Presidente da República Federativa do Brasil
Luis Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário Executivo
José Henrique Paim Fernandes
Secretário de Educação Básica
Maria do Pilar Lacerda Almeida e Silva
Diretora de Política da Educação Infantil e Ensino Fundamental
Jeanete Beauchamp
Coordenação Geral de Política de Formação de Professores (REDE)
Roberta de Oliveira
Universidade Federal do Pará
Reitor
Alex Bolonha Fiúza de Mello
Vice-Reitora
Regina Fátima Feio Barroso
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação
Roberto Dall’ Agnol
Pró-Reitor de Extensão
Ney Cristina Monteiro de Oliveira
Coordenação do Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica
Terezinha Valim Oliver Gonçalves
Coordenação Geral do Programa EDUCIMAT
Terezinha Valim Oliver Gonçalves
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica
CENTRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA
EDUCIMAT: Formação, Tecnologia e Prestação de Serviços em Educação em Ciências e Matemáticas
Curso de Formação Continuada de Professores das Séries Iniciais
Volume 32
Matemática nas Séries Iniciais
Neivaldo Oliveira Silva
Educimat 14
Editora da UFPA
Belém - Pará
2008
Conselho Editorial
Adilson Oliveira do Espírito Santo – UFPA
Adriano Sales dos Santos Silva – UFPA
Ana Cristina Cristo Vizeu Lima - UFPA
Ariadne da Costa Peres – UFPA
Arthur Gonçalves Machado Júnior – PPGECM
Eugenio Pacelli Leal Bittencout - UFPA
Flávio Leonel Abreu da Silveira - UFPA
Gleiciane de Souza Alves - PPGECM
Isabel Cristina Rodrigues Lucena - UFPA
Jane Felipe Beltrão - UFPA
José Fernando Pina Assis – UFPA
Mara Rubia Ribeiro Diniz Silveira - PPGECM
Marcio Couto Henrique – UFPA
Maria Isaura de Albuquerque Chave UFPA
Maria Lúcia Harada - UFPA
Natanael Freitas Cabral - UNAMA
Neivaldo Oliveira Silva - UEPA
Renato Borges Guerra – UFPA
Sheila Costa Vilhena Pinheiro – PPGECM
Tadeu Oliver Gonçalves - UFPA
Tânia Regina dos Santos – UEPA
Terezinha Valim Oliver Gonçalves - UFPA
Valéria Risuenho Marques - SEMEC
Dados Internacional de Catalogação na Publicação (CIP)
Biblioteca Setorial do NPADC, UFPA
Silva, Neivaldo Oliveira
S586m Matemática nas séries iniciais/Neivaldo Oliveira Silva.--Belém:
EdUFPA, 2008.
(Obras completas EDUCIMAT; v.32)
ISBN 85-247-0292-3
ISBN 85-247-0311-3
1.MATEMÁTICA- Estudo e ensino. 2.MATEMÁTICA-Ensino
fundamental.I.Universidade Federal do Pará. Núcleo Pedagógico de
Apoio ao Desenvolvimento Científico.II. Título.III.Série.
CDD 19.ed. 510.7
SUMÁRIO
UNIDADE 1
09
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
09
Introdução
09
1. A EVOLUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
10
2. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: EVOLUÇÃO HISTÓRICA
17
3. ENSINO DE MATEMÁTICAS: DIRETRIZES METODOLÓGICAS
24
4. Resumo da unidade
30
REFERÊNCIAS
32
UNIDADE 2
33
ENSINO DE ARITMÉTICA
33
Introdução
33
1. ENSINO DE ARITMÉTICA
34
1.1. O Pensamento Matemático e a Construção do Número
34
1.2. A Contagem e o Pensamento Abstrato
41
1.3. Operações
43
1.4. Números e Frações
55
2. Resumo da unidade
63
REFERÊNCIAS
64
UNIDADE 3
65
ENSINO DE GEOMETRIA
65
Introdução
65
1. GEOMETRIA E ENSINO DE GEOMETRIA
66
1.1. Atividades exploratórias
66
1.2. As Conexões entre Aritmética e Geometria
68
2. Resumo da unidade
82
REFERÊNCIAS
84
Apresentação
Prezado(a) Cursista,
Iremos iniciar o trabalho com o Módulo “Matemática para as Séries Iniciais”,
que é mais uma etapa do seu Curso de Formação Continuada de Professores em Ciências e
Matemáticas (Séries Iniciais), na intenção de dar continuidade ao seu processo de formação
continuada. Dessa feita, objetivamos propiciar a você, a aquisição de subsídios teóricos e
práticos relativos ao ensino de matemática, que lhe favoreça:
Compreender as inter-relações existentes entre conhecimento matemático, aprendizagem e
ensino;
Definir de modo crítico, princípios e diretrizes para seu trabalho didático;
Construir propostas metodológicas destinadas ao Ensino de Matemática para as Séries
Iniciais, como forma de concorrer para seu aprimoramento profissional.
Esses objetivos estão diretamente relacionados à formação de um educador
crítico, criativo e capaz de produzir práticas em sintonia e para uma sociedade em constante
transformação.
Este módulo está organizado em quatro unidades, com apresentação específica
em cada uma delas. Apresentamos, a seguir, um mapa das unidades que constituem o módulo,
incluindo os objetivos de cada uma delas.
O PROGRAMA EDUCIMAT: Formação, Tecnologias e Prestação de Serviços em
Educação em Ciências e Matemáticas
O Programa EDUCIMAT é coordenado e desenvolvido pelo NÚCLEO PEDAGÓGICO
DE APOIO AO DESENVOLIMENTO CIENTÍFICO (NPADC) da Universidade Federal do
Pará, que integra a Rede Nacional de Formação Continuada de Professores de Educação Básica
(MEC/SEB), na qualidade de Centro de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática
e Científica.
O Programa visa à formação continuada de professores para a Educação Matemática e
Científica, no âmbito da Educação Infantil e Ensino Fundamental. Como estratégia de trabalho,
prevê a formação/fortalecimento de grupos de professores tutores dos Centros Pedagógicos
de Apoio ao Desenvolvimento Científico (CPADC) e municipais, por meio da constituição
dos Grupos Pedagógicos de Apoio ao Desenvolvimento Científico (GPADCs) em nível de
especialização lato sensu. Nessa perspectiva, colocam-se como princípios de formação, dentre
outros: a reflexão sobre a própria prática, a formação da cidadania e a pesquisa no ensino,
adotando-se como transversalidade a educação inclusiva, a educação ambiental e a educação
indígena.
O Programa está proposto para quatro anos, iniciando-se no Estado do Pará, com
possibilidades de expansão para outros estados, especialmente das regiões Norte, Nordeste e
Centro-Oeste. Parcerias poderão ser estabelecidas para otimizar o potencial da região no que diz
respeito à institucionalização da formação continuada de professores no âmbito da Educação
Infantil, Séries Iniciais, Ciências e Matemáticas.
O Programa EDUCIMAT situa-se no Núcleo Pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento
Científico (NPADC/UFPA), no âmbito do Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências
e Matemáticas, assim como o Mestrado. O NPADC é unidade acadêmica dedicada à pesquisa,
à pós-graduação e a educação continuada de professores de Ciências e Matemáticas, desde a
educação infantil e séries iniciais até a pós-graduação lato e stricto sensu. Conta com a parceria
da Secretaria Executiva de Estado de Educação, por meio do Convênio 024/98 e de Instituições
de Ensino Superior integrantes do Protocolo das Universidades da Amazônia: Universidade
da Amazônia (UNAMA), Centro de Estudos Superiores do Estado do Pará (CESUPA) e a
Universidade do Estado do Pará (UEPA).
Objetivos do Programa EDUCIMAT
Contribuir para a melhoria do ensino e da aprendizagem
de Ciências e de Matemática no Estado do Pará e em
outras regiões do país;
Formar professores especialistas na área de Ensino
de Ciências e Matemáticas, para constituir Grupos
Pedagógicos Municipais na área de Educação Matemática
e Científica;
Formar e certificar professores de Ciências e Matemáticas
da Educação Infantil e Fundamental nos Estados e
Municípios, por meio da Educação a Distância;
Fortalecer os municípios, instituindo os GPADC como
organismos municipais capazes de assegurar a tutoria da
formação continuada de professores em cada município;
Buscar a parceria dos governos municipais, estaduais e de
outras instituições, garantindo a produção e reprodução
de materiais didáticos específicos.
Linhas de Ação do EDUCIMAT
1. Desenvolvimento de programas e cursos de formação
continuada, em rede, e de professores da Educação
Infantil e Fundamental, de natureza semi-presencial
e a distância nos municípios, incluindo elaboração de
materiais didáticos, tais como módulos, livros, softwares
e vídeos;
2. Realização de programa de formação de tutores, em nível
de pós-graduação lato sensu, para o desenvolvimento
de programas e cursos de formação continuada de
professores e lideranças acadêmicas locais;
3. Desenvolvimento de tecnologias educacionais (software,
kits, cd-rom) para o ensino infantil e fundamental,
no âmbito dos municípios e unidades educacionais
públicas;
4. Associação a outras instituições de ensino superior
e outras organizações para a oferta de programas de
formação continuada, formação de grupos de estudos e
pesquisas e implantação de redes e novas tecnologias
educacionais.
