Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015
Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015
© APMTAC, Portugal, 2015
MODELO MATEMÁTICO ESTATÍSTICO-GENÊTICO DE BOLZMANGIBBS DE DISTRIBUIÇÃO DOS DIAMANTES NOS KIMBERLITOS
POR MASSA DOS SEUS CRISTAIS
Vladimir Zinchenko1 , Victor Dech2 , João T. Felix2
1: CATOCA Ltd., Departamento de Geologia
Av. Talatona, Luanda, Angola
e-mail: [email protected], web: http://catoca.com
2: Departamento de Petrologia e Departamento de Geologia
Faluldade de Geologia, CATOCA Ltd.
Universidade de São-Petersburgo
Av. Universitetskaya Naberejnaya 7-9
e-mail: [email protected], [email protected], web: http://spbu.ru
Palavras-chave: Diamante, Cristal, Distribuição estatistica, Equação, Reservas
Resumo. O presente artigo fornece os resultados de estudo do modelo matemático da
distribuição dos diamantes por classes da sua massa nos kimberlitos do NE de Angola –
chaminés de Catoca e Tchiuzo. O estudo foi realizado com base da lei geogenética que
possibilitou estabelecer a lei matemática de crescimento dos cristais de diamante por sua
massa, isto é a lei exponencial. Aplicação da estatística termodinâmica e as equações de
Bolzman-Gibbs e Bose-Einstein permitiu diminuir o «efeito de pepita» e estabelecer o
algoritmo fededigno de cálculo dos teores e reservas dos diamantes nos jazigos de
kimberlito.
1. INTRODUÇÃO
As reservas geológicas dos diamantes estão a definir fundamentalmente os parâmetros da
EVTE, o nível de produção do projecto industrial diamantífero e também o nível do seu
potencial de investimento. O maior projecto determina a maior responsabilidade na avaliação
das suas reservas geológicas e industriais de diamantes. O problema-chave nessa área
apresenta-se como optimização do modelo matemático de distribuição de diamantes nos
kimberlitos por classes da massa e deminuição do «efeito de pepita» [1]. A solução efectiva
desse problema baseou-se na lei geogenética do acadêmico Russo Dmitryi Rundquist, que
mostrou a relação genética entre indivíduos minerais e suas agregações que reflecta as
particularidades mineragênicos da formação dos gazigos minerios. Em outras palavras,
conforme essa lei, ontogênese dos indivíduos minerais reflecta a filogênese das suas
argegações na crosta terrestre [2,3]. Com base dessa formula, foi analizado o estado físico dos
átomos de Carbono e sua transformação ao estado cristalino dentro do meio mantélico com
parâmetros da «janela diamantífera» [4,5,6]. É evidente que as particularidades da estrutura
externa e interna dos cristais de diamante «gravavam» o algoritmo do crescimento da sua
massa, que definiu a concentração seguida os mesmos no minério kimberlítico.
Vladimir Zinchenko, Victor Dech, João T. Felix
2.
A LEI DE CRESCIMENTO DOS CRISTAIS DE DIAMANTE
A base lógica, aplicada no estudo da lei de distribuição de diamantes por sua massa nos
kimberlitos, que é diferente com a lógica da modelagem geoestatísctica, foi nomeada por
método de probabilidade genética [7]. Conforme essa lógica, a formação dos cristais de
diamante por átomos de C realiza-se através da ligação química covalente, cuja
estequiometria defina-se por orientação tetraédrica das orbitas dos seus valentes eléctrones
[8]. Com base nos dados obtidos pelo estudo RX-estrutural [9] foi mostrando que o aumento
da quantidade dos átomos de C depende do tamanho dos poliedros de coordenação da forma
octaédrica e é proporcional ao raio do cristal de diamante da mesma forma – (Rpc) (Figura 1)
[10]:
Nаt = 1,32×(Rpc) 2,7 , ou
(1)
Ln(Nаt/1,32)/LnRpc = ℮,
(2)
onde N at – quantidade dos átomos de C, Rpc – raio do poliedro de coordenação (Angström,
Å), ℮
2,7 = exp – exponente. A equação apresentada testemunha que na fase de
crescimento dum cristal de diamante por direcção de <111> a quantidade dos átomos na sua
reticula cristalina aumentou-se por a lei exponencial com aumento do seu tamanho/raio.
