Matemática •••
4
Fernando
Proj. Gráf.
A
Arquitetura é uma área profissional que alia
conhecimento técnico e arte, a fim de proporcionar
soluções para as mais diversas situações humanas.
Desde tempos remotos, a humanidade tem
arquitetado e construído as mais incríveis estruturas
que deixam perplexos seus observadores. Quem nunca se
maravilhou diante da magnitude das pirâmides do Egito,
erigidas há milhares de anos, ou diante de grandes edifícios
como o Sears Tower, de 108 andares e 442 metros de altura, ou
de grandes pontes como a Rio–Niterói?
Aparentemente essas grandes obras da Arquitetura
desafiam a lógica humana. Saiba, porém, que não foi mágica,
mas a Matemática e a Geometria, que você acabou de estudar,
que permitiram tais proezas arquitetônicas.
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
A Matemática
e a Arquitetura
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
Alexander dos Santos Dutra • Ingrid Regina Pellini Valenço
Fernando
Proj. Gráf.
Editor(a)
Editor(a)
Coor. Ped.
Coor. Ped.
C. Q.
Dep. Arte
Professor
C. Q.
Dep. Arte
SUMÁRIO
Módulo 10
Módulo 12
Progressão aritmérica ���������������������������������������������������������������� 2
Geometria plana 2 ���������������������������������������������������������������������� 28
1. Sequências numéricas �������������������������������������������������������� 2
1. Polígonos ������������������������������������������������������������������������������ 28
2. Progressão aritmética (PA) ������������������������������������������������ 3
2. Circunferência ���������������������������������������������������������������������� 30
Agora é a sua vez ���������������������������������������������������������������������� 8
3. C
ircunferência inscrita e circunscrita
De olho no vestibular ������������������������������������������������������������ 12
a polígonos regulares ������������������������������������������������������ 33
4. Áreas de figuras planas ���������������������������������������������������� 35
Módulo 11
Agora é a sua vez �������������������������������������������������������������������� 37
Progressão geométrica ���������������������������������������������������������� 15
De olho no vestibular ������������������������������������������������������������ 43
1. Classificação de uma PG �������������������������������������������������� 15
Referências bibliográficas ���������������������������������������������������� 48
2. Termo geral de uma PG �������������������������������������������������� 16
4. Soma dos termos de uma PG finita ���������������������������� 17
5. Soma dos termos de uma PG infinita ������������������������ 18
Agora é a sua vez �������������������������������������������������������������������� 19
De olho no vestibular ������������������������������������������������������������ 24
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3. Interpolação geométrica ������������������������������������������������ 17
Fernando
Proj. Gráf.
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Coor. Ped.
C. Q.
Nome: ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Dep. Arte
1
módulo
Sequência ou sucessão numérica: qual­
quer con­junto de números dispostos ordenada­
mente. De modo geral, é representada como
A = (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...), em que a1 é o primeiro
termo, a2 é o segundo termo, a3 é o terceiro e assim
por diante. O an é o enésimo termo (ou elemento),
também conhecido como termo geral da sequência.
1. Sequências numéricas
Os meses do ano podem ser escritos como um conjunto:
A = {março, janeiro, dezembro, ...}, sem necessariamente
obedecer a uma ordem; porém, a sequência “meses do ano”,
obrigatoriamente, precisa estar em ordem. Assim, numa se­
quência ou sucessão, os elementos são dispostos em ordem,
separados por vírgula ou ponto e vírgula e entre parênteses.
A sequência “meses do ano” será:
A = (janeiro, fevereiro, março, abril, ..., novembro,
dezembro)
Essa é uma sequência finita.
Os números primos formam uma sequência numérica.
A sucessão desses números pode ser representada da se­
guinte forma:
P = (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)
Essa é uma sequência infinita.
Para algumas sequências, existe uma lei de formação
pela qual pode-se encontrar qualquer um de seus elemen­
tos, quando conhecida sua posição.
Exercícios resolvidos
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
1.Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida
pela lei an = n – 2, com n ∈ N*.
Resolução
Para n = 1, tem-se: a1 = 1 – 2 = –1
Para n = 2, tem-se: a2 = 2 – 2 = 0
Para n = 3, tem-se: a3 = 3 – 2 = 1
Para n = 4, tem-se: a4 = 4 – 2 = 2
Para n = 5, tem-se: a5 = 5 – 2 = 3
Portanto, os cinco primeiros termos da sequência são:
–1, 0, 1, 2 e 3
2.E screva a sequência dada por a1 = –2 e an = an – 1 + 3,
com n ∈ N e n > 1.
Fernando
Proj. Gráf.
Resolução
Para n = 1, já se sabe que a1 = –2
Se n = 2, então: a2 = a2 – 1 + 3 = a1 + 3 = –2 + 3 = 1
Se n = 3, então: a3 = a3 – 1 + 3 = a2 + 3 = 1 + 3 = 4
Se n = 4, então: a4 = a4 – 1 + 3 = a3 + 3 = 4 + 3 = 7, e assim
por diante.
Logo, a sequência é:
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
(–2, 1, 4, 7, ...)
Dep. Arte
2
3.Escreva a sequência dada por a1 = a2 = 1 e an = an – 1 +
