Corrente elétrica
Definição de corrente
⇒ GRANDE revolução tecnológica
{
“Controle” do movimento de cargas
⇓
corrente elétrica → eletrotécnica, eletrônica e microeletrônica
(diversidade de aplicações!!)
Ex. motores elétricos, equipamentos de telecomunicações,
aparelhos elétricos, o computador, etc., etc. . . .
Causa: diversidade de tipos de respostas elétricas dos materiais!
(capacidade de transportar cargas elétricas em seu interior:
condutores, dielétricos, semicondutores, supercondutores . . .)
metais são BONS condutores → cargas fluem facilmente (qualquer E)
corrente é facilmente analisada
(contra-exemplos: lâmpada de gás; relâmpago . . .)
No presente capítulo: atenção especial à corrente em metais.
Corrente elétrica
Definição de corrente
corrente de elétrons & corrente convencional
corrente
elétrica
I
elétrons
Define-se corrente elétrica:
carga deslocada por unidade de tempo
∆q
I≡
∆t
correntes se somam como grandezas
algébricas, e não como vetores
I2
I3
I1
I1
I1 = I2+I3
I2
I3
I1 = I2+I3
unidade no SI:
coulomb
1 ampère = 1
segundo
ampère é unidade básica no SI
→ coulomb é unidade derivada
1 coulomb = carga transferida em 1 segundo quando I = 1 ampère
Corrente elétrica
Densidade de corrente
Corrente é carga fluindo ⇒ flui em uma certa direção
∴ está associada a um fluxo de uma grandeza vetorial
à densidade de corrente elétrica j :
direção da corrente I
I = j ⋅ dA
módulo é I por unidade
S
de área, em cada ponto
= corrente I através de uma superfície S =
= fluxo do vetor densidade de corrente j através de S
∫
j
Em um fio condutor
A
Se j é uniforme em toda a seção A do fio ⇒
j
A
I = j ⋅ A = jA
Em uma situação geral: considera-se elemento de área ∆A = n ∆A
∆I
j=
,
∆A
j = jn
unidade no SI: Am−2
(unitário, normal a A)
Corrente elétrica
Lei de Ohm
Geralmente: existência de V ⇒ aparecimento de I
→define-se resistência elétrica:
muitos objetos: I = I(V ) α V ( linear)
V
R=
I
Lei de Ohm: V= RI com R = constante
Resistor = qualquer elemento em um circuito que oferece resistência elétrica
unidade no SI:
1 ohm =1
volt
ampere
símbolo:
Resistor ôhmico
Resistor não ôhmico
Corrente elétrica
Lei de Ohm
resistência elétrica R é propriedade extensiva: depende
das dimensões do objeto
um fio de comprimento L tem resistência R; se L/2 ⇒ R/2; etc.
um fio de seção reta de área A tem resistência R; se A/2 ⇒ 2R; etc.
Resistividade elétrica ρ é propriedade intensiva:
NÃO depende das dimensões do objeto
Usando I = j.A = j A e R = V / I →
Mas V = E L
e
L
R=ρ
A
L V
V
ρ =
⇒ρj=
A jA
L
j é paralela a E → ρ j = E
Define-se condutividade elétrica σ = ρ −1
→ j=σE
(Lei de Ohm na forma “microscópica e vetorial”)
Corrente elétrica
Lei de Ohm
~10−8
10−3 a 106
1014 a 1017
Corrente elétrica
Lei de Ohm
Ex.Exemp. 6.1 – Calcule o campo elétrico necessário para gerar uma corrente de
40A em um fio de cobre de área de seção reta igual a 6,0mm2 .
Sol.– Tem-se ρ j = E ou ρ j = E com j = I / A = 40 A / 6,0 x10-6 m2
∴ j = 6,7 x 106 A/m2
Usando-se ρ =1,69 x 10-8 Ω.m (tabela),
V
A
V
encontra-se E = 1,69 ×10 −8 m × 6,7 × 10 6 2 = 0,11
A
m
m
____________________________________________________________
Ex. Exemp. 6.2 – Calcule a densidade de corrente através da camada do plástico
que recobre um fio elétrico, sabendo-se que sua espessura é 0,5mm e a
diferença de potencial entre seu exterior e seu interior é 220V.A resistividade
do plástico é 5,0 x 1016 Ωm = 5,0 x 1016 (V/A)m
Sol.– Tem-se j = σ E.
