Funções deriváveis
RECORDA!...
Infinito 11 / 2Volume Pg. 89
Derivada de uma função num ponto
t
t   4t 2  20t
y
m  10
m8
vi  mt  12
m6
25
v m  t.m.v.1;2 
16
O
2,5  1
 6m/s
2,5  1
vm  t.m.v.1;2,5 
2  1
 8m/ s
2 1
v m  t.m.v.1;1,5 
1  12
1,5  1
 10 m / s
1,5  1
1  h  1
 12 m/s
h 0
h
v i  lim
1
1,5
2
2,5
x
Definição:
A derivada, ou variação instantânea, de uma função f num ponto x0  Df , se
existir, é o limite da Tmvx0 , x0  h quando h  0.
Ou seja,
f x0  h  f x0 
h 0
h
y = f(x)
y
f x0   lim
s
f(x0+h)
A
t
ou
f(x0+h) - f(x0)
f(x0)
O
M
f x0   lim
h
x0
x0+h
x
x  x0
f x   f x0 
x  x0
Se num ponto não existir derivada finita diz-se que a função não é
derivável nesse ponto.
Geometricamente, a derivada da função f no ponto x0 , é o declive da recta
tangente ao gráfico de f no ponto x , f  x  .

o
0

Função derivada
t   4t 2  20t
y
m=0
m=4
m=-4
m=8
y
m=-8
t   4t 2  20t
20
m=12
16
m=-12
12
8
m=-16
m=16
O
m=20
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
x
m=-20
t   8t  20
4
3
O
-4
0,5 1 1,5 2 2,5
3,5 4
4,5
5
x
-8
-12
-16
-20
GSP
Derivadas Laterais
Derivadas Laterais I
g x   4  x 2
 A derivada à esquerda de
g no ponto -2 é o declive
da semitangente esquerda
ao gráfico nesse ponto.



y
 

g  2   4
 A derivada à direita de g
no ponto -2 é o declive da
semitangente direita ao
gráfico nesse ponto.
 Como as derivadas laterais são
diferentes, a função não tem
derivada no ponto -2.
 A derivada à esquerda de
g no ponto 2 é o declive
da semitangente esquerda
ao gráfico nesse ponto.
g 2    4
g  2  4

 
g 2  4
-2
O
2
x
 A derivada à direita de g
no ponto 2 é o declive da
semitangente direita ao
gráfico nesse ponto.
 Como as derivadas laterais são
diferentes, a função não tem
derivada no ponto 2.
Derivadas Laterais II
h0  
y
O
hx   3 x
x
 Geometricamente, este resultado significa que a tangente ao gráfico de h no ponto
de abcissa 0 é uma recta vertical que, neste caso, é o eixo das ordenadas.
 Podemos constatar que a função, embora seja contínua no ponto 0, tem derivada
infinita. Não é derivável no ponto.
Derivadas Laterais III


f   1  
 x
f x    2
 x 2
se x  1
y
se x  1
1
-1
O
1
x
-2


f  1  2
 Não existe derivada de f no ponto –1.
 Graficamente pode ver-se que a semitangente esquerda é vertical e que a semitangente
direita tem declive negativo.

Neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.
Derivadas Laterais IV
 
r  2  
 x
r x   
 x  2
2
se x  2
 
r  2  
y
se x  2
4
O
2
x
 Graficamente vê-se que a semitangente esquerda é uma recta vertical.
 Também a semitangente direita é uma recta vertical.
 Podemos ainda constatar que também neste caso a função nem é contínua nem derivável
no ponto estudado.

Maria José Vaz da Costa