an – 2, com n ∈ N e n > 2.
Resolução
Sabe-se que a1 = a2 = 1
Para n = 3:
a3 = a3 – 1 + a3 – 2 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2
Para n = 4:
a4 = a4 – 1 + a4 – 2 = a3 + a2 = 1 + 2 = 3
Para n = 5:
a5 = a5 – 1 + a5 – 2 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5
Para n = 6:
a6 = a6 – 1 + a6 – 2 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8
Assim, a sequência é:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, ...)
A partir do terceiro elemento, cada termo é igual
à soma dos dois anteriores, ou seja, o termo a7 = 13 é a
soma dos dois anteriores (5 + 8 = 13) e assim sucessiva­
mente. Essa sequência é conhecida como sequência de
Fibonacci.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A
o observar os fatos do dia a dia, é possível descobrir
padrões numéricos em várias situações: a numeração
das casas de uma rua – de um lado, os números pares,
e do outro, os ímpares; as fases da Lua; as estações do ano;
as eleições presidenciais; a Copa do Mundo; as Olimpíadas.
Esses padrões se chamam sequências quando obedecem a
uma determinada ordem.
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10
Progressão aritmética
módulo 10
Saiba mais
Sequência de Fibonacci
número de
casais
1
Usando essa função, obtém-se:
f(1) = 1
f(2) =1
f(3) = f(1) + f(2) = 1 + 1 = 2
f(4) = f(2) + f(3) = 1 + 2 = 3
f(5) = f(3) + f(4) = 2 + 3 = 5
f(6) = f(4) + f(5) = 3 + 5 = 8
f(7) = f(5) + f(6) = 5 + 8 = 13
f(8) = f(6) + f(7) = 8 + 13 = 21
f(9) = f(7) + f(8) = 13 + 21 = 34
... ... ...
f(n)
8
5
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 ... (n)
2
5
Para esse resultado é dado o nome de sequência de
Fibonacci, que pode ser definida por meio da função:
2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA PA
De forma semelhante a Fibonacci, vamos resolver o seguinte problema: construir triângulos utilizando 23 canudinhos de refrigerante.
Dessa forma, chega-se à seguinte sequência: (1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, ...), que representa a quantidade de casais
de coelhos ao longo dos meses. Ao término de dois anos
haverá 46 368 coelhos.
Essa sequência tem aplicações na natureza, em análises do mercado financeiro e em computação, sendo muito útil em diversas áreas.
elemento anterior. A esse número, que se soma para obter
um novo elemento da sequência, dá-se o nome de razão,
e esse tipo de sequência é chamada de progressão aritmética (PA).
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
3
Progressão aritmética: toda sequência em que,
a partir do segundo termo, cada termo é obtido somando-se uma constante (um número fixo) ao elemento anterior. Essa constante é chamada de “razão
da PA”, representada pela letra r (r ∈ ).
Bruno del Rey/ Conexão Editorial
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1
1 para n ≤ 2
f : * → tal que f( n) = 
 f( n − 1) + f( n − 2) para n > 2
...
F
ibonacci, que significa “filho de Bonaccio”, foi um
grande matemático da Idade Média, cujo nome era
Leonardo de Pisa. Ele viveu nos anos 1200 e publicou o
Liber abaci (“livro do cálculo”), no qual propôs o seguinte problema: “Um casal de coelhos torna-se produtivo depois de
dois meses de vida. A partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos
recém-nascidos, quantos casais haverá no fim de dois anos?”
Para solucionar o problema proposto por Fibonacci,
observe o diagrama a seguir.
Utilizando 23 canudinhos, é possível formar quantos
triângulos?
A quantidade de canudinhos usada para construir mais
um triângulo forma a seguinte sequência: (3, 5, 7, 9, ...).
Portanto, são necessários 2 novos canudos para obter
mais um triângulo. O novo elemento da sequência pode
ser obtido assim:
+2
3
+2
5
+2
7
+2
9
11
O diagrama acima ressalta o fato de que cada novo elemento é obtido com a soma de um fator (no caso, 2) ao
Retornando ao problema original, a sequência com a
quantidade de canudos na construção dos triângulos fica
assim: (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ...).
Nessa sequência, o número 23 é o 11o elemento. Isso
significa que, com 23 canudinhos, é possível formar 11
triângulos.
Ao resolver problemas dessa natureza, é importante associar a posição do elemento da progressão ao seu valor. Para
isso, adota-se a seguinte notação: PA (a1, a2, a3, a4, ..., an – 1, an, ...).
Nesse caso, a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, e assim sucessivamente. Também é importante conhecer a razão da PA. Para isso, nota-se, no exemplo anterior,
que: 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = ...
Fernando
Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
Dep. Arte
3
an = a1 + (n – 1) · r
ou
r = an – an – 1
Classificação da PA
Uma PA pode ser classificada como:
• crescente: quando a razão é positiva ( r > 0).
Exemplo: a sequência (2, 8, 14, 20, ...) é uma progressão
aritmética crescente de razão r = 6.
• decrescente: quando a razão é negativa ( r < 0).
Exemplo: a sequência (12, 9, 6, 3, 0, –3) é uma progressão
aritmética decrescente de razão r = –3.
• estacionária: quando a razão é nula ( r = 0).
Exemplo: a sequência (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma progres­
são constante ou estacionária.
Em que:
an = termo geral ou o enésimo termo
a = primeiro termo
 1

