,
de acordo com Brasil (2013):
Artigo 6° - Para o ingresso no 1° ano do Ensino Fundamental, a criança
deverá ter 6 (seis) anos de idade completos até o dia 31 de março do ano
em que ocorrer a matrícula, conforme dita a Resolução 01/2010 do
Conselho Nacional de Educação/Câmara Nacional de Educação Básica.
(p.2)
44
Portanto, cumprindo esse artigo, ao ingressar no 6º ano, o aluno deverá
está entre 11 e 12 anos de idade, sendo que poucos alunos são repetentes ou
fazem dependência, em outras palavras, cursam o 6º e 7º ano ao mesmo tempo.
Os dados abaixo mostram o tipo de escola que os discentes estudaram
no 5º ano:
Quadro 2: Escola em que Estudou o 5º ano
Tipo de Escola
Valor Absoluto
Percentual de Alunos (%)
Estadual
25
78,13
Municipal
4
12,50
Particular
1
3,13
Outro
1
3,13
Em Branco
1
3,13
Total
32
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Gráfico 2: Escola em que Estudou o 5º ano
Tipo de Escola
Em Branco
3,13
Outro
3,13
Particular
3,13
Municipal
12,5
Estadual
78,13
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados do gráfico 2 mostram que 78,13% e 12,5% dos discentes, ou
seja, a maioria, estudou a série anterior a que se encontram, em escola pública,
estadual e municipal respectivamente, isso pode ser devido eles possuírem um
baixo poder aquisitivo. Às vezes, os alunos que estudam nesses tipos de escola
podem de certa forma se prejudicar em seus estudos devido às várias greves
realizadas pelos professores.
As informações apresentadas a seguir são referentes à repetência ou
dependentes do 6º ano:
45
Quadro 3: Dependente ou Repetente
Dependente ou
Repetente
Valor Absoluto
Percentual de Alunos (%)
Sim
2
6,25
Não
29
90,62
Em Branco
1
3,13
Total
32
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Segue abaixo o gráfico do quadro 3:
Gráfico 3: Dependente ou Repetente
Dependente ou Repetente
Em Branco
3,13
Não
90,62
Sim
6,25
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Analisando o gráfico 3, observamos que 90,62% dos discentes não são
repetentes ou fazem dependência, mostrando que talvez possa não ter havido muita
dificuldade de aprendizagem na série em questão para os alunos que atualmente
estão no 7º ano. E apenas 6,25% fazem dependência ou são repetentes, o que pode
nos revelar a limitações na aprendizagem desses, aliada a uma série de fatores que
podem ser: familiares, culturais, estruturais e até mesmo emocionais.
As informações apresentadas a seguir se relacionam com o hábito dos
alunos de lidar com dinheiro.
46
Quadro 4: Costuma Fazer Compras
Costuma Fazer Compras
Valor Absoluto
Percentual de Alunos (%)
Sim
9
28,12
Não
0
0,00
Às Vezes
22
68,75
Em Branco
1
3,13
Total
32
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados apresentados no quadro 4 estão descritos no gráfico a seguir:
Gráfico 4: Costuma Fazer Compras
Costuma Fazer Compras
Em Branco
3,13
Às Vezes
68,75
Não
0
Sim
28,12
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Ao observamos o gráfico 4 notamos que dos discentes analisados
68,75% às vezes têm hábito de fazer compras, 28,12% sim e somente 3,13% não
responderam. Esse hábito serve para que eles relacionem a matemática com o
cotidiano.
Observaremos
adiante
os
dados
responsáveis masculino e feminino dos estudantes:
acerca
da
escolaridade
dos
47
Quadro 5: Escolaridade do responsável masculino
Grau de Escolaridade
Valor Absoluto
Percentual (%)
Não estudou
Ainda está estudando
Ensino Fundamental Menor completo (1ª a
4ª série)
Ensino Fundamental Maior completo (5ª a 8ª
série)
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª
série)
Ensino Médio Completo
Ensino Médio Incompleto
Curso Superior Completo
Curso Superior Incompleto
Em Branco
Total
2
2
6,25
6,25
3
9,38
2
6,25
2
6
3
2
2
8
32
6,25
18,74
9,38
6,25
6,25
25,00
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Gráfico 5: Escolaridade do responsável masculino
Grau de Escolaridade
Em Branco
25
Curso Superior Incompleto
6,25
Curso Superior Completo
6,25
Ensino Médio Incompleto
9,38
Ensino Médio completo
18,74
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a…
6,25
Ensino Fundamental Maior completo…
6,25
Ensino Fundamental Menor completo…
9,38
Ainda está estudando
6,25
Não estudou
6,25
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Por meio do gráfico 5, podemos perceber que 25% dos estudantes não
sabem informar o nível de escolaridade dos responsáveis masculinos, e que a
maioria dos responsáveis têm o ensino médio completo, com 18,74%, seguido do
ensino fundamental menor completo (1ª a 4ª série) e do ensino médio incompleto,
com 9,38%.
48
Quadro 6: Escolaridade do responsável feminino
Grau de Escolaridade
Valor Absoluto
Percentual (%)
Não estudou
Ainda está estudando
Ensino Fundamental Menor completo (1ª a
4ª série)
Ensino Fundamental Maior completo (5ª a
8ª série)
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª
série)
Ensino Médio Completo
Ensino Médio Incompleto
Curso Superior Completo
Curso Superior Incompleto
Em Branco
Total
2
1
6,25
3,13
1
3,13
3
9,38
5
5
3
4
0
8
32
15,62
15,62
9,38
12,49
0,00
25,00
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O próximo gráfico ilustra o quadro 6:
Gráfico 6: Escolaridade do responsável feminino
Grau de Escolaridade
Em Branco
25
Curso Superior Incompleto
0
Curso Superior Completo
12,49
Ensino Médio Incompleto
9,38
Ensino Médio completo
15,62
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a…
15,62
Ensino Fundamental Maior completo…
9,38
Ensino Fundamental Menor completo… 3,13
Ainda está estudando
3,13
Não estudou
6,25
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Analisando o gráfico 6 notamos que também 25% dos participantes da
pesquisa não sabem o grau de escolaridade do responsável feminino, entre essas
responsáveis, o maior percentual delas têm o ensino médio completo e o ensino
fundamental incompleto (1ª a 8ª série), com 15,62%. E destacamos que 12,49% têm
o ensino superior completo.
49
Analisaremos agora os dados sobre a ocupação dos responsáveis, o
quadro abaixo apresenta a profissão dos responsáveis masculinos:
Quadro 7: Profissão do responsável masculino
Profissão
Percentual (%)
Não Trabalha
9,38
Vigilante
15,63
Pedreiro
9,38
Porteiro
6,25
Outros
43,74
Em Branco
15,63
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O quadro 7 está representado pelo gráfico a seguir:
Gráfico 7: Profissão do responsável masculino
Profissão
Em Branco
15,63
Outros
43,74
Porteiro
6,25
Pedreiro
9,38
Vigilante
15,63
Não Trabalha
9,38
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O gráfico 7 indica que entre as profissões pesquisadas o maior percentual
encontrado está em outros (mecânico, pintor, comerciante, instrutor de auto escola)
com 43,74%, seguida de vigilantes com 15,63%, e esse mesmo percentual para os
50
alunos que não souberam responder. Juntando todas essas categorias resultam na
metade dos homens analisados.
Quanto aos responsáveis femininos, temos os dados a seguir:
Quadro 8: Profissão do responsável feminino
Profissão
Percentual (%)
Dona de casa
46,87
Doméstica
9,38
Professora
6,25
Vendedora
9,38
Outros
21,87
Em Branco
6,25
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Gráfico 8: Profissão do responsável feminino
Profissão
Em Branco
Outros
Vendedora
Professora
Doméstica
Dona de casa
6,25
21,87
9,38
6,25
9,38
46,87
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Ao observamos as informações desse gráfico 8 , notamos que a maioria
dos responsáveis femininos é dona de casa, com o percentual correspondente a
46,87% e 21,87% trabalham em outras profissões, como: faxineira, fiscal de loja,
manicure, cozinheira, entre outros. Totalizado 68,74% dos responsáveis.
Os próximos dados apresentados referem-se à dificuldade que os
discentes têm em aprender matemática.
51
Quadro 9: Dificuldades em Aprender Matemática
Dificuldades em Matemática
Percentual (%)
Não
Um Pouco
Muito
Total
18,74
78,13
3,13
100
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos visualizar os dados do quadro 9 no gráfico abaixo:
Gráfico 9: Dificuldades em Aprender Matemática
Dificuldades em Matemática
Muito
Um Pouco
Não
3,13
78,13
18,74
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O gráfico 9 nos mostra que mais da metade dos estudantes,
precisamente, 78,13% afirmam ter um pouco de dificuldade na disciplina e que
3,13% apresentam muita dificuldade.
Para os alunos, a principal razão do insucesso na disciplina de Matemática
resulta desta ser extremamente difícil de compreender. No seu entender, os
professores não a explicam muito bem nem a tornam interessante. Não
percebem para que serve nem porque são obrigados a estudá-la. Alguns
alunos interiorizam mesmo desde cedo uma auto-imagem de incapacidade
em relação à disciplina. Dum modo geral, culpam-se a si próprios, aos
professores, ou às características específicas da Matemática. (PONTE,
2011, p.1).
Face ao exposto devemos buscar novos métodos para ensinar, como no
caso dos jogos que é mencionado na seção que mostra os estudos sobre problemas
que envolvem as quatro operações, tornando a aula mais interessante para o
discente e “prendendo” a atenção do mesmo o estimulando a participar da aula.
As informações apresentadas a seguir são acerca de quem os auxilia nas
tarefas de matemática em casa.
52
Quadro 10: Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa
Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa
Percentual (%)
Ninguém
12,49
Pai
12,49
Mãe
59,38
Irmão
3,13
Amigo
0,00
Professor Particular
6,25
Outro
9,38
Em Branco
3,13
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos observar os dados do quadro 10 no gráfico abaixo:
Gráfico 10: Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa
Auxílio nas Tarefas de
Matemática em Casa
Em Branco
Outro
Professor Particular
Amigo
Irmão
Mãe
Pai
Ninguém
3,13
9,38
6,25
0
3,13
59,38
12,49
12,49
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A partir do gráfico 10, podemos perceber que mais da metade dos alunos
são auxiliados em suas tarefas pela mãe, com 59,38%, talvez porque a maioria
delas é dona de casa, sendo que um percentual significativo tem o ensino superior
53
completo. Observando que 12,49% declaram não receber auxílio de ninguém e
alguns alunos são auxiliados por mais de uma pessoa.
