MÉTODO ANALÍTICO PARA DIMENSIONAMENTO DO DIAFRAGMA DE UM
SENSOR DE PRESSÃO PIEZORESISTIVO
Mariana A. Fraga, Leandro L. Koberstein, Luiz A. Rasia, Edgar Charry
Grupo de Microssistemas Híbridos e Monolíticos de Pressão
Laboratório de Sistemas Integráveis-LSI
Universidade de São Paulo-USP
E-mail:[email protected]
SUMMARY
This paper describes an Analytical Method for design of the diaphragm of a Piezoresistive Pressure
Sensor. A particular problem for piezoresistive pressure sensor is the calculation of stress in a diaphragm
as a function of applied pressure. The use of square diaphragm solves this problem because acts like a
plate with small deflection. The knowledge of the piezoresistive effect in the silicon is not sufficient for
design of a silicon pressure sensor. It is necessary understand as the piezoresistive coefficients and the
material properties react with the mechanical stress or applied pressure. A structural design of silicon
sensor should present the best relation between geometrical dimensions, mechanical stress and the
crystallographic orientation of the piezoresistors. The analytical method connects the expressions of
resistance of materials with the expression of the piezoresistive effect. This make possible to design the
diaphragm easily.
RESUMO
Este artigo descreve um Método Analítico para dimensionamento de diafragmas de Sensores de Pressão
Piezoresistivos. No projeto do sensor de pressão um problema particular é o cálculo do stress no
diafragma em função da pressão aplicada. A utilização de diafragmas quadrados simplifica o problema,
pois se comporta como uma placa delgada com pequena deflexão. O conhecimento do efeito
piezoresistivo do silício não é suficiente para o projeto de sensores de pressão. É preciso também
compreender como os coeficientes piezoresistivos e as propriedades do material respondem ao esforço
mecânico ou a pressão hidrostática aplicada. Um projeto estrutural de sensores de silício deve apresentar
a melhor relação entre as dimensões geométricas, as tensões mecânicas e a orientação cristalográfica dos
piezoresistores. O método analítico relaciona as equações de Resistência dos Materiais com a que
caracteriza o efeito piezoresistivo possibilitando o dimensionamento do diafragma de forma simples e
eficaz.
MÉTODO ANALÍTICO PARA DIMENSIONAMENTO DO DIAFRAGMA DE
UM SENSOR DE PRESSÃO PIEZORESISTIVO
Mariana A. Fraga, Leandro L. Koberstein, Luiz A. Rasia, Edgar Charry
Grupo de Microssistemas Híbridos e Monolíticos de Pressão
Laboratório de Sistemas Integráveis - LSI
Universidade de São Paulo-USP
E-mail : [email protected]
RESUMO
Este artigo descreve um Método Analítico para
dimensionamento de diafragmas de Sensores de
Pressão Piezoresistivos. No projeto do sensor de
pressão um problema particular é o cálculo do stress no
diafragma em função da pressão aplicada. A utilização
de diafragmas quadrados simplifica o problema,
comportando-se como uma placa delgada com pequena
deflexão. Um projeto estrutural deve apresentar a
melhor relação entre as dimensões geométricas e as
tensões mecânicas. Para sensores de silício, além do
aspecto estrutural,
é necessário considerar a
orientação cristalográfica dos piezoresistores. O efeito
piezoresistivo é a variação da resistividade provocada
por este stress. O Método analítico relaciona as
equações de Resistência dos Materiais com a equação
que caracteriza o efeito piezoresistivo. Isto possibilita o
dimensionamento do diafragma de forma simples e
eficaz.
1. INTRODUÇÃO
Um sensor de pressão piezoresistivo consiste de uma fina
membrana de silício monocristalino suportado por uma
espessa borda de silício como mostra a figura 1.
No sensor o diafragma atua como um amplificador
de stress mecânico. O Silício não é usado apenas como
um substrato para difusão de piezoresistores, é também um
material elástico, por isso, utiliza-se a Lei de Hooke para
relacionar as tensões e as deformações no diafragma.
