MATEMÁTICA
Prof. Paulo Roberto
MÓDULO I
ENCONTRO 01---------------Função, Domínio e Imagem, Tipos, composição e inversibilidade.
ENCONTRO 02 ---------------Função (função do primeiro grau).
ENCONTRO 03---------------Função Afim
ENCONTRO 04 --------------Função Quadrática. (função do segundo grau).
ENCONTRO 05 -------------- Função Quadrática.
1
PRIMEIRA FASE
ENCONTRO 01
SÉRIE AULA
Lembrando as definições de domínio e imagem de uma função, assim como as definições de função
injetora, sobrejetora e bijetora. Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f ,
podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no
máximo um ponto (definição de função) .
Veja a figura abaixo, relativa aos ítens a, b e c acima:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .
Exemplo:
2.2 - Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
isto é:
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) .
Exemplo:
2
2.3 - Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
Exemplo:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
SOLUÇÃO:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
EXERCÍCIOS
1.
a)
b)
c)
(UFRN/2009) Considere a função f :
definida por f(x) 3x 2 6 .
Determine o valor de f (15) .
Determine x , no domínio de f, de modo que f (x) = 762 .
Explique por que não é possível encontrar valores, no domínio de f, com x1
f(x1)
x2 , de modo que
f(x2 ) .
2. (UFMS/2009) Seja F uma função dada por:
F(x)
e
12 - 2x - x 2
x 2
Qual é o total de números naturais do domínio máximo da função F?
3. (UNESP SP/2010) Através dos gráficos das funções f(x) e g(x), os valores de f(g(0)) e g(f(1))
são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
–5 e 0.
–5 e 2.
0 e 0.
2 e –5.
2 e 0.
3
4. (UECE/2009) Se f e g são funções reais de variável real, definidas por f(x)
expressão algébrica que define a composta h(x)
a)
2x 2
1
.
2
2
b) x – 2x +1.
x 1
e g(x)
2
4x 2 , a
f(g(x))
2
c) 4x – 1.
2
d) x + 2x +1.
5. (FURG RS/2003) O gráfico da função f(x) é mostrado na figura abaixo. Qual dos gráficos apresentados
1
a seguir pode ser o gráfico de
?
f(x)
a)
b)
c)
d)
e)
6. (UFSCar SP/2000) A equação que mais aproximadamente é
representada pela curva ao lado é:
a)
b)
c)
d)
e)
xy = 1.
x + y – 1 = 0.
xy = 0.
2
x – y = 0.
x – y – 1 = 0.
4
–1
7. (FURG RS/2000) O domínio da função inversa f (x) de f(x)
a) {x
b)
R/x
x
2}
R/x
c)
1
ex
3
x R/x
2
d) { x
R/x
3x 1
é:
2 x
1
3
-3}
e)
x
R/x
3ex
1
3
GABARITO:
1) Gab:
a) 669
b) x = 16
c) A função no domínio de f é injetiva, pois se x1
Vejam-se os cálculos:
x1
x12
x2
3x12
x 22
3x22
6
3x12
6
x 2 , então f(x1)
f(x2 )
3x 22
f(x1)
f(x 2 )
2) Gab: 04
3) Gab: B
4) Gab: A
5) Gab: A
6) Gab: A
7) Gab: D
a) Temos q = h ( ) , e
3–2
2
–2
2
–4 2 7
2
Para todo
2
3–2
(–2
7)2
2
2
R, 2
2
é tal que f ( ) = g ( )
(2 )2
–2
4·2 – 3
0
7. Como 2
–2
2
(2 )
3 – 4·(–2
7. Logo q
0
h( )
3 – 4·2
7)
22 – 8 7.
SÉRIE CASA
1.
a)
b)
c)
d)
e)
3
3
(MACK SP) Considere f(x) = ax + b. Se f(0) = 1 e f(0) + f(1) + f(2) + … + f(10) = –99, o valor de a + b é
–7
9
8
–4
–1
5
2. (UNESP SP) Observe o gráfico da função f(x) e analise as afirmações a seu respeito.
I.
Se x1, x2 Dom(f) e x2 > x1, então f(x2) > f(x1).
II. Se x > 1, então f(x) < 0.
III. O ponto (2, –2) pertence ao gráfico de f(x).
IV. A lei de formação de f(x) representada no gráfico é dada por f(x) =
1
(x–1).