No quadro a seguir temos os dados relacionados às notas dos discentes:
Quadro 11: Como Geralmente são as Notas de Matemática
Notas de Matemática
Acima da Média
Na Média
Abaixo da Média
Percentual (%)
59,37
37,50
3,13
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Gráfico 11: Como Geralmente são as Notas de Matemática
Notas de Matemática
Abaixo da Média
3,13
Na Média
37,5
Acima da Média
59,37
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O gráfico 11 nos mostra que a maioria dos alunos informa que suas notas
estão acima da média, com 59,37% e 37,5% estão na média, o que não condiz ao
vermos os resultados obtidos nos pré-testes.
As informações apresentadas a seguir são sobre o gosto dos educandos
por matemática:
Quadro 12: Gosto pela Matemática
Categorias do Gosto pela Matemática
Percentual (%)
Sim
84,38
Não
15,62
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos visualizar os dados do quadro 10 no gráfico abaixo:
54
Gráfico 12: Gosto pela Matemática
Categorias do Gosto pela
Matemática
Não
15,62
Sim
84,38
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Ao analisar o gráfico 12 constatamos que uma quantidade expressiva de
alunos afirma gostar de matemática, totalizando 84,38%, apesar de que muitos
informaram que têm dificuldade na disciplina.
Nos dados subsequentes apresentaremos a ocorrência de distração nas
aulas de matemática:
Quadro 13: Ocorrência de Distração nas Aulas de Matemática
Ocorrência de Distração nas Aulas de
Matemática
Não, eu sempre presto atenção.
Sim, eu não consigo prestar atenção.
Na maioria das vezes eu me distraio nas
aulas de matemática
Percentual (%)
31,25
3,13
65,63
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Gráfico 13: Ocorrência de Distração nas Aulas de Matemática
Distração nas Aulas de
Matemática
Na maioria das vezes eu me distraio nas
aulas de matemática
65,62
Sim, eu não consigo prestar atenção
3,13
Não, eu sempre presto atenção
31,25
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
55
De acordo com o gráfico 13, observamos que o aluno afirma que na
maioria das vezes ele se distrai nas aulas de matemática e que alguns não
conseguem prestar nenhuma atenção nas aulas, dados esses que em percentual
temos 65,62% e 3,13% respectivamente. E juntos totalizam 68,75%, ou seja, há uma
quantidade significativa de discentes que se distraem durante a aula. Esse fato
talvez possa ocorrer porque como mencionado por Krulik e Reys (1997) quando nos
referimos à resolução de problemas, a aula torna-se mais interessante na medida
em que os alunos interagem com o professor ao resolver um problema, não
seguindo apenas o modelo clássico de “exposição e exercício”, o fazendo aprender
de forma dinâmica.
Os dados seguintes explanam como ocorre a maioria das aulas de
matemática na escola em que os alunos pesquisados estudam:
Quadro 14: Como Acontece a Maioria das Aulas de Matemática da Escola
Forma das Aulas de Matemática
Começando pela definição seguida de exemplos e
exercícios
Começando por uma situação problema para depois
introduzir o assunto
Criando um modelo para situação e em seguida
analisando o modelo
Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
Em Branco
Percentual (%)
71,88
18,75
6,25
9,38
6,25
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O quadro 14 está ilustrado por meio do gráfico abaixo:
Gráfico 14: Como Acontece a Maioria das Aulas de Matemática da Escola
Forma das Aulas de Matemática
Em Branco
Iniciando com jogos para depois…
6,25
9,38
Criando um modelo para situação e em…
6,25
Começando por uma situação…
Começando pela definição seguida de…
18,75
71,88
0
20
40
60
80
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
100
56
O gráfico 14 nos detalha que 71,88% das aulas de matemática são
realizadas começando pela definição seguida de exemplos e exercícios, e que
raramente se começa de um modo diferente, mais dinâmico, ou seja, por uma
situação problema (18,75%), iniciando com jogos para depois sistematizar conceitos
(9,38%) ou criando um modelo para a situação e em seguida analisando-o (6,25%).
Logo, percebemos que essa realidade não é a que Brasil (1998) sustenta como
citado na subseção 2.1 ao destacar as bases das situações de aprendizagem, as
quais o educando consegue desenvolver seu cognitivo e não realiza apenas
atividades em que eles não conseguem compreender.
Em seguida analisaremos os dados sobre a metodologia utilizada pelo
professor (a) durante a explicação de um assunto.
Quadro 15: Maneira que o Professor (a) de Matemática Costuma Ensinar para o Aluno Entender
Melhor
Metodologia do (a) Professor (a)
Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
Apresentar jogos envolvendo o assunto
Mandar resolver os exercícios do livro didático
Não propor questões de fixação
Mandar que você procurasse questões sobre o assunto para
resolver
Percentual (%)
65,63
28,13
6,25
3,13
9,38
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Gráfico 15: Maneira que o Professor (a) de Matemática Costuma Ensinar para o Aluno Entender
Melhor
Metodologia do Professor
Mandar que você procurasse questões
sobre o assunto para resolver
9,38
Não propor questões de fixação
3,13
Mandar resolver os exercícios do livro
didático
6,25
Apresentar jogos envolvendo o assunto
28,13
Apresentar uma lista de exercícios para
serem resolvidos
65,63
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
57
A análise do gráfico 15 nos aponta que entre os alunos entrevistados
65,63% declararam que para entender melhor o assunto ensinado, o professor (a)
de matemática costuma apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos e
28,13% afirmaram que o docente apresenta jogos envolvendo o assunto. E 9,38%
informaram que o professor (a) mande que eles procurem questões sobre o assunto
para resolver. O que pode ser preocupante, pois novamente não condiz com o
processo de resolução de problemas, já que na maioria das vezes o aluno está
aprendendo apenas por meio de algoritmos, sem situações problema.
Para dar continuidade, os quadros e gráficos posteriores versam sobre o
entendimento do aluno em relação às quatro operações envolvendo os números
naturais:
Quadro 16: Operações que o Aluno tem Mais Dificuldade em Efetuar
Operações que o Aluno tem Mais
Dificuldade em Efetuar
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Nenhuma Delas
Percentual (%)
9,38
6,25
40,63
43,75
9,38
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados do quadro 16 estão ilustrados no seguinte gráfico:
Gráfico 16: Operações que o Aluno tem Mais Dificuldade em Efetuar
Operações que o Aluno tem Mais
Dificuldade em Efetuar
Nenhuma Delas
9,38
Divisão
43,75
Multiplicação
40,63
Subtração
6,25
Adição
9,38
0
20
40
60
80
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
100
58
Ao avaliar o gráfico 16 podemos observar que um número expressivo de
alunos afirmou ter dificuldade em resolver operações de divisão e multiplicação, nos
gerando um percentual de 43,75% e 40,63%, respectivamente, ou seja, 84,38%
admite ter problemas ao resolver questões referentes ao campo multiplicativo. Esse
acontecimento nos confirma o que Moreira (2002 apud CRUCIOL e SILVA, 2013)
aborda na subseção 2.3 e Carvalho (2009, 2010 apud LIMA, 2013, p. 01) na
subseção 2.1, que o campo multiplicativo é um conhecimento complexo e que por
ser limitado, já que não conferem significados aos algoritmos, o aluno tem um baixo
rendimento na operação de divisão.
As próximas informações são referentes ao domínio da tabuada:
Quadro 17: Domínio da Tabuada
Domínio da Tabuada
Percentual (%)
Sim
53,13
Não
46,88
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos visualizar os dados do quadro 17 no gráfico abaixo:
Gráfico 17: Domínio da Tabuada
Domínio da Tabuada
Não
46,88
Sim
53,13
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
59
Ao observarmos o gráfico 17 podemos perceber que 53,13% dizem ter o
domínio da tabuada, enquanto que 46,88% informam que não têm esse domínio. O
que é contraditório ao vermos que no gráfico 16, eles expõem que apresentam
dificuldade nas operações, principalmente multiplicação e divisão e isso ficará
evidente adiante quando olharmos as análises dos testes.
Por fim, apresentaremos os dados a respeito do hábito de estudar dos
discentes:
Quadro 18: Costume de Estudar Matemática
Costume de Estudar Matemática
Percentual (%)
Só no período das provas
28,13
Só na véspera da prova
28,13
Todo dia
15,63
Só no fim de semana
28,13
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos visualizar os dados do quadro 18 no gráfico abaixo:
Gráfico 18: Costume de Estudar Matemática
Costume de Estudar Matemática
Só no fim de semana
28,13
Todo dia
15,63
Só na véspera da prova
28,13
Só no período das provas
28,13
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O gráfico 18 nos informa resultados semelhantes quanto ao costume dos
alunos de estudar para a disciplina, pois 28,13% tem o hábito de estudar só no fim
60
de semana, só na véspera da prova e só no período das provas, sendo que apenas
15,63% estudam todo dia.
5.2 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE DAS INFORMAÇÕES DO PRÉ-TESTE
GERAL:
Baseados nos teóricos supracitados, utilizamos primeiramente os
seguintes critérios na análise dos dados:
 Acerto: Apresentou uma resolução para a questão e o resultado estava
correto.
 Erro: Apresentou uma resolução para a questão, mas o resultado
estava incorreto.
 Em Branco: Não apresentou nenhuma solução para a questão.
 Sem Registro: Apresentou resposta, mas não mostrou o algoritmo para
se chegar ao resultado.
Os percentuais apresentados a seguir, são em relação à avaliação
diagnóstica inicial, estes resultados foram obtidos por meio do pré-teste geral que
para efeito de análise será subdividido em aditivo e multiplicativo, onde analisamos
os problemas resolvidos por cada aluno, conforme os critérios descritos acima e
dispostos em tabelas e/ou gráficos. Enfatizamos que as questões do pré-teste geral
estão descritas na seção do percurso metodológico, a tabela abaixo apresenta o
desempenho por aluno.
