X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS USADAS EM PROVAS
DE OLIMPÍADA MATEMÁTICA1
Maria Madalena Dullius
Centro Universitário UNIVATES
[email protected]
Marli Teresinha Quartieri
Centro Universitário UNIVATES
[email protected]
Claus Haetinger
Centro Universitário UNIVATES
[email protected]
Virginia Furlanetto
Centro Universitário UNIVATES
[email protected]
Neiva Althaus
Centro Universitário UNIVATES
[email protected]
Resumo: O presente artigo é resultado de uma pesquisa desenvolvida no Centro
Universitário UNIVATES, Lajeado/RS. Esta surgiu tendo em vista a importância do
trabalho com resolução de problemas nas aulas de Matemática, considerando que estes
contribuem para o desenvolvimento do raciocínio e da capacidade de enfrentar situações
reais. Foi problematizada a utilização de diferentes estratégias de resolução de
problemas e feita uma análise das respostas das provas do Ensino Médio da Olimpíada
Matemática realizada na referida Instituição, onde buscou-se categorizar as respostas
apresentadas pelos estudantes e discutir a escolha por uma ou outra possibilidade. Como
resultado podemos destacar que a estratégia mais utilizada pelos alunos é o cálculo.
Palavras-chave: Resolução de Problemas; Estratégias; Olimpíada Matemática.
Introdução
No currículo da Escola Básica, a Matemática é uma disciplina que, geralmente é
considerada difícil pelos estudantes e é uma das recorrentes preocupações dos
professores, no que diz respeito ao desempenho escolar. No Centro Universitário
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Pesquisa apoiada pela FAPERGS
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UNIVATES, Lajeado-RS, algumas das pesquisas desenvolvidas na área do Ensino de
Ciências Exatas, direcionam-se a investigar obstáculos de aprendizagem no ensino da
Matemática e buscar estratégias para superá-los. Uma das ações de professores de
Matemática dessa Instituição é a realização da Olimpíada Matemática da UNIVATES
(OMU). A análise dos resultados das Olimpíadas tem servido como um dos parâmetros
para as ações de novas pesquisas.
Dentre os objetivos da OMU, está o estímulo a um aprendizado menos
burocrático, por meio da resolução de problemas novos e desafiantes, aproveitando o
gosto natural dos jovens pelas competições e com a pretensão de despertar e
desenvolver o raciocínio lógico-matemático do estudante. A interdisciplinaridade é uma
particularidade das provas da OMU, já que se procura a contextualização das questões,
trazendo problemas do cotidiano, abordando os conteúdos previstos no currículo
mínimo de cada série, numa mescla de questões objetivas e discursivas, totalizando 10
questões por prova. Os estudantes da 4ª série do Ensino Fundamental (5º ano) até o 1ª
ano do Ensino Médio devem resolver 8 das 10 questões, os do 2ª ano do Ensino Médio
resolvem 9 e os alunos do 3ª ano do Ensino Médio, devem resolver todas as questões. A
prova pode ser realizada em dupla e é permitido o uso de calculadoras.
Em função da ampla quantidade de material disponível, consideramos
importante analisar as estratégias que os estudantes de Ensino Médio utilizam na
resolução dos problemas, já que as questões da OMU são passíveis de várias formas de
resolução e não existe a exigência pelo cálculo formal. Os participantes podem resolvêlas da forma que considerarem mais apropriada, devendo descrever seu raciocínio.
Neste trabalho de investigação, vamos nos deter às provas da 11ª OMU, realizada em
2008, que contou com 2.384 participantes, oriundos de 70 escolas de 26 municípios.
Referencial teórico
A resolução de problemas é citada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCNs) (BRASIL, 1998) como ponto de partida da atividade matemática em
contrapartida à simples resolução de procedimentos e ao acúmulo de informações.
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Resolver um problema implica na compreensão do que foi proposto e na
apresentação de respostas aplicando procedimentos adequados. Em especial na
Matemática, existem vários caminhos para se chegar a um mesmo resultado, ou seja,
inúmeras são as estratégias que o estudante pode utilizar na resolução de um problema.