Estratégias para o desenvolvimento do Programa
Formação de Pólos para o desenvolvimento do Programa
EDUCIMAT, por meio de momentos presenciais e a
distância;
Cursos de Especialização a Distância para Formação de
Tutores e Cursos de Formação Continuada de Professores
Educação Matemática e Científica ênfase em Educação
Infantil;
Educação Matemática e Científica ênfase em Séries
Iniciais;
Educação em Ciências ênfase em Ensino Fundamental;
Educação Matemática ênfase em Ensino Fundamental.
Metas do Programa EDUCIMAT
Formar, em 4 anos, 1920 (um mil, novecentos e vinte)
tutores;
Formar, com tutoria local, cerca de 20.500 (vinte mil
e quinhentos) professores para educação infantil, séries
iniciais, ciências e matemática;
Produzir kits de material instrucional para o ensino de
Ciências e de Matemática;
Produzir 88 (oitenta e oito) produtos, nas quatro linhas
de ação, em quatro anos;
Reproduzir, por meio de acordos com prefeituras e outras
instituições, produtos de ensino e de formação, para uso
da rede pública de ensino.
Comitê Geral do Programa EDUCIMAT
Profª. Dra. Terezinha Valim Oliver Gonçalves UFPA
Profª. Ms. Andrela Garibaldi Loureiro Parente UFPA
Prof. Ms. Adriano Sales dos S. Silva UFPA/Castanhal
Profª. Ms. Larissa Sato Dias CESUPA
Coordenação de Áreas:
Ciências
Maria Lúcia Harada UFPA
Educação Indígena
Jane Felipe Beltrão UFPA
Matemática
Tadeu Oliver Gonçalves UFPA
Educação Infantil
Tânia Regina Lobato dos Santos UEPA
Educação Inclusiva
Realização de Seminários e Encontros com a participação
da equipe coordenadora do programa, professores,
prefeituras e associações para firmar compromissos e
acordos com o Programa;
Maria Joaquina Nogueira da Silva CESUPA
Participação de estudantes, tutores e professores
na produção de materiais didáticos e/ou produção
intelectual;
Educação Ambiental
Tutorias presenciais e a distância para formação de
professores nas áreas de educação infantil, séries iniciais,
ciências e matemática.
Desenvolvimento de cursos presenciais, semi-presenciais
e a distância.
Séries Iniciais
Neivaldo Oliveira Silva SEDUC
Ariadne da Costa Peres UFPA
Secretária
Lourdes Maria Trindade Gomes
MAPA DAS UNIDADES
UNIDADE 1 - Educação Matemática
Objetivos específicos
Identificar, a partir de fundamentos epistemológicos, as inter-relações existentes entre
conhecimento matemático, realidade e sociedade;
Identificar pressupostos filosófico-metodológicos que dão sustentação à atual Educação
Matemática, como forma de orientar a ação didática dos professores-alunos;
Identificar as principais diretrizes defendidas pela atual educação matemática, que devem
nortear as atividades de ensino de matemática hoje;
Compreender a utilização das diretrizes defendidas, tendo como referência a necessidade de
dar significado ao ensino de Matemática.
Conteúdos
A evolução do Conhecimento Matemático;
Conhecimento, Matemática e Conhecimento Matemático;
Matemática e Realidade;
Matemática e Sociedade;
Educação Matemática: evolução histórica e movimento de modernização da Matemática;
Ensino de Matemática: Diretrizes Metodológicas.
UNIDADE 2 - Ensino de Aritmética
Objetivos específicos
Desenvolver estratégias de ensino de Aritmética para as Séries Iniciais, que relacionem o
conhecimento matemático às questões presentes no contexto sócio-cultural, tendo como
referência as diretrizes metodológicas que se adeqüem ao momento atual;
Rever conteúdos de Matemática, em termos de Aritmética, de modo a permitir uma atuação
transformadora no espaço da sala de aula sob uma ótica atual.
Conteúdos
O Pensamento Matemático e a Construção do Número;
A Contagem e o Pensamento Abstrato;
Operações;
Números e Frações.
UNIDADE 3 - Ensino de Geometria
Objetivos específicos
Desenvolver estratégias de ensino de Geometria para as séries iniciais, que relacionem o
conhecimento matemático às questões presentes no contexto sócio-cultural, tendo como
referência princípios e diretrizes metodológicas que se adeqüem ao momento atual;
Rever conteúdos de matemática, em termos de Geometria, de modo a permitir uma atuação
transformadora no espaço da sala de aula sob uma ótica atual.
Conteúdos
Atividades no ensino de Geometria - Conteúdos específicos, métodos e processos;
Atividades no ensino: Orientações, considerações e sugestões.
Retome sempre estes objetivos antes de iniciar o estudo de cada unidade. São
eles que nortearão a abordagem dos assuntos e a avaliação da aprendizagem, seja em relação
aos fundamentos teóricos ou às atividades.
matemática nas séries iniciais
UNIDADE 1
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Introdução
Esta unidade consta de três textos para estudo, acompanhados de atividades de
interpretação da leitura e atividades de ensino. O primeiro trata de fundamentos epistemológicos
do conhecimento matemático e estabelece relações entre Conhecimento, Matemática, realidade e
sociedade, buscando a compreensão da maneira como a matemática foi organizada, de modo que
você reflita sobre implicações no ensino. No segundo texto é apresentada uma discussão sobre a
trajetória da Educação Matemática historiando o surgimento das diferentes concepções de ensino
de matemática, como reflexo das transformações ocorridas em relação às concepções de educação
e pretende possibilitar a compreensão da educação matemática no contexto atual.
No terceiro, será o momento de discutir diretrizes para o ensino de matemática,
tendo como referência a atual educação matemática. As diretrizes seriam os principais aspectos
a se fazerem presentes no desenvolvimento do trabalho de ensino, considerando os objetivos da
Educação Matemática relacionados a um ensino significativo e real. É importante entender, porém,
que essas diretrizes não são as únicas a serem consideradas, mas que podem servir de parâmetro
para o trabalho de sala de aula. Reflita sobre essas diretrizes e relacione à sua prática.
Para o estudo dos textos, a sugestão é que você proceda a leitura de cada item, faça a
análise destes e responda imediatamente as atividades propostas e, ao fim da leitura de cada texto,
faça um comentário final (síntese final), como conclusão sobre as idéias presentes nesses textos. A
intenção com esta unidade, é que você possa identificar, a partir de fundamentos epistemológicos,
as inter-relações existentes entre conhecimento matemático, realidade e sociedade; identificar
pressupostos filosófico-metodológicos que dão sustentação à atual Educação Matemática, como
forma de orientar a ação didática de professores; identificar as principais diretrizes defendidas
pela atual educação matemática, que devem nortear as atividades de ensino de matemática hoje
e compreender a utilização das diretrizes defendidas, tendo como referência a necessidade de dar
significado ao ensino de Matemática.
Inicie, então, o seu momento de reflexão e bom estudo!
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Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica – NPADC
matemática nas séries iniciais
1. A EVOLUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Introdução
A Matemática, quando relacionada ao ensino, tem sido vista a partir de um “falso”
teor neutro, verdadeiro, exato e místico, desprovida de significado e de valor humano, gerando
angústias, barreiras e tornando pouco interessante a sua busca. Entretanto, se imaginarmos que
ela é, sobretudo, resultante de um processo histórico e de um amplo processo de mudanças que
vem ocorrendo no mundo nas várias áreas do conhecimento, é possível ir à busca de sua essência
humana, da beleza obscura e descortinar as raízes dos matizes “falsos” atribuídos à matemática,
de modo a possibilitar que sua beleza seja observada pela maioria e ainda, que sua busca,
enquanto conhecimento, possa tornar-se uma atividade agradável e prazerosa. Discutir a origem
do conhecimento matemático e suas implicações no ensino é um dos caminhos possíveis. Aqui,
foi essa a opção.
Conhecimento, matemática e conhecimento matemático
Uma das primeiras observações feitas pelo Homem foi a constatação de que as
coisas existentes à nossa volta possuem dois acidentes principais: qualidade e quantidade. Em
relação à quantidade, os objetos manifestam a idéia de um conjunto de partes, capaz de ser
aumentado pelo acréscimo de novas partes ou diminuído pela supressão de outras. Quase tudo na
natureza é quantitativo e foi certamente a necessidade de avaliar as quantidades que o rodeavam e
os ciclos que se sucediam na natureza que levou o homem a dar os primeiros passos em direção ao
pensamento que hoje denominamos de matemático. Esse pensamento materializado em método,
com sua linguagem específica, simbólica e formal, origina a ciência designada matemática.
Foram milhares de anos e inúmeras civilizações que contribuíram para o
desenvolvimento da matemática: egípcios, babilônios, chineses, romanos, hindus, árabes,
persas; mas foi na Grécia, com Pitágoras e Euclides, entre outros, que se deu a sistematização
do conhecimento matemático. Foi também na Grécia que surgiram as primeiras tentativas de
explicações racionais do mundo e do conhecimento. Conseqüentemente, surge daí as primeiras
discussões sobre o conhecimento matemático.
Matemática e Realidade
Ao discutir a questão do conhecimento matemático, que é a possível relação entre
esse conhecimento e a realidade, surgem diferentes pontos de vista que podem ser tomados como
10
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
matemática nas séries iniciais
marcos referenciais. A pergunta que se coloca é: Como o conhecimento é produzido? Observe
cada uma das concepções explícitas nas frases a seguir e depois faça a relação com as concepções
apresentadas por teóricos, produzidas historicamente.
