CUFSA - FAFIL
Aplicações ou Funções
(Resumo Teórico)
APLICAÇÕES
Aplicação ou Função:
Dados E e F dois conjuntos, considerando uma Relação f de E em F, definimos f como sendo uma
Aplicação ou Função de E em F se, e somente se, são válidas as seguintes condições:
i. Para todo x ∈ E, existe um elemento y tal que x f y;
ii. Se x f y1 e x f y2, então y1 = y2.
Exemplificando podemos dizer que uma relação é uma Aplicação ou Função quando a cada
elemento do domínio, corresponde uma e uma só imagem no contra domínio, isto é as
condições i e ii, podem ser reunidas na condição:
iii.Para todo x ∈ E, existe um único elemento y em F tal que x f y.
Observamos que uma Aplicação é reservadamente denominada de Função, quando os
elementos dos conjuntos E e F são numéricos.
Domínio e Contra-Domínio de uma Aplicação:
Considerando uma Aplicação f de E em F, a condição i acima nos assegura que D(f) = E. Assim o
conjunto de Partida E passa a se chamar,“Domínio” de f. Neste caso o conjunto de Chegada F,
passa a ser chamado de Contra-Domínio.
Notações: Considerando a Aplicação f de E em F, para todo x de E, o único elemento y de F tal
que xfy, será indicado pela notação f(x) ( leia-se f de x ou f aplicado a x ou ainda valor de f em x)
e será denominado imagem de x pela Aplicação f. Indicaremos uma Aplicação f de Domínio E e
Contra-Domínio F, por uma das notações:
f: E → F
ou
x  f(x)
Imagem de uma Aplicação:
A definição de Imagem de uma Aplicação pode ser definida na forma:
Im(f(x) = { y ∈ F / ∃ x, x ∈ E, tal que Y = F(x)}
Observamos que para definir uma Aplicação, devemos especificar o Domínio, o Contra-Domínio
e o subconjunto f de E x F que satisfaz as condições para ser uma Aplicação. Em geral podemos
simplificar este processo definindo uma Aplicação por meio de uma “Lei” que “ Associa” cada
elemento de E com um único elemento de F como sugere a notação “x  f(x)” . Outrossim,
quando não houver dúvida sobre qual é o Domínio (E) e o Contra-Domínio (F),podemos
simplesmente definir a Função, como por exemplo a função real x  x2 , quando fica
subentendido que E e F são iguais ao conjunto IR dos números Reais.
Igualdade de duas Aplicações:
Duas Aplicações f: E → F e g: E → F, serão iguais se, e somente se, f(x) = g(x) para todo x em E.
Composição de Aplicações:
Dados E, F e G três conjuntos, considerando as Aplicações f: E → F e g: F → G, definimos a
relação composta (g o f) como a Aplicação Composta de f com g [notamos (g o f)].
Verificando o atendimento das condições i e ii, observamos:
i. Para todo x em E, existe y em F tal que y=f(x) e para cada y em F existe z em G tal que
z=g(y). Portanto para todo x em E, existe um elemento z em G, tal que (x,y) ∈ (g o f).
ii. Considerando x, um elemento qualquer de E e sejam z1 e z2 dois elementos de G tais que
(x,z1) ∈ (g o f) e (x,z2) ∈ (g o f). Pela definição de relação composta, podemos afirmar que
existem elementos y1 e y2 em F tais que (x,y1) ∈ f e (y1,z1) ∈ g e que (x,y2) ∈ f e (y2,z2) ∈ g.
De (x,y1) ∈ f e (x,y2) ∈ f , concluímos que y1= y2 . De (y1,z1) ∈ g e (y2,z2) ∈ g, concluímos
que z1 = z2 .
Com esta verificação das condições i e ii, podemos afirmar que (g o f) é a Aplicação Composta de
g e f. Portanto dadas duas Aplicações f: E → F e g: F → G, a composta de g e f é a Aplicação
(g o f): E → G, definida por (g o f)(x) = g(f(x)), para todo x em E, que pode ser visualizada
pelo diagrama:
f
E
F
Este diagrama sugere o seguinte: A imagem de um elemento
Qualquer x de E por meio da composta (g o f ) é determinada
Em duas etapas. A primeira transforma x de E em f(x) de F e
g
a segunda transforma f(x) de F em g(f(x)) =(g o f) (x) de G.
G
Observações:
a) A composta (g o f) só está definida quando o Contra-Domínio de f é igual ao Domínio de g.