O grande desafio do processo educativo, conforme Demo (1996, p. 30), é
construir condições para o estudante aprender a aprender e para saber pensar. É
essencial fazer com que os estudantes se tornem pessoas capazes de enfrentar situações
novas ou diferentes, buscando novos conhecimentos e habilidades. Nesse sentido, o
trabalho com resolução de problemas, aceitando as diferentes estratégias que o
estudante possa vir a utilizar, instiga nele a capacidade de aprender a aprender, já que
ele terá que determinar por si próprio o caminho para a solução, ao invés de esperar por
uma resposta pronta dada pelo livro didático ou pelo professor. Além disso, Cavalcanti
ressalta que, a valorização das estratégias utilizadas:
...inibe atitudes inadequadas em relação à resolução de problemas,
como, por exemplo, abandonar rapidamente um problema quando a
técnica envolvida não é identificada, esperar que alguém o resolva,
ficar perguntando qual é a operação que resolve a situação, ou
acreditar que não vale a pena pensar mais demoradamente para
resolver um problema.
(Cavalcante, in Smole e Diniz, 2001, p. 126)
Para Pozo (1998, p. 60), “as estratégias de resolução de problemas seriam
formas conscientes de organizar e determinar os recursos de que dispomos para a
solução de um determinado problema”.
Segundo Cavalcanti:
Incentivar os alunos a buscarem diferentes formas de resolver
problemas permite uma reflexão mais elaborada sobre os processos
de resolução, sejam eles através de algoritmos convencionais,
desenhos, esquemas ou até mesmo através da oralidade.
Aceitar e analisar as diversas estratégias de resolução como válidas e
importantes etapas do desenvolvimento do pensamento permitem a
aprendizagem pela reflexão e auxiliam o aluno a ter autonomia e
confiança em sua capacidade de pensar matematicamente.
(Cavalcante, in Smole e Diniz, 2001, p. 121)
Conforme Musser e Shaughnessy (in Krulik e Reys, 1997, p.188), na escola do
passado, a ênfase do currículo da matemática era na aprendizagem de algoritmos,
devido ao forte domínio da aritmética, existente na época, porém, na era eletrônica em
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que vivemos, a prioridade deve ser para o desenvolvimento e o uso de algoritmos para
resolver problemas.
Os autores citam cinco estratégias de resolução de problemas que julgam
pertinentes serem abordadas nas escolas: (i) tentativa-e-erro (aplicação de operações
pertinentes às informações dadas); (ii) padrões (resolução de casos particulares,
encontrando padrões que podem ser generalizados); (iii) resolver um problema mais
simples (resolução de um caso particular ou um recuo temporário de um problema
complicado para uma versão resumida, podendo vir acompanhado do emprego de um
padrão); (iv) trabalhar em sentido inverso (partindo do resultado, realizar operações que
desfazem as originais); (v) simulação (utilizada quando a solução do problema envolve
a realização de um experimento e executá-lo não seja prático).
Cavalcanti (in Smole e Diniz, 2001, p.127), cita a utilização do desenho “como
recurso de interpretação do problema e como registro da estratégia de solução”,
podendo este, fornecer ao professor, pistas sobre como o estudante pensou e agiu para
solucionar o problema. A autora propõe três etapas para a utilização deste recurso: 1ª
etapa - representação de aspectos da situação; 2ª etapa - resolução da situação completa
do problema, apenas através do desenho, onde o estudante explora o significado das
transformações e das operações presentes no texto; 3ª etapa - mescla de desenhos e
sinais matemáticos, sugerindo: utilização do desenho para interpretação do texto e
expressão da resolução através da escrita matemática; resolução numérica e utilização
do desenho para comprovar se a resposta está correta. Também cita a utilização do
algoritmo convencional como “mais uma possibilidade de resolução” (p. 143).
Metodologia
As provas analisadas envolveram 311 estudantes do Ensino Médio de 26
municípios, sendo 123 de 1ª série, 109 de 2ª série e 79 de 3ª série. Foi realizada uma
análise de foco predominantemente quantitativo, que nos revelou quais as estratégias de
resolução de problemas que os estudantes utilizaram para resolver situações envolvendo
diferentes conteúdos matemáticos.
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O trabalho iniciou em março de 2009, com a leitura de textos de autores que
realizam estudos sobre estratégias de resolução de problemas matemáticos (DANTE,
2000; KRULLIK e REYS, 1997; SMOLE e DINIZ, 2001). Partindo destes textos,
selecionamos algumas estratégias para analisar as respostas dos estudantes: desenho;
cálculo; tabelas ou gráficos; tentativa e erro; organizar padrões; trabalhar em sentido
inverso; reduzir à unidade.
