X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO UMA ALTERNATIVA DE ENSINO DO
TÓPICO FUNÇÃO EXPONENCIAL: COMPARAÇÃO COM O ENSINO
TRADICIONAL DO MESMO TÓPICO
Edson Rodrigues Carvalho1
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
[email protected]
Lilian Milena Ramos Carvalho2
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
[email protected]
Ana Regina Pires Calfa3
Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
[email protected]
Silvia Gomes Alves 4
Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
[email protected]
Resumo: Neste trabalho, desenvolvido no âmbito do Grupo de Estudos e Pesquisas em
Ensino de Matemática da Universidade Federal da Grande Dourados (GEPEM-UFGD),
utilizamos a Resolução de Problemas como uma metodologia alternativa para ensinar
funções exponenciais aos alunos do ensino médio da Escola Estadual Menodora Fialho de
Figueiredo. A estratégia de ação consistiu em tomar por base a Resolução de Problemas,
utilizando como tema o jogo Torre de Hanói, como uma ferramenta usada na obtenção de
situações problemas, visando implementar conceitos do tópico abordado. Pretende-se,
ainda apresentar as bases da metodologia de resolução de problemas, mostrar como
devemos utilizá-la, como um método de ensino e aprendizagem e qual a sua diferença do
ensino tradicional.
Palavras-chave: Resolução de Problemas; Função Exponencial; Ensino Tradicional; Torre
de Hanói.
INTRODUÇÃO
Hodiernamente, há uma exigência de que a matemática deva ser ensinada em
oposição ao ensino tradicional, de tal forma que o que aprende possa estabelecer uma
relação entre ela e os problemas do dia a dia. Em decorrência dessa exigência, as
discussões no campo da Educação Matemática no Brasil e no mundo mostraram que o
1
Orientador do PROLICEN/UFGD
Orientadora do PIBID/UFGD E Co-orientadora do PROLICEN/UFGD
3
Bolsista do PROLICEN/UFGD
4
Bolsista do PIBID/UFGD
2
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trabalho escolar deveria se adequar às novas tendências. Segundo os PCN’s “os
movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil, a partir dos anos 20, não
tiveram força suficiente para eliminar o caráter elitista deste ensino, bem como melhorar
sua qualidade” (PCN, 1998,p.19). Em nosso país, o ensino de matemática ainda é marcado
pelos altos índices de retenção e pela excessiva preocupação com o treino de habilidades e
mecanização de processos sem “compreensão”.
Assim, é importante destacar que (PCN, 1998):
As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam
capacidades de natureza pratica para lidar com a atividade matemática, o
que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações,
tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a
aprendizagem apresenta melhor resultado.
(PCN,1998,p.37)
Dessa forma, quando ensinamos a partir de uma necessidade cotidiana, estaremos
também contribuindo para a formação cidadã do educando que deveria ser prioridade em
nossas escolas. O professor deveria construir o objetivo de cada disciplina, de tal forma
que contemplasse a busca pela formação interdisciplinar e crítica do aluno, interrelacionando os conteúdos das diferentes disciplinas e trabalhando os conteúdos de
maneira indagadora e não linear. Neste trabalho, queremos destacar a importância da
resolução de problemas para a aprendizagem dos alunos, por ser uma estratégia composta
de ricos componentes para boa formação dos mesmos, e também para a formação
continuada do professor.
Muitos educadores não sabem diferenciar a resolução de exercícios de resolução de
problemas, mas sabemos que são metodologias diferentes. Enquanto que na resolução de
exercícios (ou seja, metodologia tradicional) os estudantes dispõem de mecanismos que os
levam, de forma imediata, à solução, já na resolução de problemas isso não ocorre, pois,
muitas vezes, é preciso levantar hipóteses e testá-las. Dessa forma, uma mesma situação
pode ser um exercício para alguns e um problema para outros, dependendo de seus
conhecimentos prévios. Cada vez que se tem uma pergunta, se tem um problema, pois para
responder a qualquer pergunta se pratica o ato de pensar.