2
A alternativa que corresponde a todas as afirmações verdadeiras é:
a) I e III.
c) I e IV.
e) II e IV.
b) I, II e III.
d) II, III e IV.
3. (UFF RJ) Em Mecânica Clássica, a norma G do campo gravitacional gerado por um corpo de massa m
em um ponto a uma distância d > 0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente
proporcional ao quadrado de d. Seja G = f(d) a função que descreve a norma G do campo gravitacional,
gerado por um corpo de massa constante m em um ponto a uma distância d > 0 desse corpo.
É correto afirmar que f(2d) é igual a:
f(d)
f(d)
a)
b)
4
2
c) 4f(d)
d) 2f(d)
4. (UEPG PR) Considerando f(2) 1 e f(a·b)
01. f(16) = 4
1
02. f( 2)
2
04. f(1) = 0
1
2
08. f
2
16. f(6) = 3
5.
a)
b)
e)
(UNCISAL) Seja a função h definida por h(t)
–11.
c) 11.
–7.
d) 15.
35.
6. (UPE)
29
3
a=b+c
b=a+c
c=a–b
a b
c
2
b c
a
2
b
a)
b)
c)
d)
e)
f
e) f(d)
f(a) f(b) , assinale o que for correto.
2(t 3 - 3) . Para h(t)
Uma função f, de R em R, tal que f(x 5)
e c
f(x) , f( x)
-60 teremos 2 – 3t igual a
f(x) , f
1
3
1 . Seja a
f(12) f( 7) então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais que
6
f
16
,
3
457
412,4
D
(fórmula de Brozek), sendo que D é a densidade corporal, medida em gramas por centímetro cúbico, e
obtida fazendo o quociente entre a massa corporal e o volume corporal. Por exemplo, para uma pessoa
com densidade corporal de 1,033 gramas por centímetro cúbico, a sua porcentagem de gordura é,
aproximadamente, G = 30. Assim, determine o intervalo em que deve estar o volume corporal de uma
pessoa de 65 kg, com porcentagem de gordura entre 10 e 20.
7. (UFG GO)
A porcentagem de gordura corporal pode ser estimada pela fórmula G
8. (ESPM SP) Seja f : R
qualquer x R . Se f(2)
a) 2
b) 3
R uma função polinomial do primeiro grau tal que f(x) f( x)
4 , então f(4) é igual a:
c) 4
d) 5
e) 6
9. (UNIFOR CE) Seja a função de IR em IR, definida por f(x)
2 x se x
x
Expressão f(f( 12)) f(f( 1 )) f(f( 3) obtém-se um número
5
a) compreendido entre 0 e 3.
c) múltiplo de 11.
b) divisível por 6.
d) irracional.
1) Gab: A
2) Gab: E
x12
x2
3x12
6
x 22
3x22
3x12
6
f(x1)
se x
Q
. Calculando o valor da
Q
e) negativo.
GABARITO:
3) Gab: A
4) Gab:
a) 669
b) x = 16
c) A função no domínio de f é injetiva, pois se x1
Vejam-se os cálculos:
x1
2
x para
x2 , então f(x1)
f(x2 )
3x 22
f(x 2 )
5) Gab: 07
6) Gab: C
7) Gab: D
3
3
8) Gab: O volume corporal deve estar entre 60078,77 cm e 61501,09 cm .
9) Gab: D
ENCONTRO 02 e 03
Um breve comentário sobre Função Afim.
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto
dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.
7
Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para
todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano
cartesiano. Nos casos de a>0, essa é a função que relaciona grandezas diretamente proporcionais, em que
o coeficiente angular a também pode ser chamado de constante de proporcionalidade.
Domínio: D =
Imagem: Im = R
R
Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para
todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no
ponto de ordenada b.
Coeficientes numéricos
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.
• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
Também pode ser chamado de taxa de variação da função afim ou ainda taxa de crescimento ou
decrescimento linear.
Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.
8
• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).
EXERCÍCIOS
1.
(UNICAMP-2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil,
essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração
varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.
a) Considere a tabela ao lado.