Tabela 1: Resultado do pré-teste geral – Problemas Aditivos
Alunos
Total de
Acerto (%)
Total de Erro
(%)
Sem Registro
– Acertos (%)
Sem Registro
– Erros (%)
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
60
60
60
70
80
100
60
30
40
80
70
0
10
40
30
20
0
40
60
30
20
20
0
60
0
0
10
0
0
0
0
20
0
0
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
(continua)
Total em
Branco (%)
40
30
0
0
0
0
0
10
30
0
10
61
Tabela 1: Resultado do pré-teste geral – Problemas Aditivos
(conclusão)
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29
A30
A31
A32
50
90
30
10
80
50
80
20
80
0
30
10
20
90
30
50
40
70
20
90
60
50
10
30
80
10
50
20
10
20
90
70
60
80
10
30
50
20
10
40
10
30
20
10
0
0
0
20
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
20
20
0
0
10
30
0
0
0
0
20
0
10
0
20
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
10
0
0
40
10
10
0
0
70
0
10
0
30
0
0
40
0
40
20
40
0
10
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados da tabela 1 estão ilustrados no gráfico abaixo:
Gráfico 19: Resultado do pré-teste geral – Problemas Aditivos
100
90
80
Porcentagem
70
60
50
40
30
20
10
0
A1
A3
A5
A7
A9
A11
A13
A15
A17
A19
A21
A23
A25
A27
A29
A31
Alunos
Total de Acerto
Total de Erro
Sem Registro – Acertos
Sem Registro – Erros
Total em Branco
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
62
Os dados do gráfico 19 nos mostram que o índice de acertos foi maior
que o número de erros, apenas um aluno (A6) acertou 100% do pré-teste, três
alunos (A13, A25, A31) obtiveram uma porcentagem acertos de 90% no pré-teste,
62,50% dos alunos resolveu corretamente uma variação de 50% a 100% do teste.
Três alunos obtiveram um índice de erros expressivo: A15 e A24, ambos com 80% e
A21 com 90%, sendo que esse deixou 10% do texto em branco, o que é um
quantitativo alarmante.
Observemos agora a comparação entre a média do número total de
acertos, erros e brancos, no gráfico 20:
Gráfico 20: Resultado do desempenho geral – Problemas Aditivos
Nº de Brancos
13,75%
Nº de Erros
32,81%
Nº de Acertos
0,00%
53,44%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Observamos que ao analisarmos a média do desempenho dos alunos nas
questões aditivas do pré-teste geral, podemos constatar o que foi mencionado
anteriormente, que o número de acertos (53,44%) é maior que o número de erros e
questões deixadas em branco, que juntos equivalem a um percentual de 46,56%.
Sendo importante ressaltar que no questionário socioeconômico os discentes
informaram não ter tanta dificuldade com problemas que envolvem as operações de
adição e subtração.
63
A seguir, na tabela 2, está ilustrado o resultado do pré-teste geral – problemas
multiplicativos de cada aluno.
Tabela 2: Resultado do pré-teste geral – Problemas Multiplicativos
Alunos
Total de
Total de Erro Sem Registro
Acerto (%)
(%)
– Acertos (%)
A1
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29
A30
A31
A32
30
30
40
50
10
10
0
0
40
0
10
20
10
0
80
10
40
0
50
0
10
0
0
70
0
0
10
0
0
40
0
40
60
60
50
70
60
90
10
40
80
80
30
80
80
10
90
30
30
50
70
60
50
70
20
30
70
30
30
30
50
40
Sem Registro
– Erros (%)
Total em
Branco (%)
10
40
10
20
0
10
0
0
20
20
50
0
40
0
0
80
0
10
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
30
10
0
0
20
30
10
90
20
20
10
50
10
20
10
0
30
70
0
30
30
50
30
10
70
30
60
70
70
10
60
0
20
0
40
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados da tabela 2 estão ilustrados no gráfico abaixo:
64
Porcentagem
Gráfico 21: Resultado do pré-teste geral – Problemas Multiplicativos
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A1
A3
A5
A7
A9
A11 A13 A15 A17 A19 A21 A23 A25 A27 A29 A31
Alunos
Total de Acerto
Total de Erro
Sem Registro – Acertos
Sem Registro – Erros
Total em Branco
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Por meio do gráfico 21, notamos que o índice de acertos foi
significativamente menor que o número de erros ou questões deixadas em branco,
nenhum aluno acertou 100% do pré-teste, 12,50% dos alunos resolveu corretamente
uma variação de 50% a 80% do teste e 43,75% não acertou nenhuma questão.
Apenas um aluno (A2) deixou 100% do teste em branco no que se relaciona a esses
tipos de questões, mas no pré-teste geral – campo aditivo esse mesmo discente
acertou 60% das questões sem ocorrência de registro das mesmas.
Sendo interessante observar que os problemas do campo aditivo e
multiplicativo estavam misturados no pré-teste geral e que os educandos obtiveram
mais erros ou deixaram em branco justamente nas questões que utilizam operações
de multiplicação e divisão, nas quais eles informaram ter mais dificuldade ao
responder o questionário socioeconômico, principalmente a última citada, já que o
campo multiplicativo é mais complexo. Confirmando a pesquisa de Almeida (2011
apud BARBOSA e SANTOS, 2012), onde o mesmo teve um resultado insatisfatório,
principalmente ao se tratar dessas operações.
Referente
a essa dificuldade
encontrada,
sobretudo
na
divisão,
Starepravo e Moro (2005 apud GONÇALVES, 2008) diz que:
na multiplicação, a relação com a adição é bastante forte para as crianças e
a ação de repetição é mais facilmente representada mentalmente, ainda
que na escola sejam elas ensinadas a multiplicar por meio de algoritmos”.
65
Isso não ocorre na divisão que [...] mesmo sendo ensinada na escola por
meio do algoritmo convencional, parece trazer uma dupla dificuldade para
as crianças pois a divisão não mantém a mesma relação direta com a
adição e além disso “exige uma inversão no raciocínio multiplicativo. (p.54)
As imagens 1 e 2 a seguir da resolução dos problemas abaixo de dois
alunos no pré-teste geral, explicitam o caso exposto:
 O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?
Imagem 1: Problema de multiplicação
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos constatar que o aluno em questão, relaciona a multiplicação
com a adição, como citado por Starepravo e Moro (2005 apud GONÇALVES, 2008).
 O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma
dessas canetas?
Imagem 2: Problema de divisão
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Podemos constatar que o aluno além de não saber fazer a inversão
utilizando o raciocínio multiplicativo para ratificar sua resposta, como já foi citado por
Starepravo e Moro (2005 apud GONÇALVES, 2008), não consegue também dividir
quando em seu divisor tem mais de uma unidade. E ainda, ele não faz o retrospecto
da sua resolução, o qual Polya (1995) se refere.
A posteriori segue a comparação entre a média do número total de
acertos, erros e brancos, no gráfico 22:
66
Gráfico 22: Resultado do desempenho geral – Problemas Multiplicativos
Nº de Brancos
32,81%
Nº de Erros
49,69%
Nº de Acertos
0,00%
17,50%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Ao analisarmos a média do desempenho dos alunos nas questões
multiplicativas do pré-teste geral, podemos confirmar que o número de erros
(49,69%) e questões deixadas em branco (32,81%) é maior que o número de
acertos (17,50%), que corresponde a menos de um quarto das questões.
5.3 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE GERAL ADITIVO E PÓS-TESTE ADITIVO:
Apresentaremos os dados obtidos no pré-teste geral – problemas aditivos
e pós-teste aditivo constante no apêndice B aplicados em um universo de 32 alunos.
A análise fornecerá um comparativo do desempenho dos alunos nas questões do
campo conceitual aditivo: adição e subtração, após ser realizada a atividade do jogo
de Pif-Paf das quatro operações com números naturais. Abaixo está a tabela do
desempenho dos alunos nos referido testes.
67
Tabela 3: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas aditivos e pósteste aditivo
Alunos
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29
A30
A31
A32
Total de
Acerto (%)
Total de
Erro (%)
Sem
Registro –
Acertos (%)
Sem
Registro –
Erros (%)
Total em
Branco (%)
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
60
60
60
70
80
100
60
30
40
80
70
50
90
30
10
80
50
80
20
80
0
30
10
20
90
30
50
60
60
60
70
80
90
40
90
80
100
90
30
30
40
90
90
70
100
40
40
80
80
80
70
90
40
90
60
20
100
40
100
80
100
20
90
60
0
10
40
30
20
0
40
60
30
20
20
50
10
30
80
10
50
20
10
20
90
70
60
80
10
30
50
0
10
40
30
20
10
10
10
20
0
10
60
70
0
10
10
30
0
60
60
10
20
20
30
10
60
10
20
30
0
30
0
20
0
10
10
20
0
60
0
0
10
0
0
0
0
20
0
20
10
0
0
0
20
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
60
0
0
10
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
30
0
0
0
0
20
0
10
0
20
0
0
0
0
0
0
0
10
10
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
40
30
0
0
0
0
0
10
30
0
10
0
0
40
10
10
0
0
70
0
10
0
30
0
0
40
0
40
30
0
0
0
0
50
0
0
0
0
10
0
60
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
20
50
0
30
0
0
0
70
0
20
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados da tabela 3 podem ser visualizados no gráfico 23:
68
Gráfico 23: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas aditivos e pós-
Porcentagem
teste aditivo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A1
A3
A5
A7
A9
A11 A13 A15 A17 A19 A21 A23 A25 A27 A29 A31
Alunos
Total de Acertos (%) - Pré
Total de Acertos (%) - Pós
Total de Erros (%) - Pré
Total de Erros (%) - Pós
Sem Registros - Acertos (%) - Pré
Sem Registros - Acertos (%) - Pós
Sem Registros - Erros (%) - Pré
Sem Registros - Erros (%) - Pós
Total em Branco (%) - Pré
Total em Branco (%) - Pós
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A partir do gráfico acima, obtivemos conclusões abaixo pontuadas:
 A maior parte dos alunos aumentou o índice de acertos no pós-teste
aditivo, os índices de erros e brancos também decaíram em quase todos os casos.
 A média de problemas com acertos, erros e em branco alterou de
53,44%, 32,81% e 13,75% para 69,37%, 20,63%, 10% respectivamente.
 Destacamos o desempenho dos alunos A5, A13, A25, A27 e A29 que
antes haviam acertado uma faixa de 50% a 90%, agora aumentaram o índice de
acertos para 100%, sendo que desses, o A27 que havia acertado apenas metade do
pré-teste.
 É interessante observar que houve uma melhora significativa de alunos
que não deixaram nenhuma questão em branco, pois no pré-teste era de 50% e no
pós-teste modificou para 71,88%, ou seja, alcançamos uma variação de 21,88%.
 Houve um pequeno aumento de 62,50% para 68,75% dos alunos que
resolveram corretamente uma variação de 50% a 100% do teste.