Apenas pensei e
produzi conhecimento.
Essa frase tem relação com a visão platônica de conhecimento. Em Platão, percebese que as entidades verdadeiramente reais eram os modelos, as imagens dos objetos sensíveis
precediam na construção do conhecimento, pois “... as Formas matemáticas não eram idealizações
de objetos empíricos, mas (...) preexistiam, independentemente deles e a eles serviam de modelos.”
(Machado, 1991, p. 20).
Agora, observe a gravura e a frase abaixo:
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
Primeiro preciso observar, perceber
o mundo, para poder conhecer.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica – NPADC
11
matemática nas séries iniciais
Essa é uma visão diferente, em relação à origem do conhecimento matemático, que
nos é trazida por Aristóteles (384-322 a.C.). “A Matemática seria, segundo seu ponto de vista, o
estudo das abstrações matemáticas elaboradas pelos matemáticos a partir de objetos do mundo
da percepção sensível”. (Machado, 1991, p. 21). Percebe-se, portanto que, enquanto Platão dá
um sentido e uma existência objetiva à Matemática, Aristóteles prioriza o empírico e submete o
conhecimento matemático a certa adequação à realidade.
As duas primeiras concepções foram produzidas na Grécia, antes de Cristo. Porém,
no século passado, surge outro modo de ver a forma como o conhecimento é produzido. Observe
a situação representada na gravura a seguir:
O meu conhecimento sobre o Piu-piu é
resultado da minha interação com ele.
Essa é uma visão diferente das duas primeiras e uma forma de aproximar as duas
concepções anteriores. Essa tentativa de aproximação entre sujeito e objeto, encontra-se, de
maneira evidente, explícita nas idéias defendidas por Piaget (1896-1980). Sua grande formulação
é o pensamento operatório, que procura responder à questão da relação da matemática com a
realidade a partir da introdução da Psicologia Genética. Para ele, o conhecimento decorre das
interações entre sujeito e objeto e se dá no interior do sujeito e “o pensamento matemático é
fecundo porque, ao ser uma assimilação do real às coordenadas gerais da ação é, essencialmente,
operatório” (Piaget, v.1,1978, p. 297). Percebe-se, portanto, em seu trabalho, o intuito da adoção
de uma epistemologia diferente do pré-formismo/empirismo, mas o reconhecimento de seu valor
como fundamento da pesquisa e teoria.
Porém, no final do século XIX, surge uma quarta concepção de conhecimento.
Observe a situação e a frase adiante:
12
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
matemática nas séries iniciais
Sou parte desse mundo, tenho
uma história, uma cultura e
faço Matemática.
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
Essa é uma posição que amplia a discussão e inova, tendo em vista seu entendimento
com relação ao conhecimento matemático. Um dos defensores desse modo de ver o maneira como
o conhecimento é produzido é Ubiratan D’Ambrósio que entende o pensamento matemático como
possibilidade de:
Identificar técnicas ou mesmo habilidades e práticas distintas utilizadas por
distintos grupos culturais na busca de explicar, de conhecer, de entender o
mundo que os cerca, a realidade a eles sensível e de manejar essa realidade
em seu benefício e no benefício do seu grupo. (...) Dentre essas várias técnicas,
habilidades e práticas encontram-se aquelas que utilizam processos de
contagem, de medida, de classificação, de ordenação e de inferências, e que
permitiram a Pitágoras identificar o que seria a disciplina científica que ele
chamou matemática (1990, p. 6).
Essa posição busca privilegiar a realidade, mas não uma realidade imutável e geral,
e sim uma realidade de um dado contexto e de um dado momento histórico, articulando, desse
modo, conhecimento, história e cultura.
D’Ambrósio afirma que “admitindo que a fonte primeira de conhecimentos é a
realidade na qual estamos imersos, o conhecimento se manifesta de maneira total, holisticamente...”
(1990, p. 8) e, nessa afirmação, vislumbra-se uma forma de entender conhecimento enquanto
processo, um processo que é produto, acima de tudo, de uma relação entre o homem e o mundo
e que se dá efetivamente a partir de múltiplos aspectos que o determinam. Não é, portanto, um
conhecimento fragmentado, nem há uma tentativa de disjunção entre racional e empírico ou entre o
objetivo e o subjetivo. Além disso, esse enfoque holístico precisa também considerar os múltiplos
aspectos que interferem nos processos de geração, produção, institucionalização e transmissão
desse conhecimento.
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matemática nas séries iniciais
A ênfase ao empírico ou ao racional teve, portanto, alternâncias na forma de
entender o conhecimento matemático, quando em um dado momento, o empírico era tido como
a base do seu desenvolvimento e, em outro momento, quando se dava a sistematização formal de
conhecimentos construídos por outros povos. Nesse processo histórico, observamos uma ênfase ao
formal em termos de concepção e na sua sistematização e, como conseqüência, viria a determinar
um formalismo pedagógico, ou seja, um modo essencialmente técnico de ensinar. Esse formalismo
torna-se cada vez mais vigoroso, a partir do século XVIII, quando a preocupação com a lógica de
construção e o rigor expositivo são a tônica.
Desse modo, a realidade passa a ser vista não mais a partir das coisas que a
constituem, com seus significados e propósitos, mas levando em consideração a sua estrutura,
definida por aspectos como disposição, forma, quantidade, traduzidos em proposições verdadeiras
e incontestáveis, numa tentativa de axiomatização da matemática e de uma visão unificada de
mundo.
Atividade 1 - Da relação entre matemática e realidade
• Considerando os diferentes pontos de vista apresentados no texto, responda:
a)Quais as visões de matemática defendidas?
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
b)Quais as implicações dessas diferentes visões em relação ao ensino de matemática?
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
14
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
matemática nas séries iniciais
Comentários
- Ao ler o item “Matemática e realidade”, possivelmente percebeu que:
a) O conhecimento matemático era visto por alguns como algo teórico e por outros como prático,
mas que foi feita uma tentativa de aproximação entre essas diferentes visões, fazendo surgir
outras visões que passaram a considerar aspectos sociais, históricos e culturais.
b) Essas diferentes formas de entender o conhecimento matemático podem nos levar a privilegiar
as atividades abstratas ou as atividades práticas, ou ainda, a valorizar ambos os tipos e considerar
os aspectos sociais, históricos e culturais, que é o que se defende hoje.
Matemáticas e Sociedades
É possível fazermos uma análise do conhecimento matemático como um produto
da existência humana. Assim, iremos constatar em diversos momentos históricos, características
específicas, pois ele é produto da forma de viver do homem e da forma como se relaciona com o
outro.
Existem diferenciações no modo de explicar o mundo e a história, com singularidades
próprias no processo de reconstruir o passado e construir o futuro, na medida em que consideramos
as diferenças existentes entre os diferentes povos, com suas diferentes culturas.
As diferenciações culturais e as relações entre as diferentes culturas nos remetem
às relações de dominação e de poder, o que por sua vez, está relacionado à estrutura econômica
e os modos de produção. Esses fatores geram alterações na forma de ver o mundo e concorrem
para a eleição de modos de explicação hegemônicos em detrimento de outros, fazendo surgir
determinado modelo de conhecimento.
O modelo de conhecimento matemático construído historicamente se deu a partir de
uma opção por um tratamento abstrato e essa foi uma forma de valorizar a Matemática. No entanto,
essa forma de ensinar criou barreiras sociais, fazendo a sociedade acreditar que a Matemática era
algo mítico e místico e que o seu acesso só era permitido a pessoas especiais. Essa crença distanciou
a maioria das pessoas da Matemática, na medida em que as dificuldades de aprendizagem eram
muito grandes.
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15
matemática nas séries iniciais
Considerações
Na tentativa de traçar um caminho epistemológico-histórico da construção do
pensamento matemático, partimos da relação entre matemática e realidade, gerando a discussão
da relação entre sujeito e objeto. No entanto, isso não foi suficiente para compreender a relação
entre o conhecimento matemático e a realidade.
A partir daí, houve a necessidade de ampliação dessa visão. Foi feita, então,
a relação entre Matemática e sociedade, também como parte da relação entre conhecimento e
realidade, quando se constata que foi dado ao conhecimento um papel de instrumento de seleção
e de dominação. No entanto, o mundo buscou um novo olhar para a Matemática, passando a
entendê-la como resultado de ações humanas e é nesse contexto que se coloca a discussão de um
“novo pensamento”, que tem na importância da valorização de aspectos históricos, psicológicos,
sociais e culturais, pontos fundamentais no modo de entender o conhecimento no momento atual
e na formulação desse novo pensar.
A discussão sobre conhecimento, entretanto, torna-se fundamental, a partir do
momento em que é determinante, quando se trata de ensino. É preciso considerar que o tratamento
do conhecimento, em termos de ensino, tem sido utilizado na construção da(s) sociedade(s),
atravessado por características ideológicas, demarcando diferenças, como critérios de seleção,
separação e determinações sociais. Entretanto, você professor(a) é parte fundamental nesse processo
e, nesse contexto, é chamado a assumir um importante papel, no sentido de atuar vislumbrando a
perspectiva de superação das desigualdades sociais, injustiças e a transformação social.
Essa ação será possível na medida em que você, professor(a) assumir uma postura
crítica e uma atitude em relação à sua prática pedagógica. Essa ação exige a identificação do
conhecimento matemático na sua relação com a evolução histórico-social das formas de entender o
homem e o conhecimento, além de ser resultado de mudanças nos processos de ensinar e aprender.
