10. EXERCÍCIOS (ITA-1969 a ITA-2001)
1- (ITA - 1969) Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x
(gof)(y
1) é igual a:
a) y2
2y + 1
b) (y
1)2 + 1
c) y2 + 2y
d) y
2
e) y2
1 duas funções reais de variável real. Então
2
2y + 3
1
2- (ITA -1972) Sejam A um conjunto finito com m elementos e In = { 1,2,...,n }. O número de
todas as funções definidas em In com valores em A é:
n
a) C m
c) nm
b) m.n
d) mn
e) nda
3- (ITA 1973; questão convidada ) A lei de decomposição do radium no tempo t
0 é dada
pela fórmula N(t) = C.e-kt, onde N(t) é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes
positivas. Se a metade da quantidade primitiva, M(0), desaparece em1600 anos, qual a
quantidade perdida em 100 anos?
a) ( 1
100-1) da quantidade inicial.
b) ( 1
2-6) da quantidade inicial.
c) ( 1
2-16) da quantidade inicial.
d) ( 1
2-1/16) da quantidade inicial.
e) Nenhuma das anteriores
4- (ITA-1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto R dos números reais.
Sejam ainda as funções f: A
B ( y = f(x) ), g: D
A (x = g(t)), e a função composta
:E
K ( e, portanto , Z = (fog)(t) ). Então os conjuntos E e K são tais que :
a) E
AeK
D.
b) E
BeK
A.
c) E
D, D
d) E
DeK
EeK
(fog)
B.
B
e) n.d.a
23
5- (ITA-1975) Seja f(x) =
g
e
7
25
ex
e
x
ex
e
x
definida em R. Se g é função inversa de f, então quanto vale
?
a) 4/3
b) 7e/25
c) loge(25/7)
d) e(7/25)
6- (ITA 1976) Considere g : { a, b, c }
e) n.d.a.
{ a, b, c } uma função tal que g(b) = a e g(a) = b.
Podemos concluir que:
a) a equação g(x) = x tem solução se, e só se, g é injetora.
b) g é injetora, mas não é sobrejetora.
c) g é sobrejetora, mas não é injetora.
d) se g não é sobrejetora, então g(g(x)) = x para todo x em { a, b, c }.
e) n.d.a.
7- (ITA-1976) Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A
Beg:B
A
são funções tais que f(g(x)) = x, para todo x em B e g(f(x)) = x, para todo x em A, então
podemos concluir que:
a)
x0
B / f(y) = x0,
y
A.
b) existe a função inversa de f.
c)
x0, x1
d)
a
A, tais que x0
B / g(f(g(a)))
x1 e f(x0) = f(x1).
g(a).
e) n.d.a.
8- (ITA-1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que e2x
2.ex.A(x) + 1 = 0 ,
x
R. Nestas condições, temos:
a) A(0) = 1,A(x) = A(-x), para todo número real x e não existe um número real x
0,
satisfazendo a relação A(x) = 1.
b) A(0) = 1 e A(x) = 0, para algum número real x.
c) A(1) < 0 e A(x) = A(-x), para todo número real x.
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A(x)=1, e não existe um
número real x satisfazendo A(x) = A(-x).
e) n.d.a.
24
9- (ITA-1976) Considere a função real de variável real M, definida por M(x) = tgh(x) (obs.: veja
a questão 5!!!). Então:
a)
x > 1, ocorre M(x) > 1.
b)
x
c)
a>0e
R, ocorrem simultaneamente M(-x) = -M(x) e 0
M(x) < 1.
b < 0 / M(a) < M(b)
d) M(x) = 0 somente quando x = 0 e M(x) > 0 somente quando x < 0.
e) n.d.a.
10- (ITA-1977) Supondo a < b, onde a e b são constantes reais, considere a função H(x) = a + (
b
a ) x definida no intervalo fechado [ 0 , 1 ]. Então:
a) H não é uma função injetora.
b) dado qualquer y0 , sempre existe um x0 em [ 0, 1 ] satisfazendo H(x0) = y0.
c) para cada y0 com a < y0 < b,
! x0
R com 0 < x0 < 1 / H(x0) = y0.
d) não existe uma função real G, definida no intervalo fechado [ a, b ], satisfazendo a relação
G(H(x)) = x para cada x
[0, 1].
e) n.d.a.
