Index
CÓDIGO COMPUTACIONAL LTSN - 1A VERSÃO
Gilberto Orengo(1,2), Marco T. Vilhena(1) , Daniel Beck(1) e Glênio Gonçalves(1)
(1)
Departamento de Engenharia Nuclear - DENUC
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PROMEC
Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS
(2)
Endereço para correspondência:
Rua do Rosário, 132
97010-430 Santa Maria, RS, Brasil
E-mail: g.orengo@via-rs.net
RESUMO
O objetivo deste trabalho consiste em apresentar a primeira versão de um código
computacional para resolver problemas em teoria de transporte utilizando a formulação do método
LTSN, em geometria plana. O código incorpora todos os avanços atuais do método LTSN, tais como,
capacidade de resolver problemas de transporte, tanto direto quanto adjunto, com fonte arbitrária,
para elevada ordem de quadratura em multigrupos. Cálculo de criticalidade, como keff e dimensão
crítica. Além do código em si, são propostos alguns avanços para o método, entre eles o uso do
método iterativo para solução do sistema de equações condições de contorno, que reduziu
consideravelmente o tempo computacional. Foram utilizados todos os recursos modernos da
linguagem Fortran(Fortran 90/95), permitindo com isto uma otimização dos algoritmos, bem como
facilidade de atualização do mesmo. Para validar os resultados, alguns resultados numéricos são
apresentados.
Keywords: LTSN method, transport theory.
I. INTRODUÇÃO
No estudo da teoria de transporte o interesse é
determinar a distribuição de partículas (nêutrons e/ou
fótons) num meio, levando em conta o movimento das
mesmas e suas interações com o meio. As raízes da teoria
de transporte estão na equação de Boltzmann [1,2],
inicialmente formulada para o estudo da teoria cinética dos
gases. Nos anos 40, com S. Chandrasekhar [3], o estudo de
transporte de radiação em atmosferas estelares teve seu
início, especialmente na procura de técnicas de solução da
equação de transporte de radiação. Estes e outros fatos
históricos que apresentam a relevância e avanços em teoria
de transporte podem ser encontrados nas referências[4-6],
bem como nas acima citadas.
Uma importante contribuição foi incorporada ao
estudo de fenômenos de transporte no início dos anos 90: o
surgimento do método LTSN [7,8], que resolve de forma
analítica a aproximação SN do problema de transporte,
aplicando a transformada de Laplace na variável espacial
em um domínio finito.
O método LTSN consiste, basicamente, na aplicação
da transformada de Laplace no sistema de equações
diferenciais ordinárias gerado pela aproximação SN. Disto
resulta um sistema de equações algébricas, cuja matriz dos
coeficientes contém a variável “s”. Então, fazendo-se a
inversão desta matriz, seguida da aplicação inversão da
transformada de Laplace, encontra-se a expressão para o
fluxo angular. Para a inversão da matriz dos coeficientes,
vários métodos foram desenvolvidos com o objetivo de
encontrar uma fórmula analítica. Primeiramente, Barichello
[9] propôs um algoritmo utilizando a estrutura da matriz
LTSN linearmente anisotrópica e o conceito de matriz
inversa. A seguir, esta formulação foi generalizada para o
caso anisotrópico por Oliveira [10]. Uma aproximação
alternativa para este procedimento foi desenvolvida por
Streck [11], que usou o método de Trzaska [12] para a
inversão de uma matriz do tipo (sA + B), na resolução do
método PN. Mas estes métodos tinham uma limitação, só
forneciam boas respostas em problemas com pequena
ordem de quadratura (N < 22) ou pequeno grau de
anisotropia [13]. Para contornar esta dificuldade,
inicialmente Cardona [14] usou o método de
particionamento para inverter a matriz LTSN associada a um
problema isotrópico. Este método foi implementado por
Brancher [13], chegando a N=400. Mais tarde, surgiu a
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idéia de um método recursivo [15-17] para inverter uma
matriz simbólica (sI + A), combinando a decomposição de
Schur e o método do particionamento, com ordem de