Possivelmente, estas serão as bases das ações e dos caminhos a serem trilhados, pois a diretriz de
uma prática pedagógica é muito mais um reflexo da compreensão de quem ensina sobre aquilo que
ensina, da sua concepção de ensino, bem como da sua visão de conhecimento.
- Para mim está claro: O que acontece na minha sala de aula e a
maneira como ensino é resultado da forma como vejo o mundo,
a Matemática (ou as Matemáticas) e a Educação. Serei eu, então,
que deverei decidir qual meu papel, como vou atuar e quais os
resultados que desejo obter!
16
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
matemática nas séries iniciais
Atividade 2 - Da relação entre Matemática e sociedade
• Considerando o histórico traçado, responda:
a)Qual a relação existente entre Matemática e sociedade?
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
b)Qual a importância do(a) professor(a) entender essa relação entre Matemática e sociedade?
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Comentários
- A leitura do item matemática e sociedade, possivelmente lhe fez perceber que:
a) A Matemática enquanto conhecimento foi utilizada por diferentes povos e em diferentes
épocas, como uma forma de manutenção de poder, na medida em que era exclusividade de
poucos, o que ainda hoje ocorre.
b) Entender esse processo é primordial para o(a) professor(a), pois só assim é possível se
posicionar em relação a ele e definir uma forma de atuar que facilite o acesso ao conhecimento
matemático e permita ao aluno a percepção dessa relação.
2. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: EVOLUÇÃO HISTÓRICA
A Educação Matemática é resultante de um processo histórico e, sendo um processo
histórico, se faz necessária uma breve regressão no tempo, de modo a entender que desde o
surgimento do ensino intencional da Matemática, na antigüidade, duas foram as principais vertentes
observadas: a clássica e a moderna. A primeira destinada às classes dirigentes, é inspirada em
Platão, centrada no valor formativo, com características lúdicas, desligamento do mundo sensível
e valorização da dificuldade como aspecto importante à formação humana. A segunda destinada à
educação profissional, é exigida pelo progresso das técnicas de produção. A Educação Matemática
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matemática nas séries iniciais
enquanto preocupação com a sua prática, portanto, existe desde essa época, na antigüidade.
A vertente racionalista clássica tem os gregos como os responsáveis, tendo em vista
o valor formativo da Matemática, pela sua incorporação obrigatória à educação, como base da arte
da oratória ou princípio para os estudos da filosofia. Desde esse momento, a separação entre o
caráter prático, relacionado às atividades manuais, e o essencialmente teórico, com características
de jogo intelectual, passam a determinar os ramos de ensino da Matemática destinados às diferentes
classes sociais, assim como a ausência de seu ensino. Ainda hoje, essa diferenciação existe, na
organização dos currículos dos variados cursos, notadamente daqueles que assumem preocupações
com as profissões.
Os romanos caracterizados pela incorporação à sua cultura dos aspectos que lhes
era interessante e pela tolerância cultural do que não os interessava, mantiveram a matemática com
as mesmas características herdadas dos gregos. A visão mística de mundo forjada na idade média
libera a Matemática para ser estudada por ser um conhecimento ausente do livro sagrado.
Na transição para a Idade Moderna, observam-se dois tipos de Educação, um com
característica prática, de preparação para as profissões e outro destinado ao culto do trabalho
intelectual.
O movimento de modernização da Educação Matemática
É importante considerar as mudanças históricas que ocorreram na educação em
busca de uma ação transformadora e nesse sentido, o ensino de Matemática, como parte integrante
dessa educação se coloca no centro das tensões geradas pelas distintas concepções de ensino, o que
por sua vez, gerou um movimento de modernização do ensino de matemática.
Esse movimento de modernização pode ser caracterizado como uma reação contra
o “culto a Euclides”, ou seja, uma resposta a uma exagerada valorização da Matemática formal que
tem em Euclides sua principal referência. Há uma mudança em função de um contexto sócio-políticoeconômico, das transformações ocorridas na educação, a partir de suas diferentes concepções e
resultante da evolução e variações de perspectivas sofridas pela Matemática, polarizadas entre o
teórico e o prático, entre o puro e o aplicado e entre o formativo e o instrumental.
O movimento faz surgir, pela primeira vez, a idéia de Educação Matemática no
mundo com a preocupação com uma prática escolar, identificada na ação de Felix Klein, em
1872 na Alemanha, quando propõe para a formação de professores uma maior relação entre
os diferentes ramos da Matemática e entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento.
A proposta desencadeia o primeiro movimento internacional para a modernização do ensino de
Matemática. Vários encontros são realizados e o movimento avança (Zurique - 1897, Paris - 1900,
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matemática nas séries iniciais
Heidelbere - 1904). Na França (1900) é proposta a introdução de novos tópicos e na Inglaterra (por
volta de 1900) John Perry propõe a introdução de aplicações e experimentações.
A criação dos Congressos Internacionais de Matemática amplia o movimento, a
partir do momento em que são reservadas sessões em que era discutido o ensino de matemática.
Em 1908, houve a instalação da commission Internacionale de L’Enseignement mathématique,
que teve o Brasil como um de seus associados.
Um marco histórico exterior de mudança nessa evolução, no âmbito mundial, se dá
quando um fato concorre para que uma verdadeira revolução acontecesse. No ano de 1957, a União
Soviética lançou ao espaço o primeiro satélite artificial, o Sputnik. Isso bastou para que o ocidente
começasse a questionar a preparação técnica de seus profissionais, inclusive de professores e
sentisse a necessidade de fazer também algo que causasse grande impacto no mundo.
Em 1958, foi constituído um grupo de estudos para avaliar o ensino da Matemática
e propor ações de melhoria, o SMSG - School Mathematics Study Group. Esse grupo foi o principal
responsável por uma nova mudança, procurando motivar a integração de novos tópicos na escola
elementar tais como a Geometria Informal, Probabilidades, Álgebra e Teoria dos Números, sendo
os Conjuntos o tema unificador.
A “teoria dos conjuntos”, proposta por Cantor, um matemático russo, pode
ser considerada, no entanto, uma teoria adequada ao ensino no 3º grau, tendo em vista o nível
de abstração dos estudantes; porém, quando se faz a transferência para o ensino fundamental,
principalmente nas séries iniciais, a aprendizagem fica comprometida. Como se dá, por exemplo,
a idéia de infinito nesse nível, ou do vazio, ou mesmo do complementar?
A teoria passou, portanto, a ser a base para a criação, no mundo ocidental, da
“matemática moderna”. Essa nova Matemática apresentava grande preocupação com a linguagem
e introduzia nova e extensa simbologia matemática.
Com o passar do tempo, muitas críticas foram sendo feitas à Matemática Moderna e
estavam relacionadas, principalmente, à ênfase dada às estruturas algébricas, no rigor da linguagem
e uso excessivo de simbolismo, na resolução de exercícios irrelevantes no que diz respeito a
melhoria do raciocínio dos alunos, na resolução de problemas e no domínio do cálculo.
Em virtude disso, os resultados da modernização começaram a ser avaliados. Uma das
conclusões pode ser expressa pela afirmação contida no título de obra do autor Morris Kline, de que a
“Matemática Moderna” foi um fracasso, dada a excessiva carga de novos símbolos e idéias, às vezes
desnecessária que era introduzida abruptamente, fazendo as crianças absorverem essas idéias, mas não
aprendendo a realizar, por exemplo, uma simples adição. Ele defendia que aprender símbolos e técnicas
exigia a compreensão do aluno, pois “(…) se ele não sabe o que as várias notações e técnicas significam,
vê-se apenas possuidor de habilidades aborrecidas e destituídas de sentido”. (Kline, 1976, pp. 28).
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matemática nas séries iniciais
A aplicação da Matemática Moderna no Ensino de 1º e 2º graus (atuais ensino
fundamental e médio), no Brasil, foi problemática, resultando na resistência de professores, tanto
em razão das mudanças metodológicas propostas, quanto pelas mudanças de aspectos conceituais
implícitas na “Teoria de Conjuntos”. A não preparação de professores, tendo em vista a necessidade
do domínio dessa “nova” matemática, já era razão suficiente para que o ensino da “Matemática
Moderna”, em nosso país, resultasse em um verdadeiro desastre.
A Matemática Moderna foi, de certa maneira, uma nova etapa do movimento de
renovação do ensino de matemática, na medida em que se buscava transformar o processo de ensino
considerado tradicional, objetivando a melhoria desse ensino, mas também pode ser caracterizada
como uma ruptura do processo, pois os resultados não foram, segundo Kline, satisfatórios. Surgiu
daí, a necessidade de uma nova e melhor estruturação do ensino de matemática e, o movimento
para que isto pudesse ser feito, foi iniciado no final da década de 60, nos países que passaram pela
“reforma do ensino”. A partir daí, a Educação Matemática começa a adquirir status profissional
em vários países.
Atividade 3 - As vertentes da Educação Matemática e o movimento de modernização do
ensino
• Responda as questões abaixo:
a)Quais as duas principais vertentes observadas no ensino de Matemática, desde a sua origem?
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
b) O que gerou o movimento de modernização do ensino de matemática no mundo?
R:___________________________________________________________________ _________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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matemática nas séries iniciais
c)Qual o significado desse movimento para a atual Educação Matemática?
