Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

Matéria





Significado do escoamento isentrópico em
condutas de secção variável.
Análise qualitativa do escoamento em condutas
de secção variável.
Equações para o escoamento isentrópico em
condutas de secção variável.
Tabelas de escoamento isentrópico em condutas
de secção variável.
Exemplo
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

Escoamento isentrópico: adiabático, sem atrito, sem ondas de
choque ou de expansão.

Efeitos do atrito e da transmissão de calor desprezáveis face às
variações resultantes da intensa variação de área.
P0 ,T0
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

  AV
m
Exaustão isentrópica de um reservatório
pressurizado:
Definição de T0: V  2c p T0  T 
P0 ,T0
Escoamento
isentrópico:
T  p
  
T0  p0 
e
 1

1
1
m   0
 px   
 px  



2c pT0 A x 
1  

 p0 
 p0 
 1

  p 
  
0  p0 
x é a direcção longitudinal – m
 , T0 , p0 são constantes em x
Evolução qualitativa do escoamento
isentrópico em condutas de secção variável
1
0
 p x   
 p x  
m
 1  

 Ax 
2c pT0
 p0 
 p0 
 1

constante

p  2   1
 

p0    1 
dA
0
d  p p0 
Escoamento isentrópico:

p0    1 2   1
 1 
M1 
p 
2

M 1
p  p
O escoamento crítico ou sónico
(M=1) só pode ocorrer na secção
de área mínima (garganta)
Evolução qualitativa do escoamento
isentrópico em condutas de secção variável


0
p  2   1
 

p0    1 
m

2c pT0
 px  

 A x 
 p0 
1

 px  

1  
 p0 
 1

m
  1
A 


0 RT0  2 

 1
2  1
Evolução qualitativa do escoamento
isentrópico em condutas de secção variável
A 
m
0 RT0
  1


2


 1
2  1
a) Amin>A*
caudal possível:
M<1 ou M>1 em toda a conduta
b) Amin=A*
caudal possível:
M=1 na garganta
c) Amin<A*
caudal impossível
(independente de ps-pe ):
Tubeira estrangulada
Equações do escoamento isentrópico em
condutas de secção variável

Todas as variáveis adimensionais podem ser expressas em função
de M: existe uma única variável adimensional independente.
Escoamento adiabático:

p0    1 2   1
 1 
M 
p 
2

T0    1 2 
 1 
M 
T 
2

T  p
  
T0  p0 
 1

 1

  
 0 
0    1 2 
 1 
M 
 
2

1
 1
Equações do escoamento isentrópico em
condutas de secção variável
Já encontradas:
T0    1 2 
 1 
M 
T 
2

p0    1 2 
 1 
M 
p 
2


 1
0    1 2 
 1 
M 
 
2

1
 1
Sabemos que:
1
0
 p x   
 p x  
m
 1  

 Ax 
p
p
2c pT0
 0 
 0 
A 
m
  1


0 RT0  2 
 1
2  1
A  2 


A    1 
 1
2  1
 1

A  2 
 


A    1
  1 2 
M 
1 
2


1
 1
 1
2  1
1
 1








p
2 
 p




1

 p 
p 
 1
0 
0 






1
 2
 1 2  


1  1 
M  


1
2


 

1
1
Equações do escoamento isentrópico em
condutas de secção variável
Já encontradas:
p0    1 2 
 1 
M 
p 
2

T0    1 2 
 1 
M 
T 
2

A  2 


A    1 
 1
2  1
  1 2 
M 
1 
2


1
 1

 1
0    1 2 
 1 
M 
 
2

1
 2
 1 2  


1  1 
M  
2
  1

 