quadratura N até 400 em um supercomputador (CRAY YMP/2E e/ou J9/32). Levando em conta que a matriz A
associada à matriz simbólica (sI + A) é não degenerada,
Segatto, Vilhena e Gomes [18] fizeram a decomposição de
A em uma matriz diagonal, que propiciou trabalhar com
problemas com ordem de quadratura muito elevada (N ≈
1000), em um microcomputador tipo PC. Para evitar o
problema de overflow devido ao caráter exponencial da
solução LTSN para problemas envolvendo elevadas ordens
de quadratura ou grandes espessuras de placas, Barichello
[19] propôs uma mudança de base na solução, trocando x
por x - a para os termos exponenciais positivos, onde a é a
espessura da placa. Este procedimento funciona muito bem
para problemas homogêneos, mas é ineficiente para
problemas não homogêneos porque há uma transferência do
problema de overflow para o termo de fonte. Recentemente,
Gonçalves[20,21] propôs uma nova formulação para a
solução LTSN que leva em conta a propriedade de
invariância das direções discretas. Fisicamente isto significa
considerar equivalentes partículas deslocando-se da direita
para a esquerda (µi < 0) e partículas deslocando-se da
esquerda para a direita (µi > 0). Com isso, o problema de
overflow foi completamente eliminado. Outra importante
contribuição foi de Pazos [22-24], que provou a
convergência do método LTSN. Com isso o controle na
precisão é possível, isto é, à medida que a ordem de
quadratura (N) cresce, o resultado obtido se aproxima do
valor exato, a menos de erros inerentes a problemas
computacionais (arredondamentos e/ou truncamentos). Uma
comparação dos métodos de inversão matricial para
problemas (sA + B) em problemas de transporte, pode ser
encontrado no trabalho de Gomes [25] e uma revisão
atualizada e detalhada sobre o método LTSN no recente
trabalho de Segatto e Vilhena [26].
Existe uma grande quantidade de estudos realizados,
e em andamento, quanto à aplicação do método LTSN,
mostrando com isso que o método é eficiente na solução de
problemas como:
1) resolução de problemas unidimensionais com meio
homogêneo e heterogêneo [27],
2) com multigrupos de energia [28],
3) com espalhamento anisotrópico[15] e, com e sem
simetria azimutal [16,29],
4) transferência radiativa [16,26],
5) criticalidade (keff e espessura crítica)[30-32],
6) função importância, através do cálculo adjunto [20],
7) dosimetria.
Portanto, o estágio atual de desenvolvimento do
método LTSN motivou a construção de um código
computacional reunindo todas as vantagens proporcionadas
pelo método, dentre as quais se ressalta o caráter semianalítico, que proporciona cálculos com controle de erro.
Neste sentido, este trabalho relata o desenvolvimento de
uma primeira versão do código Código LTSN (ou LTSN
Code), para cálculo de transporte unidimensional utilizando
a formulação LTSN.
O restante deste artigo está dividido da seguinte
forma: a seguir será apresentado a formulação LTSN para
problemas envolvendo transporte de nêutrons; logo após
será abordado os avanços propostos para o método LTSN,
bem como a descrição do Código LTSN. Finalmente serão
apresentados os resultados numéricos e as conclusões.
II. O MÉTODO LTSN
Para formalizar o método LTSN, partimos da
equação de transporte na forma SN-multigrupos:
Σt
d
1 G N L
ψ gi ( x) + g ψ gi ( x) =
∑∑ Σ g´gϖ jψ g´ j ( x)
dx
µi
2µ i g ´=1 j =1
N
x g ( x) 1 G
S gi ( x)
, (1)
+
v
Σ
∑
g ´ f g ´ ∑ ω jψ g ´ j ( x ) +
2k eff µ i g ´=1
µi
j =1
onde ψgi é o fluxo na direção i e energia g na posição x, Σtg
é a seção de choque macroscópica total para o grupo g, µi e
ωi são, respectivamente, as raízes e os pesos da quadratura
angular, Σg´g é a seção de choque macroscópica de
espalhamento, Σf é a seção de choque macroscópica de
fissão Sgi representa o termo de fonte externa, χg é o
espectro de fissão para o grupo g e νg´ o número médio de
nêutrons oriundos d fissão. Esta equação fornece um
conjunto de GN equações diferenciais ordinárias de
primeira ordem, com as condições de contorno
N
⇔µ >0
2
N
ψ g ( n + N − 2) (a ) = g gn , n = 1 : ⇔ µ < 0.
