Números
e funções
Guia do professor
Experimento
Dinamômetro com elástico
Objetivos da unidade
1. Verificar se um elástico comum obedece à lei de Hooke;
2. Construir um gráfico através de dados obtidos experimentalmente;
3. Determinar a lei que fornece a variação do comprimento de um elástico
em função do número de bolinhas de gude que ele suporta;
4. Conhecer uma aplicação da função afim.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Dinamômetro
com elástico
Guia do professor
Sinopse
Neste experimento, seus alunos inicialmente construirão uma espécie de
dinamômetro usando um elástico ao invés de uma mola. Feito isso, eles
medirão a variação do comprimento que o elástico sofre em função do
número de bolinhas de gude que ele está suportando. Por fim, através da
construção de um gráfico com os dados obtidos, que será aproximada­
mente linear a partir de um certo número de bolinhas, seus alunos poderão
verificar se a Lei de Hooke foi obedecida pelo elástico e encontrar uma
função que descreve seu comportamento com relação ao número de boli­
nhas de gude suportado.
Conteúdo
Função Afim: Coeficientes, Equação, Gráfico e Aplicação.
Objetivos
1. Verificar se um elástico comum obedece à lei de Hooke;
2. Construir um gráfico através de dados obtidos experimentalmente;
3. Determinar a lei que fornece a variação do comprimento de um elástico em
função do número de bolinhas de gude que ele suporta;
4. Conhecer uma aplicação da função afim.
Duração
Uma aula dupla.
?djheZk‚€e
A Lei de Hooke diz que o alongamento experimentado por um material
elástico ao ser submetido a uma força é proporcional a ela. Tal relação
pode ser representada por: , onde é a força aplicada à mola ou
ao elástico, é uma constante característica do material que traduz sua
rigidez e é a deformação linear causada.
O dinamômetro, ilustrado abaixo, é um instrumento que usa essa lei
para medir forças. Sabendo a constante da mola utilizada na fabricação
do aparelho, o indicador marca a intensidade da força que foi aplicada
nessa mola.
fig. 1
Neste experimento os alunos construirão um dinamômetro feito com
elástico, usando como força o peso de bolinhas de gude, e medirão a deformação do elástico conforme a variação do peso, isto é, de acordo com a
quantidade de bolinhas de gude. Os dados obtidos serão marcados em
:_dWcŽc[jheYec[b|ij_Ye um sistema de coordenadas cartesianas e, com eles, os grupos poderão
verificar se o elástico utilizado obedece exatamente à Lei de Hooke.
Em geral, a Lei de Hooke é válida para alguns intervalos de peso e
para situações ideais. Portanto, não esperamos que os alunos obtenham
um gráfico exatamente linear, mas deverão existir intervalos onde será
possível esboçar uma reta. Assim, será possível calcular a equação da
reta desse intervalo e, com isso, determinar a lei que fornece a variação do
comprimento do elástico em função do número de bolinhas de gude que
ele suporta.
Cej_lW‚€e
O currículo escolar sugere que os alunos explorem situações-problema e
adquiram familiaridade com análise de dados, situações proporcionadas
por este Experimento. A situação-problema é investigar o comportamento
de um material que pode sofrer deformações reversíveis, no caso um elástico de borracha (latéx). A análise dos dados resultará em uma equação
que permitirá que os alunos façam previsões sobre o comportamento do
material.
Esta abordagem, obter dados através de um experimento e buscar um
modelo matemático que se encaixe da melhor forma possível nos resultados, é bastante semelhante aos modelos matemáticos usados para
descrever inúmeros fenômenos naturais e até mesmo sociais. Sendo assim,
o experimento permite que os estudantes tenham uma noção, mesmo
que simplificada, de uma das maneiras como a matemática pode ser
utilizada.
=k_WZefhe\[iieh
( % -
E[nf[h_c[dje
Comentários iniciais
A classe não precisa conhecer previamente a Lei de Hooke, pois o experimento sugere que se obtenha um modelo para a situação através dos dados
coletados e não através da lei. Pode ser interessante chamar o professor
de física para complementar e aproveitar a experiência, destacando os
aspectos físicos do experimento.
;jWfW' Montagem do dinamômetro
Nesta etapa será feita a montagem do dinamômetro. Os procedimentos são
simples, mas devem ser executados com cuidado e precisão para que os
erros esperados na medição não prejudiquem os resultados.
O procedimento 7 do Experimento sugere que uma régua graduada
fique presa na perna da mesa, mas, caso isso não seja possível, saiba que
a intenção é medir a variação de comprimento do elástico, o que pode ser
feito com uma fita métrica, por exemplo.
fig. 2
:_dWcŽc[jheYec[b|ij_Ye ;jWfW( Coleta de dados
A execução do experimento deve permitir que os grupos preencham a
tabela com o comprimento do elástico para cada quantidade de bolinha
no pote. O exemplo do Experimento fornece a seguinte tabela:
Nº de bolas
Variação do comprimento
Nº de bolas
Variação do comprimento
( )
do elástico em mm ()
( )
do elástico em mm ()
1
0
16
105
2
3
17
120
3
6
18
135
4
9
19
150
5
12
20
165
6
16
21
180
7
21
22
196
8
26
23
216
9
35
24
230
10
41
25
245
11
49
26
262
12
58
27
279
13
68
28
296
14
79
29
313
15
91
30
330
tabela 1 Dados registrados em um experimento.
