EIXO TEMÁTICO I: NÚMEROS, CONTAGEM E ANÁLISE DE DADOS
Tema 3: Probabilidade
Tópico 5: Probabilidade
Por que ensinar
Hoje em dia são muito freqüentes informações sobre a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma loteria, de
contrair um uma doença, de um candidato vencer uma eleição, etc. Além disso, valores de seguros de veículos, por
exemplo, são calculados levando-se em consideração, entre outros fatores, o sexo e a idade do proprietário. Isto
porque, dependendo destes fatores, estas empresas sabem que podem ser maiores ou menores as chances do
veículo se envolver em um acidente. Portanto, probabilidades são utilizadas em situações em que dois ou mais
resultados diferentes podem ocorrer, mas não é possível saber antecipadamente qual deles realmente acontecerá.
Por exemplo, fazendo uma aposta em uma loteria, até que o sorteio se realize, é impossível saber se a pessoa vai
ganhar ou não, mas pode-se calcular a probabilidade disto acontecer.
Os departamentos de qualidade das empresas também utilizam conceitos de probabilidade e estatística para verificar
se as mercadorias produzidas, ou se os serviços prestados, estão dentro de níveis esperados de qualidade. Para
isto, estes departamentos pesquisam uma amostra da produção, ou dos serviços prestados, verificam nesta amostra
o nível de qualidade e, utilizam os dados obtidos na amostra para estimar os níveis de qualidade da produção toda,
ou de todos os serviços prestados. Esta técnica é extremamente importante pois, em muitos casos, é muito difícil, ou
até impossível, testar todas as mercadorias produzidas.
Este tópico está relacionado e complementa os estudos realizados no tópico 34 (conceitos básicos de probabilidade) do Ensino
Fundamental.
Condições para ensinar
Para o desenvolvimento deste tópico é aconselhável que o aluno já possua conhecimentos prévios de:
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Técnicas de contagem e o princípio fundamental da contagem;
Interpretação de dados apresentados em gráficos e tabelas;
Proporcionalidade direta e percentagens;
Eventos e espaço amostral.
O que ensinar
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O cálculo da probabilidade de um evento;
Resolver problemas que envolvam o cálculo da probabilidade de um evento;
Calcular a probabilidade da união e da interseção de dois eventos de probabilidade conhecida;
Fazer estimativas de probabilidades.
Como ensinar
No Ensino Médio, o conceito de probabilidade (número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis)
é facilmente assimilado pelos estudantes. Apesar disso, mesmo após terminar este nível de escolaridade, a maioria
dos alunos possui uma grande dificuldade em resolver problemas de contagem e probabilidade (veja por exemplo os
dados do Boletim Pedagógico do SIMAVE/PROEB 2003). Pode-se conjecturar que isto se deve ao fato destes alunos
tentarem enquadrar o cálculo do numerador, ou do denominador, da fração que define a probabilidade em certos
tipos de problemas de contagem (arranjos, combinações ou permutações) e terem dificuldades neste cálculo, ou
ainda de não perceberem as diferenças entre a probabilidade da união ou da interseção. Portanto, sugere-se que o
conceito básico de probabilidade seja exaustivamente trabalhado, para que o estudante tenha condições de, nos
casos mais simples, descrever todos os casos possíveis, identificando dentre eles os casos favoráveis. Somente
após essa etapa, deve-se introduzir problemas que envolvam a necessidade do princípio multiplicativo, ou de
técnicas de contagem, para o caso da contagem destes casos. Por isso sugere-se que as aulas de probabilidade
sejam repletas de exemplos variados e ilustrativos. Agindo desta maneira, o professor terá mais uma chance de
trabalhar problemas contextualizados envolvendo contagens.
Os primeiros exemplos devem ser simples como o cálculo da probabilidade de sair cara no lançamento de uma
moeda, de se obter um número par no lançamento de um dado, de se obter soma de resultados igual a 7 no
lançamento de dois dados ou de se retirar um rei das cartas de um baralho. Nestes exemplos, o espaço amostral e
os eventos favoráveis podem ser listados explicitamente e contados. Nestes exemplos o professor também pode
destacar o caráter aleatório de certas variáveis comparando-o com variáveis não aleatórias (tópico 08 do Ensino
Médio).
Aqui o professor também deve chamar a atenção para o fato de que, ao dizermos que a probabilidade de se obter
cara no lançamento de uma moeda é 1/2, isso não significa que a cada dois lançamentos um vai ser cara e o outro
vai ser coroa. O fato de a probabilidade ser 1/2 significa apenas que as chances são iguais de se obter cara ou uma
coroa e que ao fazermos muitos lançamentos de uma moeda é provável que aproximadamente metade dos
resultados obtidos será cara e a outra metade coroa. Para ilustrar isso, sugere-se que o professor solicite que os
alunos façam vários lançamentos de uma moeda, registrem os resultados obtidos e contem o número de vezes que
saiu cada um dos eventos: cara ou coroa.
Os exemplos a seguir são sugestões de problemas que podem ser discutidos em sala de aula a respeito deste
tópico.
Exemplo 1: Calcular a probabilidade de se obter, no lançamento de duas moedas diferentes, uma cara e uma coroa.
Exemplo 2: Com os algarismos 2, 3 e 5 formamos todos os números de 3 algarismos diferentes. Dentre eles
escolhemos um número ao acaso.
a) qual a probabilidade do número escolhido ser múltiplo de 3?
b) qual a probabilidade do número escolhido ser par?
Exemplo 3: Dentro de um saco há 8 bolas brancas, 5 bolas pretas e 12 bolas amarelas. Estas bolas só diferem uma
das outras pelas cores.
a) ao se sortear uma bola deste saco, qual a probabilidade de sair uma bola que não seja branca.
b) ao se sortear duas bolas deste saco, qual a probabilidade de sair duas bolas da mesma cor? E de cores
diferentes?