2
ψ gn (0) = f gn , n = 1 :
(1a)
(1b)
que na forma matricial assume a forma:
d
Φ( x) + B Φ ( x) = Q( x) ,
~
dx ~
~
(2)
com as condições de contorno, agora escritas como
Φ(0) = f
~
Φ (a) = g ,
e
~
~
(2a)
~
onde B é uma matriz GN x GN, cujos elementos
armazenam os dados nucleares do problema, e.g., as seções
de choque. Aplicando a transformada de Laplace à Eq. (2) e
fazendo uma simples manipulação, temos que o fluxo
transformado é:
Φ( s ) = ( s I − A) −1 Φ(0) + ( s I − A) −1 Q( s ),
~
~
~
~
~
~
~
(3)
Index
onde I é a matriz identidade e A = -B. O fluxo angular é
obtido pela inversa da transformada de Laplace, ou seja:
{
}
{
}
Φ ( x) = L−1 ( s I − A) −1 Φ (0) + L−1 ( s I − A) −1 * Q( x), (4)
~
~
~
~
~
~
~
onde o asterisco denota a convolução. Uma formulação
semelhante é obtida para a função adjunta (ou fluxo
adjunto), basicamente trocando-se o µ por -µ. Uma
descrição detalhada desta parte do método LTSN se
encontra nas Ref. [26,33].
O estudo de criticalidade (fator de multiplicação
efetivo e dimensão crítica) através do método LTSN é
também possível. Para tanto é necessário resolver uma
equação transcedental obtida pela aplicação das condições
de contorno[30-32]. A aplicação da formulação LTSN num
problema de placa plana heterogênea (multi-regiões) de K
regiões, sujeita a G grupos de energia e à aplicação das
condições de contorno do tipo vácuo e de continuidade dos
fluxos angulares, nas interfaces entre regiões origina o
sistema homogêneo,
AΦ
k*
~ ~ GN
[]
(0) = 0
k
,
(5)
~ GN
onde k = 1:K e Φk*GN(0) é o vetor de KGN componentes
que representam os fluxos angulares modificados nas k
regiões e g grupos de energia, em cada uma das regiões e, A
é a matriz (KGN x KGN) obtida pela aplicação das
condições de contorno e de continuidade para o fluxo
angular nas interfaces do problema. O sistema linear
homogêneo acima apresenta solução não-trivial se, e
somente se,
det( A) = 0 .
~
(6)
~
Para outros tipos de condições de contorno
homogêneas aplica-se o mesmo procedimento acima.
III. AVANÇOS AO MÉTODO LTSN E O CÓDIGO
LTSN
O vetor condição de contorno Φ(0) não está
completamente determinado, porque somente N/2
componentes, referentes a µ > 0, são conhecidas. As outras
N/2 condições para µ < 0 devem ser obtidas através da
solução de um sistema algébrico de equações lineares a
partir das condições de contorno em x =a. O Método de
Eliminação Gaussiana é utilizado para solução deste sistema
de equações. O esforço computacional deste método é
obtido somando-se o número de operações necessárias para
resolver um sistema triangular. Assim, na aplicação do
Método de Eliminação Gaussiana na resolução de um
sistema com n equações e n incógintas, o
número total de operações é da ordem n3 para n grande. Se
o sistema não é triangular, no método de eliminação são
necessárias mais que 68 vezes o exigido no caso triangular.
O peso maior no esforço computacional do método deve-se
às operações realizadas na eliminação, pois o processo de
eliminação é responsável pelo termo cúbico do esforço
computacional. Com isso, a propagação de erros de
arredondamentos também cresce da ordem n3. No sentido
de avançar mais no método LTSN, foi proposto a
substituição do Método de Eliminação Gaussiana por um
método iterativo, tendo em vista que a matriz LTSN tornase grande para altos valores de N e g. Em geral, os métodos
iterativos são convenientes para sistemas grandes e/ou
esparsos. Outra consideração importante é que o Método de
Eliminação Gaussiana pode destruir faixas de zero,
enquanto o método iterativo preserva os zeros do sistema.
Mas, como nem tudo é perfeito, existem algumas condições
para garantir a convergência da sequência de aproximações,
calculadas por métodos iterativos.
O método iterativo escolhido foi o Método
“Reiniciado” Resíduo Mínimo Generalizado (Restarted
Generalized Minimum RESisdual -- RGMRES). O principal
motivo desta escolha foi que o mesmo satisfaz a solução
esperada e está presente no pacote computacional PIM
[34,35], na versão Linux, sistema operacional no qual foi
construído a primeira versão do código.