11- (ITA-1978) Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
conjunto f-1(B) = { x
a) f(f-1(B))
R; f(x)
Reo
B }, então:
B.
b) f(f-1(B)) = B se f é injetora.
c) f(f-1(B)) = B
d) f-1(f(B)) = B se f é sobrejetora.
e) n.d.a.
12- (ITA-1978) Com respeito à função g(x) = loge [sen x + 1 sen 2 x ], podemos afirmar que:
a) está definida apenas para x
0
b) é uma função que não é par nem ímpar.
c) é uma função par.
d) é uma função ímpar.
e) n.d.a.
13- (ITA-1978) Considere a função real de variável real definida por:
f(x)
x3
1,
1
,
x - 2
2 x - 5,
se
se
se
x
2
x
25
2
x
3
3
Se a = log21024 e x0 = a
a) f(x0) = 1
6, então o valor da função f(x) no ponto x0 é dada por:
b) f(x0) = 2
c) f(x0) = 3
d) f(x0) = 1/8
e) n.d.a.
14- (ITA-1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora?
a) f : R
b) f : R+
R+ tal que f(x) = x2.
R+ tal que f(x) = x + 1
c) f : [1, 3]
[2, 4] tal que f(x) = x + 1.
d) f : [0, 2]
R tal que f(x) = sen x
e) n.d.a.
15- (ITA-1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; f(x + y) = f(x)
+ f(y); e f(x)
0 se
x
0. Definindo g: R*
R, com g(x) =
f ( x ) f (1)
, e sendo n um número
x
natural, podemos afirmar que:
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar.
b) f é não-decrescente e g é uma função par.
c) g é uma função par e 0
g(n)
d) g é uma função ímpar e 0
e) f é não decrescente e 0
f(1).
g(n)
g(n)
f(1).
f(1).
16- (ITA-1980) Sobre a função f(x) = sen2x, podemos afirmar que:
a) é uma função periódica de período 4 .
b) é uma função periódica de período 2 .
c) é uma função periódica de período .
d) é uma função periódica onde o período pertence ao intervalo ( , 2 ).
e) não é uma função periódica.
17- (ITA-1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R e f : A
B, g : B
A duas funções
tais que fog = I, onde I é a função identidade em B. Então podemos afirmar que:
a) f é sobrejetora.
b) f é injetora.
c) f é bijetora.
d) g é injetora e par.
26
e) g é bijetora e ímpar.
18- (ITA-1980) Seja f(t) = 4 + 3 cos( t) + + 4 sen( t) uma função definida em R. Sobre esta
função qual das alternativas abaixo é correta?
a) f(t) é função par.
b) f(t) é função ímpar.
c) o maior valor que f(t) assume é 9.
d) o menor valor que f(t) assume é -3.
e) o menor valor que f(t) assume é -1/2.
19- (ITA-1981) Denotemos por R o conjunto dos números reais. Seja g uma função real de
variável real não nula que satisfaz, para todo x e y reais, a relação g(x + y) = g(x) + g(y). Se f :
R
R for definida por f(x) = sen
2.g( x )
;a
a
0, então podemos garantir que:
a) f é periódica com período a.
b) Para a = n (n natural), temos: f(n) = 2sen[g(1)].
c) Se g(1)
0 então g(1) = f(0).
d) Se g(T) = a então T é o período de f.
e) Se g(T) = 2 então T é o período de f.
20- (ITA-1983) Sejam três funções f, u, v: R
2
R tais que f(x + 1/x) = f(x) + 1/f(x) para todo x
2
não nulo e [u(x)] + [v(x)] = 1 para todo x real. Sabendo que x0 é um número real tal que u(x0) .
v(x0)
0, e ainda f
a) 1
u (x 0 )
1
1
=2, então o valor de f
é igual a:
.
u ( x 0 ) v( x 0 )
v( x 0 )
b)1
c)2
21- (ITA-1984) Seja f(x) = e
x2 4
, onde
d)1/2
x
e)-2
R. Um subconjunto D de R tal que f : D
Ré
uma função injetora é:
a) { x
R: x
2ex
b) { x
R:x
2 ou x
-2 }
-2 }
c) R
d) { x
R : -2 < x < 2 }
27
e) { x
R: x
2}
22- (ITA-1985) Considere as seguintes funções: f(x) = x
7/2 e g(x) = x2
¼ definidas para
todo x real. Então, a respeito da solução da inequação l(gof)(x)l > (gof)(x), podemos garantir
que:
a) Nenhum valor de x real é solução.
b) Se x < 3, então x é solução.
c) Se x > 7/2, então x é solução.
d) Se x > 4, então x é solução.
e) Se 3 < x < 4, então x é solução.
