Unidade 10 – Teoremas que
relacionam trabalho e energia
Teorema da energia cinética
Teorema da energia potencial
Teorema da energia mecânica
Teorema da Energia Cinética
Quando uma força atua de forma favorável
ou contrária ao movimento de um corpo,
dizemos, respectivamente, que o trabalho
realizado por ela é motor ou resistente.
Assim, podemos supor que, se o trabalho de
uma força pode ajudar ou trabalhar o
movimento de um corpo, então ele pode ser
associado ao aumento ou diminuição da
velocidade desse corpo.
Teorema da Energia Cinética
Demonstração
Através desse importante teorema da Física,
é possível calcular o trabalho total de todas
as forças presentes num sistema, tanto as
forças conservativas ou dissipativas quanto
as forças internas ou externas ao sistema
Teorema da Energia Cinética
Demonstração
O TEC foi enunciado da seguinte forma:
“O trabalho total de todas as forças atuantes em
um sistema físico é dado pela variação da
energia cinética do sistema.”
Faremos a demonstração do teorema através do
caso particular de uma partícula em trajetória
retilínea sob a ação de uma força resultante
constante.
Teorema da Energia Cinética
Demonstração
Considerando V0 como a
velocidade escalar inicial e V
como a velocidade escalar
após o deslocamento de
módulo igual a d.
Considere m como a massa do
ponto material e F como a
intensidade da força
resultante.
O trabalho da força
será dado por:
Observe que α = 0 e
cos α = 1
τ = F .d (I)
Para o Princípio
Fundamental da
Dinâmica, temos:
F = m.a (II)
Teorema da Energia Cinética
Demonstração
Para a expressão de Torricelli,
temos:
V = V + 2ad (III)
2
2
0
Tirando o valor de d em (III),
vem:
V 2 − V02
d=
(IV)
2a
Substituindo (II) e (IV) em (I),
temos:
τ = F .d
(
V
τ = m.a.
2
− V02
2a
)
m.V 2
A grandeza
chamada de energia
2
cinética da partícula e, portanto :
2
mV 02
mV
τ=
−
2
2
τ = Ecfinal − Ecinicial
Teorema da Energia Cinética
Demonstração
O trabalho da resultante das forças
aplicadas em um corpo é igual à variação de
sua energia cinética.
τ = Ecfinal − Ecinicial
Teorema da Energia Cinética
Interpretação
a)
b)
c)
τFr > 0, ou seja motor.
Nesse caso, Ecf – Eci > 0 ou Ecf > Eci.
Isso significa que a resultante das forças fornecem energia
cinética ao corpo, deixando-o mais veloz.
τFr = 0, ou seja nulo.
Nesse caso, Ecf – Eci = 0 ou Ecf = Eci.
Isso significa que o resultante das forças não forneceu nem
retirou energia cinética do corpo.
Dessa forma, ele mantém sua velocidade escalar constante.
τFr < 0, ou seja resistente.
Nesse caso, Ecf – Eci < 0 ou Ecf < Eci.
Isso significa que a resultante das forças retirou energia
cinética do corpo, deixando-o mais lento.
Teorema da Energia Cinética
Exemplo de Aplicação
Um corpo de massa m = 4 kg está sob a
ação de quatro forças como mostra a figura,
e move-se para a direita .
São dados:
.
Sabendo que o corpo passa pelo ponto X com velocidade
, calcule a velocidade do corpo ao passar pelo ponto y.
Teorema da Energia Cinética
Exemplo de Aplicação
Vamos resolver esse
exercício usando o Teorema
da Energia Cinética e, para
isso, vamos primeiramente
calcular o trabalho total
realizado pelas forças que
atuam sobre o corpo. Esse
trabalho pode ser calculado
de dois modos. Um deles
consiste em calcular o
trabalho de cada força e
depois efetuar a soma:
Teorema da Energia Cinética
Exemplo de Aplicação
Apliquemos agora o
Teorema da Energia
Cinética:
Resolução de Atividade
Página 19
Teorema da Energia Potencial
τ
Com qualquer teorema, o da energia potencial
possui demonstração matemática e requer para ser
perfeitamente compreendido.
Fcons
A→ B
= EPA − E PB = EPi − EPf = −∆E P
O trabalho das forças conservativas aplicadas em
um corpo é igual à variação de energia potencia.
Teorema da Energia Potencial
Interpretação
Utilizando o Teorema da energia potencial,
podemos analisar três resultados possíveis
para o trabalho das forças conservativas
que agem em um corpo:
a) τFcons > 0, ou seja, é motor. Nesse caso,
Epi – Epf > 0 ou Epf < Epi.
Isso significa que o corpo perde energia