n = número de termos da PA
r = razão da PA
Para resolver esse problema, calcula-se o centésimo ele­
mento (a100) da PA, em que a1 = 3 e r = 2, ou seja:
a100 = a1 + (100 – 1) · r
a100 = 3 + 99 · 2 = 201
Portanto, serão necessários 201 canudinhos para cons­
truir 100 triângulos.
Pode-se entender a razão do nome progressão aritmética observando, através de um exemplo, uma de suas pro­
priedades:
Fórmula do termo geral
8 + 20
= 14
2
Supõe-se que seja calculado quantos canudos são ne­
cessários para construir 100 triângulos usando o mesmo mé­
todo já apresentado. Nesse caso, usa-se uma maneira mais
eficiente do que ficar somando 2 até achar o termo desejado.
(2,
8,
14,
20,
26)
2 + 14
=8
2
Qualquer termo central de uma PA pode ser escrito
como a média aritmética entre o termo anterior e o termo
posterior, ou seja:
a1 + a3
a +a
a +a
, a3 = 2 4 ,...an = n − 1 n + 1
2
2
2
Uma PA pode também ser entendida como uma fun­
ção em que a variável é composta por números naturais
positivos. No exemplo usado até aqui, a PA (3, 5, 7, 9, ...) pode
ser escrita como uma função:
f : N* → R tal que f(x) = 2(x – 1) + 3 ou f(x) = 2x + 1
Dessa forma, a razão corresponde ao coeficiente angular (2).
Essa sequência pode ser representada de forma gráfica por:
Horia Varlan / Flickr
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
a2 =
Desse modo, reconstrói-se a sequência do exemplo,
desta vez assim:
a1 = 3
a2 = 3 + 2 = 5
a3 = 5 + 2 = 3 + 2 + 2 = 3 + 2 · 2 = 7
a4 = 7 + 2 = 3 + 2 · 2 + 2 = 3 + 3 · 2 = 9
a5 = 9 + 2 = 3 + 3 · 2 + 2 = 3 + 4 · 2 = 11
.
.
.
an = an – 1 + r = a1 + (n – 1) · r
Fernando
Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
Ao obter um novo termo da PA (an), o número de vezes
que é somada a razão ao primeiro termo (a1) é sempre 1 a
menos (n – 1) que a sua posição (n). Portanto, uma expres­
são para o termo geral de uma PA é:
C. Q.
Dep. Arte
4
f
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an – an – 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
módulo 10
Então:
4.Numa PA, tem-se a6 = 18 e a10 = 54. Obtenha a razão
dessa sequência.
1.Determine x de modo que (3x – 1, x + 3, x + 9) seja uma PA.
Resolução
Resolução
3 x − 1+ x + 9
x +3=
⇒ 4 x + 8 = 2 x + 6 ⇒ 2 x = −2
2
∴ x = −1
Observe que, pelo termo geral:
an = ak + (n – k)r
Então: a10 = a1 + (10 – 1)r = a1 + 9r = a2 + 8r = a3 + 7r = ...
Assim: an = ak + (n – k)r
a10 = a6 + 4r ⇒ 54 = 18 + 4r ⇒
⇒ 4r = 54 – 18
S = {–1}
2.Dada a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...), escreva o seu termo geral e o
10°- termo dessa progressão.
∴ r=9
5.Encontre o número de múltiplos de 5 compreendidos
entre 23 e 621.
Resolução
an = termo geral
a = 1
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = n
r = 4 − 1 = 3
23, 25, ...., 620, 621
⇓
⇓
a1
an
an = a1 + (n – 1) · 5 ⇒ 620 = 25 + 5n – 5 ⇒
an = 1 + (n – 1) · 3 = 1 + 3n – 3
⇒ 5n = 620 – 20 ∴ n = 120
∴ an = 3n – 2
Para n = 10, tem-se
a10 = 3(10) – 2
6.Numa PA crescente, a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Escreva a PA
correspondente.
∴ a10 = 28
Resolução
Considerando-se a2 = a1 + r; a6 = a1 + 5r; a4 = a1 +3r;
a9 = a1 + 8r, escreve-se os termos em função de a1 e r:
3.Calcule o número de termos da PA (–4, –1, 2, ...,128).
Resolução
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
a2 + a6 = 20 ⇒ ( a1 + r ) + ( a1 + 5r ) = 2a1 + 6r = 20