23- (ITA-1986) Considere as afirmações sobre uma função f qualquer:
1. Se existe x
R tal que f(x)
f(-x), então f não é par.
2. Se existe x
R tal que f(x) = -f(-x), então f é ímpar.
3. Se f é par e ímpar, então existe x
R tal que f(x) = 1.
4. Se f é ímpar, então fof é ímpar.
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números:
a) 1 e 4
b) 1, 2 e 4
24- (ITA-1986) Seja f: R
f(y),
x, y
c) 1 e 3
d) 3 e 4
e) 1,2 e 3
R uma função que satisfaz a seguinte propriedade: f(x + y) = f(x) +
R. Se g(x) = f(log10(x2+1)2), então podemos afirmar que:
a) O domínio de g é R e g(0) = f(1).
b) g não está definida em R- \ { 0 } e g(x) = 2.f(log10(x2+1)2), para x
c) g(0) = 0 e g(x) = f(log10(x2+1)2), x
0.
R.
d) g(0) = f(0) e g é injetora.
e) g(0) = -1 e g(x) = [f(log10(x2+1)-1]2.
25- (ITA-1988) Seja f : R
R uma função estritamente decrescente. Dadas as afirmações:
(i) f é injetora
(ii) f pode ser uma função par.
(iii) Se f possui inversa então sua inversa é estritamente decrescente.
Podemos assegurar que:
a) Apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
28
b) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação (i) é falsa.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
26- (ITA-1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por : f(x) = ln(x2-x) e g(x) =
1
1 x
. Então o domínio de fog é:
a) (0, e)
b) (0, 1)
c) (e, e+1)
27- (ITA-1989) Os valores de , 0 <
- 4x - tg2
<
d) (-1, 1)
e
e) (1, + )
/2, para os quais a função f: R
R, f(x) = 4x2
tem valor mínimo igual a 4, são:
a) /4 e 3 /4
b) /5 e 2 /5
c) /3 e 2 /3
d) /7 e 2 /7
e) 2 /5 e 3 /5
28- (ITA-1989) Sejam A e B subconjuntos de R, não vazios, possuindo B mais de um elemento.
Dada uma função f: A
todo a
B, definimos uma nova função L : A
A X B por L(a) = (a,f(a)), para
A. Então:
a) A função L sempre será injetora.
b) A função L sempre será sobrejetora.
c) Se f for sobrejetora, então L também o será.
d) Se f for injetora, então L também o será.
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora.
29- (ITA-1990) Seja a função f : R \ { 2 }
R \ { 3 } definida por f(x) =
2x 3
+1. Sobre sua
x 2
inversa podemos garantir que:
a) não está definida pois f não é injetora.
b) está definida por f-1(y) =
y 2
,y
y 3
3.
29
c) está definida por f-1(y) =
y 5
,y
y 3
d) está definida por f-1(y) =
2y 5
,y
y 3
3.
3.
e) não está definida pois f não é sobrejetora.
30- (ITA-1990) Dadas as funções f(x) =
1 ex
,x
1 ex
0 e g(x) = x.sen x, x
R, podemos afirmar
que:
a) ambas são pares.
b) f é par e g é ímpar.
c) f é ímpar e g é par.
d) f não é par nem ímpar e g é par.
e) ambas são ímpares.
31- (ITA-1990) Seja f : R
R, a função definida por:
f (x)
4
x2
x 2
se
se
se
x 1
-1 x 1
x -1
Considere as afirmações:
(i) f não é injetora e f-1 ( [3, 5] ) = { 4 }
(ii) f não é sobrejetora e f-1 ( [3, 5] ) = f-1 ( [2, 6] )
(iii) f é injetora e f-1 ( [0, 4] ) = [ -2, + )
Então podemos garantir que:
a) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são falsas.
b) As afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
d) Apenas a afirmação (iii) é verdadeira.
e) Todas as afirmações são falsas.
32- (ITA-1991) Considere as afirmações:
(i) Se f : R
R é uma função par e g : R
R uma função qualquer, então a composição gof é
uma função par.
30
(ii) Se f : R
R é uma função par e g : R
R uma função ímpar, então a composição fog é
uma função par.
(iii) Se f : R
R é uma função ímpar e inversível então f-1 : R
R é uma função ímpar.
Então:
a) Apenas a afirmação (i) é falsa.
b) Apenas as afirmações (i) e (ii) são falsas.
c) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.
e) n.d.a.