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Comentários
- Se você compreendeu o texto, a sua resposta provavelmente indicará que:
a) As duas principais vertentes foram a clássica, mais voltada a aspectos teóricos e a moderna,
mais ligada à prática.
b) O movimento de modernização do ensino de matemática está relacionado à polarização entre
o teórico e o prático e que foi acelerado em razão de questões políticas e econômicas.
c) O movimento de Modernização do Ensino, que resultou na atual Educação Matemática, significa
a busca de um ensino de Matemática que permita ao aluno a compreensão e a intervenção na
sua realidade.
O movimento de modernização no Brasil
No Brasil, que desde os tempos de Colônia apresenta uma educação com objetivos
voltados à formação de profissionais liberais, as mudanças são iniciadas no ano de 1928, a partir
de propostas de modificação no programa de matemática do colégio Pedro II, por Euclides Roxo,
que é considerado por muitos o “pai da Educação Matemática” no Brasil. As mudanças teriam
seu foco na busca de um papel ativo do aluno no processo educativo, na sugestão do uso do
método heurístico, na integração das áreas da matemática, ênfase aos aspectos intuitivos e enfoque
dinâmico destacando o experimental e o construtivo, entre outros princípios.
Essas idéias são adotadas na primeira estruturação do ensino secundário do Brasil, a
Reforma Francisco Campos, apesar da resistência de professores. A resistência acontece em função
da falta de estrutura em termos de livros e de preparação adequada para as mudanças, assim como
divergências nas concepções. As mudanças têm continuidade com Malba Tahan, além de vários
outros professores, dentre os quais Omar Catunda, Martha de Souza Dantas, Maria Laura Leite
Lopes e Ubiratan D’Ambrósio. Os primeiros “Congressos Brasileiros de Educação Matemática”
ocorrem em Salvador, no ano de 1955, no Rio Grande do Sul, em 1959, em Belém, no ano de 1962
e São Paulo, em 1966.
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matemática nas séries iniciais
A Educação Matemática no Brasil
A atual Educação Matemática pode ser entendida, portanto, como a retomada do
movimento de renovação do ensino. No Brasil, esse movimento tomou forma no início da década de
70 e, considerando-se seus diferentes matizes, em termos de áreas temáticas estudadas, é possível
identificar suas características mais marcantes.
Antes de 1970, quando o fracasso da Matemática Moderna gerou a necessidade de
se buscar alternativas de superação do problema do ensino, o processo estava sendo iniciado. A
preocupação básica, nesse momento, era “o que” e “como” ensinar.
Na década de 70, o Movimento da Educação Matemática começa a dar os primeiros
passos. O início teve característica extremamente tecnicista, onde se enfatizava a utilização de
materiais didáticos e métodos de ensino como pontos de mudanças necessárias e suficientes para
a melhoria do ensino de matemática.
Na década de 80, observa-se a formação de uma comunidade de Educadores
Matemáticos, quando surge a Sociedade Brasileira de Educação Matemática e pela expansão
das áreas temáticas estudadas. Nesta fase, além de materiais e métodos, estuda-se o currículo,
práticas pedagógicas, formação de professores, psicologia, educação de adultos e epistemologia da
Matemática, entre outras. A preocupação estende-se ao por quê e para quem ensinar.
Nos anos 90 surge uma comunidade de pesquisadores em Educação Matemática
e as ações abrangem áreas temáticas mais específicas, como Resolução de Problemas, Ensino
de Álgebra, Ensino de Geometria e Etnomatemática, entre outras. Parece que aqui a Educação
Matemática começa a chegar à sua fase adulta, na medida em que a organização e a interação entre
esses pesquisadores se apresentam como perspectiva altamente produtiva.
O amadurecimento da Educação Matemática ocorre quando o dinamismo
das mudanças se acelera, quando o mundo se globaliza e o avanço tecnológico se acentua. O
individualismo e a exclusão social se recrudescem, a dúvida substitui a certeza e a exigência de um
novo pensar apresenta-se como única alternativa para encarar um futuro incerto. Assim, apesar do
amadurecimento da Educação Matemática, os desafios aumentaram e encará-los, tendo a clareza
de que o rumo é incerto, é a única alternativa que se apresenta.
A ação da Educação Matemática abrange todos os níveis de ensino, principalmente
os níveis que tratam da preparação do Educador Matemático, por ser este o agente fundamental
para a implementação de uma atividade educativa que conduza a um ensino de matemática mais
significativo e real. Podemos dizer de modo conclusivo, que as raízes da Educação Matemática
estão localizadas na própria matemática e seu desenvolvimento se deu em razão de preocupações
relativas ao seu processo de ensino e aprendizagem.
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matemática nas séries iniciais
É preciso considerar que o histórico traçado não teve a pretensão de esgotar o tema,
sendo apenas a busca de uma caracterização da Educação Matemática, de suas raízes e, portanto,
apenas um recorte. Mas, este permitiu identificar a Educação Matemática como uma área nova
e, como tal, não foi caracterizada e completamente delimitada; no seu sentido epistemológico
pode ser entendida como uma prática social que relaciona os fundamentos da educação (Filosofia,
Psicologia e Sociologia), com a finalidade de socializar este saber, envolvendo, portanto, a
preocupação com o ensino-aprendizagem.
Esta é uma ótica ampla, aberta e uma postura de dúvida, que nos permite identificá-la
como uma concepção crítica; para defini-la é necessário considerar que o surgimento da Educação
Matemática está profundamente relacionado à evolução histórico-social das formas de entender
o homem, a matemática, o conhecimento e o conhecimento matemático, além de ser resultado de
mudanças nas formas de entender o processo de ensinar e aprender. Esse surgimento é, portanto,
resultante de um processo histórico, marcado por diferentes contornos, de acordo com seu espaço
de desenvolvimento.
Tendo em vista esse pressuposto, apresento meu entendimento de Educação
Matemática, intencionalmente genérico, como sendo uma práxis pedagógica que tem como
foco central o aluno, um ser datado e localizado e que se efetiva através da matemática,
entendida como uma, dentre outras possibilidades de leitura de mundo, a qual necessita estar
conectada com esse tempo e espaço. O sentido de práxis, aqui, se aproxima do entendimento de
Cornelius Castoriadis que a define como um “fazer no qual o outro ou os outros são visados como
seres autônomos e considerados como o agente essencial do desenvolvimento de sua própria
autonomia” (1982, p. 94).
Você também pode entender a Educação Matemática como uma contraposição
às práticas que têm servido à construção de fronteiras sociais, resultante das discussões desse
processo histórico e deve ser concebida e tratada levando-se em consideração o atual momento da
humanidade e as possibilidades que existem, em termos de ensino. A caracterização do pensamento
matemático visto sob esse prisma, em se tratando de ensino e aprendizagem, leva em consideração,
necessariamente, aspectos psicológicos, sociais, históricos e culturais e sugere um novo olhar para
a prática pedagógica, além de apontar algumas orientações e direções.
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matemática nas séries iniciais
Atividade 4
A Educação Matemática e o movimento de modernização do ensino no Brasil
1. Como o movimento de modernização do ensino se deu no Brasil? De preferência, faça um
breve histórico, caracterizando as fases pelas quais o movimento passou.
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários
- É desejável que esteja explícito nas respostas que no Brasil, o que ocorreu foi reflexo do
movimento no mundo, passando por diversas fases, até chegar ao amadurecimento que hoje
apresenta sob a denominação de Educação Matemática, que se fundamenta em práticas ligadas
à realidade sócio-cultural e objetiva um ensino de matemática mais significativo.
3. ENSINO DE MATEMÁTICAS: DIRETRIZES METODOLÓGICAS
Apresento aqui, alguns aspectos a serem observados na condução do trabalho
didático, em termos de Ensino de Matemáticas, nas Séries Iniciais. Esses aspectos podem ser
considerados como diretrizes metodológicas para nortear a prática de sala de aula, mas devem ser
pensadas a partir da análise de cada situação em particular, de modo a possibilitar a construção de
caminhos próprios a serem trilhados por você professor(a).
 A diversidade das atividades
Por muito tempo acreditou-se que o indivíduo possuía apenas dois tipos de
faculdades mentais ou inteligências, a lógico-matemática e a lingüística. No entanto, a necessidade
de explicar capacidades observadas que não tinham relação com atividades escolares trouxe-nos a
percepção de inteligências múltiplas.
Howard Gardner classifica essas capacidades em inteligência musical, relativa à
organização de sons; inteligência espacial, relativa às formas espaciais; inteligência corporal
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cinestésica, relativa ao uso do corpo; inteligência naturalista, que diz respeito à sensibilidade para
o meio ambiente; inteligência interpessoal, capacidade de relacionamento com outras pessoas e
inteligência intrapessoal, competência de se auto-conhecer. Nilson José Machado acrescenta a
essas a inteligência pictórica, que seria a capacidade de reprodução através de desenhos.
Se existem apenas essas capacidades, é uma questão sobre a qual podemos refletir,
mas se elas são ou não inteligências, não cabe aqui discutir. Parece-me claro que a sociedade atual
reconhece essas capacidades e que a escola precisa considerá-las. Nesse sentido, a defesa que faço
é que as atividades escolares sejam as mais diversas possíveis e possibilitem o desenvolvimento
dessas capacidades ou habilidades, na perspectiva de uma formação global de ser humano.
Essas inteligências estão diretamente ligadas a estilos específicos de aprendizagem,
o que significa dizer que uma atividade pode possibilitar uma melhor aprendizagem para aqueles
que se identifiquem com as características próprias dessa atividade.