69
 O índice de erro de A6 aumentou de 0% para 10%, sendo que ele não
deixou nenhuma questão em branco.
 O índice de problemas em branco do A30 aumentou de forma
expressiva de 0% para 70%, sendo que antes o quantitativo de acerto do mesmo foi
de 60%.
5.4 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE GERAL MULTIPLICATIVO E PÓS-TESTE MULTIPLICATIVO:
Na subseção em questão será realizado um comparativo do desempenho
dos alunos nas questões do campo conceitual multiplicativo: multiplicação e divisão,
por meio de um diagnóstico dos dados obtidos no pré-teste geral – problemas
multiplicativos e pós-teste multiplicativo, ambos também aplicados em um universo
de 32 discentes, após ser executada a atividade do jogo de cartas com problemas
verbais.
Segue a tabela do desempenho dos alunos nos referidos testes.
Tabela 4: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas multiplicativos e
pós-teste multiplicativo
(continua)
Alunos
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
Total de
Acerto (%)
Total de Erro
(%)
Sem Registro
– Acertos (%)
Sem Registro –
Erros (%)
Total em Branco
(%)
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
30
0
30
40
50
10
10
0
0
40
0
10
20
10
0
80
50
0
10
60
60
20
0
0
10
30
40
30
0
0
0
10
40
0
60
60
50
70
60
90
10
40
80
80
30
80
80
10
40
10
0
40
40
30
40
100
30
30
60
50
10
10
90
0
0
0
20
0
40
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
40
10
20
0
10
0
0
20
20
50
0
40
0
0
0
0
0
0
0
0
20
20
0
10
0
20
0
0
30
0
30
10
10
0
0
20
30
10
90
20
20
10
50
10
20
10
10
90
90
0
0
50
60
0
60
40
0
20
90
90
10
90
70
Tabela 4: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas multiplicativos e
pós-teste multiplicativo
(conclusão)
A17
A18
A19
A20
A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29
A30
A31
A32
10
40
0
50
0
10
0
0
70
0
0
10
0
0
40
0
10
50
0
60
40
10
10
0
70
0
10
30
30
0
30
0
90
30
30
50
70
60
50
70
20
30
50
30
30
30
50
40
50
20
10
40
50
50
10
70
30
30
50
50
30
30
40
40
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
80
0
10
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
20
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
30
0
0
0
10
0
30
70
0
30
30
50
30
10
70
0
60
70
70
10
60
40
30
90
0
10
40
80
30
0
70
40
20
40
70
30
60
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A tabela acima está ilustrada no gráfico 24:
Gráfico 24: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas multiplicativos e
Porcentagem
pós-teste multiplicativo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A1
A3
A5
A7
A9
A11 A13 A15 A17 A19 A21 A23 A25 A27 A29 A31
Alunos
Total de Acertos (%) - Pré
Total de Acertos (%) - Pós
Total de Erros (%) - Pré
Total de Erros (%) - Pós
Sem Registros - Acertos (%) - Pré
Sem Registros - Acertos (%) - Pós
Sem Registros - Erros (%) - Pré
Sem Registros - Erros (%) - Pós
Total em Branco (%) - Pré
Total em Branco (%) - Pós
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
71
O gráfico acima nos apresenta as seguintes conclusões:
 Ao contrário do campo conceitual aditivo que teve uma melhora
relevante, o campo conceitual multiplicativo teve um desempenho abaixo da
expectativa, porque houve um pequeno aumento do índice de acertos e em branco
no pós-teste multiplicativo, enquanto que o quantitativo de erros teve pouco
decaimento.
 A média de problemas com acertos, erros e em branco alterou de
17,50%, 49,69% e 32,81% para 20,94%, 36,88% e 42,19% respectivamente.
 Houve um pequeno aumento de 12,50% para 18,75% dos alunos que
resolveram corretamente uma variação de 50% a 70% do teste.
 Destacamos que houve 43,75% dos discentes que melhoraram seu
desempenho, dentre eles, o A11 e A21, os quais antes não haviam acertado
nenhuma questão e no pós-teste acertaram 40% do mesmo.
 Ressaltamos que 9,38% dos educandos permaneceram com a
quantidade de acertos do diagnóstico inicial, porém, entre os mesmos, o quantitativo
dos que deixaram em branco diminuiu, pois eles tentaram resolver o problema,
contudo, não tiveram êxito, são os seguintes: A17, A22 e A25.
 Nenhum aluno acertou 100% do pós-teste, sendo que o mesmo não
ocorreu no pré-teste. E alguns estudantes não acertaram nenhuma questão tanto do
pré, como do pós-teste.
 É interessante observar 18,75% dos discentes deixaram 90% do pósteste em branco, mas isso não se deve somente a falta de tempo, considerando que
no pré-teste 21,88% deixaram em branco, uma faixa de 60% a 90% dos problemas.
Logo, por meio dos testes os alunos ratificaram as dificuldades nos
problemas
do
campo
multiplicativo,
conforme
expuseram
no
questionário
socioeconômico, já que as operações de multiplicação e divisão são consideradas
difíceis por eles. No entanto a atividade das cartas teve um efeito à medida que
aumentou relativamente a quantidade de acertos.
No intuito de verificar mais detalhadamente os resultados pesquisados
faremos a análise das modalidades de acertos e erros ocorridos em todos os testes
por questão.
72
5.5 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE COMPARATIVA DAS MODALIDADES DE
ACERTOS E ERROS:
Realizaremos a análise comparativa por questão dos acertos e erros
sucedidos nos pré-teste geral de problemas aditivos e multiplicativos, e pós-testes
aditivos e multiplicativos. O diagnóstico baseou-se nos seguintes critérios:
 Acerto: quando o resultado e procedimentos estavam corretos;
 Erro: quando o resultado e procedimentos estavam incorretos;
 Em branco: não apresentou nenhuma resolução para a questão;
 Acerto Indeterminado: quando o resultado correto apresentado não era
acompanhado do cálculo (conta) pela qual se tinha obtido a resposta;
 Erro na escolha da operação: quando o cálculo apresentava os valores
relevantes para o problema, mas a operação escolhida estava incorreta;
 Erro no cálculo: quando apenas o cálculo do resultado estava incorreto;
 Erro indeterminado: quando o resultado incorreto apresentado não era
acompanhado do cálculo (conta) pela qual se tinha obtido a resposta;
 Erro na montagem da sentença: quando o cálculo não apresentava
todos os números relevantes para a questão ou o aluno montava a mesma
“queimando” etapas.
Vale destacar que os erros de cálculo parecem ter ocorrido por falta de
atenção ou domínio da tabuada ou até mesmo pelo domínio dos algoritmos de
cálculo das quatro operações. Observam-se abaixo algumas imagens ilustrativas de
cada categoria de erro:
Imagem 3: Erro de escolha da operação na 2ª questão do teste multiplicativo
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A imagem 3 é um exemplo de erro na escolha da operação, a resolução
correta solicitava a operação divisão, o cálculo seria 36 ÷ 12 = 3. A seguir temos o
erro de cálculo:
Imagem 4: Erro de cálculo na 1ª questão do teste multiplicativo
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
73
A imagem 4 ilustra o erro de cálculo, particularmente, na operação
multiplicação, nos chamando atenção a forma que o aluno tenta efetuar a mesma,
pois, ao que parece é que o discente soma os valores de cima e repete o de baixo
da seguinte forma: 1 + 8 = 9 e repete 19, resultando em 199, enquanto o correto
deveria ser 18 ˣ 19 = 342. Segue-se o erro indeterminado:
Imagem 5: Erro indeterminado na 4ª questão do teste multiplicativo
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Esse tipo de erro, imagem 5, ocorreu abundantemente nos testes a priori,
o resultado é composto somente por um número, de modo que, não é possível obter
conclusões sobre quais cálculos que foram utilizados para encontrá-lo. Abaixo temos
um exemplo de erro na montagem da sentença:
Imagem 6: Erro na montagem da sentença na 4ª questão do teste aditivo
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A imagem 6 mostra um erro de montagem da sentença, a resolução do
problema em questão não considerou todos os números relevantes, a expressão
que levaria ao resultado correto seria 13 - 6 = 7.
Seguindo a ordem de análise dos testes, primeiramente apresentaremos
abaixo uma análise comparativa do desempenho geral por questão da seguinte
forma: acertos, erros e em branco. Posteriormente, detalharemos a comparação das
modalidades de acertos e erros por questão, encontrados nos testes aditivos.
74
Tabela 5: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas aditivos e
pós-teste aditivo
Questão
Tipo de
Acerto (%)
Erro (%)
Em Branco (%)
Problema
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
Q1
Algébrico
56,25
68,75
34,38
25,00
3,13
9,38
Q2
Aritmético
81,25
90,63
9,38
9,38
3,13
0,00
Q3
Algébrico
43,75
56,25
34,38
21,88
6,25
18,75
Q4
Aritmético
46,88
59,38
25,00
18,75
15,63
15,63
Q5
Algébrico
25,00
50,00
28,13
34,38
28,13
12,50
Q6
Aritmético
56,25
84,38
25,00
12,50
3,13
3,13
Q7
Aritmético
59,38
87,50
9,38
9,38
12,50
0,00
Q8
Algébrico
31,25
62,50
59,38
18,75
6,25
15,63
Q9
Algébrico
31,25
43,75
31,25
34,38
31,25
18,75
Q10
Aritmético
31,25
75,00
31,25
18,75
28,13
6,25
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados da tabela acima seguem no gráfico abaixo:
Gráfico 25: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas aditivos
Porcentagem
e pós-teste aditivo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Questões
Acerto (%) PRÉ
Acerto (%) PÓS
Erro (%) PRÉ
Erro (%) PÓS
Em Branco (%) PRÉ
Em Branco (%) PÓS
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
75
Os dados do gráfico 25 nos permite concluir que:
 Houve uma melhora significativa de acertos do pré para o pós-teste,
após a realização da atividade do Pif-Paf, a média que era de 46,25% modificou
para 67,81%.
 O quantitativo de questões erradas e deixadas em branco também
diminuiu de 28,75% para 20,32% e de 13,75 para 10,00%, respectivamente,
ratificando que a atividade aplicada entre o pré e pós-teste teve um efeito positivo.
 O índice de acertos de problemas do tipo aritmético foi maior que os
algébricos, confirmando o que diz Nesher, Greeno, e Riley (1982 apud SÁ e FOSSA,
2008) que os alunos têm mais obstáculos com problemas algébricos devido os
esses darem ênfase ao significado semântico, sendo que a operação a ser realizada
no algoritmo de resolução não é apresentada diretamente no problema.