a1 + 3r ) + ( a1 + 8r ) = 2a1 + 11r = 35
a4 + a9 = 35 ⇒ (a
an = 128
a = −4
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = ?
r = −1− ( −4 ) = 3
128 = −4 + ( n − 1) ⋅ 3 ⇒ 3n − 3 = 132 ⇒
⇒ 3n = 135
Resolvendo-se o sistema:
2a1 + 6r = 20
−2a1 − 6r = −20
⇒
⇒ r = 3 e a1 = 1

2a1 + 11r = 35 2a1 + 11r = 35
Logo, a PA será:
∴ n = 45
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, ...)
Interpolação aritmética
Interpolar é o mesmo que inserir – nesse caso, inserir números reais entre dois números conhecidos, formando uma
progressão aritmética. Para entender a ideia, considere o seguinte problema:
5 radares
radar
Fernando
Proj. Gráf.
radar
Editor(a)
Coor. Ped.
rodovia
Fernando Lima
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Resolução
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
módulo 10
Exercícios resolvidos
C. Q.
km 35
a1
?
a2
?
a3
?
a4
?
a5
?
a6
km 173
a7
Dep. Arte
5
módulo 10
Um departamento de trânsito deseja distribuir 5 sen­
sores de velocidade numa rodovia estadual, entre os qui­
lômetros 35 e 173, onde já existem radares fixos instalados.
Em que pontos da rodovia esses equipamentos devem ser
instalados de forma que a distância entre eles seja igual?
Distribuir 5 novos radares equidistantes entre os quilômetros 35
e 173 equivale a inserir 5 meios aritméticos entre 35 e 173, ou seja:
35,
,
,
,
⇓
a1
,
, 173
⇓
a7 → n = 7
Assim:
a7 = a1 + 6r ⇒
⇒ 173 = 35 + 6r
⇒ 6r = 138 ⇒ r = 23
Conhecendo-se o primeiro termo (35 km) e a razão ou dis­
tância entre os radares (23 km), é possível descobrir a sequên­
cia com a posição dos demais radares:
(35, 58, 81, 104, 127, 150, 173)
Matematicamente, 5 meios aritméticos foram interpola­
dos entre 35 e 173.
Soma e produto de termos consecutivos de uma PA
Existem algumas situações em que é útil representar
uma PA de forma alternativa:
• PA de 3 termos ⇒ (x – r, x, x + r)
• PA de 4 termos ⇒ (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
• PA de 5 termos ⇒ (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Resolução
a1 = ( x − r )

a2 = x
a = ( x + r )
 3
PA (3, 5, 7)
2. Interpole ou insira sete meios aritméticos entre­2 e 34.
Assim, os termos da PA são:
( x − r ) + x + ( x + r ) = 15 (soma dos termos)
( x − r ) + x + x + r = 15 ⇒ 3 x = 15∴ x = 5
( x − r ) ⋅ x ⋅ ( x + r ) = 105 (produto dos termos)
( 5 − r ) ⋅ 5 ⋅ ( 5 + r ) = 105 ⇒ 25 − r 2 = 21∴ r = ±2
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
a1 = 5 − 2 = 3
Assim: a2 = 5
a = 5 + 2 = 7
 3
Como a PA é crescente, então r = 2 e x = 5.
Resolução
Para encontrar o segundo até o oitavo termos, é neces­
sário achar a razão da PA.
2,
,
,
,
,
,
,
, 34
⇓
⇓
a1
a9 → n = 9
an = a1 + (n – 1)r ⇒ a9 = a1 + 8r ⇒ 34 = 2 + 8r ⇒
⇒ 8r = 32 ⇒ r = 4
∴ PA (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34)
Curiosidades
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) era filho de um jar­
dineiro muito simples que não via utilidade nos estudos.
Apesar disso, sua genialidade foi logo percebida por sua
mãe e seu tio (Friedrich).
Conta-se que seu professor, Butner, solicitou que os alunos
efetuassem a soma 1 + 2 + 3 + ... + 100. Assim, talvez pudesse
deixá-los ocupados e em silêncio por um tempo. Em pouquíssi­
mo tempo Gauss, na época com 10 anos, solucionou o problema,
encontrando 5 050 como resposta.
O professor achou que era brinca­
deira e pediu que ele mostrasse o
que havia feito.
Gauss foi até a lousa e es­
creveu a soma duas vezes, uma
vez na ordem crescente e outra
na ordem decrescente, e apre­
sentou o seguinte raciocínio:
Vikki Hansen/SXC
Fernando
Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
Dep. Arte
6
1 +
2 +
3 +
+ S = 100 +
S=
99 +
98 +
4 + .... + 97 +
97 + .... +
4 +
98 +
3 +
99 + 100
2 +
1
2S = 101 + 101 + 101 + 101 + .... + 101 + 101 + 101 + 101
Como são 100 números e o resultado dos termos das
duas somas foi sempre igual, ele concluiu:
101⋅100
2S = 101⋅100 ⇒ S =
= 101⋅ 50 = 5 050
2
O professor ficou tão abismado com a ideia do garoto
que lhe comprou uma coleção de aritmética e o encami­
nhou a outro professor, que julgava ser mais habilidoso
com os números.
Apesar de não ser tão habilidoso com a Matemática, esse
velho mestre reconheceu a genialidade de seu aluno e deu o
impulso necessário ao seu crescimento. Gauss se tornou um
dos mais brilhantes matemáticos do século XIX.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1. Encontre três números em PA crescente, sabendo que a
soma é 15 e o produto é 105.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercícios resolvidos
Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes
é igual à soma do primeiro e último termo. Veja o exemplo
a seguir:
2 8 1420 26 3238 44 50
20 + 32 = 52
14 + 38 = 52
8 + 44 = 52
2 + 50 = 52
Ou seja:
a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ... = a1 + p + an – p
Com isso, repete-se o raciocínio de Gauss considerando
uma PA qualquer. Para isso, chama-se de Sn a soma dos n
primeiros termos dessa progressão. Assim:
módulo 10
Soma dos termos de uma PA finita
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an – 1 + an
Sn = an + an – 1 + an – 2 + ... + a3 + a2 + a1
Então, somando as duas linhas:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + ... + (an – 2 + a3) +
(an – 1 + a2) + (an + a1)
Usando a propriedade anterior:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) +
(a1 + an) + (a1 + an)
O argumento usado por Gauss serve para aplicar a
soma de termos de uma progressão aritmética finita qualquer. Pode-se entender a razão matemática por raciocínio,
verificando uma importante propriedade das progressões
aritméticas.
Como há n fatores iguais somados:
Sn =
( a1 + an ) ⋅ n
2
1.Qual é a soma dos 40 primeiros termos da PA (2, 8, ...)?
Resolução
( a1 + an ) ⋅ n
2
a
1
=
 1
a = x
 n
x +5