De acordo com ONUCHIC (1999, p.215) problema é “tudo aquilo que não se sabe
fazer, mas que se está interessado em resolver [...]”
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O objetivo de um problema é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou
lembre um conceito, um fato específico, uma definição, uma propriedade, etc. Dessa forma
o próprio educando irá perceber que, sem notar, aprendeu conceitos matemáticos.
Dessa forma, o objetivo desse trabalho é relatar uma experiência ocorrida em duas
salas do segundo ano de uma Escola Estadual de Dourados - MS, na qual foi utilizada, em
uma delas, a metodologia tradicional e na outra, a metodologia de resolução de problemas,
tendo como motivação a Torre de Hanói.
DESENVOLVIMENTO
Nesta etapa apresentaremos procedimentos da metodologia resolução de problemas,
destacando as estratégias apresentadas por (Polya, p.XII-XIII, 1977 ), estratégias estas que
nos serviram de orientação para o desenvolvimento desse trabalho. São elas: Compreensão
do problema, concepção de um plano para atacar o problema, execução do plano e
realização de uma análise retrospectiva (Figura 1).
FIGURA 1 Estratégias apresentadas por Polya para resolução de problemas
Os passos mencionados anteriormente são descritos a seguir.
1° passo: compreensão do problema:
 Em primeiro lugar, devemos compreender o problema dado, pois a compreensão do
problema é essencial para a busca da sua solução;
 Tracemos uma figura ou adotemos uma notação adequada;
 Podemos fazer algumas indagações para encaminhar o aluno na busca da solução,
como: Há alguma dúvida em relação ao enunciado? Há alguma palavra ou conceito
matemático desconhecido? Quais são os dados que o problema disponibiliza? Qual
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é a incógnita, o que o problema pede? Quais são os conceitos matemáticos
relevantes para o problema? A condição é suficiente para determinar a incógnita?
2° passo: Estabelecimento de um plano:
 Na concepção de um plano, é necessário colocar em prática alguns conhecimentos
teóricos e definir o caminho que deve ser seguido que levará o estudante à meta.
 É essencial entender porque esse caminho será seguido, e não outro; o que leva esse
caminho a ser o correto? (relembrando que há vários caminhos a seguir, mas a
questão aqui é fazer com que o aluno realmente entenda o caminho escolhido).
 E fazer-se algumas perguntas orientará para a solução, como por exemplo: Como
eu posso resolver esse problema? Quais as etapas de solução? Que hipóteses e
considerações eu preciso fazer, se necessário?
3° passo: Execução do plano:
 A execução do plano consiste em aplicar os conhecimentos matemáticos
necessários para a resolução, conferir cada passo e se possível, demonstrar que os
passos seguidos estão corretos.
 O que pode dificultar é se o aluno não possuir os conhecimentos necessários, o que
geralmente ocorre no caso de procedimentos matemáticos.
4° passo: Realizar uma análise retrospectiva
 Essa análise é para verificar se há consistência entre o que era esperado e o que foi
obtido como solução.
 Se o resultado esperado apresentou alguma novidade, porque isso ocorreu? A
solução obtida pode ser aplicada em alguma outra situação? Caso afirmativo, em
quais situações?
 O procedimento adotado para resolver o problema foi o melhor, ou o problema
poderia ter sido resolvido de outra forma? De que forma?
Acreditamos que por meio da Resolução de Problemas, o aluno tem a
“oportunidade de ampliar os seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos
matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do
mundo em geral” (PCN, 1998. p. 40), e os professores a oportunidade de possibilitar ao
aluno “um meio poderoso e muito importante de desenvolver sua própria compreensão”
(ONUCHIC, 1999, p.208).