Na camada de plástico tem-se
E = V/d = 220V/(5 x 10-4m) = 4,4x105 V/m. Assim,
−12
V
A
A
×
=
×
j = 4,4 × 10
9
10
16
2
m 5 × 10 Vm
m
5
⇒ grande
isolamento!
Corrente elétrica
Potência dissipada em um resistor
Havendo V (p.ex. bateria) em um fio
⇒
força elétrica . . . ∴ corrente
cada elétron adquiriria energia eV (aumento da velocidade) mas . . .
∃ forças de “atrito” pois não há aceleração
e são “forçados” por E mas também são freados nas
interações (“colisões”) com os átomos do material
∴ há dissipação na forma de calor.
→ efeito Joule
Potência: ∆W/∆t
Dissipação
{
⇒
V∆q
P=
= VI
∆t
ou
P = RI
2
ou
V2
P=
R
Desejada: aquecedores; chuveiro elétrico; etc.
Indesejada: rede de transmissão; circuitos eletrônicos; etc.
Ver ex.6.3
Corrente elétrica
Combinações de resistores
R2
R1
Associação em série:
V
Q: O que se pode dizer sobre a corrente nos resistores?
Q: O que se pode dizer sobre a ddp V nos resistores?
Então:
V = Req.I = V1 + V2 = R1I1 + R2I2 = (R1+R2 )I
Req. = R1 +R2
R: I1 = I2= I
R: V = V1 + V2
Corrente elétrica
R1
Combinações de resistores
R2
Associação em paralelo:
V
Q: O que se pode dizer sobre a corrente nos resistores?
R: I = I 1 + I 2
Q: O que se pode dizer sobre a ddp V nos resistores?
R: V = V1 = V2
Então:
V = Req.I com I =
ou
1 1
1
= +
R R1 R2
V
V
1
1
+
=V( + )
R1 R2
R1 R2
⇒
Req. =
R1R2
R1 + R2
Corrente elétrica
?2
R3
Regras de Kirchoff
Circuito com várias fontes de tensão
→ solução mais complicada
?1
Q: R1 e R2 estão em paralelo?
∴não se pode resolver usando
resistências equivalentes
R1
R2
I1
I2
I3
⇒ Regras de Kirchoff
1. A soma algébrica das variações de potencial
em uma malha fechada é sempre nula
∑ Vi = 0
malha
2. Em um nó do circuito – pontos onde correntes se adicionam
ou se subtraem – a soma das correntes que chegam é
igual à soma das correntes que saem
∑ Ii = 0
nó
Q: O quê é uma malha?
Q: O quê é um nó?
Corrente elétrica
Regras de Kirchoff
1. Escolhe-se um sentido para cada corrente
2. Se percorre-se R no sentido de I
→ queda da tensão ∴ ∆V = – RI
3. Se o valor encontrado para I < zero, troca-se
o sentido.
?1
I3
∑ Vi = 0
malha
∑ Ii = 0
nó
{
malha da esquerda:
malha maior:
qualquer dos nós:
? 1 – R3 I3 – R1 I1 = 0
? 1 – R3 I3 + ? 2 – R2 I2 = 0
I3 = I1 + I2
?2
R3
R1
R2
I1
I2
Corrente elétrica
?2
R3
Regras de Kirchoff
Exerc. 6.13 – Calcule I1 e I2, considerando
? 1 = 12,0 V; ? 1 = 6,0 V ;
?1
R1 = R2 = 10,0 Ω e R3 = 5,0 Ω.
Sol. – Em cada nó: I3 = I1 + I2
⇒
R1
R2
I1
I2
I3
? 1 – R3 (I1 + I2) – R1 I1 = 0
{?
1
– R3 (I1 + I2) + ? 2 – R2 I2 = 0
ξ 1 − (R1 + R3 )I 1 12 − 15I 1
=
R3
5
ξ + ξ − R I 18 − 5I 1
I2 = 1 2 3 1 =
R2 + R3
15
I2 =
{
⇒
I1 = 0,45A;
I2= 10,5 A
Corrente elétrica
Regras de Kirchoff
Exerc. 6.14 – Reescreva as equações para cada
malha supondo que as duas baterias tenham
resistências internas r1 e r2, respectivamente.