n = ? → an = 1+ ( n − 1) ⋅ 6 → x = 6n − 5 → n = 6

Sn = 280
 x + 5
(1+ x ) ⋅ 
 6 
 x + 5
⇒
280 =
⇒ 560 = (1+ x ) ⋅ 
 6 
2
Sn =
Resolução
( a1 + an ) ⋅ n
2
a1 = 2
a = a + 39r = 2 + 39 ⋅ 6 = 236
 40
1

n
40
=

S40 = ?
Sn =
S40 =
( a1 + a40 ) ⋅ 40
= ( 2 + 236 ) ⋅ 20
2
 x1 = −61
⇒ x 2 + 6 x − 3 355 = 0 
 x 2 = 55
 S = 4 760
40
Como a PA é crescente, então: x = 55
2.Sendo a PA (1, 2, 3, 4, ...), encontre a soma dos n primeiros
termos dessa PA.
Resolução
( a1 + an ) ⋅ n
2
a1 = 1
a = 1+ ( n − 1) ⋅1 = n
 n

n = n
Sn = ?
Sn =
Sn =
(1+ n) ⋅ n
n + n2
∴ Sn =
2
2
3.
Sabendo que o primeiro termo da equação
1 + 7 + ... + x = 280 forma uma PA, encontre a solução
da equação.
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercícios resolvidos
S = {55}
4.A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn = 2n2.
a) Calcule a soma dos 4 primeiros termos dessa PA.
b) Determine a5.
Resolução
a) n = 4 → S4 = 2(4)2 – 1 = 2 · 16 = 32
Fernando
Proj. Gráf.
b) a5 = S5 – S4 = [2 · 52 – 2 · 42] = 50 – 32 = 18
5.Calcule a soma
Editor(a)
16
∑ 3k
*
k =1
Coor. Ped.
Resolução
16
∑ 3k = S
k =1
*
16
=
( 3 ⋅1+ 3 ⋅16 ) ⋅16
= ( 3 + 48 ) ⋅ 8 =
2
C. Q.
408
16
Utilizado­para representar soma. Assim: 3 + 6 + 9 + ... + 48 = ∑ 3k
k =1
Dep. Arte
7
módulo 10
| | | | Agora é a sua vez | | | |
1.Encontre os seis primeiros termos da sequência, cujo ter­
mo geral é an = 2n + 3.
A sequência é (5, 7, 9, 11, 13, 15).
5.Uma sequência tem 6 termos, e sua lei de formação é
dada por an = 5n – 4, n ∈ N*. Calcule a soma dessa se­
quência considerando como termos apenas os que são
números ímpares.
Para n = 1, a1 = 5 · 1 – 4 = 1
Para n = 2, a2 = 5 · 2 – 4 = 6
Para n = 3, a3 = 5 · 3 – 4 = 11
Para n = 4, a4 = 5 · 4 – 4 = 16
Para n = 5, a5 = 5 · 5 – 4 = 21
a1 = 21 + 3 = 5
Para n = 7, a7 = 5 · 7 – 4 = 31
a2 = 22 + 3 = 7
Para n = 8, a8 = 5 · 8 – 4 = 36
a3 = 23 + 3 = 11
Para n = 9, a9 = 5 · 9 – 4 = 41
a4 = 24 + 3 = 19
Para n = 10, a10 = 5 · 10 – 4 = 46
Soma = 5 + 7 + 11 + 19 = 42
Para n = 11, a11 = 5 · 11 – 4 = 51
3.Escreva as sequências definidas pelos termos gerais a se­
guir (considere n ∈ N e n ≥ 1).
A sequência é (1, 11, 21, 31, 41, 51).
Soma = 1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 156
a) an = n²
(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)
6.A soma dos n primeiros termos de uma sequência é
dada por Sn = 2n2 + n, n ≥ 1. Determine o terceiro e o
quarto termos dessa sequência.
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
a1 = S1 = 2(1)² + 1 = 3
b) an = (–1)n · 2n
a3 = S4 – S3 = [2(4)² + 4] – [2(3)² + 3] = 36 – 21 = 15
(–2, 4, –8, 16, –32, ...)
a4 = S5 – S4 = [2(5)² + 5] – [2(4)² + 4] = 55 – 36 = 19
4.Obtenha os cinco primeiros termos da sequência defini­
a = −2
da por  1
, sendo n ∈ N e n ≥ 1.
an + 1 = an + 3
7.Qual é o 200o número natural par?
PA (0, 2, 4, 6, 8, ...)
a1 + 1 = a1 + 3 = –2 + 3 = 1
a2 + 1 = a2 + 3 = –1 + 3 = 2
a3 + 1 = a3 + 3 = 2 + 3 = 5
a4 + 1 = a4 + 3 = 5 + 3 = 8
Fernando
Proj. Gráf.
A sequência é (–2, –1, 2, 5, 8).
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
Dep. Arte
8
a200 = ?
a = 0
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = 200
r = 2 − 0 = 2
a200 = 0 + ( 200 − 1) ⋅ 2 = 199 ⋅ 2 = 398
∴ a200 = 398
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Para n = 6, a6 = 5 · 6 – 4 = 26