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Podemos ver que, é verdadeira a afirmação de que a resolução de problemas
realmente desenvolve a capacidade de pensar do aluno quando conhecemos a fundo essa
alternativa de ensino, pois quando mal aplicada os objetivos almejados podem não ser
alcançados.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS UTILIZANDO A TORRE DE HANÓI:
EXPERIÊNCIA EM SALA DE AULA.
Nossa experiência ocorreu em duas salas de aula do segundo ano do ensino médio,
na mesma escola estadual. Em uma das séries ministramos uma aula tradicional sobre o
tópico “Funções Exponenciais”. Na outra, ministramos a mesma aula, mas utilizando a
metodologia de resolução de problemas, nos moldes das estratégias explicitadas
anteriormente.
Aula Tradicional:
Esta aula foi elaborada e aplicada na Escola Estadual Menodora Fialho de
Figueiredo aos alunos do 2° ano D do período vespertino. A seqüência da aula foi como
segue:
1. Definimos função exponencial e construímos seus gráficos.
2. Apresentamos exemplos de funções exponenciais.
3. Apresentamos e demonstramos suas propriedades.
4. Resolvemos alguns exercícios envolvendo função exponencial e suas propriedades.
5. Apresentamos alguns exercícios para que fossem resolvidos pelos alunos.
Como esta aula já havia sido ministrada a esses alunos há algum tempo, os mesmos
conseguiram resolver, de forma satisfatória, os exercícios propostos. Observamos que
houve bastante interesse, por parte da maioria dos alunos, pela aula ministrada. Assim, ao
término da aula indagamos aos alunos se notaram algo diferente na aula que ministramos.
A resposta foi que não havia diferença das aulas que estavam acostumados a ter. Também
perguntamos aos mesmos se entenderam realmente o conteúdo, se gostaram do que
aprenderam, todos assumiram que gostaram, mas esperavam uma aula “diferente”,
justamente por sermos acadêmicas. Explicamos a eles que o nosso objetivo naquele
momento não era usar nenhum recurso pedagógico.
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Mesmo sendo uma aula tradicional houve uma interação aluno – professor, a turma
era muito aplicada e mesmo após ter tocado o sinal para o término da aula, eles
permaneceram em suas carteiras até o término da correção dos exercícios.
Aula utilizando a resolução de problemas:
Esta aula, também, foi elaborada e aplicada na Escola Estadual Menodora Fialho de
Figueiredo aos alunos do 2° ano E do período noturno. Esta aula observou as seguintes
etapas:
Antes de apresentar a situação problema envolvendo a Torre de Hanói, mostramos
os fundamentos do jogo aos alunos, bem como sua origem relacionada a uma Lenda
curiosa e interessante sobre o mesmo.

A seguir, apresentamos aos alunos a seguinte situação problema que envolve a torre
de Hanói: Coloca-se uma tábua com três hastes A, B e C, onde são colocados n discos
perfurados, sendo os menores colocados sobre os maiores (Figura 2). Deve-se mover
todos os n discos que estão colocados na haste A até a haste C de forma que nunca um
disco maior fique colocado sobre um disco menor, utilizando a haste B que está no meio
para a transição, e esse processo deve ser realizado com o menor número de movimentos
possíveis. Que características matemáticas e qual é o menor número de vezes que se usa
para tal movimento, se o número de discos é n=5? E quando n= 6,7,8,9 ...?
FIGURA 2 Modelo da Torre de Hanói
Os passos que seguem correspondem aos enunciados por Polya, conforme
mostrados na Figura 1.
1° passo: compreensão do problema:
Apresentamos o problema mostrando e explicando as regras do jogo Torre de
Hanói para que os alunos pudessem ver o que estava sendo feito e o que teriam que fazer
para chegar à solução do problema proposto.
Então, nessa fase fizemos as seguintes indagações aos alunos:
Qual é o objetivo desejado?
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É possível chegar a tal objetivo?
Se for possível, como podemos chegar?