 É importante observar que a Q2 (aritmética) no pré-teste foi a que mais
obteve acertos e no pós-teste melhorou seu índice de acertos para 90,63%,
diminuindo assim o número de erros para 9,38%, sendo que nenhum discente a
deixou em branco.
 A Q5 (algébrica) teve um aumento de acertos de 25% para 50% e
diminuiu o quantitativo de pessoas que a deixaram em branco, de 28,13% para
12,50%, consequentemente aumentou o número de erros de 28,13% para 34,38%,
pois mais da metade dos alunos tentaram resolvê-la.
 O número de discentes que deixaram em branco da Q7 diminuiu
expressivamente de 12,50% para 0,00% e o índice de erros da mesma permaneceu
com 9,38%.
 A Q8 (algébrica) e Q10 (aritmética) tiveram um destaque do pré para o
pós-teste. A Q8 aumentou o índice de acertos de 31,25% para 62,50%, ou seja, uma
variação de 31,25% e diminuiu o quantitativo de erros de 59,38% para 18,75%,
porém, também aumentou o número de questões deixadas em branco de 6,25%
para 15,63%. E a Q10 aumentou a quantidade de acertos de 31,25% para 75,00%,
com uma variação de 43,75% e diminuiu significativamente o número de erros e
educandos que deixaram em branco.
A tabela 6 mostra os acertos ocorridos, inclusive das questões que não
tiveram registro, ou seja, o aluno não apresentou a resolução para se chegar à
resposta do questionamento.
76
Tabela 6: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo
Questão
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
Tipo de
Acerto (%)
Acerto Indeterminado (%)
Problema
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Aritmético
Algébrico
Algébrico
Aritmético
56,25
81,25
43,75
46,88
25,00
56,25
59,38
31,25
31,25
31,25
68,75
90,63
56,25
59,38
50,00
84,38
87,50
62,50
43,75
75,00
3,13
6,25
9,38
9,38
12,50
15,63
15,63
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3,13
3,13
0,00
0,00
3,13
3,13
0,00
0,00
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A tabela 6 está ilustrada no gráfico a seguir:
Porcentagem
Gráfico 26: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Questões
Acerto (%) PRÉ
Acerto (%) PÓS
Acerto Indeterminado (%) PRÉ
Acerto Indeterminado (%) PÓS
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados ilustrados no gráfico 26 nos permitem fazer a avaliação que se
segue:
77
 O quantitativo de acertos indeterminados no pré foi maior que o do pósteste, ou seja, no pós-teste um número significativo de educandos mostrou os
cálculos realizados.
 As questões Q1(algébrica), Q2 (aritmética), Q5 (algébrica) e Q6
(aritmética) tiveram uma redução de acertos indeterminados no pós-teste para
0,00%, concluindo-se assim, que os alunos que acertaram mostraram o processo de
resolução.
 A Q2 (aritmética) e Q6 (aritmética) aumentaram a quantidade de
acertos com e sem o processo de resolução de 87,50% para 90,63% e de 71,88%
para 84,38%, respectivamente.
 A Q5 (algébrica) mesmo somando no pré-teste o número de acertos
com acertos indeterminados que reduziu para 0,00% no pós-teste, como
mencionado anteriormente, totalizando 37,50% no pré-teste, aumentou no pós-teste
o quantitativo de acertos para 50%.
 A Q7 (aritmética) somando todos os tipos de acertos no pré-teste
obteve um percentual de 75,01% e no pós-teste, esse valor aumentou para 90,67%,
o que mostra que os alunos quase não têm dificuldade com problemas aritméticos
simples – que envolvem uma operação.
 Na Q8 (algébrica) teve um aumento de acertos indeterminados de
0,00% para 3,13%.
Agora nos ateremos aos erros ocorridos nos testes. A seguir temos a
tabela 7 que delineia os dados obtidos nessa apreciação:
Tabela 7: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo
Ques
tão
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
Tipo de
Problema
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Aritmético
Algébrico
Algébrico
Aritmético
Erro na Escolha
da Operação (%)
PRÉ
PÓS
Erro na
Montagem da
Sentença (%)
PRÉ
PÓS
21,88
0
15,63
3,13
25
9,38
6,25
28,13
12,50
6,25
18,75
6,25
18,75
12,50
28,13
3,13
6,25
21,88
34,38
18,75
90,63
0
65,63
0
46,88
0
0
90,63
40,63
0
68,75
9,38
56,25
15,63
81,25
0
12,50
71,88
37,50
12,50
Erro no Cálculo
(%)
PRÉ
PÓS
Erro
Indeterminado
(%)
PRÉ
PÓS
34,38
9,38
34,38
25
28,13
25
9,38
59,38
31,25
31,25
25
9,38
21,88
18,75
34,38
12,50
9,38
18,75
34,38
18,75
3,13
0
6,25
3,13
6,25
0
3,13
3,13
6,25
9,38
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
0
0
0
0
3,13
0
0
0
3,13
0
78
A tabela acima está detalhada no gráfico seguinte:
Porcentagem
Gráfico 27: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Questões
Erro na Escolha da Operação (%) PRÉ
Erro na Escolha da Operação (%) PÓS
Erro na Montagem da Sentença (%) PRÉ
Erro na Montagem da Sentença (%) PÓS
Erro no Cálculo (%) PRÉ
Erro no Cálculo (%) PÓS
Erro Indeterminado (%) PRÉ
Erro Indeterminado (%) PÓS
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A análise do gráfico 27 nos permite concluir que:
 No pré-teste a maioria dos erros ocorreram no cálculo e na montagem
da sentença, sendo que de 79,07% dos erros cometidos, 28,75% referem-se ao
cálculo e 33,44% à montagem da sentença, que somadas essas duas categorias de
erros alcançam 62,19%.
 No pós-teste o percentual de erros de cálculo e montagem da sentença
continuaram sendo os maiores, porém o erro de sentença se destacou com o valor
de 36,56%, um dos fatos de ambos os tipos de erros ocorrer deve-se porque os
alunos não prestaram atenção ao lerem os problemas e ao efetuar as operações do
campo aditivo, confundindo as operações que estão realizando, como mostra a
imagem a seguir:
Imagem 7: Erro de cálculo na 9ª questão do teste aditivo
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
79
 No pós-teste a média dos erros indeterminados diminuiu de 4,07% para
0,63%.
 Podemos destacar os percentuais de erro das questões Q1 com
68,75%, Q3 com 56,25%, Q5 com 81,25% e Q8 com 71,88%, nas quais os erros
cometidos no pós-teste foram exclusivamente de montagem da sentença, vale
ressaltar que Q1, Q3, Q5 e Q8 são problemas algébricos, nos quais, na sua
tradução simbólica se obtém uma expressão no qual a incógnita não fica isolada,
conforme citado na subseção 2.2, o que é de difícil entendimento para o aluno.
 No pós-teste apenas a Q5 (algébrica) e Q9 (algébrica) tiveram erro
indeterminado, porém os discentes aumentaram na Q2 (aritmética) o erro na
montagem da sentença de 0,00% para 9,38%. Na Q4 (aritmética) e Q10 (aritmética)
também não houve nenhum erro indeterminado e na Q8 o erro de cálculo diminuiu
expressivamente, pois no pré-teste foi de 59,38%, modificando no pós-teste para
18,75%.
 Tais resultados indicam haver maior grau de dificuldade de Q5
(algébrica) em relação às outras questões do teste aditivo, pois apresentou um alto
percentual de erro de cálculo e erro na montagem da sentença. Portanto, Q5 parece
exigir um nível maior de compreensão das relações semânticas e operação
envolvida.
Essas conclusões confirmam o que é proposto por Sá (2003) e Sá e
Fossa (2008) a respeito do grau de dificuldades nos problemas aritméticos e
algébricos.
Aquém apresentaremos o diagnóstico comparativo do desempenho geral
por questão: acertos, erros e em branco. E depois, a comparação das categorias de
acertos e erros ocorridos por questão nos testes multiplicativos. Portanto,
mostraremos a tabela 8 que delineia os dados obtidos na primeira apreciação:
Tabela 8: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas
multiplicativos e pós-teste multiplicativo
(continua)
Questão
Q1
Q2
Tipo de
Acerto (%)
Erro (%)
Em Branco (%)
Problema
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
Aritmético
Algébrico
15,63
12,50
15,63
18,75
78,13
53,13
59,38
50,00
3,13
21,88
21,88
28,13
80
Tabela 8: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas
multiplicativos e pós-teste multiplicativo
(conclusão)
Q3
15,63
37,50
Aritmético
18,75
21,88
Q4
25,00
15,63
Algébrico
15,63
18,75
Q5
25,00
12,50
Aritmético
6,25
15,63
Q6
15,63
18,75
Algébrico
15,63
6,25
Q7
40,63
37,50
Algébrico
18,75
6,25
Q8
31,25
18,75
Algébrico
25,00
34,38
Q9
34,38
25,00
Aritmético
21,88
50,00
Q10
34,38
37,50
Aritmético
3,13
12,50
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
18,75
46,88
50,00
71,88
28,13
53,13
25,00
56,25
37,50
43,75
53,13
25,00
56,25
43,75
21,88
46,88
Os dados da tabela acima estão ilustrados no gráfico abaixo:
Gráfico 28: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas
multiplicativos e pós-teste multiplicativo
100
90
80
Porcentagem
70
60
50
40
30
20
10
0
Questões
Acerto (%) PRÉ
Acerto (%) PÓS
Erro (%) PRÉ
Erro (%) PÓS
Em Branco (%) PRÉ
Em Branco (%) PÓS
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Por meio do gráfico acima podemos inferir que:
81
 Houve uma melhora reduzida de acertos do pré para o pós-teste, após
a realização da atividade do jogo de cartas, a média que era de 15,32% alterou para
20,00%.
 No pré-teste o número de acertos de problemas do tipo algébrico foi
maior que os aritméticos, o que é interessante, pois os discentes veem o primeiro
tipo de problema como um obstáculo no momento de interpretar os dados fornecidos
na questão, traduzindo-os para uma linguagem simbólica. Entretanto, no pós-teste
os acertos do tipo de problema aritmético foi maior que os algébricos, assim como
nos testes aditivos, porém nos multiplicativos, isso pode ser devido à falta de
atenção dos alunos e também à dificuldade dos mesmos, em sua maioria, de
efetivar cálculos.