Suponha que as grandezas estão relacionadas por
funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e
x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os
valores dos parâmetros a e b da expressão que permite
obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do
comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da
expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira
aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x − 20)/3, em que x é o comprimento do calçado em
cm. Sabendo que a numeração dos calçados nk formam uma progressão aritmética de razão 0,5 e
primeiro termo n1 = 5, em que nk = f(ck), com k natural, calcule o comprimento c5.
2.
(UFES-Modificada) Em 1950, as populações de Tóquio e de Nova Iorque eram de 7 e 12,6 milhões de
habitantes, respectivamente. Em 1974, as populações de Tóquio e de Nova Iorque passaram para 20 e
16 milhões de habitantes, respectivamente. Admitinda que o crescimento populacional dessas cidades
foi linear no período 1950-1974.
a) Monte um gráfico cartesiano representado os gráficos das funções de crescimento dessas
duas populações.
b) Obtenha as funções de crescimento dessas populações.
c) Em que ano as duas cidades ficaram com a mesma população?
3.
a)
b)
4.
(UFES-2005) No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com 6 litros de combustível. A partir
desse instante, ele é abastecido, e o volume de combustível no tanque aumenta a uma razão constante
de 3 litros por minuto, durante 10 minutos. Logo em seguida, o automóvel entra em movimento e leva 3
horas para gastar todo o combustível e parar. Durante essas 3 horas, o volume de combustível no
tanque, em litros, é descrito por uma função do segundo grau do tempo t , em minutos. O gráfico dessa
função do segundo grau é uma parábola com vértice no ponto (190, 0). Designando por V t o volume
de combustível no tanque, em litros, em função do tempo t , em minutos, para 0 t
determine a expressão de v(t) e esboce o seu gráfico.
determine em quais instantes de tempo t , tem-se v (t) = 9.
Observe esta figura:
Nessa figura, L1 e L2 são segmentos de reta que ligam os
pontos (0,2), (2,2) e (4,0).
Uma função f: [0,4]
IR é definida associando-se a cada
t [0,4] o valor da área da região limtitada pelas retas x =
0, x = t, y = 0 e a poligonal formada pelos segmentos L 1 e
L2.
Por exemplo, o valor de
f
5
2
é a área da área da região
sombreada na figura.
Considerando essas informações,
a) DETERMINE os valores de f(1) e f(3).
b) DETERMINE as expressões de f(t) para 0 < t < 2 e para 2 < t < 4.
c) ESBOCE o gráfico da função f(t).
GABARITO: 01 a 04 em sala de aula
9
190 ,
SÉRIE CASA
1. (FGV /2011) Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80,00 a
unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida, a
empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com
custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como matéria-prima,
por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00. Em 2009, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para
dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 terá de ser x%
maior que a de 2009. O valor mais próximo de x é:
a) 120
b) 100
c) 80
d) 60
e) 40
2. (UNESP SP/2008) O consumo médio de oxigênio em ml/min por quilograma de massa (ml/min.kg) de
um atleta na prática de algumas modalidades de esporte é dado na tabela seguinte.
Consumo médio de
Esporte
O2 em ml/min.kg
Natação
75
Tênis
65
Marcha atlética
80
Dois atletas, Paulo e João, de mesma massa, praticam todos os dias exatamente duas modalidades de
esporte cada um. Paulo pratica diariamente 35 minutos de natação e depois t minutos de tênis. João
pratica 30 minutos de tênis e depois t minutos de marcha atlética. O valor máximo de t para que João
não consuma, em ml/kg, mais oxigênio que Paulo, ao final da prática diária desses esportes, é:
a) 45.
b) 35.
c) 30.
d) 25.
e) 20.
3. (UFG GO/2006)
Considere a tabela abaixo.
Índice de massa corporal
Abaixo de 20
Entre 20 e 25
Entre 25 e 30
Entre 30 e 40
Classificação
Abaixo do peso
Saudável
Sobrepeso
Obesidade
O índice de massa corporal é obtido dividindo-se o peso em kg pelo quadrado da altura medida em
metros. Determine, para uma pessoa de 1,70 m de altura, o intervalo de variação do peso para que ela
seja considerada saudável.