potencial e realiza movimento espontânea.
Teorema da Energia Potencial
Interpretação
b) τFcons = 0, ou seja, é nulo. Nesse caso, Epi – Epf = 0
ou Epf = Epi.
Isso significa que, entre as posições inicial e final
ocupadas pelo corpo, a energia potencial dele
não sofre variação.
Isso ocorre, normalmente, em dois casos:
I)
Quando o corpo permanece parado;
II)
Quando o corpo se locomove perpendicularmente
à resultante das forças conservativas (nessa
última situação, a trajetória seguida pelo corpo
fica contida numa superfície chamada
equipotencial)
Teorema da Energia Potencial
Interpretação
c) τFcons < 0, ou seja, é resistente.
Nesse caso, Epi – Epf < 0 ou Epf > Epi.
Isso significa que o corpo ganha
energia potencial e realiza movimento
forçado.
Teorema da Energia Potencial
Exemplo de aplicação – p. 21
3) Um corpo de massa 5 kg percorre 10 metros numa
superfície horizontal sob ação de uma força de intensidade 8N
de mesma direção e sentido do deslocamento realizado. Sob a
luz do Teorema da Energia Potencial, quanto vale o trabalho
do peso desse corpo nessa situação?
Resposta: Segundo o Teorema da Energia Potencial, para que
haja o trabalho de uma força conservativa, é necessário que
haja variação da energia potencial. No caso de um corpo que
se desloca sobre uma superfície horizontal, a energia potencial
gravitacional não se altera e, consequentemente, o trabalho de
seu peso é nulo.
Teorema da Energia Potencial
Exemplo de aplicação – p. 21
4) Um conjunto massa-mola
possui uma energia
potencial elástica de 30J.
Após sofrer certo
deslocamento, esse
conjunto passa a ter uma
energia potencial de 50J.
Nessa situação, quanto vale
o trabalho da força elástica
que atuou sobre o corpo
durante o deslocamento? O
movimento foi espontâneo
ou forçado?
τ
Fcons
A→ B
= EPA − EPB
τ
Fcons
A→ B
= 30 − 50
τ
Fcons
A→ B
= −20 J
Sempre que o trabalho das
forças conservativas é
resistente (negativo). O
movimento é forçado.
Resolução de atividades
Página 20 e 21
Teorema da Energia Mecânica
Forças Conservativas
As energias cinética e potencial dependem de fatores
diferentes.
Enquanto a primeira é função da velocidade de um corpo;
Enquanto a segunda é função da posição que ela ocupa;
Assim, um corpo pode apresentar, simultaneamente, essas
duas modalidades de energia.
A soma algébrica das energias cinética e potencial de um
corpo é denominada energia mecânica.
Matematicamente, poderíamos escrever:
EM = EC + E P
Teorema da Energia Mecânica
Forças Não Conservativas
Relembrar: As forças que atuam em um corpo pode ser de dois
tipos:
Conservativas: peso, elástica e elétrica
Não conservativas: atrito, resistência do ar, normal, tração, etc.
Para trabalho de forças não conservativas podemos definir
matematicamente que:
O trabalho das forças não conservativas que atuam sobre um
corpo é igual à variação de sua energia mecânica:
τ
Fñcons
= EMf − EMi
Teorema da Energia Mecânica
Forças Não Conservativas - Interpretação
a)
b)
c)
τFñ cons > 0 , ou seja, é motor.
Nesse caso, EMf – EMi > 0 ou EMf > EMi.
Isso significa que as forças não conservativas forneceram
energia cinética, potencial ou ambas ao corpo em que atuam.
τFñ cons = 0 , ou seja, é nulo.
Nesse caso, EMf – EMi = 0 ou EMf = EMi.
Isso significa que não atuou qualquer força não conservativa
sobre o corpo, ou que ele não se deslocou (e, por isso, elas
não realizaram trabalho) ou que mais de uma força não
conservativa atuou sobre o corpo e realizou trabalho, sendo
toda energia fornecida por algumas delas retirada por outras.
τFñ cons < 0 , ou seja, é resistente.
Nesse caso, EMf – EMi < 0 ou EMf < EMi.
Isso significa que as forças não conservativas retiraram
energia cinética, potencial ou ambas do corpo em que atuam.
Exemplo de aplicação – p. 22 e 23
τ Fñcons = EMf − EMi
τ Fñcons = ( ECf + EPf ) − ( ECi + EPi )
τ Fñcons
τ Fñcons
τ Fñcons
 m.v 2f
  m.vi2



=
+ mgh − 
+ mgh 
 2



  2
 2.(10)2


=
+ 0  − (0 + 2.10.20 )
 2

= 100 − 400
τ
Fñcons
= −300 J
Resolução de Atividades
Página 22 - 23