 Ressaltamos que a Q1 (aritmética) não variou do pré para o pós-teste,
permanecendo
com
um
percentual
de
acertos
de
15,63%
e
diminiu
significativamente os erros de 78,13% para 59,38%, porém, o número de alunos que
deixaram em branco aumentou de 3,13% para 21,88%.
 A Q5 (aritmética) e Q8 (algébrica) tiveram um aumento no número de
acertos em relação ao pós-teste, de 6,25% para 15,63% e de 25,00% para 34,38%,
respectivamente, ambos com uma variação de 9,38% e a Q10 (aritmética) aumentou
de 3,13% para 12,50%, ou seja, uma diferença de 9,37%. Porém o destaque é maior
para Q9 (aritmética), pois aumentou de 21,88% para 50,00%, ou seja, uma alteração
considerável de 28,12%.
 Percebemos também que as questões Q6 (algébrica) e Q10
(aritmética) tiveram uma ampliação do quantitativo de erros de 15,63% para 18,75 e
de 34,38% para 37,50%, respectivamente. Contudo, essa ampliação se deu de
forma relevante na Q3 (aritmética), que no pré-teste teve um percentual de 15,63%,
modificando no pós-teste para 37,50%.
 No pré-teste o maior percentual da média ocorreu em questões que
foram deixadas em branco com 37,50% e no pós-teste o que alterou apenas foi esse
valor do percentual que aumentou para 37,82% de alunos que deixaram questões
em branco. Observando que no pós-teste o número de questões aritméticas
deixadas em branco aumentou e algébricas reduziu.
A tabela 9 mostra as categorias de acertos ocorridos no pré e pós-teste.
82
Tabela 9: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste
multiplicativo
Questão
Tipo de
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
Acerto (%)
Acerto Indeterminado (%)
Problema
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Algébrico
Algébrico
Aritmético
Aritmético
15,63
15,63
0
0
12,50
18,75
3,13
3,13
18,75
21,88
3,13
0
15,63
18,75
0,00
0
6,25
15,63
3,13
0
15,63
6,25
0
0
18,75
6,25
0
0
25,00
34,38
3,13
0
21,88
50,00
6,25
3,13
3,13
12,50
6,25
0
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
A tabela 9 está ilustrada no gráfico a seguir:
Gráfico 29: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste
Porcentagem
multiplicativo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Questões
Acerto (%) PRÉ
Acerto (%) PÓS
Acerto Indeterminado (%) PRÉ
Acerto Indeterminado (%) PÓS
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
Os dados ilustrados no gráfico 29 nos permitem concluir o seguinte:
83
 No pós-teste em relação ao pré praticamente não houve acerto
indeterminado, tendo assim uma média de 0,63%, o que significa que os discentes
ao resolverem o problema, mostraram todo o processo para se chegar à resposta.
 Na questão Q1 (aritmética) não houve alteração no percentual de
acertos do pré para o pós-teste, permanecendo assim o valor de 15,63%, não
havendo também acerto sem a “conta” em ambos os testes. Diferentemente da Q2
(algébrica) que modificou seu percentual de acertos de 12,50% para 18,75%,
conservando o valor de 3,13% em acertos indeterminados.
 A Q10 (aritmética) somando as duas categorias de acertos do pré para
o pós-teste, aumentou seu valor percentual de 9,38% para 12,50%, com uma
variação de 3,12%, entretanto, a Q9 (aritmética) destacou-se, pois obteve uma
diferença maior entre os testes, de 25%, ao somar também as modalidades de
acertos.
 Vale ressaltar que a maioria dos acertos indeterminados no pré-teste
ocorreram nos problemas do tipo aritmético. Enquanto que no pós-teste, houve um
equilíbrio, esse fato primeiramente relatado é interessante porque nesse momento,
percebemos que o discente mostrou os procedimentos para a resolução dos
problemas do tipo algébrico que são os que eles apresentam mais dificuldades.
Abaixo visualizaremos os tipos de erros ocorridos nos testes:
Tabela 10: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste
multiplicativo
Ques
tão
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
Tipo de
Problema
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Aritmético
Algébrico
Algébrico
Algébrico
Aritmético
Aritmético
Erro na Escolha
da Operação (%)
PRÉ
PÓS
Erro na
Montagem da
Sentença (%)
PRÉ
PÓS
31,25
25,00
0,00
37,50
25,00
43,75
Erro no Cálculo
(%)
PRÉ
PÓS
Erro
Indeterminado
(%)
PRÉ
PÓS
21,88
78,13
59,38
3,13
0,00
31,25
31,25
53,13
50,00
9,38
0,00
21,88
0,00
25,00
15,63
37,50
6,25
3,13
12,50
6,25
15,63
15,63
25,00
15,63
12,50
21,88
15,63
12,50
6,25
12,50
25,00
12,50
18,75
6,25
9,38
12,50
6,25
18,75
15,63
18,75
12,50
15,63
40,63
31,25
37,50
37,50
40,63
37,50
12,50
0,00
15,63
15,63
62,50
25,00
31,25
18,75
15,63
3,13
21,88
9,38
0,00
9,38
34,38
25,00
12,50
0,00
31,25
37,50
0,00
37,50
34,38
37,50
0,00
3,13
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
84
A tabela acima está detalhada no gráfico seguinte:
Gráfico 30: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste
multiplicativo
80
Porcentagem
70
60
50
40
30
20
10
0
Questões
Erro na Escolha da Operação (%) PRÉ
Erro na Escolha da Operação (%) PÓS
Erro na Montagem da Sentença (%) PRÉ
Erro na Montagem da Sentença (%) PÓS
Erro no Cálculo (%) PRÉ
Erro no Cálculo (%) PÓS
Erro Indeterminado (%) PRÉ
Erro Indeterminado (%) PÓS
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
O diagnóstico do gráfico 30 nos permite concluir que:
 No pré-teste o maior percentual ocorreu nos erros de cálculo, sendo
que de 79,70% dos erros cometidos, 35,32% referem-se aos cálculos.
 No pós-teste o valor percentual do quantitativo de erros de cálculo
alterou para 31,25%, mesmo assim continuou sendo o maior das modalidades de
erros, pois como citado antes, o problema dos alunos em não saber a tabuada é
relevante. E esse mesmo resultado foi obtido no trabalho de Jucá e Sá (2006), pois
de acordo com os mesmos:
[...] os estudantes tiveram dificuldades na realização da tarefa, devido
alguns não dominarem a tabuada de multiplicar e como conseqüência
realizarem os cálculos de divisão com erros de multiplicação ou por não
dominarem o algoritmo da divisão. (p.8)
85
O exposto acima confirma então o resultado do pós-teste aplicado em
nossa pesquisa. E para enfatizar o mesmo, segue a imagem 8:
Imagem 8: Erro de cálculo na 2ª questão do teste multiplicativo
Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.
 Outro fato que é importante ressaltar é o número de erros
indeterminados, que antes no pré-teste era de 10,31%, reduzindo no pós-teste para
5,32%.

Ressaltamos que na Q1 (aritmética) diminuiu significativamente os
erros de cálculo de 78,3% para 59,38%, tendo uma diferença de 18,75%, sendo que
o erro de montagem de sentença aumentou, de 0,00% para 21,88%.

Na questão Q3 (aritmética) os erros de cálculo cresceram entre os
testes de 15,63% para 37,50%, com uma variação de 21,87% e os erros na
montagem da sentença também elevaram de 0,00% para 25,00%.
 E na Q8 (algébrica) o quantitativo de erros de montagem da sentença
reduziu expressivamente, com uma diferença entre os testes de 37,50%, talvez pelo
dos alunos tentarem traduzir o problema, conforme foi visualizado no jogo do Pif-Paf
e explicado a eles por meio de exemplos como é a modelagem de resolução de
problemas aritméticos e algébricos, antes da realização do pós-teste. Além disso, os
erros de cálculo também diminuíram de 31,25% para 18,75%, com a diferença de
12,50% e o erro de escolha da operação permaneceu o mesmo, com o valor de
15,63%.
 No pré-teste os maiores erros de escolha de operação estão nas
questões Q2 (algébrica) – 37,5%, Q3 (aritmética) – 43,75%, principalmente, e Q7
(algébrica) – 40,63%. Porém no pós-teste o percentual diminuiu significativamente
na questão Q3 para 21,88%.
 A média de erros indeterminados reduziu de 10,31% para 5,32%.
86
 No geral, a média de erros na montagem da sentença foi a única que
aumentou do pré (15,94%) para o pós-teste (23,44%), sendo que a maioria desses
erros, se deu nos problemas do tipo algébrico em ambos os testes.
 Os percentuais de erros não foram tão elevados quanto os dos testes
aditivos, porque como já foi apontado a maioria dos problemas foram deixados em
branco, talvez pelo fato dos alunos já estarem cansados, devido terem feito o pósteste aditivo primeiro.
87
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Por meio dos estudos realizados em relação às quatro operações com
números naturais, os quais abordamos a resolução de problemas, distinção entre
problemas aritméticos e algébricos e campos conceituais, percebemos a extrema
dificuldade dos alunos ao interpretar problemas verbais, os quais são importantes na
vida deles, pois esses problemas são encontrados excessivamente em nosso
cotidiano.
Com as análises dos questionários socioeconômicos e dos pré-testes
ratificamos o exposto acima. Contudo, notamos que ao avaliar os efeitos de uma
sequência didática no ensino de resolução de problemas envolvendo as quatro
operações com números naturais por meio de atividades, no pós-teste tivemos
um resultado satisfatório em relação aos problemas do campo conceitual aditivo.
As dificuldades encontradas pelos alunos nos problemas aditivos foram
principalmente referentes à efetuação de cálculo e montagem da sentença, porém,
no pós-teste o problema de efetivar cálculo amenizou.
Em relação ao campo conceitual multiplicativo, o resultado foi um pouco
abaixo de nossa expectativa, devido os discentes além de apresentarem a
dificuldade de interpretação, não terem o domínio da tabuada, mostrando a
dificuldade de realizar cálculos, contradizendo o que os mesmos informaram no
questionário socioeconômico – que sabem a tabuada.
No que concerne aos grupos de problemas: aritméticos e algébricos, o
diagnóstico final apontou que de fato, realizar a tradução dos problemas que usam
uma operação ainda é um obstáculo, mas que pode ser amenizado se também, os
mesmos não forem ensinados de forma separada dos problemas de uma operação.
