GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas)
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
A representação do tiedro no plano axonométrico, a perspectiva, processa-se através da
projecção oblíqua do terceiro eixo sobre o plano axonométrico.
z
r
P
yz
xz
zp
Pp
y ≡ yp
O ≡ Op
x ≡ xp
xy
A representação final do tiedro no plano axonométrico. O eixo xp, yp e zp são as perspectivas
dos três eixos coordenados. O ângulo entre as perspectivas dos eixos que estão contidos no
plano axonométrico (o eixo x e y, nesta situação) é sempre o ângulo real (em V.G.), um ângulo
recto.
zp
O
yp
xp
DIRECÇÃO E
INCLINAÇÃO DAS
RECTAS
PROJECTANTES
A direcção das rectas
projectantes representa o ângulo
que os planos projectantes (que
contêm as rectas projectantes, o
plano α neste caso) fazem com os
planos coordenados ortogonais ao
plano axonométrico, ou seja, o
ângulo que a perspectiva do eixo
ortogonal ao plano axonométrico
faz com as perspectivas dos
outros dois eixos. A direcção das
rectas projectantes é dada por
um par de ângulos (γ e β).
A inclinação das rectas
projectantes representa o ângulo
(θ) que as rectas projectantes
(que são paralelas entre si) fazem
com o plano de projecção, o plano
axonométrico. A inclinação das
rectas projectantes vai
determinar o coeficiente de
deformação.
z
α
zp
r
P
θº
Pp
βº
yz
xz
y ≡ yp
O ≡ Op
γº
x ≡ xp
xy
Neste caso, a
inclinação das
rectas projectantes
é igual a 45º.
A perspectiva de P
(Pp) está em V.G.,
não havendo
necessidade de
coeficiente de
deformação.
z
r
α
yz
P
45º
zp
xz
45º
Pp
y ≡ yp
O ≡ Op
x ≡ xp
xy
Neste caso, a
inclinação das
rectas projectantes
é superior a 45º.
A perspectiva de P
(Pp) está reduzida
em relação à cota de
P, havendo
necessidade da
existência de um
coeficiente de
deformação, mais
especificamente de
um coeficiente de
redução.
r
z
P
α
zp
yz
xz
αº
Pp
y ≡ yp
O ≡ Op
x ≡ xp
xy
Neste caso, a
inclinação das
rectas projectantes
é inferior a 45º.
A perspectiva de P
(Pp) está reduzida
em relação à cota de
P, havendo
necessidade da
existência de um
coeficiente de
deformação, mais
especificamente de
um coeficiente de
ampliação.
z
α
yz
r
P
zp
Pp
xz
αº
y ≡ yp
O ≡ Op
x ≡ xp
xy
TIPOS DE AXONOMETRIAS CLINOGONAIS
Existem basicamente dois tipos de axonometrias clinogonais (ou oblíquas), distinguidas pela
posição do plano axonométrico que é também um plano coordenado:
Se o plano axonométrico for o plano xy (o plano horizontal), trata-se da perspectiva
planométrica (ou militar);
Se o plano axonométrico for um dos outros dois planos (o plano xz ou o plano yz), trata-se
da perspectiva cavaleira.
Uma perspectiva planométrica (ou militar), com o plano axonométrico a ser o plano xy, no
qual se projecta o eixo z. A perspectiva do eixo z é vertical, e as perspectivas dos outros
eixos fazem entre si um ângulo de 90º.
zp
z
r
P
yz
xz
zp
Pp
O
y ≡ yp
O ≡ Op
xy
yp
x ≡ xp
xp
Uma perspectiva cavaleira, com o plano axonométrico a ser o plano xz, no qual se projecta o
eixo y. A perspectiva do eixo z é vertical, e a perspectiva do eixo z faz com o eixo x um
ângulo de 90º.
zp
z ≡ zp
xz
yz
x ≡ xp
xy
O ≡ Op
r
xp
O
P
y
Pp
yp
yp
INFLUÊNCIA DA DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS
PROJECTANTES
A direcção e a inclinação das rectas projectantes influi na representação de um mesmo
objecto. Em baixo a direcção das rectas projectantes é constante, 135º com o semieixo
positivo x e com o semieixo positivo z, com inclinação das rectas projectantes diferente.
z
x
z
z
O
x
y
Inclinação das rectas
projectantes: 45º.
Coeficiente de deformação
do eixo y: 1.
O
x
O
y
Inclinação das rectas
projectantes: 63º 26’.
Coeficiente de deformação
do eixo y: 0,5.
Inclinação das rectas
projectantes: 26º 34’.