=k_WZefhe\[iieh
) % -
Em alguns casos, será possível notar uma taxa de variação constante
na tabela. No exemplo acima, podemos observar que a variação de uma
bolinha causa variação de aproximadamente 15 mm (com poucos valores
discrepantes) para os dados a partir da décima quinta bolinha.
;jWfW) Tratamento de dados
A construção do gráfico permitirá que os grupos decidam qual será o intervalo que mais se aproxima de uma reta. As soluções devem variar entre
os diferentes grupos.
Os dados da tabela anterior, plotados em um sistema de coordenadas
cartesianas, gera o seguinte gráfico:
350
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
35
fig. 3 Gráfico de n × ΔL. Vemos que o gráfico fica aproximadamente como o de uma
função afim a partir de n = 16. Por isso, traçamos uma reta que se ajusta bem a esses
pontos.
:_dWcŽc[jheYec[b|ij_Ye Para encontrar a equação de reta do intervalo escolhido, aconselhamos
o cálculo do coeficiente angular com os extremos do intervalo. O experimento sugere a obtenção do coeficiente angular através de dois pontos da
reta, , e , , com a fórmula: . Pode ser
interessante lembrar os grupos do que isso significa.
Definição
Coeficiente angular ou declive de uma reta , não perpendicular ao eixo
das abscissas, é o número real tal que tg , onde é o ângulo que
a reta forma com o eixo das abscissas (horizontal), medido no sentido
anti-horário do eixo para a reta:
α
fig. 4
=k_WZefhe\[iieh
* % -
<[Y^Wc[dje
Observe com a classe que, pela Lei de Hooke, o elástico deveria fornecer
pontos perfeitamente alinhados; entretanto, não foi o comportamento
observado. As causas para essa discrepância podem ser explicadas,
de maneira simplificada, afirmando que o látex é constituído por cadeias
moleculares que formam uma longa mola de anéis pequenos, a qual é
enrolada formando uma nova mola de anéis grandes.
Ao sofrer uma tensão, a primeira mola esticada é a de anéis grandes,
e a constante elástica associada a ela é pequena. Se a força tensora seguir
aumentando, a mola de grandes anéis terá sido completamente esticada,
e é a mola de anéis menores que passará gradualmente a responder pelo
comportamento elástico do material. Neste caso, a constante elástica será
maior .
Propomos que as equações obtidas por cada grupo sejam comparadas
e, como os elásticos são do mesmo material, os coeficientes da equação
de reta devem ser próximos.
Numa tentativa de obtermos a constante elástica do material utilizado
no experimento, pelo menos para o intervalo de comportamento linear,
podemos supor, com base na Lei de Hooke, que . Então, devemos
transformar o número de bolinhas de gude em massa (quilogramas) para
obter e também transformar a deformação em metros para obter .
Escolhendo referente a 20 bolinhas, por exemplo, e usando que
cada bolinha tem massa igual a 7 g, teremos que , , kg
,
, N
.
e, da tabela mm , m , teremos ,
Compare esses valores entre os grupos.
Observação
Podemos observar que quanto maior for o valor da constante elástica do
material, maior será a tensão necessária para o mesmo grau de deformação
e, portanto, mais rígido é o material.
:_dWcŽc[jheYec[b|ij_Ye LWh_W‚[i
Uma opção para o Fechamento é a utilização de elásticos associados.
Tal associação pode ser em série (um elástico preso na extremidade do
outro, como na figura 5) ou em paralelo (um ao lado do outro, como na
figura 6). Obter o gráfico ( ), calcular a constante da associação
e compará-la com a dos elásticos individuais.
Para elásticos em série, os valores obtidos devem ser, aproximadamente, , e para associação em paralelo, . Tais
relações são facilmente obtidas através da análise das forças aplicadas
em cada situação, como nas figuras a seguir:
fig. 5
=k_WZefhe\[iieh
+ % -
fig. 6
8_Xb_e]hWÅW
Iezzi, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, 7: geometria
analítica. São Paulo: Atual, 2005
Sampaio, José Luiz Pereira; Calçada, Caio Sérgio Vasques. Universo da
Física. São Paulo, v.1, cap.12 : Saraiva, 2005
www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/cd/resumos/T0487-1.pdf. Acessado em 30 de
abril de 2010.
:_dWcŽc[jheYec[b|ij_Ye =k_WZefhe\[iieh
, % -
Ficha técnica
Autora
Rita Santos Guimarães
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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