33- (ITA-1991) Sejam a
R, a > 1 e f : R
R definida por f(x) =
ax
a
2
x
. A função inversa de
f é dada por:
a)
loga( x -
b)
loga ( -x +
c)
loga ( x +
d)
loga ( -x +
x2
1 ), para x > 1.
x2
x2
1 ), para x
1 ), para x
x2
R.
R.
1 ), para x < -1.
e) n.d.a.
34- (ITA-1991) Seja f: R
ex
f (x)
R definida por:
, se x
0
x - 1 , se 0
lnx
, se x
x
1
2
1
Se D é o maior subconjunto não vazio de R tal que f : D
R é injetora, então podemos garantir
que:
a) D = R e f(D) = [-1, + )
b) D = (- , 1]
(e, + ) e f(D) = ]-1, + )
c) D = [0, + ) e f(D) = [-1, + )
d) D = (0, e) e f(D) = [-1, 1]
e) n.d.a.
Obs.: Esta questão pode (ou seja, deve) ser resolvida graficamente.
31
35- (ITA-1992) Considere as funções f : R*
3
(x+1/x)
R e h: R*
R, g : R
2
R definidas por f(x) =
*
, g(x) = x e h(x) = 81/x . O conjunto dos valores de x em R tais que (fog)(x) = (hof)(x) é
um subconjunto de:
a) [ 0, 3 ]
b) [ 3, 7 ]
c) [ -6, 1 ]
d)[ -2, 2 ]
36- (ITA-1992) Dadas as funções f : R
Reg:R
e) n.d.a.
R ambas estritamente decrescentes e
sobrejetoras, considere h = fog. Então podemos afirmar que:
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente.
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente.
c) h é estritamente crescente mas não é necessariamente inversível.
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.
e) n.d.a.
37- (ITA-1994) Dadas as funções reais de variável real f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é
uma constante real com 0 < m < 1, considere as afirmações:
1. (fog)(x) = (gof)(x), para algum x real.
2. f(m) = g(m).
3.
a
R / (fog)(a) = f(a)
4.
b
R / (gof)(b) = mb
5. 0 < (gog)(m) < 3
Podemos concluir que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas quatro são verdadeiras.
c) Apenas três são verdadeiras.
d) Apenas duas são verdadeiras.
e) Apenas uma é verdadeira.
38- (ITA-1995) Seja a função f : R
a x
f (x )
2
a
senx
2 x
-
,
se
x
,
se
x
R definida por:
2
2
32
onde a > 0 é uma constante. Considere K = { y
que f( /2)
R; f(y) = 0 }. Qual o valor de a, sabendo-se
K?
a) /4
b) /2
c)
39- (ITA-1996) Seja f: R
d)
2
/2
R definida por: f ( x )
e)
3x
3
x2
4x
2
, se
x 0
3 , se
x
f
g
0
Então:
a) f é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(21).
b) f é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(99).
c) f é sobrejetora mas não é injetora.
d) f é injetora mas não é sobrejetora.
e) f é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(3).
40-
(ITA-1996)
1 2x
f (x)
1 - x2
x
g(x)
1 2x
Considere
as
,
x
R - { - 1, 1 }
,
x
R - { -
funções
reais
e
definidas
por
:
1
}
2
Qual é o maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta fog, tal que (fog)(x) < 0?
a) ( -1, -1/2)
(-1/3, -1/4)
b) (- , -1)
(-1/3, -1/4)
c) (- , -1)
(-1/2, 1)
d) (1, + )
e) (-1/2, -1/3)
41- (ITA-1996) Seja f: R+ \ { 0 }
R uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x. y) = f(x) + f(y)
para todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica,
5
4
f ( x i ) = 13.f(2) + 2.f(x1) e
onde xi > 0 , e sabendo que
i 1
f
i 1
xi
= -2.f(2x1), então o valor de
xi 1
x1 é:
a) 2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
33
42- (ITA-1997) Se Q e
representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o
conjunto dos números irracionais, considere as funções f, g : R
f (x )
0 , se x Q
1 , se x
e g(x)
1,
se x Q
0,
se x
Seja J a imagem da função composta fog : R
R definidas por
R. Então:
a) J = R
b) J = Q
c) J = { 0 }
d) J = { 1 }
e) J = { 0, 1 }
43- (ITA-1997) O domínio D da função f ( x )
a) D = { x
R : 0 < x < 3 /2 }
b) D = { x
R : x < 1/
ou x >
c) D = { x
R:0<x
1/
d) D = { x
R:x>0}
e) D = { x
R : 0 < x < 1/ ou
todo x
x2 - ( 1
- 2x
2
2
)x
é o conjunto:
3 x
}
ou x
44- (ITA-1997) Sejam f, g : R
ln
}
< x < 3 /2 }
R funções tais que g(x) = 1
x e f(x) + 2f(2
x) = (x
1)3, para
R. Então f[g(x)] é igual a:
a) (x
1)3
b) (1
x)3
c) x3
d) x
e) 2
x
45- (ITA-1998) Seja f : R
R a função definida por: f(x) = 2sen2x
cos2x
Então:
a) f é ímpar e periódica de período .