Coeficiente de deformação
do eixo y: 2.
y
Em baixo a inclinação das rectas projectantes é constante, 63º 26’, com o coeficiente de
deformação a 0,5, e com direcção das rectas projectantes diferente.
z
z
z
y
x
O
O
x
y
Direcção das rectas
projectantes: 120º com o
semieixo positivo x e 150º com
o semieixo positivo z.
x
O
y
Direcção das rectas
projectantes: 45º com o
semieixo positivo x e 135º com
o semieixo positivo z.
Direcção das rectas
projectantes: 135º com o
semieixo positivo x e 45º com
o semieixo positivo z.
REPRESENTAÇÃO (PERSPECTIVA) DE UM PONTO NUMA
AXONOMETRIA CLINOGONAL
Em baixo, temos a perspectiva do ponto P, com o ponto A a ser o ponto do eixo z que tem
a cota do ponto P. Conduzem-se pelas perspectivas das três projecções do ponto P, as
perspectivas das respectivas rectas projectantes (que são paralelas ao eixo ortogonal à
face do paralelograma onde aquelas existem).
z
z
yz
P3
A
zp
Ap
O
P2p
A
P3p xz
P2
P3
P
Pp
y ≡ yp
P2
xy
P1 ≡ P1p
O
P
x ≡ xp
y
x
P1
PERSPECTIVA CAVALEIRA
Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 2) numa perspectiva cavaleira, cujas
projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com
as partes positivas do eixo x e do eixo z.
z
z ≡ zp
yr
yz
x ≡ xp
xy
P1p
P1
A
P2
rr
Pp
P3
Ar
Ar
P2 ≡ P2p
P
yr
xz
O
P3
P
P3p
x
O
Ap
P1
y
yp
rr
60º
A
y
O afastamento do ponto P, que se mede no eixo y, é a coordenada que apresenta coeficiente de deformação, pois o
eixo y é o eixo que não está contido no plano axonométrico. Para determinar o coeficiente de deformação, rebatese o plano projectante deste aeixo para o plano axonométrico.
Representa o ponto A (2; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm
50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e
de 150º com semieixo positivo z.
z
rr
A2
yr
A3
A
Pr
O
x
50º
A1
P
y
Representa o ponto M (5; 4; 3) numa perspectiva cavaleira, sabendo que o plano
axonométrico é o plano xz. A direcção das projectantes é de 45º com a parte positiva dos
outros dois eixos. A inclinação das rectas projectantes é de 60º.
y
z
yr
M3
M
M2
M1
x
Pr
P
60º
O
rr
Representa um cubo numa perspectiva cavaleira, com 5 cm de aresta, e apoiado por três
das suas faces nos planos coordenados. A direcção das projectantes é de 45º com o
semieixo positivo x, e de 135º com semieixo positivo z. A inclinação das rectas
projectantes é de 45º.
z
O
x
45º
P
y
Pr
rr
yr
DIRECÇÃO DE AFINIDADE
A direcção de afinidade é a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e
recíproca, uma qualquer coordenada em V.G. e a sua perspectiva.
A direcção de afinidade é a direcção que nos permite inverter o rebatimento de qualquer
plano coordenado rebatido para o plano axonométrico.
z
Para determinar a direcção de afinidade é
necessário rebater um plano coordenado (o plano
xy neste caso) e o plano projectante do eixo y.
yr1
Ar1
A charneira é o eixo x.
O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do
plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.
rr
O
x
Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano
xy.
Ap
É necessário rebater o plano projectante do eixo y
(o plano yyp), com o eixo yp como charneira.
A recta d é a recta que dá a direcção de
afinidade.
60º
Ar
d
yr
yp
A determinação da perspectiva cavaleira de um ponto P (2; 4; 5), recorrendo à direcção de
afinidade. As rectas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de
120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.
z ≡ yr
A perspectiva do ponto P é também a
projecção frontal do ponto P.
Para determinar a direcção de
afinidade é necessário primeiro rebater
um plano coordenado (o plano xy neste
caso) e o plano projectante do eixo y.
rr
P2
yr1
P3
P
Ar1
50º
P1r
d
É necessário rebater o plano
projectante do eixo y (o plano yyp), com
o eixo yp como charneira, obtendo Ar1,
depois Ap, para finalmente obter a recta
d.
Ap
P1
O eixo yr é o eixo y rebatido pelo
rebatimento do plano xy, fazendo um
ângulo recto com o eixo x.
Ar é o ponto A rebatido pelo
rebatimento do plano xy, com o mesmo
afastamento do ponto P, e em V.G.
O
x
A charneira é o eixo x.
Ar
yp
A recta d é a recta que dá a direcção
de afinidade.