4. (PUC RJ/2006) Quantos
2x 3 x 7 3x 1:
a) 4
b) 1
números
inteiros
c) 3
satisfazem
simultaneamente
d) 2
as
desigualdades
e) 5
5. (FGV /2011) Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta
básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o
crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da
cesta básica, na região Nordeste, possam ser
aproximados mediante funções polinomiais do
1º grau, f(x) = ax + b , em que x representa o
número de anos transcorridos após 2005.
a) Determine as funções que expressam os
crescimentos anuais dos valores do salário mínimo
e dos preços da cesta básica, na região Nordeste.
b) Em que ano, aproximadamente, um salário
mínimo poderá adquirir cerca de três cestas
básicas, na região Nordeste? Dê a resposta
aproximando o número de anos, após 2005, ao
inteiro mais próximo.
10
6. (UFPR/2011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados
nos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo.
Os suportes nas extremidades A e C medem,
respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A
altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros.
b) 4,5 metros.
c) 5 metros.
d) 5,2 metros.
e) 5,5 metros.
7. (UFPR/2011) Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00
pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto
para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro
5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O
preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:
a) R$ 55,00.
c) R$ 65,00.
e) R$ 75,00.
b) R$ 60,00.
d) R$ 70,00.
8. (UFG GO/2010) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto
material é proporcional ao seu comprimento inicial (L 0) e à variação da temperatura a que é submetido
( T), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coeficiente de dilatação linear ( ),
–6
–1
depende do material utilizado.Um fio de alumínio ( = 25 · 10 ºC ) de 10 m de comprimento está a
uma temperatura de 20 ºC, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m.
Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio
possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada
extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma
temperatura de 40 ºC, ele sofrerá uma dilatação, de modo
que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal,
como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H
em centímetros?
9. (FUVEST SP/2009)
Na figura ao lado, a reta r tem equação y
2 2x 1 no plano cartesiano Oxy.
Além disso, os pontos B0 ,B1,B2,B3 estão na reta r, sendo
B0
(0,1) . Os pontos A0,A1,A2,A3 estão no eixo Ox, com
A0
O (0,0) . O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para
1 i 3 . Os segmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 são paralelos ao
eixo Oy, os segmentos B0D1 , B1D2 , B2D3 são paralelos ao
eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1 é igual a 9, para 0 i 2 .
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1 D+1, para
0 i 2 , calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.
10. (UERJ/2011) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm
menor, às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o gráfico que
representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir
do qual a vela A foi acesa.
Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas.
11
11. (UNESP SP/2010) Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P 1 e P2, para produzir dois tipos de
chocolates, C1 e C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no processo
P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no
processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de
chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de
chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no
processo P1 é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P 2 é 3x + 6y. Dado
que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P 1 é de R$ 0,50, enquanto
que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P2 é de R$ 0,80, e se
forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no número máximo
possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será:
a) 3.400,00.
b) 3.900,00.
c) 4.700,00.
d) 6.400,00.
e) 11.200,00.
12. (FAMECA SP/2010) Suponha que no gráfico esteja representado o número de produtores que
adotaram o controle biológico de pragas em uma certa
região, que passaram de 2600 em junho/2007 para 5200 em
junho/2009. Admita que o aumento se mantenha nos
próximos 3 anos. De acordo com a função representada no
gráfico, o número desses produtores, em dezembro/2009,
será igual a
a) 5 800.
b) 5 850.
c) 6 500.
d) 6 850.
e) 7 000.
GABARITO:
1) Gab: E
2) Gab: A
3) Gab: 72,25 kg
4) Gab: D
5) Gab:
a) Salário mínimo
f(x) = 42x + 300
Cesta básica
f(x) = 6x + 154
b) 42x + 300 = 3(6x + 154)
x = 6,75 ; aproximadamente 7 anos.
No ano 2012.
6) Gab: D
7) Gab: B
8) Gab: H 15,8 cm
9) Gab:
a) 3, 6 e 9
b) 9 54· 2
10) Gab:
hA = 8 cm
hB = 6 cm
11) Gab: A
12) Gab: B
ENCONTROS 04 e 05
Um breve comentário sobre função quadrática:
Gráfico
2
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax + bx + c, com a 0, é uma curva chamada
parábola.
Exemplo:
2
Vamos construir o gráfico da função y = x + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,
ligamos os pontos assim obtidos.
12
x
y
-3
6
-2
2
-1
0
0
0
1
2
2
6
2
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax + bx + c, notaremos sempre que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
2
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax + bx + c , a 0, os números reais x
tais que f(x) = 0.