É importante considerar também que o conhecimento matemático deve possibilitar a
formação de hábitos, atitudes, o desenvolvimento de habilidades de elaborar e resolver problemas,
levantar e analisar dados, compreender conceitos, utilizar leis e regras, além de permitir sua
aplicação em situações que ocorrem no dia-a-dia, dentre outras. Assim sendo, a diversidade do
trabalho didático com a Matemática, necessita estar voltada às diferentes inteligências e a direção
desse trabalho deve ser estabelecida de modo a incluir os diversos valores do conhecimento.
 O aluno, a ação e a sua realidade como ponto de partida
Proponho a você que o início do trabalho didático se dê tomando-se como referência
o aluno e o conhecimento que ele possui, que é produto de sua vivência e uma forma de se fazer
isso, seria permitir a expressão desse aluno. Essa expressão pode se dar de várias maneiras, tal
como a verbalização. Esta mostra o que as crianças pensam, a profundidade da informação que
possuem, os conceitos que já estão formados. Para isso, é primordial o uso das suas experiências
adquiridas tanto na escola quanto fora dela e animá-las a falar e a fazer, a opinar, justificar, elaborar
textos, levantar dados, observar, relatar, ações que efetivamente podem e devem ser realizadas
pelos alunos, na perspectiva da construção de conceitos. É importante considerar que conceitos
são as inter-relações existentes entre as palavras, os símbolos e seus significados (determinados
pela individualidade).
O diálogo é, talvez, um dos princípios mais defendidos em termos de ensino, pois
a fala permite a expressão do conhecimento que os alunos possuem. Porém, uma outra forma de
expressão que necessita ser valorizada no ensino é a leitura. É importante considerar que leitura
não é apenas a decodificação de símbolos, mas a compreensão de uma mensagem explícita ou
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matemática nas séries iniciais
implícita em qualquer meio de comunicação. Nesse sentido, a transformação de uma mensagem
em códigos também é a expressão de uma compreensão ou entendimento e, portanto, também um
modo de expressão da leitura.
Uma forma de atender a exigência da leitura, no ensino de matemática, seria
oportunizar aos alunos a expressão de opiniões e dos seus olhares sobre fatos, acontecimentos,
frases, figuras, o que lhes possibilitaria uma interessante discussão e a criação do hábito do
questionamento sobre os significados e mensagens implícitas nas coisas do cotidiano. Outra
forma seria dar importância maior à leitura cuidadosa dos enunciados dos problemas, incentivar o
relato de observações feitas pelos alunos, usar textos em sala de aula, os quais poderiam ser lidos
e discutidos, ou ainda outras formas de valorização de leitura e escrita. Não existe uma forma
única de abordar e direcionar uma atividade pedagógica tendo a leitura como diretriz didática.
É necessário, entretanto, a participação plena dos alunos, seja criando, recriando ou atuando sob
orientação. Nunca, porém, sendo meros espectadores.
É importante a compreensão de que a formação de conceitos é progressiva e não se
perca de vista a relação das atividades realizadas com suas aplicações na vida diária das pessoas.
Em termos de ensino, acredito que sempre seja possível através das experiências dos próprios
alunos com os quais trabalhamos, desenvolver modelos até alcançarmos os que normalmente nos
são apresentados. Assim, o aluno constrói seu conhecimento em bases sólidas suas. Pode-se dizer
que um caminho a ser seguido é procurar, sempre que possível, partir de situações reais para o
desenvolvimento da programação de ensino.
Assim, é possível apontar para algumas ações que poderiam concorrer para a
melhoria da aprendizagem do aluno, como o uso de situações concretas e a proposição de problemas
centrados, de preferência, em atividades conhecidas pelos alunos e que despertam interesse e
estímulo à sua resolução. Existe ainda a possibilidade da realização do estudo de fatos, fenômenos
e objetos presentes no dia-a-dia, abordando aspectos científicos ali implícitos, além do uso de
jogos e curiosidades que fazem parte do seu cotidiano e que podem desafiar a inteligência dos
alunos e motivá-los ao aprendizado, dentre outras.
 A Interdisciplinaridade como diretriz metodológica
É necessário que você entenda que nos primórdios da existência humana, a produção
do conhecimento era resultante da prática social intrínseca ao próprio homem. Esse conhecimento,
extremamente utilitário e relacionado às necessidades vitais do homem, foi organizado e
sistematizado pelos gregos. No momento da sistematização, esse conhecimento assume um caráter
abstrato, reduzindo os fenômenos a estruturas formais. Essa redução a estruturas formais distancia
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o conhecimento da realidade, tornando obscura sua relação com o homem e o mundo. No entanto,
a unidade é resguardada e o conhecimento se configura em uma macro-disciplina.
Com a separação entre filosofia e ciência, ocorre a fragmentação do conhecimento
e o distanciamento ainda maior do homem e do mundo. A organização disciplinar no ensino é
reflexo dessa fragmentação e acaba por resultar em um aprendizado que denota o distanciamento
observado.
O efeito negativo dessa forma de configuração do ensino gera discussões e, a partir
daí, começa-se a buscar um “caminho de volta”, uma possibilidade de construir um conhecimento
não fragmentado, com uma forte vinculação com o homem, que possibilite uma educação
permanente e a oportunidade de compreender e modificar o mundo. A Educação Matemática, na
sua construção como campo de conhecimento, também traz implícita essa preocupação, na direção
desse caminho de volta.
O primeiro passo dessa reaproximação foi a multidisciplinaridade, uma forma de
integração curricular que dispunha conteúdos disciplinares próximos, na medida das necessidades
de cada uma das disciplinas. A seguir, com a pluridisciplinaridade e a busca da construção de
um conhecimento plural, tenta-se fazer a integração, o que se fez de diferentes formas, como
por exemplo, a partir de temas geradores. Após isso, como forma de aprimorar ainda mais essa
integração, surge a interdisciplinaridade, que é o que se vive hoje.
Em termos de ensino de Matemática, é possível apontar alguns caminhos para a
construção de uma prática interdisciplinar. O trabalho com situações-problema pode ser um dos
caminhos. Porém, a discussão da situação não pode ficar restrita aos aspectos quantitativos que
envolvem a situação. É necessário perceber que essa situação sofre a interferência de múltiplos
aspectos que a determinam, que ela está situada em um tempo, em um espaço e essa situação
envolve o próprio homem, portanto, está relacionada a questões econômicas, culturais e políticas.
A Matemática, então, estará imersa em uma realidade global e deverá servir para que o aluno
entenda essa realidade.
A interdisciplinaridade, no entanto, não parece ser o último passo desse caminhar
gerado pela necessidade de se retomar a unidade perdida. Já se vislumbra e defende-se que, na medida
em que a integração faça desaparecer os limites disciplinares, tenhamos a transdisciplinaridade
ou nova transdisciplinaridade que seria o ponto de chegada a uma nova macro-disciplina ou
talvez a uma forma de conhecimento escolar que englobasse todas as ciências. Um conhecimento
que poderia ser caracterizado como holístico.
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matemática nas séries iniciais
 A Pesquisa como princípio educativo
A discussão sobre a Pesquisa como princípio educativo, na visão de DEMO (1992)
precisa ser iniciada a partir do entendimento do que seja pesquisar, aprender e ensinar. Entendendo
a educação como forma de motivar a criação e a emancipação, o ato de pesquisar passa a ser a busca
da superação do saber, que só uma atitude crítica poderá possibilitar. Depreende-se da interpretação
dada por DEMO que aprender, sob essa ótica, não significa reproduzir, mas “aprender a criar” e
pesquisar seria a “capacidade de elaboração própria”, na medida em que se questiona a realidade
que nunca é completamente visível, empírica, pois é também teórica.
Nesse sentido, o autor afirma que a consciência crítica é “componente necessária
para toda proposta emancipatória” e há necessidade de que se faça um “diálogo crítico com
a realidade”, em contraposição à mera reprodução, é o que se pode chamar de “cotidianizar
a pesquisa”, uma pesquisa que “se funda na produção própria”. Ensinar, então, considerando
a pesquisa como princípio, pode ser entendido como “construir a necessidade de construir
caminhos”.
A análise de uma situação, seja para elaborar um problema, para resolvê-lo, para
identificar aspectos matemáticos presentes ou para elaborar modelos explicativos, exige uma
postura de busca, de reflexão e de construção, não envolvendo uma ação mecânica, que é o que
defendo, mas de compreensão da situação e da realidade na qual ela está imersa.
 O formal como ponto de chegada
Se o trabalho de ensino for desenvolvido a partir de uma atividade informal, seja
qual for a alternativa de recurso utilizada, faz-se necessário que todo o trabalho informal seja
canalizado tendo como perspectiva os conhecimentos válidos socialmente. A essa ação, podemos
dar o nome de sistematização, que nada mais é do que a construção de pontes entre o informal
e o conhecimento científico, é o momento da organização, da formalização do conhecimento
trabalhado informalmente.
Sua reflexão sobre esses pontos é importante, pois eles podem lhe servir de parâmetro
para a definição de uma linha de ação a ser seguida, seja qual for a alternativa escolhida. Essas
diretrizes ou princípios poderão se configurar nos seus pontos de apoio para o uso de determinados
recursos metodológicos e em uma forma de garantir que quaisquer tendências que venham a surgir
tenham uma base atual e firme.