Quando uma pressão é aplicada sobre o dispositivo,
o fino diafragma se curvará para baixo ou para cima,
indicando tração ou compressão nos piezoresistores. A
mudança de resistência causada por este stress pode ser
facilmente medida[1].
A resposta da alteração de resistividade pode ser
expressa em termos de um tensor com três componentes
independentes denominadas π 11 , π 12 , π 44 . Estes
coeficientes piezoresistivos referem-se à mudança na
resistividade devido ao stress e podem ser convertidos em
deformações através do uso do módulo de Young. Em um
diafragma com piezoresistores, tipo P, o coeficiente π 44 é
dominante na orientação <110>[2].
O projeto de um sensor de pressão inicia-se com o
dimensionamento do diafragma. Este dimensionamento
pode ser feito analiticamente ou por Método dos
Elementos Finitos. Nos dois Métodos é necessário
considerar o diafragma de um sensor de pressão como uma
placa delgada com pequenas deflexões obedecendo às
hipóteses estabelecidas por Timoschenko and WoinowskyKreiger no livro “Theory of Plates and Shells” [3].
2. TEORIA DE PLACAS DELGADAS COM
PEQUENA DEFLEXÃO
Se as deflexões y de uma placa são pequenas em
comparação com a sua espessura t , pode-se admitir a
seguintes hipóteses [3]:
— Não há deformação no plano do meio da placa.
Este plano permanece neutro durante a flexão;
Figura 1. Desenho esquemático de um Sensor de Pressão
Piezoresistivo.
1
a
— O efeito das forças de cisalhamento sobre as
deflexões da placa é desprezível;
— O stress normal na direção transversal da placa
pode ser desconsiderado;
y max =
αpb 4
Et 3
(I)
b
σy
Estas hipóteses determinam que todos componentes
de stress podem ser expressos em função da deflexão y da
placa.
Segundo Roark [4] a partir da relação entre lados de
uma placa engastada é possível obter coeficientes para
calcular a deflexão e a tensão máxima ,conforme tabela 1.
A expressão que define a deflexão é a seguinte:
t
σx
(b)
(a)
Figura 2. Desenho esquemático de uma placa delgada engastada
em todas as bordas. Vistas: (a) superior e (b) lateral.
Onde:
α = tabela 1
p = pressão aplicada na placa
b = largura da placa
E = Módulo de Elasticidade (ESilício=1,8x1011N/m2)
Como o diafragma do sensor de pressão
piezoresistivo satisfaz os critérios de placas delgadas com
pequena deflexão (t>>ymax) pode-se utilizar expressões
analíticas para definir a relação entre stress, pressão e
dimensões. Estas equações, que são definidas por
Resistência dos Materiais, quando relacionadas com as
equações que caracterizam o efeito piezoresistivo
possibilitam a otimização do diafragma. O efeito
piezoresitivo determina que os piezoresistores estejam
posicionados onde o stress é máximo. Para um diafragma
quadrado o stress é máximo no centro das bordas, por
isso, os piezoresistores devem estar o mais próximo das
mesmas respeitando-se as limitações impostas pelos
processos de microeletrônica
3. MÉTODO ANALÍTICO
σl =
t2
Onde:
β1 = tabela 1
b = largura do diafragma
t = espessura do diafragma
A tensão na direção y (tensão transversal) é definida
por:
σ t = νσ l
(III)
ν é o coeficiente de Poisson.
No Sensor de Pressão Piezoresistivo a variação da
∆R 
resistência elétrica 
 em função do esforço mecânico
 R 
(stress) nos piezoresistores tipo P é definido por[1]:
∆R π 44
=
(σ l − σ t )
R
2
(IV)
Substituindo as equações (II) e (III) na equação (IV):
O diafragma quadrado de um
sensor de pressão
piezoresistivo apresenta-se como uma placa engastada em
todas as bordas conforme ilustra a figura 1. Para esta
estrutura, a tensão máxima na direção x (tensão
longitudinal) nas bordas é [4]:
β1 pb 2
Tabela 1[3]. Coeficientes para Placa, com todos os lados
engastados, submetidos a uma pressão uniforme.