2
2
Então as raízes da função f(x) = ax + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax + bx + c = 0, as
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando
, chamado discriminante, a saber:
quando
é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando
é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
quando
é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a
< 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
. Veja os gráficos:
13
Imagem
2
O conjunto-imagem Im da função y = ax + bx + c, a
duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há
a>0
2ª quando a < 0,
a<0
14
Sinal
2
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y
é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
2
Conforme o sinal do discriminante
= b - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º -
>0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1
eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
x2). a parábola intercepta o
quando a < 0
y>0
y<0
quando a > 0
x1 < x < x 2
(x < x1 ou x > x2)
y>0
(x < x1 ou x > x2)
y<0
x1 < x < x 2
2º -
=0
quando a < 0
quando a > 0
15
3º -
<0
quando a > 0
quando a < 0
Fatorações da função quadrática
2
A forma geral da função quadrática é dada por y=ax +bx+c.
Se conhecermos as raízes da função, podemos reescrevê-la sob a forma:
y=a(x-x1)(x-x2) em que x1 e x2 são as referidas raízes.
Forma canônica
Sabe-se que a função quadrática é determinada pela seguinte expressão:
2
f(x)=ax +bx+c
Contudo, se fizermos algumas manipulações algébricas do lado direito desta igualdade, por meio do
processo de completar quadrados.
2
(f(x)=ax +bx+c (Colocando o termo a em evidência)
Veja que as duas parcelas destacadas podem ser usadas para o processo de completar quadrados:
Portanto, basta somarmos e subtrairmos o último termo na nossa função f(x) (Processo para completar
quadrados).
Sendo assim, completando o quadrado na função, temos:
Essa expressão também pode ser escrita da seguinte maneira:
Chamando de:
16
Note que:
Sendo assim, outra maneira de escrevermos a função quadrática de forma canônica é:
2
f(x)=a(x-m) +k
Façamos um exemplo no qual devemos escrever uma função quadrática qualquer:
2
f(x)=x -3x-7
Devemos destacar os coeficientes e determinar os valores de m e k:
EXERCÍCIOS:
1.
(FGV-2013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O
número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da
passagem x , por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$
200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há
uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?
2.
(UFES 99) Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola. A largura de sua base AB (veja
figura) é 4m e sua altura é 5m. Qual a largura XY de um vitral colocado a 3,2m acima da base?
3. (FUVEST 2005) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à
distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola.
Suponha também que
I.
a altura mínima do fio ao solo seja igual a 2;
II.
a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d/4 de uma
das colunas seja igual a h/2.
Se h = 3 (d/8) , então OBTENHA O VALOR DE d.
17
4. (UFES-2006) Uma pequena localidade é abastecida com água extraída de 6 poços, cada um possuindo
uma vazão de 1.100 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número de
poços; porém, para cada poço adicional perfurado, estima-se que a vazão por poço diminui em 25 litros
por hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de cada um dos 7 poços fica em
1075 litros por hora.
a) Calcule o tempo que os 6 poços iniciais levam para fornecer um volume de 17.600 litros de água.
b) Dê a expressão da vazão por poço em função do número de poços adicionais perfurados.
c) Dê a expressão da vazão total em função do número de poços adicionais perfurados.
d) Determine o menor número de poços que devem ser perfurados para que a vazão total seja de 9.225
litros por hora.
e) Determine o número de poços adicionais a serem perfurados de modo que a vazão total seja a maior
possível e calcule essa vazão máxima.
5. (UFES_2007/1) A temperatura de uma certa cidade num determinado dia foi expressa por uma função
quadrática. Sabendo que nesse dia a temperatura atingiu o valor de 20°C nos dois horários, às 8 horas
e às 18 horas, e que a temperatura máxima desse dia foi de 30°C, determine:
a) a expressão da temperatura em °C em função da hora t desse dia, para 8 ≤ t ≤ 18;
b) os horários desse dia, nos quais a temperatura atingiu o valor de 26,4ºC.
2
6. (UNICAMP-2005) A função y = ax + bx + c, com a ≠ 0, é chamada função quadrática.
a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1).
b) Dados os pontos A(x0, y0), B(x1, y1) e C(x2, y2), mostre que, se x0 < x1 < x2 e se os pontos A, B e C
não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos
pontos A, B e C.