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2.Calcule a soma dos quatro primeiros termos da sequên­
cia definida por an = 2n + 3.
a2 = a1 + r = 350
a4 = a1 + 3r = 250
a1 = 400 e r = –50
A barra mais pesada (a1) pesa 400 g.
12.Q uantos múltiplos de 3 podemos escrever com 4
algarismos?
PA = (1 002, 1 005, ..., 9 999 )
módulo 10
8.Um ourives possui 5 barras, e os pesos dessas barras estão
em progressão aritmética. A segunda e quarta barras mais
pesadas pesam, respectivamente, 350 g e 250 g. Qual a bar­
ra mais pesada?
an = 9 999
a = 1 002
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = ?
r = 3
an = 1 002 + ( n − 1) ⋅ 3 ⇒ 9 999 = 1 002 + 3n − 3 ⇒
⇒ 3n = 9 000
∴ n = 3 000
9.Qual é o 57o número natural ímpar?
an = 2n – 1 ⇒ a57 = 2 · 57 – 1 = 114 – 1
13.Num auditório, a primeira fila tem 17 assentos; a segun­
da, 21; a terceira, 25; e assim sucessivamente. Quantos
assentos tem a 24o fila?
PA (17, 21, 25, ..., a24 )
10.Escreva o termo geral e determine o 15°- termo da pro­
gressão (2, –1, –4, ...).
an = ?
a = 2
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = n
r = −1− 2 = −3
an = 2 + ( n − 1) ⋅ ( −3) = 2 − 3n + 3∴ an = 5 − 3n
Se n = 15, então a15 = 5 − 3(15) = −40
∴ a15 = −40
an = ?
a = 17
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = 24
r = 21− 17 = 4
a24 = 17 + ( 24 − 1) ⋅ ( 4 ) = 17 + 92 = 109
∴ a24 = 109
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
 a57 = 113
14.As raízes da equação x2 – 8x + 12 = 0 são o primeiro e
o segundo termos de uma PA decrescente. Determine o
12o termo dessa progressão.
As raízes da equação são 2 e 6. Sendo a PA
decrescente, então (6, 2, ...).
11. Determine o 41°- termo da PA (–4, 1, 6, ...).
a41 = ?
a = −4
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = 41
r = 1− ( −4 ) = 5
a41 = a1 + 40 ⋅ r = −4 + 40 ⋅ 5 = 196
∴ a41 = 196
an = ?
a = 6
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = 12
r = 2 − 6 = −4
a12 = 6 + (12 − 1) ⋅ ( −4 ) = 6 − 44 = −38
38
∴ a12 = −
Fernando
Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
Dep. Arte
9
módulo 10
15.O cometa Halley pode ser visto aqui da Terra a cada
76 anos. A última vez que isso aconteceu foi em 1986.
Descubra se o Halley foi visto no ano 1000 e, depois do
ano 3000, quando o cometa fará sua aparição.
an = 1 986
a = 1 000
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = ?
r = 76
1 986 = 1 000 + ( n − 1) ⋅ (76 )
∴
n = 13, 97 ∉N
17.Escreva os dez primeiros termos de uma PA, sabendo
que o primeiro termo é 5 e o décimo é 50.
a10 = 50
a = 5
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = 10
r = ?
50 = 5 + 9r ⇒ 9r = 45∴ r = 5
(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)
(Como n não é natural, conclui-se que o cometa não
foi visto no ano 1000.)
3000, o cometa aparecerá:
a9 = 29
a = −3
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = 9
r = ?
29 = −3 + 8r ⇒ 8r = 32 ∴ r = 4
a15 = 1 986 + 14 · 76
PA (–3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29)
3 000 = 1 986 + ( n − 1) ⋅ 76
∴
n = 14 , 34
Considera-se n = 15 para descobrir em que ano, após
∴ a15 = 3 050
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
O cometa aparecerá no ano 3050.
16.Três números estão em PA, de tal forma que a soma en­
tre eles é 18, e o produto é 66. Calcule os três números.
PA (x – r, x, x + r)
 x − r + x + x + r = 18 ⇒ 3 x = 18 ∴ x = 6

