Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
ANO 2010
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Funções Densidade de Probabilidade (Contínua)
- Uniforme
- Normal (ou Gaussiana)
- Lognormal
- Weibull
- Rayleigh
- Exponencial
- Gama
- t de student
- 2
- F
Inferência Estatística
Variável Aleatória Contínua (Revisão)
Para v.a. contínuas:
P( X  x )  0
0  P(a  X  b)  1
Função Densidade de Probabilidade (fdp)
f(x)
f ( x)  0
b
P(a  X  b)
P ( a  X  b)   f ( x )dx


f ( x )dx  1
a

a
b
x
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
X = [a, b]  P(a  X  b) = 1
?
h
a
b
b
f ( x=)? 1
f(x)
(área do retângulo)
a
h(b  a )  1
h
1
ba
f ( x) 
X
1
ba
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
X = [a, b]
a
b
X
b
f ( x) 
1
ba
E ( X )   xf ( x )dx
a
b
E( X )  ?
Var ( X )  ?
b
1
1
E( X )   x
dx 
xdx

ba
ba a
a
1 x2
E( X ) 
ba 2
b
a
1  b2  a 2 



ba  2 
b2  a 2 (b  a )(b  a ) a  b

E( X ) 

2
2(b  a )
2(b  a )
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
X = [a, b]
a
b
1
f ( x) 
ba
X
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
b
E ( X )   x 2 f ( x )dx
2
E( X ) 
ab
2
a
b
b
1
1
E( X )   x
dx 
x 2 dx

ba
ba a
a
2
2
b
1 x3
1  b3  a 3 
2
E( X ) 



ba 3 a ba 3 
b3  a 3
E( X ) 
3(b  a )
2
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
X = [a, b]
a
b
1
f ( x) 
ba
E( X ) 
ab
2
X
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
b3  a 3 (a  b)2
Var( X ) 

3(b  a )
4
4(b3  a 3 )  3(b  a )(a  b)2
Var( X ) 
12(b  a )
4b3  4a 3  3b3  3ab2  3a 2b  3a 3
Var( X ) 
12(b  a )
b3  3ab2  3a 2b  a 3
(b  a ) 3
(b  a ) 2
Var( X ) 


12(b  a )
12(b  a )
12
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
a
b
f ( x) 
1
ba
E( X ) 
ab
2
(b  a ) 2
Var ( X ) 
12
X
X = [a, b]
Distribuição Normal ou Gaussiana
0,14
0,12
1  x 
 
 
1
f ( x) 
e 2
2 
2
0,1
0,08
   x  
0,06
0,04


0,02
f ( x )dx  1
0

0
5
10

15

E( X )  
Var( X )  
-
2
X ~ N (  , 2 )
Exemplo: X ~ N (10,4)    10  2  4
11
P(8  X  11)  ? f ( x ) dx
8
11
P(8  X  11)  
8
1
e
2 2
1  x 10 
 

2 2 
2
dx
+
20
Distribuição Normal Padrão
(a  b, a2 2 )
Propriedade: se X ~ N ( ,  2 ) e Y  aX  b então Y ~ N (?,?)
Z
X 

1
1
 X  1
E(Z )  E 

E
X



E
(
X
)