Em seguida, foi realizada a análise das provas do Ensino Médio da 11ª OMU,
buscando, através de um estudo criterioso das respostas apresentadas pelos alunos a
cada questão, classificá-las de acordo com as estratégias anteriormente citadas,
incluindo ainda as categorias “somente resposta” (onde não foi possível identificar a
estratégia) ou “branco/nula”.
Análise de dados
A seguir, serão apresentadas as questões da prova, acompanhadas da respectiva
análise das estratégias utilizadas pelos estudantes. Apresentamos uma análise
quantitativa que considera as estratégias mais utilizadas e uma breve análise qualitativa
onde buscamos entender ou interpretar os motivos da estratégia mais utilizada pelos
alunos em cada questão, bem como comparar as estratégias utilizadas em cada série.
Questão 1 - Dona Ângela decidiu repartir sua área de terras entre seus dois filhos, Luís
e Verônica. A figura abaixo mostra o terreno a ser dividido. O lado AB mede 65m e o lado AD
mede 23m. Sabe-se, também, que Luís ficará com uma área 69m² maior que a área de
Verônica. Para partir o terreno, usa-se uma cerca representada na figura pelo segmento EF,
que é paralelo ao AD. Calcular a distância de A até E.
A
E
B
D
F
C
Aproximadamente 90% dos estudantes resolveram a questão utilizando
algoritmos, principalmente sistemas de equações lineares ou uma única equação,
igualando a área total do terreno às duas áreas nas quais ele deve ser dividido. Podemos
supor que a resolução na forma algébrica deva-se à existência de incógnitas a serem
descobertas e por ser esta forma muito utilizada nas escolas neste tipo de questão.
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Questão 2 - Multiplicando dois números de três algarismos, nqq e qnn, um estudante
obteve como resultado o número de cinco algarismos 4nq6q. Quanto vale 2q + n?
Aproximadamente 85% dos estudantes optaram por resolver esta questão
utilizando-se da estratégia de tentativa e erro, onde foram estimando valores e testando a
validade dos mesmos. É uma questão comumente encontrada fora da escola, nas seções
de desafio de revistas, jornais e, talvez por isso, os participantes tenham buscado outra
forma de resolução, que não o algoritmo, já que este é um formalismo da escola.
Questão 3 - Considerar os números M=2700, N=11200, O=5300. Assinalar a alternativa
correta:
a) M<O<N
b) N<M<O
c) N<O<M
d) O<M<N
e) O<N<M
Alguns alunos tentaram calcular cada potência para obter o número final e
compará-los entre si, o que resulta em um processo muito demorado. Outros tentaram
utilizar a calculadora, porém, como esta não fornecia o resultado em forma de potência,
não conseguiram resolver a questão. Um número bastante significativo de participantes
optou por apenas assinalar uma das alternativas. Os alunos que perceberam que a
divisão do expoente por 100 (reduzindo a unidade), não afetaria a ordem crescente dos
resultados, resolveram de forma correta a questão.
Questão 4 - Cada elemento aij da matriz T abaixo indica o tempo, em minutos, que um
semáforo fica aberto, num período de 2 minutos, para que haja o fluxo de automóveis da rua i
para a rua j, considerando que cada rua tenha mão dupla.
0 1,5 0,5
T= 1,5 0 1
0,5 1
0
De acordo com a matriz, o semáforo que permite o fluxo de automóveis da rua 2 para a
1 fica aberto durante 1,5 minutos de um período de 2 minutos. Com base no texto e admitindo
que é possível até 20 carros passarem por minuto cada vez que o semáforo abre, qual o número
máximo de automóveis que podem passar da rua 3 a 1, das 8 horas às 10 horas, considerando o
fluxo indicado pela matriz T?
A maioria dos estudantes (87,5%) optou por resolver esta questão utilizando
cálculo, já que a situação envolve uma matriz, que é um conteúdo da escola, onde a
forma de resolução é através de algoritmos. Percebe-se que uma quantidade
significativa de candidatos da primeira série não respondeu esta questão e, a maioria dos
que utilizou o cálculo, são da segunda e terceira série. Este dado condiz com o fato de o
conteúdo “Matrizes” estar inserido no currículo básico da segunda ou terceira série.