Desta forma, se (gof) está definida, o mesmo não é, necessariamente, verdadeiro para (fog),
em geral temos que (g o f) ≠ (f o g). Particularmente se a Aplicação é de E em E, então as
compostas (g o f) e (f o g), são ambas definidas;
b) A composta de g e f é obtida aplicando-se f aos elementos de E e em seguida transformam-se
as imagens assim obtidas por g; portanto a leitura do símbolo (g o f), composta de g e f, é
feita na ordem inversa segundo a qual foram dadas as Aplicações f e g.
c) Associatividade da composição de Aplicações: Quaisquer que sejam as Aplicações f:E → F, g:F
→ G e h: G → H , teremos (h o g) o f = h o (g o f).
QUALIDADE DAS APLICAÇÕES:
1. Aplicações Sobrejetoras: Uma Aplicação f: E → F, será definida como Sobrejetora se, e
somente se, para todo y de F, existe um elemento x de E tal que y = f(x).
Uma Aplicação Sobrejetora é também chamada de Sobrejeção.
Uma Aplicação Sobrejetora poderia também ser definida como: f: E → F é uma Sobrejeção se,
e somente se, Im(f) = F.
Observamos que a composta de duas Aplicações Sobrejetoras é também uma Sobrejeção.
Exemplos:
a) A Aplicação f: Z → Z. nos Inteiros, definida por f(x) = x+ 1, é Sobrejetora . ao passo que
a Aplicação de f: IN → IN, nos Naturais, definida por f(x) = x+ 1, não é Sobrejeção.
b) A Aplicação f: IR → IR, nos Reais, definida por f(x) = x2 não é Sobrejetora . ao passo que
a Aplicação de f: IR → IR+, definida por f(x) = x2, é Sobrejeção.
2. Aplicações Injetoras: Uma Aplicação f: E → F, será definida como Injetora se, e somente
se, para quaisquer x1 e x2 em E, tem-se se x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), isto é, uma aplicação
Injetora transforma elementos distintos em elementos distintos.
Uma Aplicação Injetora é também chamada de Injeção.
Uma Aplicação Injetora poderia também ser definida como: f: E → F é uma Injeção se, e
somente se, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2, ou ainda que f: E → F é uma Injeção se, e somente se,
para todo elemento y de F, existe no máximo um elemento x em E tal que y=f(x).
Observamos que a composta de duas Aplicações Injetoras é também uma Injeção.
Exemplos:
a) A Aplicação f: IR* → IR*. nos Reais, definida por f(x) = x−1, é Injetora . ao passo que a
Aplicação de f: Z → Z, nos Inteiros, definida por f(x) = x2, não é Injeção.
b) A Aplicação f: IR+ → IR+, nos Reais, definida por f(x) = x2 é Injetora . ao passo que a
Aplicação de f: IR → IR+, nos Reais, definida por f(x) = x2, não é Injeção.
3. Aplicações Bijetoras: Uma Aplicação f: E → F, será definida como Bijetora se, e somente
se, f é Sobrejetora e Injetora.
Uma Aplicação Bijetora é também chamada de Bijeção.
Uma Bijeção f: E → E, é também chamada de Permutação de E.
Uma Aplicação Bijetora poderia também ser definida como: f: E → F é uma Bijeção ⇔
i) para todo y em F, existe um elemento x em E tal que y=f(x) e
ii) se x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Isto eqüivale dizer que para todo y em F, existe um único elemento x em E tal que f(x)=y.
Observamos que a composta de duas Aplicações Bijetoras é também uma Bijeção e em
particular a composta de duas permutações é uma permutação.
Observamos também que a relação inversa f −1 de uma Aplicação f: E → F, será também uma
Aplicação se, e somente se, f for uma Bijeção.
Exemplos:
a) A Aplicação f: IR → IR. nos Reais, definida por f(x) = x3, é Bijetora, ao passo que a Aplicação
de f: Z → Z, nos Inteiros, definida por f(x) = x2, não é Bijeção.
b) A Aplicação f: IR → IR. nos Reais, definida por f(x) = x3+ 5 é Bijetora.
4. Aplicação Inversa de uma Bijeção: Considerando a Bijeção f: E → F e sua relação inversa
f −1 . Esta relação f −1 é uma Aplicação de F em E, isto é f−1: F → E, e será definida como
Aplicação Inversa ou Recíproca da Bijeção f. Observamos que (f−1) −1 = f
Exemplo: A Aplicação Inversa de f:IR→IR, definida por f(x)=x3 é f
:IR→IR={ 3√ x / x ∈ IR }
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Centro Universitário da FSA – FAFIL
Prof.: Anastassios H.K.