Por fim é a determinação da perspectiva
do ponto P.
Representa o ponto A (3; 5; 3) numa perspectiva cavaleira , recorrendo à direcção de
afinidade, cujas rectas projectantes têm 60º de inclinação. A perspectiva do eixo y faz
135º com as partes positivas dos outros dois eixos.
z ≡ yr
rr
yr1
Pr
A2
A3
A
O
x
60º
P
A1
A1r
d
Pr1
y
PERSPECTIVA CAVALEIRA NORMALIZADA
A perspectiva cavaleira normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os
ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o
coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo
ortogonal ao plano axonométrico.
Mais especificamente, a perspectiva cavaleira normalizada implica a direcção das rectas
projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas
projectantes de 63º 26’ 6’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 0,5.
z
x
O
y
É dada uma pirâmide
quadrangular regular,
situada no 1.º triedro, com a
base contida num plano
horizontal ν.
z ≡ yr
fν
Os pontos A (2; 2; 7) e B
(6; 2; 7) são dois vértices
consecutivos do quadrado
[ABCD] da base.
A2 ≡ D2
B2 ≡ C2
A
B
Pr1
pν
V2
x
O
B1
A1
A1r
B1r
50º
V
As projectantes têm 50º de
inclinação.
A direcção das
projectantes é de 140º com
o semieixo positivo x e de
130º com semieixo positivo
z.
D
C
O vértice da pirâmide tem
cota nula.
Representa a pirâmide numa
perspectiva cavaleira,
considerando que o plano
axonométrico é o plano xz.
yr1
C1
D1
P
V1r≡ Vr
C1r
D1r
Pr
d
y
É dado um prisma
hexagonal regular, situado
no 1.º tiedro, com 8 cm de
altura e bases contidas
em planos frontais.
z
pφ
D2r
A base de menor
afastamento é o hexágono
[ABCDEF], que está
contido no plano xz.
C2r
C3
C
D
E2r
B
E
F2r
Pr
Representa o prisma numa
perspectiva cavaleira.
A
F
d
F1
D1
B1
A1
P ≡ E1
As projectantes têm 60º
de inclinação.
B3
B’
E’
F3
A3
A2r
C’
D’
E3
B2r
Os pontos A (3; 0; 1) e B
(1; 0; 3) são dois vértices
consecutivos do hexágono
[ABCDEF].
A direcção das
projectantes é de 140º
com o semieixo positivo y
e de 130º com semieixo
positivo z.
D3
O
A’
F’
C1
F’
E’1 1
60º
D’1
A’1
Pr1
x
hφ
xr1
B’
C’1 1
y ≡ xr
PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar)
Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas
projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com
as partes positivas do eixo x e do eixo y.
z
z
yz
P3
A
zp
P3p
Ap
zr A P2p
r
O
A
xz
rr
P
P2
Pp
y ≡ yp
Ar
xy
60º
P2
P3
O
zr
P
P1 ≡ P1p
x ≡ xp
x
y
P1
PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) NORMALIZADA
A perspectiva planométrica normalizada refer-se à representação em que são
predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas
projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas
axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico.
Mais especificamente, a perspectiva planométrica normalizada implica a direcção das
rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas
projectantes de 56º 18’ 36’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 2/3.
z
O
x
y
É dado um objecto
constituído por um cubo e
uma pirâmide quadrangular
regular, situado no 1.º
tiedro.
z
U’
Os pontos A (6; 2; 0) e B
(1; 2; 0) são dois vértices
consecutivos do quadrado
[ABCD], contido no plano
xy.
V2
S
U
O quadrado [ABCD] é a
face inferior do cubo.
V
A base da pirâmide é o
quadrado [JKLM], cujos
vértices são os pontos
médios da face superior do
cubo.
K
O
T
R
L
B1 ≡ B
A pirâmide tem 7 cm de
altura, e o seu vértice tem
cota superior à base.
Representa o objecto
numa perspectiva
planométrica normalizada.
S’
K1
J
A1 ≡ A
L1
M
M1
J1
x
C1 ≡ C
V1
y
D1 ≡ D
2
Considera o objecto ao lado,
representado por três das
suas vistas (projecções):
horizontal, frontal e lateral
direita.
2
As dimensões apresentadas
são em centímetros, e as
coordenadas de A (0; 0; 0).
4
A1
4
A direcção das projectantes
é de 135º com as partes
positivas dos eixos x e y.
4
A3
A2
4
As projectantes têm 60º de
inclinação.
2
Representa o objecto numa
perspectiva planométrica.
3
3
z
d
60º
O≡ A
x ≡ zr
zr1
rr
y