Além deste avanço, é importante ressaltar que outra
modificação foi executada, na varredura em busca da
mudança do sinal do determinante da matriz dos
coeficientes, antes da entrada no Método da Bissecção no
cálculo de criticalidade. Estes dois avanços fecham o
método LTSN, para estudos de criticalidade, com
autovalores reais (ou imaginários puros) utilizando o
Método da Bissecção.
O Código LTSN: o código foi desenvolvido em Fortran
90/95, inicialmente para uma plataforma Linux. A parte
principal do código é o programa LTSN, que está dividido
em três módulos, que são:
1. LTSN1.f90: onde estão as sub-rotinas para
leitura dos dados de entrada;
2. LTSN2.f90: é o núcleo (kernel) do código, é
onde se localizam todas as sub-rotinas de cálculo
- caso dos fluxos angulares e escalares, tanto
direto como adjuntos; e problemas de
criticalidade.
3. LTSN3.f90: módulo que contém as sub-rotinas
de saída de dados.
Estes três módulos são compilados juntos para gerar
o executável do código LTSN.
As sub-rotinas usadas para a inversão da matriz (sI A) foram extraídas da LAPACK [36] e reunidas numa
biblioteca a parte, chamada libltsn.for. Foram utilizados os
recursos mais modenos da liguagem Fortran, tais como,
MODULE, INTERFACE, ALLOCATABLE, entre outros.
A saída de dados contemplará, além dos resultados
formatados e localizados num arquivo de saída "OUTPUT",
saídas formatadas para uso em LaTeX e em softwares de
manipulação para geração de gráficos. Os gráficos terão
uma saída especial através da biblioteca DISLIN[37], que
permite a visualização de gráficos a partir do Fortran.
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IV. RESULTADOS NUMÉRICOS E CONCLUSÕES
Dentre os vários problemas resolvidos em
neutrônica, um foi escolhido para ser, para mostrar o uso do
código LTSN, a reprodução parcial dos resultados do
problema resolvido da Ref.[33].
Este demonstra a convergência numérica da solução
LTSN para problemas adjuntos de transporte, neste exemplo
é calculada a solução adjunta escalar, em uma posição fixa
(x = 15 cm), para várias ordens de quadratura. O problema
a ser resolvido é monoenergético, com espessura de placa x0
= 150cm e com fonte adjunta exponencial (Q*(x) = e-0,5x),
delta e gaussiana (Q*(x) = e-0,5(x-75)**2). A seção de choque
macroscópica total é Σt = 2,9664cm-1 e os coeficientes do
kernel de espalhamento são Σs0 = 2,8876cm-1 e Σs1 =
1,2781cm-1. Os resultados são mostrados na Tabela 1. Os
cálculos foram realizados num computador tipo PC Pentium
III-866MHz/256MB.
TABELA 1. Resultados Numéricos para Fontes
Exponencial, Delta e Gaussiana, na Solução Adjunta
N Fonte Exponencial Fonte Delta
2
4
10
20
30
40
50
80
100
200
300
400
500
0,016279468
0,016419778
0,016422130
0,016422425
0,016422480
0,016422482
0,016422492
0,016422507
0,016422508
0,016422508
0,016422510
0,016422511
0,016422511
Fonte Gaussiana
0,170275165
0,170490076
0,170489518
0,170489519
0,170489529
0,170489575
0,170489634
0,170489624
0,170489630
0,170489640
0,170489641
0,170489642
0,170489642
0,520868678
0,519563301
0,519554154
0,519555191
0,519555211
0,519555210
0,519555224
0,519555255
0,519555264
0,519555272
0,519555275
0,519555275
0,519555275
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Os autores são gratos ao CNPq (Conselho Nacional
de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e
CNEN(Comissão Nacional de Energia Nuclear) pelo
suporte parcial a este trabalho.
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guide,
último
2000.
acesso:
ABSTRACT
The aim of this work consists to present the first
version of a code to solve problems in transport theory
using the formulation of the LTSN method, in slab
geometry. The code incorporates all the current progresses
of the LTSN method, such as, capacity to solve transport
problems, so much direct as adjoint, with arbitrary source,
for high order quadrature in multigroups. The criticality
calculation, as keff and critical dimension is available. Also,
are some proposed progresses for the method, the use of the
iterative method for solution of the system of boundary
condition equations, that reduced the computational time
considerably. The Fortran 90 language were used. To
validate the results, some numeric results are presented.
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