1
Sabemos que:
V
A  


V
A 
  AV   A V
m



  p    1
     


 p   2 
V
 1
  1 2 

1

M 
1 

V
 1
2


1
1
 1
1
 1
1
1
 p 
 
 p0 
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

Todas as variáveis
adimensionais podem ser
expressas em função de M:
existe uma única variável
adimensional
independente.
Escoamento isentrópico em condutas de secção
variável: Tabelas
Escoamento isentrópico em condutas de secção
variável: Tabelas
Escoamento isentrópico em condutas de secção
variável: Tabelas
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável: Exemplo

Considere uma conduta convergente com As=100 cm2 que descarrega
isentropicamente ar ( =1,4; R=287 J/kg/K) para a atmosfera (pext=100
kPa). A temperatura no reservatório é de 293 K. Qual o caudal mássico
escoado para uma pressão no reservatório de 150 kPa e 300 kPa.
Nota:
Tres=293 K
a) pres=150 kPa
b) pres=300 kPa
.
m?
pe=100 kPa
1. Se M s  1
ps  pe  p
Qualquer onda de expansão ou de compressão
propagando-se a M=1 iria entrar na conduta e
promover o ajuste do escoamento à pressão exterior
2. Se M s  1
ps  p  pe
A onda de expansão não se propaga para dentro
da conduta, pois Mo.e.=Ms=1:
as condições dentro da conduta não se alteram.
Com Ms=1 não pode ocorrer onda de choque.
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável: Exemplo
Considere uma conduta convergente com As=100 cm2 que descarrega
isentropicamente ar ( =1,4; R=287 J/kg/K) para a atmosfera (pext=100 kPa). A
temperatura no reservatório é de 293 K. Qual o caudal mássico escoado para uma
pressão no reservatório de 150 kPa e 300 kPa.

Resolução: é necessário calcular p* e verificar se:
Tres=293 K
p  pe
.
m?
a) p0=150 kPa
pe=100 kPa
b) p0=300 kPa
ou
p  pe


p  2   1
 
  0,5283 para  =1,4
p0    1 
ps  p
Ms 1
ps  pe
Ms  1
a) p0=150 kPa
p*= 78 kPa
b) p0=300 kPa
p*=156 kPa
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável: Exemplo

Considere uma conduta convergente com As=100 cm2 que descarrega
isentropicamente ar ( =1,4; R=287 J/kg/K) para a atmosfera (pext=100 kPa). A
temperatura no reservatório é de 293 K. Qual o caudal mássico escoado para uma
pressão no reservatório de 150 kPa e 300 kPa.
Tres=293 K
a) p0=150 kPa
b) p0=300 kPa
p0
0 

RT0
.
m?
a) pres=150 kPa
p*= 78 kPa
ps=pe=100 kPa
b) pres=300 kPa
p*=156 kPa
ps=p*=156 kPa
Já vimos que:
pe=100 kPa
a) 0=1,783 kg/m3
b) 0=3,568 kg/m3
m   0
1
 px   
 px  
 1  

2c pT0 A x 
 p0 
 p0 
 1

Usando a expressão acima na secção de saída,
A=0,01 m2 e:
  33,8 kg/s
m
a) p/p0=100/150
b) p/p0=156/300
  211 kg/s
m
Projecto de tubeiras convergentes

Consiste em calcular a área da secção de saída
para valores impostos de caudal e de pressão
exterior, para valores fixos de p0 e T0.
As 
se
0
m
2c pT0
pext  2
 
p0  1  
 pext 


 p0 


1


1   pext 
  p0 

1
 1  2





se
pext  2

p0  1  

  1
(Ms1)


  1
 (Ms>1) deve ser utilizada uma conduta convergente divergente
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

Conteúdos






Área crítica.
Tubeira estrangulada.
Tabelas de escoamento isentrópico.
Análise qualitativa do escoamento isentrópico.
Equações do escoamento isentrópico.
Bibliografia



Secção 9.7 do Fluid Flow (3ª edição) - Sabersky
Secções 9.4 do Fluid Mechanics (4ª ed.) - White.
Secção 10.3 do Mecânica dos Fluidos (2ª ed.) – L.A.O e AG.L.