7. (UFES-2010) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um
imposto único de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço final
de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto,
que as concessionárias então repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em
decorrência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%.
a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende
do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu que
o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto
sobre a venda de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo
que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 -x)% nas vendas, o governo
arrecadaria uma fração f(x) do que arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8 , e esboce o gráfico de f.
8. (UP-2009) Qual é o menor comprimento das tábuas verticais
que compõem o barraco da figura ao lado? É sabido que a
porta está centralizada e que tem o formata parabólico.
9. (UFES-2012) Em uma competição de tiro, um alvo é lançado a partir do
ponto B e percorre uma trajetória parabólica. Um competidor situado no
ponto A atira na direção da reta r e acerta o alvo no ponto P, conforme a
figura plana esboçada ao lado.
a) Sabendo que a distância do competidor ao local do lançamento do alvo
é de 24 m e que a altura máxima da trajetória do alvo é de 16 m,
determine a equação da parábola que descreve a trajetória do alvo.
o
b) Sabendo que o competidor atirou formando um ângulo α = 30 com a
horizontal, determine as coordenadas cartesianas do ponto P.
GABARITO: De 01 a 08 em sala.
18
SÉRIE CASA
1. (UFG GO) A figura abaixo representa o gráfico de uma função polinomial
de grau 2.
a)
b)
c)
d)
e)
Dos pontos a seguir, qual também pertence ao gráfico?
(3, –2)
(3, –4)
(4, –2)
(4, –4)
(2, –4)
2
2
2. (UFBA) Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x – 4x + 3 e g(x) = –x – bx + c se
4
intersectam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b c.
3. (FGV ) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características:
 O vértice é o ponto (4, –1) .
 Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0).
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é:
a) (0,14)
b) (0,15)
c) (0,16)
d) (0,17)
e) (0,18)
4. (UEG GO) Uma empresa deseja cercar e gramar um terreno retangular. Determine as dimensões do
terreno considerando que ele tenha 160 metros de perímetro e que a empresa gaste exatamente
2
1500 m de grama.
5. (IBMEC RJ) O lucro de vendas de x unidades mensais de
certo produto é descrito por uma função quadrática
representada pela figura a seguir:
Podemos afirmar que o lucro máximo de vendas, em
reais, é de:
a) R$ 63.000,00
b) R$ 62.500,00
c) R$ 62.000,00
d) R$ 62,50
e) R$ 62,00
6. (UFT TO) Um jogador de futebol ao bater uma falta
com barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A
trajetória percorrida pela bola descreve uma parábola
para chegar ao gol.
Sabendo-se que a bola estava parada no local da falta
no momento do chute, isto é, com tempo e altura
iguais a zero. Sabendo-se ainda, que no primeiro
segundo após o chute, a bola atingiu uma altura de 6
metros e, cinco segundos após o chute, ela atingiu
altura de 10 metros. Pode-se afirmar que após o chute a bola atingiu a altura máxima no tempo igual a:
a) 3 segundos
c) 4 segundos
e) 5 segundos
b) 3,5 segundos
d) 4,5 segundos
7. (UNEB BA) Uma fábrica de equipamentos leves fez um estudo de sua produção e conseguiu uma
2
fórmula, cuja expressão é C(n) = 0,6n – 120n + 10 000, para obter o custo C, em reais, em função do
número n de peças produzidas.
Nessas condições, o custo mínimo, em reais, de produção dessa fábrica é de
01. 3 500
02. 4 000
03. 4 500
04. 5 000
05. 5 500
19
8. (FGV ) Na figura abaixo temos os gráficos das funções custo (C) e receita de vendas (R) diárias de um
produto de uma empresa, em função da quantidade produzida e vendida, em número de unidades.
a)
b)
c)
d)
e)
Podemos afirmar que
o lucro será nulo somente se a quantidade produzida e vendida for 30.
haverá prejuízo somente quando a quantidade produzida e vendida for menor que 10.
o prejuízo máximo será de $400.
o lucro máximo é superior a $800.
haverá lucro positivo quando a quantidade produzida e vendida estiver entre 10 e 30.