b) f é par e periódica de período /2.
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período .
34
d) f não é par e é periódica de período /4.
e) f não é ímpar e não é periódica.
R a função definida por f(x) = -3ax, onde a é um número real com 0
46- (ITA-1998) Seja f : R
< a < 1. Sobre as afirmações abaixo, conclui-se que:
( ) f(x + y) = f(x).f(y), para todo x, y
R.
( ) f é bijetora.
(
) f é crescente e f( ]0, + [ ) = ]-3, 0[.
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações ( ) e (
) são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação ( ) é verdadeira.
e) Apenas a afirmação (
) é verdadeira.
47- (ITA-1998) Sejam as funções f : R
Reg:A
R
R tais que f(x) = x2
9 e (fog)(x) = x
6, em seus respectivos domínios. Então o domínio A da função g é:
a) [-3, + [
b) R
c) [-5, + [
d) ]- , -1[
[3, + [
6 [
e) ]- ,
48- (ITA-1999) Sejam f, g : R
f ( x)
3
2
R funções definidas por:
x
x
e
g(x)
1
.
3
Considere as afirmações:
( ) Os gráficos de f e g não se interceptam.
( ) As funções f e g são crescentes.
(
) f(-2).g(-1) = f(-1).g(-2).
Então:
a) Apenas a afirmação ( ) é falsa
b) Apenas a afirmação (
) é falsa.
35
c) Apenas as afirmações ( ) e ( ) são falsas.
d) Apenas as afirmações ( ) e (
) são falsas.
e) Todas as afirmações são falsas.
49- (ITA-1999) Sejam f, g, h: R R funções tais que a função composta hogof : R
R é a
função identidade. Considere as afirmações:
( ) A função h é sobrejetora.
( ) Se x0
(
R é tal que f(x0) = 0, então f(x)
0,
x
R com x
x0.
) A equação h(x) = 0 tem solução em R.
Então:
a) Apenas a afirmação ( ) é verdadeira.
b) Apenas a afirmação ( ) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (
) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são falsas.
R definidas por f(x) = x3 e g(x) = 103cos5x. Podemos afirmar
50- (ITA-2000) Sejam f, g : R
que:
a)
f é injetora e par e g é ímpar.
b)
g é sobrejetora e gof é par.
c)
f é bijetora e gof é ímpar.
d)
g é par e gof é ímpar.
e)
f é ímpar e gof é par.
51- (ITA-2000) Considere f: R
R definida por f(x) = 2.sen3x - cos
x
2
. Sobre f podemos
afirmar que:
a)
é uma função par.
b)
é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 .
c)
é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 /3.
d)
é uma função periódica de período fundamental 2 .
e)
não é par, não é ímpar e não é periódica.
36
52- (ITA-2001
questão convidada ) Se f: (0,1)
| f(x) | < ½ e f(x) =
R é tal que, x
1
x
. f
4
2
f
(0,1),
x 1
2
então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é:
a) | f(x) | +
b)
1
2n
c)
1
2n 1
1
<½
2n
| f ( x) |
| f ( x) | <
d) |f( x)| >
1
2n
e) |f( x)| <
1
2n
1
2
1
2
GABARITO
1- A
16- C
31- C
46- E
2- D
17- A
32- E
47- A
3- D
18- C
33- C
48- E
4- D
19- D
34- B
49- D
5- A
20- B
35- C
50- E
6- A
21- E
36- A
51- B
7- B
22- E
37- E
52- E
8- A
23- A
38- D
9- E
24- C
39- B
10- C
25- A
40- A
11- A
26- B
41- B
12- D
27- C
42- C
13- C
28- A
43- E
14- C
29- D
44- C
15- E
30- C
45- C
37