(II)
2
∆R π 44
=
(1 − υ ) β1 pb
R
2
t2
(V)
Para o silício ν = 0,28 e π 44 = 8 × 10
( Silício Tipo P). Como o diafragma é quadrado
β1 = 0,3078 , logo:
−10
 pb 2 
∆R
= 8,87 × 10 −11  2 
R
 t 
m2 / N
(VI)
Desta expressão conclui-se que:
2
b
 =
t
t=
4. RESULTADOS
 ∆R 


 R 
8,87 × 10 −11 p
(
)
(VII)
A análise das equações e dos gráficos mostra que a
 ∆R 

 depende das dimensões do
 R 
 ∆R 
diafragma e da pressão aplicada. Sendo que 

 R 
variação elétrica
(8,87 × 10 −6 ) b 2
 ∆R 


 R 
(VIII)
Para ilustrar a expressão (VII) substituímos a
pressão por 105 N/m2 o que possibilitou gerar o gráfico
que relaciona a variação da resistência elétrica em função
da relação entre a largura e a espessura
b
  do
t
diafragma.
aumenta com a pressão e o lado do diafragma, entretanto,
diminui com o aumento da espessura.
O gráfico 2 mostra que para espessuras maiores que
10µm a variação elétrica é muito próxima a zero.
Os resultados obtidos através da solução analítica
possibilitam otimizar o diafragma, ou seja, escolher o
valor do lado e da espessura mais adequados para uma
determinada pressão.
5. CONCLUSÕES
0,25
0,2
∆R/R
0,15
0,1
0,05
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
b/t
Gráfico 1. Variação da resistência elétrica em função da relação
b/t para p = 10 5 N/m2.
Com a finalidade de mostrar a relação entre a
 ∆R 
espessura e 
 adotamos um diafragma quadrado de
 R 
400 µm X400 µm , e substituímos este valor de b na
expressão (VIII), resultando no gráfico 2.
O Método Analítico é uma ferramenta simples e
adequada para o dimensionamento do diafragma de
sensores de pressão. A partir de equações usuais para
solucionar problemas de Resistência dos Materiais é
possível projetar sensores com uma boa precisão.
A eficácia da solução proposta pode ser comprovada
a partir da comparação entre os resultados obtidos
analiticamente com resultados fornecidos pelo ANSYS
(Software de Método dos Elementos Finitos). Esta
comparação será descrita em trabalhos posteriores.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o suporte financeiro do
CNPq/Programa Nacional de Microeletrônica, o
Departamento de Engenharia Mecatrônica da USP,
através do Professor Carlos Alberto Nunes Dias, e a
UNIJUÍ pela colaboração no desenvolvimento deste
trabalho.
0,25
7. REFERÊNCIAS
∆R/R
0,2
[1] Ranjit Singh, Low Lee Ngo, Ho Soon Seng, “A Silicon
Piezoresistive Pressure Sensor”, IEEE, pp. 1-4, 2002.
0,15
0,1
[2] Rasia, L. A., Charry, E. “Elementos Piezorestivos para
0,05
Sensores de Pressão com Tecnologia CMOS”, Boletim Técnico
da EPUSP, São Paulo, 1997.
0
0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05
t (m)
Gráfico 2. Variação da resistência elétrica em função da
espessura para p = 10 5 N / m 2 e b = 400 µm .
[3] Timoschenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Theory of
plates and shells, McGraw-Hill, New York,2 th ed.
[4] Roark, R. Formulas for Stress and Strain, McGraw-
Hill, New York, table26, 5 th ed.
3