     0



   
1
1
2
 X 
Var( Z )  Var 
  2 Var  X     2 Var  X   2  1


   
Z ~ N (0,1)
 integrais podem ser tabeladas!
Distribuição Normal Padrão
0,14
0,12
z
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
-
5
0
10
z
15
P(0  Z  z )
P(0  Z  2,17)  ?
P(0  Z  2,17)  0,4850
+
20
Distribuição Normal Padrão (Exemplos)
P( 2,17  Z  0)  ?
0,14
0,14
0,12
0,12
0,4850
0,1
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
0
-
5
-2,17
P(2,17  Z  0)  0,4850
0,4850
0,1
0,08
0
10
=
0
15
0
+
-
20
5
0
10
2,17
15
+
20
Distribuição Normal Padrão (Exemplos)
P( 1  Z  2)  ?
,14
0,14
0,14
,12
0,12
0,12
0,1
0,1
,08
0,08
,06
0,06
,04
0,04
0,04
,02
0,02
0,02
0
0
0
-
5
-1 0
10
2
0,4772
0,3413
0,1
0,08
=
0
15
+ -
+
0,06
5
20
P(1  Z  2)  0,4772  0,3413  0,8185
0
10
0
2
0
15
+ -
5
20
0 1
10
15
+
2
Distribuição Normal Padrão (Exemplos)
P( Z  1,5)  ?
,14
0,14
0,14
,12
0,12
0,12
0,1
0,1
,08
0,08
,06
0,06
,04
0,04
0,04
,02
0,02
0,02
0
0
0
-
5
0 1,5
10
0,5
0,4332
0,1
=
0
15
+ -
_
0,08
0,06
5
20
P( Z  1,5)  0,5  0,4332  0,0668
0
10
0
0
15
+ -
5
20
0 1,5
10
15
+
2
Distribuição Normal (Exemplos)
X ~ N (10,4)
X
0,5328
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
P(8  X  11)  ?
0,04
0,02
0
-
0
Z
X 

8
5
10 11
10
15
+
20
~ N (0,1)
P(8  10  X  10  11  10)  ?
P(
8  10 X  10 11  10


)?
2
2
2
Z
0,14
0,5328
0,12
Z
0,1
0,08
0,06
P( 1  Z  0,5)  ?
0,04
0,02
0
0
-
5
-1
0 0,5
10
15
+
20
Distribuição da Soma de Variáveis Aleatórias
X 1 ~ N ( 1 ,  12 )
X 2 ~ N ( 2 ,  22 )
3 v.a. independentes com distribuições normal
X 3 ~ N ( 3 ,  32 )
Y  X1  X 2  X 3
Qual a distribuição de Y ?
Y ~ N (?,?)
(1  2  3,12   22   32 )
E (Y )  E
? ( X1  X 2  X 3 )  E( X1 )  E( X 2 )  E( X 3 )  1  2  3
Var(Y )  ?12   22   32
Distribuição da Soma de Variáveis Aleatórias
X 1 ~ ?( 1 ,  12 )
X 2 ~ ?( 2 ,  22 )
n v.a. independentes com distribuições desconhecidas
X n ~ ?( n ,  n2 )
Y  X1  X 2 
n
 Xn   Xi
i 1
Qual a distribuição de Y ?
se n for grande:
n
 n

Y ~ N   i ,  i2 
i 1
 i 1

Teorema do Limite Central
(ver 05distribuicaocontinua_TLC.xlsx)
Aproximação da Binomial à Normal
Se Y tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p:
n
Y   X i onde cada Xi tem distribuição Bernoulli (0 ou 1) e P(Xi = 1) = p
i 1
Então, se n for grande, pelo TLC:
Y ~ N (?,?)
0,25
0,6
0,09
E (Y )  ?np
0,08
0,5
0,2
0,07
Var(Y )  ?npq
Y ~ N (np, npq)
n  100
15
3
p  0,4
0,2
0,4
0,06
0,15
0,05
0,3
0,04
0,1
0,2
0,03
0,02
0,05
0,1
0,01
0
00
00 0
1 0 2 203
4
5 140
6 7
8 60
9 210 11 12
80
100
60
80 13 314 15
100
Aproximação da Binomial à Normal
Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
0,09
n  100
p
2
 0, 4
5
0,08
0,07
0,06
n  x nx 100 x
100
f ( x)    p 0,4
q 0,6
x
x
  
0,05
0,04
0,03
0,02
100  x 100 x
P(30  X  51)   
 0,4 0,6
x
x 30 

51
0,01
0
0
20
40
60
80
100
Aproximando-se à Normal...
Aproximação da Binomial à Normal
Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
0,09
2
 0, 4
5
E ( X )  np  100 * 0, 4  40
Var ( X )  npq  100 * 0, 4 * 0,6  24
n  100
p
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
X ~ N (40,24)
0,01
0
00
P(29,5
(30  X X 
51)
 ?  ? (correção de continuidade)
51,5)
20
40
30
60
60
51,5  40 
 29,5  40
P
Z
  0,9745 (valor exato para Binomial  0,9752)
24
24 

80
80
100
100