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matemática nas séries iniciais
- Agora entendi: Se existe uma Matemática informal, posso
dizer, então, que as pessoas fazem diferentes matemáticas. Na
minha sala de aula, se eu considero o conhecimento das crianças,
eu estou trabalhando com Matemáticas e não apenas com a
Matemática formal que está nos livros e que deve aparecer no
momento final, quando estou ensinando!
Atividade 5 - Ensino de Matemáticas: Diretrizes metodológicas
• Identifique e comente cada uma das diretrizes para o ensino de matemática apresentadas no
texto.
R:____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Comentários
Espera-se que você tenha percebido que as diretrizes recomendadas no texto para
o ensino, podem ser listadas e estão relacionadas aos aspectos abaixo:
• Diversificar ao máximo os tipos de atividades em sala de aula, em função das diferentes
inteligências existentes e dos diferentes valores da Matemática;
• Início informal, a partir de questionamentos aos alunos, de modo a permitir que, ao final, seja
feita a organização formal dos conteúdos;
• Possibilitar a efetiva ação dos alunos, seja discutindo, levantando e analisando dados,
relatando, elaborando e resolvendo problemas,
• Relacionar as atividades com a realidade dos alunos, de modo que o aprendido tenha
significado para eles;
• Incentivar a expressão dos alunos seja através da fala, da escrita, de desenhos, ou qualquer
outra forma de expressão;
• Incentivar o olhar crítico sobre os fatos do cotidiano e a produção própria dos alunos, o que
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matemática nas séries iniciais
se configura em uma forma de entender a prática da pesquisa;
• Dar uma dimensão interdisciplinar ao ensino, ou seja, possibilitar que os alunos tenham uma
visão dos conteúdos disciplinares como parte de uma realidade global e que isso pode ser
feito no interior de um projeto de pesquisa.
4. Resumo da unidade
Nesse início de trabalho, você foi convidado a fazer um passeio pela história para
entender como foi se dando a construção do pensamento matemático. Você iniciou na trilha da
relação entre matemática e realidade e nesta, você participou da discussão da relação entre sujeito
e objeto e percebeu que essa discussão está relacionada à polarização entre o teórico e o prático.
Mas isso não foi suficiente para você compreender a relação entre o conhecimento matemático e a
realidade; assim, o passeio teve continuidade.
A parte seguinte do passeio provavelmente permitiu sua observação para compreender
a construção do conhecimento matemático; era necessário olhar para aspectos sociais, históricos
e culturais e, possivelmente, sua grande surpresa foi descobrir que a Matemática que você ensina
está relacionada a essa história e que o modo como ela é ensinada pode ser fundamental para a
transformação da sociedade.
Você descansou e depois foi visitar a Educação Matemática com a intenção de
compreender seu processo de organização e as transformações pelas quais passou. Você identificou
os gregos como os responsáveis pelo “nascimento” da Educação Matemática. Também compreendeu
que a opção por um tratamento abstrato foi uma forma de valorizar a Matemática e que esta criou
barreiras sociais, fazendo a sociedade acreditar que a Matemática era algo mítico e místico e que
o seu acesso só era permitido a pessoas especiais, distanciando a maioria das pessoas, na medida
em que as dificuldades de aprendizagem eram muito grandes.
Em seguida, você se deparou com o movimento de modernização da Matemática,
que ocorreu com o objetivo de facilitar a aprendizagem da Matemática. Você observou que foi
um movimento internacional iniciado na Alemanha, se estendeu pelo mundo e acabou gerando
com base na Teoria de Conjuntos, a Matemática Moderna, que foi um fracasso em razão da pressa
na sua aplicação, motivada por questões políticas e econômicas, bem como de sua organização
conceitual.
Você acompanhou a chegada da Matemática Moderna no Brasil, na da década de 60,
e viu que esse momento, apesar do fracasso, fez o movimento de modernização do ensino avançar
de modo mais consciente e cuidadoso. Você conheceu as diversas etapas pelas quais o processo
passou e observa a Educação Matemática Atual fortalecida e madura que tem como objetivo maior
hoje, buscar um ensino significativo que possibilite ao aluno entender a Matemática como meio de
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matemática nas séries iniciais
melhor compreender e atuar na sua realidade.
Após o passeio feito, lhe foi apresentado um caminho que permite que a
aprendizagem, fruto da viagem que você fez, seja levada para o trabalho de sala de aula. Percebeu
que, nesse caminho, é sempre necessário diversificar ao máximo os tipos de atividades, em função
das diferentes inteligências existentes e dos diferentes valores da matemática. Entendeu que deve
iniciar a atividade de ensino de modo informal, o que pode ser feito a partir de questionamentos
aos alunos ou de qualquer meio que os façam se expressar, e compreendeu que necessita sempre
possibilitar a efetiva ação dos alunos. Você também observou que é sempre conveniente relacionar
as atividades com a realidade dos alunos, assim como incentivar o olhar crítico sobre os fatos do
cotidiano e possibilitar a produção própria dos alunos, de modo que o aprendido tenha significado.
Também viu o quanto é primordial possibilitar que os alunos tenham uma visão dos conteúdos
disciplinares como parte de uma realidade global e, chegando ao fim do caminho, percebeu que esse
seria o momento de sistematização do trabalho que foi feito informalmente, ou seja, o momento de
formalizar o que foi aprendido.
Você tem, então, um caminho que pode ser utilizado para “pôr a mão na massa” ou
“pôr a mente na situação-problema”. Na unidade seguinte, você terá a oportunidade de fazer isso.
Siga em frente!
Se você estiver interessado(a) em informações sobre a
Educação Matemática no Pará, leia a dissertação recomendada
abaixo. Nela, há um capítulo destinado exclusivamente para delinear
a trajetória e as características do movimento de renovação da
Educação Matemática em nosso estado.
SILVA, Neivaldo Oliveira. Formação de Professore(a)s e Educação
Matemática no Pará: Rastros e traços de um olhar ... Dissertação
de mestrado. UNAMA, Belém-PA, 1999.
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REFERÊNCIAS
ANDERY, Maria Amália et al. Para compreender a ciência. Rio de Janeiro: Espaço e Tempo;
São Paulo: EDUC, 1988.
BICUDO, Maria Aparecida V. Educação Matemática. São Paulo: Moraes, 1989.
CARVALHO, João Pitombeira de. Avaliação e Perspectivas da área de Ensino de Matemática no
Brasil, in Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
___________________________. O que é Educação Matemática?, in Temas e Debates, Rio
Claro, SP, ano IV, n. 03, 1991
CASTORIADIS, Cornelius. A Instituição imaginária da sociedade. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1982.
CASTRO, F. M. de Oliveira. A matemática no Brasil. São Paulo: Ed. da UNICAMP, 1992.
D’ AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1990.
_____________________. Educação para uma sociedade em transição. São Paulo: Papirus, 1999.
GARDNER, Howard. Inteligências múltiplas: a teoria na prática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
KLINE. O Fracasso da Matemática Moderna. São Paulo: Ibrasa-Instituição Brasileira de
Difusão Cultural S.A, 1976.
MACHADO, Nilson José. Matemática e Realidade. 3 ed. São Paulo: Cortez: Autores Associados,
1991.
MACHADO, Nilson José. Epistemologia e didática: as concepções de conhecimento e
inteligência e a prática docente. São Paulo: Cortez, 1995.
MAIA, Newton Freire. A ciência por dentro. 3 ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 1995.
PIAGET, Jean. Introdución a la epistemologia genética. Buenos Aires: Paidós, 1978. 3v.
PIAGET, J. Psicologia e Epistemologia. Lisboa: Dom Quixote, 1991.
SILVA, Circe Mary S. A Matemática Positivista e sua difusão no Brasil. Vitória – ES: EDUFES,
1999.
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matemática nas séries iniciais
UNIDADE 2
ENSINO DE ARITMÉTICA
Introdução
Ao chegar até aqui, você teve a oportunidade de refletir sobre sua prática pedagógica,
tendo como parâmetro os pontos de discussão apresentados na unidade anterior. Agora é o momento
de praticar.
Mas antes de dar continuidade ao trabalho com o Módulo-Disciplina, realizando
as atividades que virão a seguir, convidamos você a refletir sobre o conteúdo “Aritmética” que é
uma temática tratada nas Séries Iniciais. Essa temática é abordada nas atividades e a intenção é que
você pare e reflita sobre o ensino desse conteúdo, antes de realizá-las.
Assim, a segunda unidade consta, principalmente, de várias atividades de ensino,
envolvendo Aritmética. A pretensão não é esgotar os conteúdos que constam na proposta para as
Séries Iniciais. São apenas exemplos que podem ser postos em prática, dependendo do ponto de
vista adotado por você, tendo como parâmetro o que foi exposto. No entanto, seria interessante
refletir, no momento do trabalho de sala de aula, sobre as diretrizes defendidas na fundamentação
teórica apresentada. Assim, é fundamental que você retorne à discussão anterior para identificar se
as diretrizes estão sendo observadas.
Tenha sempre a clareza de que essas atividades têm como objetivo final a sala de
aula e que você terá que usar sua criatividade para propor questões aos alunos. A intenção é lhe
possibilitar o desenvolvimento de estratégias de ensino de matemática para as séries iniciais, em
termos de Aritmética, tendo como referência diretrizes metodológicas que se adeqüem ao momento
atual e lhe dar condições de rever conteúdos de matemática, em termos de Aritmética, de modo
a permitir uma atuação transformadora no espaço da sala de aula sob uma ótica atual. Talvez
você desenvolva um trabalho semelhante ao aqui proposto, mas mesmo que isto não aconteça, a
suposição é de que você não deverá encontrar maiores dificuldades. Vá em frente!