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Questão 5 - Um recipiente, na forma de um prisma retangular reto de base quadrada,
cuja área lateral é igual ao sêxtuplo da área da base contém um determinado medicamento que
ocupa ¾ da sua capacidade total. Conforme prescrição médica, três doses diárias desse
medicamento de 50mL cada, deverão ser ministradas por um paciente durante 6 meses. Nessas
condições, é correto afirmar que, para ministrar a quantidade total prescrita, o medicamento
contido no recipiente será:
a) Insuficiente, faltando 125mL.
b) Insuficiente, faltando 100mL.
c) Suficiente, não faltando nem restando.
d) Suficiente, restando 125mL.
e) Suficiente, restando ainda 225mL.
Repete-se nesta questão, a utilização majoritária do cálculo pelo fato de que a
interpretação da situação-problema gera uma equação de primeiro grau, fortemente
trabalhada desta forma com os estudantes.
Questão 6 - Os estudantes de terceiros anos diurno e noturno de uma escola se
submeteram a uma prova de seleção, visando a participação numa olimpíada internacional.
Dentre os que tiveram nota 9,5 ou 10, será escolhido um por sorteio.
Nota
Turno
Diurno
Noturno
9,5
6
7
10,0
5
8
Com base na tabela acima, qual a probabilidade de que o aluno sorteado tenha tirado
nota 10 e seja do noturno?
Observa-se novamente a grande utilização do cálculo na resolução, onde a
maioria dos estudantes divide 8 alunos (os que são do noturno e tiraram 10), pelo total
que é de 26 alunos, obtendo assim a porcentagem de chance de cada um. Alguns
utilizaram ainda o cálculo por regra de três, que também é uma “técnica” amplamente
trabalhada nas escolas e aplicável a vários conteúdos. O raciocínio utilizado foi de que
26 alunos está para 100% assim como 8 alunos está para x, onde x representa a
porcentagem de chance de que o aluno sorteado seja do noturno e tenha tirado nota 10.
Questão 7 - O proprietário de um cinema percebeu que 200 pessoas, em média,
assistem a um filme com o ingresso a R$10,00 e que, para cada redução de R$ 0,40 no preço do
ingresso, o público aumenta em 40 pessoas. Qual deve ser o preço do ingresso para que a
receita seja máxima?
Aparece nesta questão uma maior diversidade de estratégias. Aproximadamente
42% dos participantes resolveram-na utilizando a estratégia de tabelas ou gráficos,
organizadas em 3 colunas, sendo elas: número de pessoas, preço do ingresso e receita. A
partir disso, fizeram a progressão do número de pessoas, de 40 em 40 e, paralelamente,
a redução de R$ 0,40 no preço unitário dos ingressos. No final, calcularam a receita,
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encontrando como resultado o número máximo de pessoas, antes que a receita
começasse a diminuir. Outra estratégia bastante utilizada (aproximadamente 36% dos
participantes) foi a de cálculo. Alguns restringiram-se a dizer que, quanto maior for a
quantidade de pessoas assistindo ao filme maior será a receita, ignorando o fato de que o
valor individual dos ingressos diminui conforme aumenta o número de expectadores.
Questão 8 - Considerando todos os números inteiros que na divisão por 1999 fornecem
como quociente o número 2 e como resto um número ímpar, podemos afirmar que:
a) O menor deles é 3998.
b) O maior deles é 5996.
c) Nenhum deles é divisível por três.
d) A soma do menor deles com maior deles é divisível por três.
e) A média aritmética de todos esses números é 4997.
Um número considerável de estudantes resolveu esta questão utilizando a
estratégia de sentido inverso, ou seja, trabalharam com o intuito de provar as
informações que o problema forneceu, multiplicando o número 1999 por 2 e
identificando o menor resto ímpar possível, qual seja, o número 1, invalidando assim a
alternativa “a”. Também foram “testando” as demais e descartando as que não
consideraram válidas.
Outro dado relevante é que quase 50% dos estudantes da primeira série apenas
assinalaram uma resposta, sem se preocupar em resolver o problema, o que nos remete a
pensar que tenham desistido de encontrar a resposta correta por não identificarem a
questão com um conteúdo específico da escola, prendendo-se à ideia da necessidade de
um cálculo formal. Cabe ressaltar que, para Cavalcanti (in Smole, 2001, p.121), a
valorização de diferentes estratégias, ajuda a coibir atitudes inadequadas como a de
desistir de resolver uma situação por não identificar a técnica envolvida ou acreditar que
não vale a pena pensar um pouco mais até encontrar a solução do problema.
Questão 9 – A figura abaixo mostra 5 pontos pertencentes à circunferência e 3 pontos
pertencentes à reta. Qual o número máximo de triângulos distintos que podem ser formados de
modo que os vértices sejam três pontos dos 8 pontos dados.