De forma geral verificamos que ao modelar corretamente os problemas
verbais, traduzindo os dados da questão para a linguagem simbólica, os alunos
apresentaram uma melhoria no seu desempenho ao resolver esses problemas,
respondendo assim à pergunta realizada no início da pesquisa.
No entanto a análise dos erros indica que esse desempenho pode ser
mais eficaz se as atividades da sequência didática forem associadas a atividades
para o domínio da tabuada e dos procedimentos de cálculo, já que nos testes o
percentual de erros de cálculo se destacou.
88
REFERÊNCIAS
ANDRADE FILHO, Bazilício Manoel de. Os registros de representação semiótica:
uma proposta de aplicação no estudo das integrais definidas. Universidade do sul de
Santa Catarina. Especialização em Educação Matemática (Monografia) – Tubarão,
2011. Disponível em: <www.sed.sc.gov.br/secretaria/.../1969-bazilicio-manoel-deandrade-filho>. Acesso em: 10 dez. 2013 às 11h42min.
ANDRADE, Mayara Carvalho de; SOUZA, Carla Carneiro Ferreira. LUNA, Ana
Virginia de Almeida. É de mais ou de menos? Uma análise sobre as situaçõesproblema para além dos cálculos. In: X Encontro Nacional de Educação
Matemática,
Anais...
Salvador,
2010.
Disponível
em:
<http://www.moodle.ufba.br/file.php/11468/resolu_o_de_problemas_em_matematica/
T21_CC2089.pdf>. Acesso em: 15 out. 2013 às 0h42min.
BARBOSA, Ana Nayara Campos; SANTOS, Linara Bragança dos. O ensino de
problemas envolvendo as quatro operações fundamentais da matemática por
meio de atividades: um caminho viável. 2012. 123f. TCC (Graduação em
Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Salvaterra, 2012.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: Matemática - Ensino de primeira a quarta séries. – Brasília: MEC/SEF,
1997. 142p.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática - Ensino de quinta a oitava séries - Brasília: MEC / SEF,
1998. 148p.
BRASIL. PORTARIA Nº 002/2013-GAB/SEDUC. Claudio Cavalcanti Ribeiro Secretário de Estado de Educação. Governo do Estado do Pará - Secretaria
Especial de Promoção Social. Secretaria de Estado de Educação. Secretaria
Adjunta
de
Gestão,
2013.
Disponível
em:
<www.seduc.pa.gov.br portal action=Lin arefaNoticia.dl idlin ...>. Acesso em: 11
jan. 2014 às 16h06min
CHAQUIAM, Miguel; SÁ, Pedro Franco de; SOUZA, José Maria de Jesus. O domínio
das quatro operações na visão de professores no Pará. Traços. Belém: UNAMA,
v.5, nº 10, p. 69 – 76, 2002.
CONDURÚ, Marise Teles; MOREIRA, Maria da Conceição Ruffeil. Produção
científica na universidade: normas para apresentação. 2. ed. ver. e atual. – Belém:
EDUEPA, 2007. 130p.
89
CORREIA, Deolinda Varela Marques. Estudos experimentais sobre leitura e
compreensão de problemas verbais de matemática. Universidade de Lisboa:
Faculdade de Letras - Departamento de Linguística Geral e Românica. 2013.
Doutorado em Linguística na área de especialidade de Psicolinguística. (Tese).
Disponível em: <core.kmi.open.ac.uk/download/pdf/12428252.pdf>. Acesso em: 01
jan. 2014 às 21h52min.
CRUCIOL, Daniela Fernandes; SILVA, Erondina Barbosa da. Obstáculos
apresentados por alunos do 6º ano do ensino fundamental na resolução de
problemas do campo multiplicativo. In: XI Encontro Nacional de Educação
Matemática. Anais... Curitiba, 2013.
DANTE, Luiz. Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. 12ª
ed. 10ª impr. São Paulo: Ática, 2007.
GONÇALVES, Heitor Antônio. Educação matemática e cálculo mental: uma
análise de invariantes operatórios a partir da teoria dos campos conceituais de
Gérard Vergnaud. Universidade Federal Fluminense. Faculdade de Educação.
Doutorado
em
Educação
(Tese).
Niterói:
2008.
Disponível
em:
<http://www.uff.br/pos_educacao/joomla/images/stories/Teses/mental.pdf>. Acesso
em: 10 dez. 2013 às 11h59min.
JUCÁ, Roseneide Sousa; SÁ, Pedro Franco de. O ensino de problemas
envolvendo as quatro operações: resultados de uma abordagem ousada. In: IV
Encontro Paraense de Educação Matemática. 2006. Belém. Anais... Belém 1CDROM
KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs). CORBO, Olga; DOMINGUES, Hygino H.
(tradutores). A resolução de problemas na matemática escolar. – São Paulo:
Atual, 1997.
LIMA, Rosemeire Roberta de. Refletindo sobre os conceitos de divisão
revelados por alunos do 4º ano do ensino fundamental. In: XI Encontro Nacional
de Educação Matemática. Anais... Curitiba: 2013.
MAGINA, Sandra Maria Pinto; MERLINI, Vera Lucia; SANTOS, Aparecido dos. O
desempenho dos estudantes de 4ª série do ensino fundamental frente a
problemas de estrutura multiplicativa. In: ENCONTRO NACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10. 2010, Salvador. Anais... Salvador: 2010. p.11.
Disponível em: <http://www.lematec.net/CDS/ENEM10/artigos/CC/T3_CC1039.pdf>.
Acesso em: 08 jan. 2014 às 15h24min.
90
PINHEIRO, Keily Leonez; SÁ, Pedro Franco de. Jogos e Problemas Aritméticos.
In: CUNHA, e. R. e SÁ, P. F. (Orgs.) Ensino e Formação Docente: propostas,
reflexões e práticas. Belém: 2002.
POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método
matemático. Tradução e adaptação Heitor Lisboa de Araújo. – 2. reimpr. – Rio de
Janeiro: Interciência, 1995. 196p.
PONTE, João Pedro da. Matemática: uma disciplina condenada ao insucesso? - o
insucesso da matemática – a rainha das ciências (2011). Disponível em:
<http://ordemdasteorias.blogspot.com.br/2011/04/o-insucesso-da-matematica-profjoao.html>. Acesso em: 20 dez 2012 às 08h37min.
ROCHA, João Silva. Aprendizagem de matemática na educação a distância
online: especificações de uma interface que facilite o tratamento algébrico para
aprendizagem colaborativa entre pares / João Silva Rocha. – Recife: O autor, 2012.
151 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco – CE.
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnologia. Disponível
em: <ufpe.edumatec.net/index.php?option=com...> Acesso em: 20 dez. 2013 às
20h04min.
ROMERO, Daniel Leite. Jogos matemáticos – brincar de aprender. In: IX Encontro
Nacional
de
Educação
Matemática.
Disponível
em:
<www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/.../PO15437343833T.doc>. Acesso em 08
jan. 2014 às 01h30min.
SÁ, Pedro Franco de. Atividades para o ensino de matemática no nível
fundamental. Belém: EDUEPA, p. 09-25, 2009.
SÁ, Pedro Franco de. A resolução de problemas como ponto de partida nas aulas de
matemática. Trilhas: Revista - Belém: UNAMA, v. 11, n. 22, p.7-24, 2009.
SÁ, Pedro Franco de. O que é resolução de problemas, afinal? Trilhas: Revista –
Belém: UNAMA, v.5, p.11-17, 2004.
SÁ. Pedro Franco de; FOSSA, John Andrew. Uma distinção entre problemas
aritméticos e algébricos. Educação em Questão. v. 33, nº 19, p. 253-278, 2008.
91
SÁ, Pedro. Franco de. Os problemas envolvendo as quatro operações e a
unidade do pensamento linear. 2003. 212p. Tese (Doutorado em Educação) –
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2003.
SILVA, Rondinele Nunes da. Álgebra e Aritmética no ensino fundamental: Um
Estudo de Como Ensiná-las de Forma Integrada e Com Base em Significados.
Disponível
em:<http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22007/RondineleNunesdaSilva.pdf>.
Acesso em: 14 de maio 2013 às 20h16min.
TAHAN, M. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1968.
92
APÊNDICES
93
APÊNDICE A – Questionário Socioeconômico
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Caro (a) Aluno (a),
Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo
que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem da
matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala
de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom
êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua
identidade será preservada.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho.
Obrigado!
1. Idade:_______ 2. Sexo: ________ 3. Série: ___ 4. Número de chamada: _______
5. Você estudou a 4ª série em que tipo de escola? ( ) Estadual ( ) Municipal ( )
Particular ( ) Outra. Qual? __________________
6. Você é dependente ou repetente desta série? ( ) Não
( )Sim,
7. Você costuma fazer compras (comércio, mercearia, supermercado, açougue,
etc.)?
( ) sim
( ) não
( ) às vezes
8. Qual a escolaridade (até que série estudou) do seu responsável masculino?
( ) Não estudou
( ) Ainda está estudando. Informe a série ___________
( ) Ensino Fundamental Menor Completo (1ª a 4ª série)
( ) Ensino Fundamental Maior Completo (5ª a 8ª série)
( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª série)
( ) Ensino Médio Completo
( ) Ensino Médio Incompleto
( ) Curso Superior Completo
( ) Curso Superior Incompleto
9. Qual a escolaridade (até que série estudou) da sua responsável feminina?
( ) Não estudou
( ) Ainda está estudando. Informe a série ___________
( ) Ensino Fundamental Menor Completo (1ª a 4ª série)
94
( ) Ensino Fundamental Maior Completo (5ª a 8ª série)
( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª série)
( ) Ensino Médio Completo
( ) Ensino Médio Incompleto
( ) Curso Superior Completo
( ) Curso Superior Incompleto
10. Qual a profissão de seu responsável masculino? ________________________
11. Qual a profissão de seu responsável feminino? _________________________
12. Você tem dificuldades em aprender matemática? ( ) não ( ) um pouco ( ) muito
13. Quem o auxilia nas tarefas de matemática (trabalhos, exercícios, dúvidas) em
casa?
( ) ninguém ( ) pai ( ) mãe ( ) irmão ( ) amigo ( ) professor particular ( ) Outro.