N аt
y = 1,32x2,7
R² = 0,996
1200000
1000000
800000
600000
400000
200000
Rpc, Å
0
0
50
100
150
Figigura 1. Numero dos átomos de C (Nat ) na reticula cristalina de diamante versus raio do poliedro de
coordenação (Rpc) [10]; a linha vermelha é o gráfico teórico, cuja equação é Nat =1,32×Rpc2,7
(Ln(Nat /1,32)/Ln Rpc = ℮); R2 – coeficiente de determinação (segundo dos dados de [9]).
Nesse porocesso os valentes eléctrones dos hibridizados átomos de carbono receberam a
energia por os quantos, quer dizer, ligação química na construção da reticula cristalina de
diamante tinha a natureza quântica [11]. Por isso, o aumento da massa dum cristal de
diamante, que apresenta-se como uma «macromolecula» de C, realizava-se pela mesma lei
exponencial e pelo mesmo mecânismo de quantos. Esta tese verifica-se pelos resultados da
UF- e CL-tomografia dos cristais de diamante, apresentados o carácter parcial do crescimento
estratiforme dos mesmos [12,13] (Figura 2). As particularidades ontogenéticos apresentados
estão a fundamentar a lei genética de distribuição dos cristais de diamante por sua massa,
que corresponde à natureza do seu crescimento. A analise granulométrica que é a procedura
de «filtração» dos cristais de diamante pelo tamanho/massa, obrigatoriamente estabelece este
2
Vladimir Zinchenko, Victor Dech, João T. Felix
facto – a lei exponencial da sua destribuição por classes de massa. Esta lei característica para
os diamantes no meio mantélico do seu nascimento, como mostrou o estudo realizado,
manifesta-se tambem e nos diamantes dos kimberlitos.
α
γ
β
а
b
c
Figura 2. Zonas de crescimento normal pelo {111} e zonas quase homogêneas nos cristais octaédricos de
diamante, segundo os dados da UF tomografia (а, c) e da luz polarizada (b): α – zona central, β – a intermedia, γ –
a periférica (а – segundo [13]; b – diamante do kimberlito de Catoca, N×; c – segundo [12]).
3. MODELOS MATEMÁTICOS
DIAMANTE POR SUA MASSA
DISTRIBUIÇÃO
DE
DOS
CRISTAIS
DE
Nos termos de termodinâmica estatística (TE) [14] a migração dos átomos de C dentro do
reservatório mantélico e sua passagem para o «sistema» de cristalização de diamante tinham
o caracter de quanto. Por sua raridade nas rochas/fusões ultrabásicas, os átomos de C
migravam separadamente e não criaram as ligações antes do processo de cristalização. De tal
modo, o «gás carbónico» no sistema de geração de diamantes possuiu as particularidades do
gás ideal, cujos parâmetros caracteristicos estão apresentados na TE. A fusão parcial do
substrato mantélico possibilitou ao migração dos átomos de C para os centros de cristalização
de diamante, cujos certos índices foram detectados nas rochas mantélicas do kimberlito de
Catoca [7]. Pesquisa das estruturas matemáticas correspondentes às particularidades naturais
da cristalização de diamante, realizada por autores, mostrou que os mais efectivos modelos
aplicáveis no estudo de distribuição dos diamantes por sua massa nos kimberlitos são os
modelos de TE [10,15,16,17]. Foram estudados os dados da analise granulométrica de 7988
cristais de diamante do peso total de 48523,6 mg da classe pesométrica de +0,5-590,6 mg,
extraídos das 1056 amostras geológicas dos kimberlitos de Catoca, e foi estudada a estrutura
da sua distribuição nos mesmos por classes da massa. Foi demostrando que esta estructura
realmente corresponde às distribuições estatísticas de Bоse-Einstein (BE) e de Bolzman-Gibbs
(BG) (Figura 3). Os resultados analógicos confirmados os referidos foram recebidos no
estudo dos modelos matemáticos da distribuição de diamantes nos kimberlitos das chamines
de Tchiuzo (Angola) e de Griba (Rússia). Experimentalmente aprovado que a distribuição
dos nanodiamantes da origem de detonação por seu tamanho também corresponde à
distribuição de BE [18]. De notar que a distribuição dos diamantes nas rochas metamórficas
da gênese de impacto do astroblema de Popigai é parecida com distribuição de BE [19], o que
confirma as conclusões, anteriormente apresentadas.