Os exemplos anteriores são problemas de probabilidade que podem ser discutidos pelo professor em sala de aula, e
que podem ser resolvidos através da enumeração explicita de todos os caso possíveis e casos favoráveis. Em
seguida sugere-se que o professor apresente situações de problemas de cálculo de probabilidades que envolvam
técnicas de contagem ou a aplicação do princípio multiplicativo para se determinar o número de casos favoráveis ou
o número dos casos possíveis. Exemplos de problemas desse tipo são:
Exemplo 4: Em um armário há 5 pares de sapatos. Retira-se desse armário ao acaso 4 pés de sapatos. Qual é a
probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos?
Exemplo 5: Existem 8 carros estacionados em 12 vagas em fila. Determine a probabilidade das vagas vazias serem
consecutivas e a probabilidade de não haver duas vagas vazias adjacentes.
Exemplo 6: O professor, ou os alunos, podem retirar nas lotéricas ou nos correios cartelas das principais loterias:
mega-sena, toto - bola, quina, loteria esportiva, tele-sena, etc. Tendo estas cartelas em mãos, o professor pode
separar os alunos em grupos, distribuir para cada grupo cartelas de uma única loteria e sugerir o seguinte projeto:
cada grupo deve ler as regras da loteria da cartela que lhe foi entregue e deve calcular a probabilidade de uma
pessoa ganhar nesta loteria jogando uma única cartela.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO E OUTRO
Até o momento foram sugeridas atividades para o ensino do cálculo da probabilidade de um único evento. Após o
professor trabalhar estas atividades, ou outras similares, sugere-se que ele passe ao estudo da probabilidade de
eventos independentes. No começo da apresentação deste conteúdo, sugere-se que o professor utilize vários
exemplos simples, antes de passar para a formulação literal do problema. Entretanto, ao discutir esses exemplos, o
professor deve evidenciar o caráter independente dos eventos realizados.
Exemplo 7: Lançando-se uma moeda e um dado, qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda e mais de 5
pontos no dado?
Exemplo 8: Um dado é lançado três vezes. Calcule a probabilidade de que o número 6 ocorra no primeiro e no
segundo lançamento, não ocorrendo no terceiro.
Somente após a discussão de exemplos, sugere-se que o professor apresente a expressão P(A e B) = P(A) x P(B)
para a probabilidade de ocorrer ambos os eventos independentes A e B.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO OU OUTRO
Após o professor trabalhar eventos independentes, calculando a probabilidade de ocorrer um e, ao mesmo tempo,
um outro evento independente do primeiro, sugere-se que ele passe para o estudo do cálculo da probabilidade de um
evento ou outro. Como nos casos anteriores, sugere-se que estes conteúdos sejam ilustrados para os alunos através
da discussão de vários exemplos, que favoreçam o raciocínio lógico do aluno em detrimento da memorização de
fórmulas. Para facilitar a apresentação deste tópico o professor pode separa-lo em dois: eventos mutuamente
exclusivos e eventos não mutuamente exclusivos.
Eventos mutuamente exclusivos
Exemplo 9: Joga-se três moedas 10 vezes. Qual a probabilidade de se obter exatamente duas caras ou exatamente
três caras.
Eventos não mutuamente exclusivos
Exemplo 10: Uma pesquisa realizada em uma sala de aula com 50 alunos observou que 25 alunos praticam futebol,
20 alunos praticam natação, 05 praticam futebol e natação, e 10 alunos não praticam esportes regularmente. Qual a
probabilidade de um aluno desta turma, escolhido ao acaso, gostar de natação ou futebol?
Sugere-se que, somente após a discussão de problemas desses dois tipos em sala de aula o professor apresente as
expressões: P(A ou B) = P(A) + P(B) para eventos mutuamente exclusivos e P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) pra
eventos que não são mutuamente exclusivos.
Como avaliar
Neste tópico é importante avaliar se os estudantes adquiriram as habilidades de: calcular a probabilidade de um
evento, revolver problemas que envolvam o cálculo da probabilidade de um evento, calcular a probabilidade de
ocorrer um ou outro evento, e calcular a probabilidade de ocorrer um e outro evento.
Neste tópico de probabilidade em particular, a participação dos alunos nas discussões dos exemplos desenvolvidos
pelo professor em sala de aula é fundamental. Portanto sugere-se que o professor utilize a participação do aluno
nestas discussões como forma de avaliação. O acompanhamento desta participação pode se dar através de textos
redigidos pelos alunos ao final da aula sintetizando o conteúdo discutido, e as resoluções apresentadas pelos alunos
aos exemplos discutidos em sala de aula. Observa-se também que nem todas essas sugestões de avaliação devem
implicar em pontuação para os alunos, pois essa avaliação também pode fornecer parâmetros para o professor
redirecionar seus trabalhos, se este for o caso.
Além disso, dentre as várias formas possíveis de avaliação, a utilização de itens (questões) é uma das que permite
avaliar se o aluno adquiriu uma ou todas as habilidades citadas acima. Neste tipo de avaliação, é interessante utilizar
itens que envolvam somente uma habilidade e outros que envolvam mais do que uma habilidade. O próximo
exemplo, retirado da prova do SIMAVE/SAEB 2003, ilustra uma questão de cálculo de probabilidades, sendo que ela
pode ser resolvida através da enumeração explicita de todos os casos possíveis e favoráveis.
Exemplo: lançando-se três moedas simultaneamente, qual é a probabilidade de se obter três caras?
Orientação Pedagógica: Probabilidade
Currículo Básico Comum - Matemática Ensino Médio
Autor(a): Michael Spira
Centro de Referência Virtual do Professor - SEE-MG/2008