( x − r ) ⋅ x ⋅ ( x + r ) = 66
(6 – r) · 6 · (6 + r) = 66
36 – r2 = 11 ⇒ r2 = 25 ⇒ r = 5 ou r = –5
Para x = 6 e r = 5, temos:
(6 – 5, 6, 6 + 5) = (1, 6, 11)
Fernando
Proj. Gráf.
Para x = 6 e r = –5, temos:
[6 – (–5), 6, 6 + (–5)] = (11, 6, 1)
Editor(a)
Os números são 1, 6 e 11.
19.A soma de três números em PA crescente é 21, e a soma
dos seus quadrados é 165. Encontre os três números.
PA (x – r, x, x + r)
 x − r + x + x + r = 21⇒ 3 x = 21∴ x = 7

2
2
2
( x − r ) + x + ( x + r ) = 165

(7 – r)2 + 72 + (7 + r)2 = 165
49 – 14r + r2 + 49 + 49 + 14r + r2 = 165
2r2 = 165 – 147 ⇒ r2 = 9
∴ r = 3 ou r = –3
Como a PA é crescente, considere r = 3 e x = 7.
Coor. Ped.
Assim:
PA (7 – 3, 7, 7 + 3) = (4, 7, 10)
C. Q.
Dep. Arte
10
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
18.Interpole sete meios aritméticos entre –3 e 29.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
an = 3 000
a = 1 986
 1
an = a1 + ( n − 1)r 
n = ?
r = 76
( x − r ) ⋅ x ⋅ ( x + r ) = x − r + x + x + r

 x + r = x + x − r ⇒ x = 2r
a1 = 800
r · 2r · 3r = 6r
r = –50
6r³ – 6r = 0
an = 800 + (n – 1)(–50) = 850 – 50n
Se x = 2r e r = 1, então x = 2.
Assim:
PA (2 – 1, 2, 2 + 1) = (1, 2, 3)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Sn = 5 000
(2r – r) · 2r · (2r + r) = 2r – r + 2r + 2r + r
r = 0 (não convém, pois a PA é cresceente)
6r ( r − 1) = 0 
r = 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Altura = 800 + 750 + ... = 5 000
21.Determine cinco números em PA crescente, sabendo que
o produto dos extremos é 13 e a soma dos outros três é 21.
Numa PA de 5 termos, os números são (x – 2r, x – r, x,
x + r, x + 2r)
Pelo enunciado temos:
( x − 2r ) ⋅ ( x + 2r ) = 13 ⇒ x 2 − 4 r 2 = 13

 x − r + x + x + r = 21⇒ 3 x = 21∴ x = 7
Substituindo x = 7 em x 2 − 4 r 2 = 13, temos:
72 − 4 r 2 = 13 ⇒ r = ±3
Como a PA é crescente, r = 3.
Portanto, os números são:
(7 − 2 ⋅ 3, 7 − 3, 7, 7 + 3, 7 + 2 ⋅ 3)
(
1, 4, 7, 10, 13)
22.Um estudante selecionou 100 exercícios de Matemática. No primeiro dia, ele resolveu somente 1 exercício;
no segundo dia, 3 exercícios; no terceiro, 5; e assim por
diante, até o final de todos os exercícios. Quantos dias
ele levou para resolver todos os exercícios?
PA (1, 3, 5, ...)
Sn = 100
(a + a )⋅ n
Sn = 1 n
2
a1 = 1
a = 1+ ( n − 1) ⋅ 2 = 2n − 1
 n