Será que tem alguma fórmula matemática para nos auxiliar na solução do
problema?
Após essas indagações desafiamos os alunos a jogarem para que tivessem uma
melhor visão do problema proposto.
2° passo: Estabelecimento de um plano:
Neste passo, sugerimos aos alunos que verificassem se o número de discos (n=5)
está relacionado com o número de movimentos (Mn). Esta sugestão teve êxito, pois os
alunos comprovaram que realmente o número de disco estava relacionado com o número
de movimentos, pois para realizarem a mudança dos cinco discos, tiveram que fazer os
seguintes movimentos: com 1 disco, m1 = 1 movimento; com 2 discos, m2 = 3
movimentos; com 3 discos, m3 = 7 movimentos; com 4 discos, m4 = 15 movimentos; com
5 discos m5 = 31 movimentos.
Verificamos que com 1, 2 e 3 discos o desempenho dos alunos era significativo,
pois não havia tanta dificuldade, mas com mais discos, ou seja, com 4 até 6 os alunos
tiveram muita dificuldade para concluírem a atividade proposta.
Perguntamos aos alunos se tivéssemos um número maior de discos quantos
movimentos iriam realizar? Se o número de discos fosse, por exemplo, 64, como na Lenda,
quantos movimentos seriam necessários?
Todos ficaram se perguntando e curiosos para saber o número de movimentos.
3° passo: Execução do plano:
Para auxiliá-los recomendamos que construíssem uma tabela, tal que uma coluna
constituía-se no número de disco (n), e a outra coluna no número de movimentos (Mn).
Assim, eles construíram a Tabela 1:
TABELA 1 Número de discos (n) X números de movimentos (Mn)
n
Mn
1
1
2
3
3
7
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4
15
5
31
...
...
n
Mn
A construção da Tabela 1 deu-se com sucesso, devido ao fato dos alunos
construírem a tabela jogando e verificando quantos movimentos haviam feito.
Pedimos para que os alunos observassem e analisassem a sequência formada pelos
números de movimentos; 1,3,7,15,31,... e perguntamos se existia alguma relação
matemática entre esses números.
Após alguns instantes um aluno manifestou-se dizendo que, cada elemento da
sequência é obtido pelo dobro do anterior mais um. Com essa informação escrevemos a
fórmula que nos fornece o número atual de movimentos por meio do número de
movimentos anteriores, isto é, M n
2 mn
1
1 . Pedimos que comprovassem esta fórmula
jogando novamente e utilizando sucessivamente, 2, 3 e 4 discos. Fizemos a seguir, outra
indagação, perguntando se haveria outra forma de descobrir a quantidade mínima de
movimentos com qualquer número de discos e sem saber o número anterior de
movimentos.
Posteriormente, vimos que os alunos não estavam aptos para responder a essa
pergunta e decidimos, portanto, explicar outro caminho para descobrir o número mínimo
de movimentos possíveis, visto que os mesmos haviam revisado recentemente conceitos e
definições de potenciação. Embora os alunos houvessem observado que a sequência do
número de movimentos baseava-se no dobro do número anterior de movimentos, eles não
perceberam que isso na verdade era uma potência de base 2. Procuramos, então,
estabelecer uma maneira que permitisse aos mesmos visualizarem a potência envolvida no
jogo.
Chamamos a atenção dos alunos para que comparassem a sequência do número de
movimentos da Tabela 1 com a mesma sequência agora escrita como potência de base 2,
como mostra a Tabela 2:
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TABELA 2 Comparação do número de movimentos com as potências de base 2
n
Mn
Potência de Base 2
1
1
21-1=1
2
3
22-1=3
3
7
23-1=7
4
15
24-1=15
5
31
25-1=31
E quando construímos a Tabela 2, todos constataram que realmente o número de
movimentos poderia ser escrito na potência de base 2. Logo, os alunos visualizaram que os
números de movimentos se baseava na potência de base 2 menos o número 1, assim
chegando na fórmula esperada para obtenção da solução.