3
Vladimir Zinchenko, Victor Dech, João T. Felix
200 00
350
Massa Ɲ l Ml, mg
Numero dos cristais Ɲl
da massa de Ml
180 00
300
250
200
150
100
160 00
140 00
120 00
100 00
800 0
600 0
400 0
200 0
50
0
0
0 80 160240320400480560640720800880960
0 80 160240320400480560640720800880960
Classes da massa
(Ml), mg
Classes da massa
(Ml), mg
a
b
Figura 3. Gistogramas Nj P(M j )=Nl e M j Nj P(M j )=M l Nl , correspondentes da estatística de Bolzman-Gibbs,
caracterizadas da distribuição dos diamantes da chaminé de Catoca pelo teor (massa, mg/T) (b) e o número dos
cristais (a): linhas azuis – curvas empíricas, linhas de cor de rosa – curvas teóricas (BG-aproximação) [17].
Foi também estudada a distribuição dos diamantes de Catoca por classes da massa pelos
complexos petrogenéticos dos kimberlitos: brechas magmáticas – BKM, BKMMc, BAK;
brechas vulcânico-eruptivas – BКТ-2, BКТ-1 e BCX; vulcânico-sedimentares «híbridas» –
КZT e RVS. Os modelos analíticos correspondentes estão apresentados na Figura 4 (junto
com a Legenda), que demonstra as distribuições de BE, aranjadas por massas dos grãos de
diamante (mg) nas diversas classes de peso:
f jmj = < nj>mj = mj/{exp ( +  m j)-1}
(3)
O alto grau de semelhança dos gráficos apresentados confirma à única fonte de geração das
populações dos diamantes dos diferentes complexos dos kimberlitos, o que testemunha a
favor da hipótese xenogênica da formação dos diamantes no único volume do espaço
mantélico. Os resultados semelhantes foram obtidos para as populações dos diamantes dos
vários tipos petrogenéticos dos kimberlitos da chaminé de Tchiuzo (Figura 4,b).
Com base nos estudos realizados foi tirada a seguinte conclusão: o crescimento da massa dos
cristais de diamante por {111} ocorreu do modo exponencial, o que definiu a sua distribuição
nos kimberlitos por teores (mg/T) correspondente à distribuição de BG, e por classes de
tamanho (de massa) – à distribuição de BE.