n = ?
Sn = 100
(1+ 2n − 1) ⋅ n
100 =
⇒ n2 = 100 ⇒ n = ±10
2
O estudante levou 10 dias para resolver todos os
exercícios.
Sn =
[800 + (850 − 50n)] n = 5 000
2
n − 33n + 200 = 0
u n = 25 (não serve )
n = 8 ou
O
balão
leva 8 horas para alcançar a altura escolhida.
2
24.Calcule a soma dos 100 números pares positivos e a
soma dos 100 números naturais ímpares.
Soma dos números pares positivos:
( 2 + 2n ) ⋅ n
= n2 + n ⇒ S100 = 1002 + 100
2
∴ S100 = 10 100
Sn =
Soma dos números ímpares positivos:
(1+ 2n − 1) ⋅ n
= n2 ⇒ S100 = 1002
2
∴ S100 = 10 000
Sn =
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
PA (x – r, x, x + r)
23.Uma equipe decide viajar de balão a uma altura de 5 000
metros. Sabe-se que o balão sobe 800 metros na primeira hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura de 50
metros a menos que a hora anterior. Quantas horas o balão leva para alcançar a altura escolhida para a viagem?
módulo 10
20.Encontre três números em PA crescente, sabendo que
o seu produto é igual à soma dos três e que o maior
vale a soma dos dois menores.
25. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade
com os alunos utilizando canudos de refrigerante para
montar figuras, em que cada lado foi representado por
um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que
formam cada uma. A estrutura de formação das figuras
está representada a seguir.
figura 1
figura 2
Fernando
Proj. Gráf.
figura 3
Que expressão fornece a quantidade de canudos em
função da quantidade de quadrados de cada figura?
Editor(a)
Coor. Ped.
a)C = 4Q
b)C = 3Q + 1
c)C = 4Q – 1
d)C = Q + 3
e)C = 4Q – 2
C. Q.
Dep. Arte
11
(01) A distância entre cada telefone
será de 35 km.
(02) Haverá um telefone no km 108.
(04) Se um motorista está no km 165,
a menor distância que ele terá
que percorrer para encontrar
um telefone será de 13 km.
(08) No km 73 não haverá telefone.
Fernando
Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
1 + 2 + 4
2. ( PUC-RS) Devido à epidemia de
gripe do último inverno, foram sus­
pensos alguns concertos em lugares
fechados. Uma alternativa foi reali­
zar espetáculos em lugares abertos,
como parques ou praças. Para uma
apresentação, precisou-se compor
uma plateia com oito filas, de tal
forma que na primeira fila houvesse
10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras;
na terceira, 18 cadeiras; e assim por
diante. O total de cadeiras foi:
Dep. Arte
12
3. (Unicamp-SP) Considere a sucessão
de figuras apresentada a seguir, em
que cada figura é formada por um
conjunto de palitos de fósforo.
figura 1
4. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame his­
tórico da presença africana no de­
senvolvimento do pensamento ma­
temático, os indícios e os vestígios
nos remetem à Matemática egípcia,
sendo o papiro de Rhind um dos
documentos que resgatam essa his­
tória. Nesse papiro encontramos o
seguinte problema:
Divida 100 pães entre 5 ho­
mens de modo que as partes
recebidas estejam em progressão
aritmética e que um sétimo da
soma das três partes maiores seja
igual à soma das duas menores.
Fragmento do papiro de Rhind.
figura 2
figura 3
S uponha que essas figuras representam
os três primeiros termos de uma suces­
são de figuras que seguem a mesma lei
de formação. Nesse caso, o número de
fósforos necessários para que seja pos­
sível exibir todas as primeiras 50 figuras
ao mesmo tempo é igual a:
a) 115 pães.
3
55
b)
pães.
6
c) 20 pães.
1a camada cinza
1a camada branca
2a camada cinza
2a camada branca
3a camada cinza
a)76 ladrilhos.
b)156 ladrilhos.
c)112 ladrilhos.
d)148 ladrilhos.
6.(UEGO) Sabendo que o lado, a dia­
gonal e a área de um quadrado estão
em progressão aritmética, calcule a
medida do lado do quadrado.
2( 2 ) − 1 u.c.
7.(UFPE) Nos quilômetros 31 e 229 de
uma rodovia estão instalados telefo­
nes de emergência. Ao longo da mes­
ma rodovia e entre esses quilômetros,
pretende-se instalar 10 outros telefo­
nes de emergência. Se os pontos adja­
centes de instalação dos telefones es­
tão situados a uma mesma distância,
qual é essa distância, em quilômetros?
oube ao homem que recebeu a
C
parte maior da divisão acima a quan­
tidade de:
a)384
b)192
c)168
d)92
e)80
Nível 1 (questões 2, 5, 8, 14, 17, 18)
Nível 2 (questões 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20, 22, 23, 24)
Nível 3 (questões 19, 21)
OP 22839 / 22834 Ens. Médio 1ºA - 4ºB
7
a)
200c) 2 000
b)1 000
d) 10 000
d) 65 pães.
6
A distância é de 18 km.
8. (Cesgranrio-RJ) Leia o texto a seguir:
e) 35 pães.
5. (Unicamp-SP) No centro de um mo­
saico formado apenas por pequenos
ladrilhos, um artista colocou 4 ladri­
lhos cinza. Em torno dos ladrilhos
centrais, o artista colocou uma ca­
mada de ladrilhos brancos, seguida
por uma camada de ladrilhos cinza,
e assim sucessivamente, alternan­
do camadas de ladrilhos brancos e
cinza, como ilustra a figura a seguir,
que mostra apenas a parte central
do mosaico. Observando a figura,
pode-se concluir que a 10a camada
de ladrilhos cinza contém:
Brasil
5,3
milhões
4,7
milhões
3,8
milhões
2000
2001
2002
Enquanto no mundo o núme­
ro de turistas cresce, no Brasil ele
diminui. Essa é uma das conclu­
sões do relatório da Organização
Mundial de Turismo, divulgado
recentemente.
Veja, 5 nov. 2003.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1.(UEPG-PR) Numa estrada existem
dois telefones instalados no acosta­
mento: um no km 3 e outro no km
248. Entre eles serão colocados mais
6 telefones, mantendo-se entre dois
telefones consecutivos sempre a
mesma distância. Nessas condições,
assinale o que for correto.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
módulo 10
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