Enfim, após uma discussão entre alunos e professor, definiu-se que a lei de
associação, ou seja, a relação entre o número de discos com o número de movimentos
permitidos será M n
2n 1 .
4° passo: Realizar uma análise retrospectiva
Constatada a fórmula procurada, a utilizamos para resolver o problema proposto
inicialmente. De fato, todos entenderam a dedução da fórmula de tal modo que obtiveram a
solução do problema.
Logo para n=5, temos que o número mínimo de movimentos será:
M5
25 1 31.
E na sequência, temos:
M6
26 1 63, M7
27 1 127, M8
28 1 255,
, Mn
2n 1
Assim, mostramos que a fórmula nos permite fazer os cálculos e descobrir os
números de movimentos para qualquer número de discos.
Introdução ao Estudo de Função Exponencial
Com essa motivação, passamos a definir o conceito de função exponencial.
Definição:
Dado um número real a, tal que 0 < a ≠ 1, chamamos função exponencial de base a
as funções f de IR em IR que associa a cada x real o número ax.
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Apresentamos exemplos de funções exponenciais, bem como seus gráficos.
Mostramos, por meio de exemplos, que funções do tipo f ( x)
a x b, 0 a 1 , são
também funções exponenciais, cujos gráficos apresentam um deslocamento vertical de b
unidades em relação ao gráfico de f ( x) a x , 0 a 1 . Apresentamos, a seguir, as
propriedades abaixo descritas.
Propriedades:
1°) Na função exponencial f(x)=ax, temos: x 0
(0,1) pertence à função para todo
a
IR
f (0) a0 1, isto é, o par ordenado
{1}. Isto significa que o gráfico cartesiano de
toda função exponencial desse tipo, corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
2°) A função exponencial f(x)=ax é crescente (decrescente) se, e somente se, a>1(0<a<1).
Portanto, dados os números reais x1 e x2 ,temos:
I) Quando a >1: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
II) Quando 0 < a < 1: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
Após termos definido uma função exponencial e suas propriedades, os alunos
verificaram que, de acordo com a definição, a fórmula para achar o número de movimentos
utilizados no jogo é uma função exponencial.
Finalmente, propusemos alguns exercícios aos alunos, que envolviam a construção
de gráficos, fornecemos exemplos de função exponenciais e mostramos que o gráfico da
função deduzida no problema proposto, sempre será uma função crescente de x .
CONCLUSÃO
A experiência que tivemos com os alunos do segundo ano do ensino médio mostrou
que a metodologia utilizada provocou uma atmosfera em sala de aula propícia para o
ensino do tópico Funções Exponenciais. De fato, o tema proposto inicialmente foi
motivador e despertou o interesse dos alunos, de tal forma que o ambiente de
aprendizagem permaneceu o mesmo quando passamos a tratar do tópico de nosso
interesse. Com relação à aula tradicional, percebemos, em comparação com a outra, que,
embora os alunos tivessem tido um comportamento exemplar e participado da aula, a
atmosfera de aprendizagem não foi a mesma. Isto nos faz concluir que em situações
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normais, dificilmente a aula tradicional poderia equiparar-se àquela utilizando resolução de
problemas. Assim, podemos afirmar que o nosso objetivo neste trabalho foi completamente
atingido.
REFERÊNCIAS
BRASIL. SECRETARIA DE EDUCAÇAO FUNDAMENTAL.
Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/ SEF, 1998.
Parâmetros
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Logaritmos. Coleção Fundamentos de
Matemática Elementar. 8. ed. São Paulo: Atual, 1993.
ONUCHIC, L. R., Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de
Problemas. In BICUDO, M. A. V. (Orgs), Pesquisa em Educação Matemática:
Concepções & Perspectivas. Editora UNESP, 1999.
POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas:Um Enfoque do Método Matemático
Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1994.
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