Sol. –
{
? 1 – (r1 + R3 ) (I1 + I2) – R1 I1 = 0
? 1 – R3 (I1 + I2) + ? 2 – (r2 + R2 ) I2 = 0
?2
R3
?1
r2
r1
I3
R1
R2
I1
I2
Corrente elétrica
Modelo de Drude – 1900
(modelo clássico para condução em metais)
Anterior à mecânica quântica ⇒ não é completo.
→ elétrons de valência em um metal:
movimento “quase livre” + colisões com átomos ionizados do sólido
O elétron movimenta-se entre os pontos A e B em ziguezague, sofrendo colisões com os íons ou com outro
elétron (movimento difuso ou browniano).
Na ausência de um campo elétrico externo, entre duas
colisões, ele se move em linha reta.
⇒ velocidade (vetorial) média é nula.
A
B
eE
a=−
m
e
va = − τ E
m
Se ∃ E≠ zero ⇒ ∃ aceleração
∴ velocidade vetorial média ≠ zero
va = velocidade de arraste ou velocidade de deriva, e
τ = tempo médio entre duas colisões
Corrente elétrica
Modelo de Drude – 1900
Densidade de corrente ? Vejamos . . .
A
va
va∆t
Em um intervalo de tempo ∆t , todos os
elétrons contidos no volume V = A va ∆t
atravessam a seção indicada
⇒ número de elétrons ∆N que atravessa a seção num tempo ∆t é
∆N = n A va ∆t
sendo n a densidade de elétrons de condução do material (depende do no de
elétrons de condução por cada átomo do material; ~ 1028 – 1029 m–3)
⇒ I = ∆q/∆t = e n A va;
Lembrando que j = σ E ⇒
e, portanto,
j = − e n va = n e2 τ E / m.
ne 2τ
σ =
m
= condutividade de Drude
m
m
τ = 2 σ = 2 = tempo de relaxação de Drude
ne
ne ρ
Corrente elétrica
Ex. Exemplo 6.8 – Calcule a velocidade de arraste dos elétrons num fio de cobre
com diâmetro de 1,0 mm quando há uma uma corrente de 2,0 A.
Sol. – Tem-se:
va =
j
I
=
en Aen
Usando-se o valor dado no livro
n = 8, 47 × 10 28 m −3
e substituindo os valores numéricos, obtém-se
2,0Cs − 1
va =
= 0,19mm/s
−3
− 19
−3
2
28
3,14 × (0,50 × 10 m) × 1, 6 × 10 C × 8.47 × 10 m
Corrente elétrica
R
Prob 6.9 –Calcule a resistência elétrica entre os pontos
a e b da Figura
R
a
Sol – Temos dois conjuntos de dois resistores
iguais em série, em paralelo entre si.
b
R
R
R´ = 2R
Em cada conjunto: R´ = R + R = 2R
a
b
R´ = 2R
Então, agora: R´´ = (1/R´ + 1/R´) –1= R´/2 = R
R´´ = R
a
b
Corrente elétrica
Prob 6.13 –A Figura mostra 12 resistores com a mesma resistência R conectados
de modo a formar um cubo. Uma tensão V é aplicada entre vértices opostos do
cubo.
(A) Usando simetria, mostre que em 6 dos resistores há uma corrente do mesmo
valor I1 e que nos outros seis resistores a corrente de vale I1 / 2.
I1
I2
R
b
V
I1 = 2I2
V
Vê-se também que
Itotal = 3 I1
0 a
Corrente elétrica
Prob 6.13 –A Figura mostra 12 resistores com a mesma resistência R conectados
de modo a formar um cubo. Uma tensão V é aplicada entre vértices opostos do
cubo.
(A) Usando simetria, mostre que em 6 dos resistores há uma corrente do mesmo
valor I1 e que nos outros seis resistores a corrente de vale I1 / 2.
(B) Mostre que a corrente total de b para a vale 6V/5R.
I1
I2
R
Temos em qualquer trecho entre a e b:
b
V
V = Rab I = RI1 + RI2 + RI1 = R(I1 + I2 + I1)
Como I2 = I1 /
à
2
V = R (5/2) I1 ⇒ I1 = 2V / 5R
e logo, sendo I
= 3I1,
⇒
I = 6V / 5R
0 a