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Nesta questão, observa-se grande utilização das estratégias de desenho e cálculo,
cabendo ressaltar que alguns estudantes apropriaram-se de ambas. Conforme Cavalcanti
(in Smole e Diniz, 2001), eles podem ter utilizado o desenho para interpretar o texto,
expressando a resolução através da escrita matemática ou ainda, resolvido
numericamente, utilizando o desenho para comprovar se a resposta está correta.
A maioria dos participantes da primeira série utilizou-se de desenhos para buscar
a solução, enquanto que um número mais significativo da segunda e terceira séries
optou pelo cálculo, evidenciando novamente a maior bagagem conteudista destes, em
relação aos primeiros, sendo que o algoritmo desenvolvido pela maioria dos estudantes
que optou pelo cálculo foi o da Análise Combinatória. Um erro frequente dentre os que
optaram pelo desenho, foi a utilização de cada ponto apenas uma vez, desprezando a
informação de que se buscava o número máximo de triângulos, ou seja, cada ponto
poderia aparecer na formação de mais do que um triângulo. Conforme Leblanc (apud
Krulik e Reys, 1997), é preciso desenvolver a habilidade para concentrar a atenção nas
informações importantes dos problemas. Provavelmente esses estudantes não
interpretaram corretamente o enunciado, não prestaram atenção durante a leitura.
Questão 10 - Usando ladrilhos quadrangulares, Ana decorou uma parede, conforme
mostrado, parcialmente, na seqüência de peças abaixo:
1ª peça
2ª peça
3ª peça
Sabe-se que Ana seguiu o mesmo padrão estabelecido na figura acima no desenho das
demais peças com as quais decorou a parede. Quantos ladrilhos quadrangulares foram
necessários na última peça de decoração, sabendo-se que Ana utilizou, ao todo, 330 ladrilhos?
Uma quantidade bastante significativa de estudantes resolveu esta questão
através de tentativa e erro, onde perceberam que, de uma peça para outra, o aumento era
de quatro ladrilhos e executaram a resolução, pensando cada peça como a quantidade de
ladrilhos da peça anterior acrescida de 4, até chegar aos 330 ladrilhos totais, que é a
condição dada pelo problema. Em seguida, contaram quantas peças foram
acrescentadas, obtendo um total de 50 peças.
Considerações finais
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É consenso entre os professores e pesquisadores da área da Educação que a
Matemática vem se constituindo na principal barreira que a maioria dos estudantes
enfrenta, sendo causa de reprovações, desistências e insucessos. Contudo, a resolução
de problemas pode se constituir em uma ferramenta muito eficaz para transformar essa
visão, ao desafiar o educando, suscitar o trabalho mental e a busca por soluções,
diferentes do algoritmo, que é a forma mais utilizada e que, nem sempre, proporciona o
entendimento da questão.
Apesar das questões da 11ª OMU serem passíveis de várias formas de resolver, a
maioria dos alunos mostrou-se fortemente enraigado ao algoritmo. Em muitas escolas,
esta é a única forma de resolução aceita, o que acaba privando o aluno de desenvolver
suas próprias estratégias, desafiando sua criatividade e raciocínio e a ampliação do
conhecimento matemático, visto que, dependendo da estratégia a ser utilizada, ele
precisa saber outros conceitos, não diretamente ligados à questão.
Nas situações mais diretamente ligadas a conteúdos, como a Questão 4, que
envolve matrizes, os alunos da 3ª série foram os que mais utilizaram o cálculo formal
na resolução e acreditamos que isso se deva ao fato de que estes alunos já possuam uma
bagagem conceitual bem maior que os alunos das séries anteriores.
Quando permitidos, os alunos criam suas próprias estratégias, como o exemplo
apresentado na Questão 9, onde foi utilizado o mesmo raciocínio do cálculo
algorítmico, porém a representação utilizada foi diferente, proporcionando a um leigo
no assunto, uma compreensão mais fácil do que se fosse usada a maneira formal de
resolver.
Referências
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1998.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática: 1. a 5 series. 12.
ed. São Paulo: Ática, 2000.
DEMO, P. Educação e qualidade. Campinas: Papirus, 1996
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KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na matemática escolar. São
Paulo: Atual, 1997.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciencia, 1978.
POZO, J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para
aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
SMOLE, K. S. (Org.); DINIZ, Maria Ignez (Org.). Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
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