9. (UFCG PB) O custo de produção de um produto fabricado por uma cooperativa agrícola, em milhares
de reais, é dado pela função C(x) = 4 + 6x, onde x é dado em milhares de unidades. Verificou-se que o
faturamento de venda desses produtos, também em milhares de reais, é dado pela função
2
F(x) = x + 3x. É correto afirmar que a cooperativa começará a ter lucro com a venda desse produto, a
partir da produção de:
c) 7 milhares.
e) 4 milhares.
a) 3 milhares.
d) 2 milhares.
b) 2,6 milhares.
10. (UFRN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria-prima, para produzir x unidades de um produto, é
dado pela equação C(x) = 10x. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas,
1 2
0 t 8, por sua vez, é dada por Q(t) 6t
t .
2
a) Preencha as tabelas de acordo com as expressões das funções Q(t) e C(x) dadas, e explicite os
cálculos efetuados.
b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)) , que corresponde ao custo em função das horas( t ).
11. (UFPE) Uma fábrica tem 2.000 unidades de certo produto em estoque e pode confeccionar mais 100
unidades deste produto por dia. A fábrica recebeu uma encomenda, de tantas unidades do produto
quantas possa confeccionar, para ser entregue em qualquer data, a partir de hoje. Se o produto for
entregue hoje, o lucro da fábrica será de R$ 6,00 por unidade vendida; para cada dia que se passe, a
partir de hoje, o lucro diminuirá de R$ 0,20 por unidade vendida. Calcule o lucro máximo, em reais, que
a fábrica pode obter com a venda da encomenda e indique a soma de seus dígitos.
12. (UFG GO) Uma fábrica de calçados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de
fabricação é de um custo mensal fixo de R$ 4.000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço
de venda de cada par depende da quantidade produzida e é dado pela função p(x) = 40 – x, sendo x a
quantidade de pares produzidos e vendidos e é o desconto dado em cada par de sandália.
Considerando-se que o lucro mensal, L(x), da empresa é a diferença entre o faturamento e o custo total
de fabricação, calcule o valor do desconto para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo
3.200 pares de sandálias produzidos.
20
13. (ESPM SP) Um sitiante quer construir, ao lado de um muro
retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas e
patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter
2
40 m a mais que a destinada às galinhas (G). Para isso ele
dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que
deverá ser usada para as cercas AB, CD, EF e BF, conforme a
figura ao lado:
Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a medida DF deverá ser de:
a) 15 metros
c) 17 metros
e) 19 metros
b) 16 metros
d) 18 metros
14. (ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos
10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$,
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
2
2
2
a) V = 10.000 + 50x – x .
c) V = 15.000 – 50x – x .
e) V = 15.000 – 50x + x .
2
2
b) V = 10.000 + 50x + x .
d) V = 15.000 + 50x – x .
15. (FGV) Cada unidade de um brinquedo é vendida pela indústria que o fabrica por R$ 40,00 e a esse
preço são vendidas, semanalmente, 500 unidades. Empiricamente sabe-se que, a cada R$ 1,00 de
aumento no preço unitário do brinquedo, as vendas semanais diminuirão em 10 unidades.
a) Nessas condições, qual o valor da receita semanal máxima dessa indústria?
b) Se o custo médio semanal de fabricação de x unidades desse brinquedo é dado pela expressão:
3000
Cme (x)
32 , determine o lucro semanal obtido pela indústria na condição de receita
x
máxima. (Entende-se por custo médio a razão entre o custo total de produção e o número de
unidades produzidas.)
GABARITO:
1) Gab: B
2) Gab: 48
3) Gab: B
4) Gab: As dimensões do terreno são 30m e 50m.
5) Gab: B
6) Gab: B
7) Gab: 02
8) Gab: E
9) Gab: E
10) Gab:
a)
C(x) = 10x
100 = 10x
x = 10, C(16) = 10 16 = 160 e C(18) = 10 18 = 180
Q(t) = 6t –
1 2
t
2
Q(2) = 6 2 –
1
1 2
1 2
2 = 12 – 2 = 10, Q(4) = 6 4 – 4 = 24 – 8 = 16 e 18 = 6t – t 2
2
2
2
Resolvendo a equação, encontramos t = 6.
21
b)
11) Gab: 08
12) Gab:
0,005.
13) Gab: C
14) Gab: D
15) Gab:
a) R$20.250,00
b) R$2.850,00
22