Qual?_______________
14. Suas notas de matemática geralmente são: (
) acima da média (
) na média
( ) abaixo da média
15. Você gosta de matemática?
( ) Sim
( ) Não
16. Você se distrai nas aulas de matemática?
( ) não, eu sempre presto atenção
( ) sim, eu não consigo prestar atenção
( ) na maioria das vezes eu me distraio nas aulas de matemática
17. A maioria das aulas de matemática de sua escola acontece:
(
) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios
(
) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto
(
) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
(
) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
18. Para você entender melhor o assunto ensinado, seu professor (a) de matemática
costuma:
(
) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
(
) Apresentar jogos envolvendo o assunto
(
) Mandar resolver os exercícios do livro didático
(
) Não propor questões de fixação
(
) Mandar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver
19. Quais as operações que você tem mais dificuldades em efetuar?
95
Adição ( ) Subtração ( )
Multiplicação ( )
20. Você tem domínio da tabuada? ( ) Sim
21. Você costuma estudar matemática: (
véspera da prova ( ) todo dia
Divisão ( ) Nenhuma delas ( )
( ) Não
) só no período das provas ( ) só na
( ) só no fim de semana.
96
APÊNDICE B – Questionário (Pré-Teste Geral)
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Caro (a) Aluno (a),
Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação
dos obstáculos de ensino de problemas envolvendo as quatro operações, encontrados por professores e
alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para
o bom êxito do mesmo.
As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!
Número na chamada:_________ Data:___________
Resolva as questões abaixo:
Questão 1 - Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem 3
brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?
Questão 2 – Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo
permitido assistir filme em pé, quantas pessoas são necessárias para lotar o
cinema?
Questão 3 – Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas
bolas de gude Marcos ficou naquele momento?
Questão 4 – O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma
dessas canetas?
Questão 5 – Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.
Quantas bolas Meire deu para Luís?
Questão 6 – Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons cada.
Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?
97
Questão 7 – Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto
Anderson tem agora?
Questão 8 – A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?
Questão 9 – Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.
Quantos carrinhos Erick têm agora?
Questão 10 – Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da
cidade B para cidade C, quantas maneiras diferentes há para se ir de A para C
passando B?
Questão 11 – Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas
Rafael ficou?
Questão 12 – O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?
Questão 13 – Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros
têm Carlos?
Questão 14 – Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao final
das parcelas, terei pago um total de R$ 295,00 pela bicicleta. Qual foi o valor das
prestações por mês?
Questão 15 – Marcela recebeu uma encomenda de 972 ovos de chocolate. Já
fabricou 413. Quantos ovos ela precisa fabricar para completar essa encomenda?
Questão 16 – Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos
ovos possui em seu depósito?
Questão 17 – Uma pessoa nasceu em 1951 e faleceu em 1997. Quantos anos essa
pessoa viveu?
Questão 18 – Se o preço de uma caneta é R$ 8,00. Quanto custa 15 dessas
canetas?
98
Questão 19 – Joaquim tem 283 figurinhas de coleção e resolve dar 97 dessas
figurinhas para seu irmão. Quantas figurinhas Joaquim passou a ter?
Questão 20 – Um barco se move 14 metros em 2 segundos. Quantos metros ele
percorreu por segundo em média?
99
APÊNDICE C – Questionário (Pós-Teste Aditivo)
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Caro (a) aluno (a),
Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação
dos obstáculos de ensino de problemas com as quatro operações, encontrados por professores e alunos
durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o
bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será
preservada.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!
Número na chamada:_______ data:___________
Resolva as questões abaixo armando e realizando as continhas e
apresentando a sua resposta:
Questão 01- Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem 3
brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?
Questão 02- Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas
bolas de gude Marcos ficou naquele momento?
Questão 03- Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.
Quantas bolas Meire deu para Luís?
Questão 04- Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto
Anderson tem agora?
Questão 05- Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros têm
Carlos?
Questão 06- Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.
Quantos carrinhos Erick têm agora?
100
Questão 07- Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas
Rafael ficou?
Questão 08 – Mário tinha 7 moedas. Ele deu algumas de suas moedas para Kátia.
Agora ele tem 4 moedas. Quantas moedas ele deu para Kátia?
Questão 09- Uma pessoa nasceu em 1962 e faleceu em 1999. Quantos anos essa
pessoa viveu?
Questão 10- Renan tem 9 bolas. Bianca tem 6 bolas. Quantas bolas Renan têm a
mais que Bianca?
101
APÊNDICE D – Questionário (Pós-Teste Multiplicativo)
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Caro (a) aluno (a),
Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a
superação dos obstáculos de ensino de problemas com as quatro operações, encontrados por
professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de
grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial,
ou seja, sua identidade será preservada.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!
Número na chamada:_______ data:___________
Resolva as questões abaixo:
Questão 01- Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo
permitido assistir filme em pé. Qual o número máximo de pessoas que pode assistir
a um filme neste cinema em cada sessão?
Questão 02- O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma
dessas canetas?
Questão 03- Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons cada.
Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?
Questão 04- A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?
Questão 05- Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da
cidade B para cidade C, quantas maneiras diferentes há para se ir de A para C
passando B?
Questão 06- O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?
102
Questão 07- Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao final
das parcelas, terei pago um total de R$ 295,00 pela bicicleta. Qual foi o valor das
prestações por mês?
Questão 08- Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos
ovos possui em seu depósito?
Questão 09- Se o preço de uma caneta é R$ 7,00. Quanto custa 12 dessas
canetas?
Questão 10- Um barco se move 12 metros em 3 segundos. Quantos metros ele
percorreu por segundo em média?
103
APÊNDICE E – Pif-Paf das quatro operações
Objetivo

Exercitar a tradução dos dados para a linguagem simbólica e a resolução de
questões das quatro operações fundamentais da matemática.
Este jogo auxilia:

O desenvolvimento do raciocínio lógico, da habilidade de planejar e de
calcular.
Você vai precisar:

60 cartas do baralho de problemas distribuídas em: 20 cartas com o
enunciado, 20 cartas sentença e 20 cartas resposta.
Material para confecção do baralho:

Papel cartão

Cola branca

Tesoura

Folhas contendo as cartas impressas
Modo de fazer:

Colamos as folhas de cartas no papel cartão e depois recortamos no formato
de cartas de baralhos.
Participantes: de 03 a 08
Regras do jogo:
 As cartas são embaralhadas e distribuídas 9 (nove) para cada jogador, uma a
uma;
 As cartas não usadas na distribuição serão colocadas sobre a mesa com a
face virada para baixo e constituirão o monte de compras;
 O jogo inicia pelo jogador à esquerda de quem distribuiu as cartas;
 Na sua vez o jogador compra uma carta, verifica se ela forma uma trinca e
descarta a que não servir;
 Uma trinca é formada por uma carta com o enunciado, uma carta sentença e
uma carta resposta;
 Ganha jogo quem primeiro formar 03 trincas.
104
Observações: Quando uma carta descartada servir para um dos jogadores bater
ele poderá pegá-la mesmo que não seja sua vez de jogar e bater a rodada.
Na possibilidade de dois ou mais jogadores baterem com a última carta descartada
terá a preferência o jogador mais próximo de quem descartou o bate.
Sugestão: Inicie o jogo com o objetivo de formar uma trinca, para isso distribua três
cartas para cada jogador, na medida em que os participantes forem evoluindo
aumente o número de trincas.
105
APÊNDICE F - FOLHA DE CARTAS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Manoel possuía 8
revistas em
quadrinhos, e comprou
mais 18. Quantas
revistas em
quadrinhos Manoel
possui?
Uma empresa tem
sede em São Paulo e
filiais em outros
estados. Na sede
trabalham 316
pessoas e nas filiais
1098 pessoas.
Quantas pessoas
trabalham nessa
empresa?
8+18 =?
316 + 1098 = ?
26
1414
106
Pedro e Marcus tem
juntos 18 bolas. Pedro
tem 3 bolas. Quantas
bolas têm Marcus?
18 = 3 + ?
15
Uma pessoa nasceu
em 1962 e faleceu em
1999. Quantos anos
essa pessoa viveu?
1962 + ? = 1999
37
Marcela tem 8 brincos.
Ela tem 5 brincos a
menos que Jorilma.
Quantos brincos têm
Jorilma?
?–5=8
50
107
Rafael tinha 63
moedas. Deu para
Jane 17 moedas. Rafa
tem agora quantas
moedas?
Uma pessoa nasceu
em 1966 e faleceu em
2000. Essa pessoa
viveu quantos anos?
Antônio tem 100
figurinhas. Resolveu
dar 33 para seu primo
Paulo. Quantas
figurinhas eles Antônio
tem agora?
63 – 17 = ?
46
1966 + ? = 2000
34
100 – 33 = ?
67
108
Erick tem 14 carrinhos
em sua coleção.
Ganhou 17 carrinhos
de seu irmão mais
velho. Quantos
carrinhos Erick têm
agora?
14 + 17 = ?
31
Antônio tem algumas
figurinhas. Paulo tem 5
figurinhas. Juntos eles
têm 14 figurinhas.
Quantas figurinhas
têm Antônio?
? + 5 = 14
9
82 ÷ 2 = ?
41
Talita tinha R$82,00
que repartiu
igualmente entre ela e
sua prima. Com
quanto Talita ficou?
109
O preço de 12 canetas
importadas é R$36,00.
Quanto custa cada
uma dessas canetas?
Se o preço de uma
caneta é R$ 7,00.
Quanto custa 12
dessas canetas?
12 ˣ
= 36
3
7 ˣ 12 = ?
84
e
Lucas gastou R$ 15,00
comprando álbuns de
figurinhas. Cada álbum
custou R$ 3,00.
Quantos álbuns Lucas
comprou?
ˣ 3 = 15
5
110
Em um cinema, há 14
fileiras com 19
cadeiras cada. Não
sendo permitido
assistir filme em pé.
Qual o número
máximo de pessoas
que pode assistir a um
filme neste cinema em
cada sessão?
14 ˣ 19 = ?
266
Luana comprou nove
bolsas e gastou R$
900,00. Quanto custou
cada bolsa?
9ˣ
100
Anderson tem 150
bombons para
distribuir em pacotes
com 25 bombons
cada. Quantos pacotes
de bombons
conseguirei fazer?
= 900
150 ÷ 25 = ?
6
111
A quinta parte de um
número vale 35. Qual
é esse número?
Em um acampamento,
há 7 cabanas. Em
cada cabana, há 12
acampados. Quantos
acampados há no
acampamento?
O triplo de um número
é igual a 195. Qual é
esse número?
? ÷ 5 = 35
175
7 ˣ 12 =
84
3ˣ
= 195
65
112
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais da Educação
Curso Licenciatura em Matemática
Tv Djalma Dutra, (91) 3244-8957
Belém-PA