Estudo dos modelos matemáticos de distribuição dos diamantes nos kimberlitos e dos seus
parâmetros possibilitou avaliar o estado do sistema de geração dos diamantes nos termos de
entropia termodinâmica St com base na metodologia do acadêmico Rússo Nikolai Yuchkin
[20]. No grafico (Figigura 5) está apresentada a dependência da entropia da massa média dos
cristais (mj), calculada para as populações dos cristais acima referidas dos diversos complexos
petrogenéticos dos kimberlitos de Catoca, cuja equação é:
St = Σ j(p(m j) lnp(m j))
(4)
Esta equação demonstra que nas coordenadas «S–<m>» os pontos, definidos essa
dependência, ficam aproximados pela função linear. Isso possibilita afirmar que a derivada
4
Vladimir Zinchenko, Victor Dech, João T. Felix
S/<m>, que é proporcional ao 1/ («temperatura estatística»), pode ser considerada como
uma constante:
St /<m>~1/, onde 1/ – é a temperatura estatística
(5)
A releção optida (Figura 5) certifica que os cristais dos diamantes destas populações foram
formados no meio único da sua geração, nas condições térmicas bastante estáveis. Por outro
lado, a diminuição direcionada do valor de entropia S do complexo magmático abissal
profundo de BAK de diatrema para complexos hipoabissais de BKM e BKMMc, e para
30
25
30
m<n j>, mg/T
m<n j>, mg/T
15
КБМBKM
10
КЗПKZT
BKT
КТБ+
5
КБМ-1
BKM-1
35
Som
АКБBAK
BKMMc
CлКмб
сводн
20
ВОП
RVS
BKA-4
АКБ-4
25
20
BKM-3
КБМ-3
15
10
BKM-2
КБМ-2
5
0, 58
ВОП
КТБ+
КЗП
КБМ
CлКмб
АКБ
сводн
171,17
Massa dos cristais, mg
444,44
42,33
87,64
10,60
21,58
2,69
0
5,35
0,54
1,88
0
2,78
10,63
39,25
Massa dos cristais, mg
aа
bb
Figura 4. Distribuição dos teores dos diamantes por classes da massa < n j >mj =mj /(exp (mj – ) – 1) nos
diversos complexos dos kimberlitos da chaminé de Catoca correspondente à estatística de BE. Legenda: Som –
população geral dos diamantes ; BKT+ – população dos diamantes dos complexos de BKТ-1, BКТ-2 e BCX;
BKA – brechas kimberlíticas autolíticas; BKM – brechas kimberlíticas maciças; BKMMc – brechas
kimberliticas maciças micáceas (а); distribuição dos teores dos diamantes por classes da massa nos diversos
complexos dos kimberlitos da chaminé de Tchiuzo, correspondente à estatística de BE [7].
1,84
Som
Entropia (St)
1,82
BAK
BRMMc
1,8
1,78
1,76
BKM
KZT
1,74
RVS
1,72
BKT +BCX
1,7
4,5
5
5,5
6
6,5
7
Massa media dos cristais - m j , mg
Figura 5. Relação «Entropia, S (por Shenon) versus Massa media, mj » dos cristais dos diamantes das
populações dos complexos poligênicos dos kimberlitos de Catoca, que testemunha o regime térmico estável da
sua cristalização. Legenda – veja Figura 4, [7].
5
Vladimir Zinchenko, Victor Dech, João T. Felix
complexos craterais eruptivos de BKT e BCX até o complexo «hibrido» de RVS, é
proporcional à diminuição da massa média dos cristais. Isto indica à influência das condições
petrofacials do magmatismo kimberlítico ao mecanismo de concentração dos mesmos nos
kimberlitos, i.e. o mecanismo da mineragénese kimberlítica.
4.
CONCLUSÕES
Os resultados obtidos possibilitam tirar a conclusão importante que iguala ambas as
hipóteses de geração dos diamantes no processo magmático kimberlítico – uma xenogenica
(mantélica) e outra segregativa (crostal). Estes resultados testemunham que os diamantes dos
kimberlitos – é o resultado da sua germinação, crescimento e distribuição dos seus cristais no
espaço único mantélico (intratelúrico) da geração. A distribuição primária foi herdada no
processo da subida da fusão magmática kimberlítica para superfície da litosfera e na formação
duma chaminé kimberlítica. Este raciocínio foi confirmado pelos estudos detalhados
cristalomorfológicos dos diamantes dos kimberlitos poligênicos do NE de Angola [7,10,21].
Com base no estudo e na auditoria dos teores medios e das reservas dos diamantes, realizados
pelos autores nos jazigos de Catoca e de Tchiuzo, estas reservas, calculadas com base nos
modelos de BE e BG, foram aumentadas em 30,4x106 e 3,4x106 de quilates, respectivamente.
Isto aumentou a capitalização do projecto Catoca, e a produção dos diamantes cresceu de
4,5x106 de quilates em 2006 até 5,5x106 de quilates em 2007. No ano de 2014 o projecto
Catoca produziu cerca de 6,5x106 de quilates o que constituiu 76% da produção total do
sector diamantífero da indústria mineira de Angola.
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7