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1. ENSINO DE ARITMÉTICA
1.1. O Pensamento Matemático e a Construção do Número
Nas Séries Iniciais, a Matemática tem sido usualmente ensinada, dividida em dois
grandes ramos: A Aritmética, que trata dos números e operações e a Geometria, que se relaciona às
dimensões do espaço e das formas diversas. Dessas, a Aritmética é aquela que se tem dado maior
importância. Entretanto, como a construção da idéia de número pela criança, não é uma coisa
tão simples, tendo em vista o nível de desenvolvimento no qual se encontra, aparecem algumas
lacunas no processo de ensino-aprendizagem.
Antes de iniciarmos nossa discussão sobre aspectos específicos da Aritmética, é
importante ressaltar a existência dos campos “Tratamento de Informação” e “Grandezas e medidas”,
que você precisa considerar no ensino. Estes podem constituir uma forma de resguardar no seu
trabalho de sala de aula, diretrizes como a interdisciplinaridade, ênfase à pesquisa e relação com a
realidade e, além disso, podem concorrer para a formação da cidadania. Nesse sentido, há a defesa,
nos Parâmetros Curriculares Nacionais, que:
“os conteúdos que constituem o bloco Tratamento da Informação propiciam estabelecer
ligações entre a Matemática e os conteúdos de outras áreas e com os Temas Transversais,
à medida que o aluno os perceba como instrumentos essenciais para a constituição de uma
atitude crítica diante de questões sociais, políticas, culturais, científicas da atualidade”
(PCN, 1998, p. 70).
Todas as relações existentes no pensamento são expressões do conhecimento lógicomatemático da criança, que aos poucos começa a se manifestar. A criança faz essas relações, desde
muito cedo, mas é no final do período pré-operatório e início do operatório concreto, de acordo
com as fases de desenvolvimento de Piaget, que a criança começa a estabelecer relações entre as
coisas, considerando as várias características intrínsecas a essas coisas, como tamanho, forma e
cor, entre outras, mas sempre em presença do objeto concreto.
As noções de classificação ou maneiras de separar ou agrupar objetos por suas
semelhanças ou diferenças vão se tornando mais racionais e, com isso, a criança começa a ser capaz
de estabelecer outra relação, que é a seriação, quando ela é capaz de organizar uma seqüência,
respeitando determinados critérios ao definir a posição dos objetos dessa seqüência.
Para saber mais sobre as etapas de aprendizagem de Piaget, leia o livro Didática da Matemática de Ernesto Rosa Neto, que
trata além das etapas de aprendizagem, de aspectos relativos à história da Matemática e sobre o trabalho com Laboratório de
Matemática.
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Série de bolas: Critério:
vermelho, azul, amarelo.
A seriação nos remete à ordenação, quando o critério de posicionamento está
relacionado a coisas que possam ser mensuradas (medidas ou contadas). Porém, é mais fácil
para a criança comparar objetos que possuam tamanhos diferentes. A noção de quantidade é mais
complexa.
O Número também é uma construção mental, que é feita a partir de relações
estabelecidas entre objetos. Inicialmente, a criança usa os nomes dos números como se fossem
nomes de objetos. Ela vai, aos poucos, aliando o dar nomes a esquemas de seriação. Só depois, no
entanto, é que a criança irá construir a noção de classe-inclusão.
A classe-inclusão na construção do Número significa que a criança precisa perceber
que a quantidade dois (2), nada mais é que duas classes de um (1) que foram combinadas para
formar uma única classe maior; que a quantidade três (3), nada mais é que uma classe de dois (2)
que foi combinada com outra classe de um (1). Isso requer que a criança faça comparações entre
dois níveis de uma hierarquia de classes, se concentrando em dois aspectos, simultaneamente: a
classe superior unificada e a classe inferior.
Quando a criança ordena as classes cada vez maiores e percebe que a quantidade
dois (2) é maior que a quantidade um (1), que a quantidade três (3) é maior que a quantidade (2) e
assim por diante, pode-se dizer que a criança está realmente contando. O ideal é que isso seja feito
com objetos e não apenas com as quantidades. Nesse sentido, é necessário desvincular as noções
de quantidade e tamanho.
O ensino dos números e dos sistemas numéricos, de modo mais formal, deve ocorrer
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após a sedimentação desses princípios ou habilidades básicas na organização do pensamento, como
reversibilidade, transitividade, seriação, ordenação, classificação, etc. Além disso, é importante que
as atividades desenvolvidas em sala de aula permitam que os alunos percebam as idéias básicas
que envolvem a construção do sistema numérico. Essas atividades deverão envolver as noções de
“Correspondência termo a termo”, “Classe-inclusão” e “Ordenação”.
O trabalho nesse nível básico precisa ser feito sem pressa. É importante, dizendo
de forma simples, que os alunos contem coisas, que juntem as coisas que estão contando e que,
a cada vez que juntarem mais 1 (um), percebam que formaram um novo número e que este é
maior (contém mais) que o anterior e, assim, aos poucos, ir construindo esse complexo esquema.
É importante valorizar atividades como: mostre 3 frutas, pegue 5 palitos; até mesmo pequenos
problemas como repartir e contar, ou juntar 4 caroços de açaí com mais 5 caroços, mas tudo isso
sem representações. Também é importante que sejam feitas muitas perguntas, ao invés de ficar
explicando coisas.
É fundamental, nessa aprendizagem, que seja feita uma lenta transição entre os
momentos de compreensão das diferentes quantidades e a sua simbolização, que são dois processos
que exigem diferentes operações mentais. A compreensão precisa preceder a simbolização e, para
isso, as representações das quantidades, devem aparecer aos poucos e, inicialmente, relacionadas
às quantidades.
A seguir, você terá uma série de atividades a serem desenvolvidas em sala de aula,
com seus alunos. Mas é importante que você considere, antes de iniciar essas atividades, que
as crianças com as quais trabalha trazem para a sala de aula conhecimentos que possivelmente
envolvem números e formas de representação, o que não deve ser desconsiderado. Nesse sentido,
você deve conversar com elas e deixá-las demonstrarem o que sabem, para que isso seja o seu
ponto de partida. Esse é um aspecto bastante ressaltado por Carraher e Schliemann (1989), como
forma de levar em conta os convívios sociais e culturais da criança com o mundo dos números.
Você também não precisa seguir a organização linear presente nas atividades, pois
isso depende dos conhecimentos trazidos por seus alunos. Lembre-se que eles é que definirão a
seqüência do seu trabalho. Essa organização foi feita apenas para sua orientação.
Os objetos utilizados podem ser outros. Você pode valorizar coisas que façam parte
do contexto no qual você trabalha.
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Atividade 01 - Aprendendo a representar os Números
O aluno precisa perceber a relação entre a quantidade e o símbolo que o representa
e como forma de obter essa relação, o trabalho com um material que expresse essa relação, como
o que é apresentado, a seguir, é uma boa alternativa.
Orientações
A atividade deverá ser realizada em três etapas, de modo que ele primeiro perceba
a quantidade, depois relacione a quantidade à sua representação e em uma terceira etapa possa
trabalhar apenas com a representação das quantidades. O material pode ser confeccionado por
você ou conjuntamente com os alunos, o que é recomendável.
Etapa 01
Nessa etapa, o aluno deve trabalhar apenas com as quantidades, sem a preocupação
de simbolizar essas quantidades. O trabalho pode ser feito com a introdução das quantidades de 1
a 9, mas se você achar que as crianças possuem conhecimentos que lhes permitam ir mais longe,
pode seguir adiante! Aqui, você deve fazer muitas perguntas, como:
-Quantos carrinhos?
-Qual tem mais? Qual tem menos?
-Quantos têm a mais? Quantos têm a menos?
Etapa 02
Agora, o aluno vai trabalhar com as quantidades relacionando-as aos símbolos que
as representam. O trabalho deve ser feito com quantidades trabalhadas na etapa anterior. Faça,
novamente, muitas perguntas similares à etapa 01.
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1
2
3
Etapa 03
- Nessa terceira e última etapa, o aluno deverá reconhecer a quantidade apenas a partir do
símbolo que a representa. As fichas também deverão ser apresentadas ou construídas com as
quantidades trabalhadas. Novamente, as perguntas devem ser feitas por você. Essas perguntas
devem possibilitar a identificação e a comparação. Apresente uma ficha, ou solicite que os
alunos façam isso e pergunte: Quantos tem? Depois, apresente duas e pergunte: Quantos?
Qual o maior? Quantos têm a mais? Quantos têm a menos? Qual é o menor?
1
2
3
Comentários
Em termos de orientação do trabalho didático, o aluno tem que ser incentivado
a pensar, de modo a primeiro compreender, falar o que compreendeu, para depois fazer a
representação daquilo que aprendeu (compreender em ação, compreender em pensamento e
compreender explicitando por representação simbólica). No entanto, a fala do aluno também pode
estar no momento final desse processo, quando se pensa na socialização, entre os alunos, das idéias
aprendidas, mas que também exige saber expressar essa fala ou pensamento, de forma simbólica,
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através de registro gráfico.
O trabalho com as diferentes quantidades não pode ser, inicialmente, fragmentado.
É necessário que os alunos visualizem as diferentes quantidades, para terem noção do todo e, só
depois, ser dada ênfase, gradualmente, a cada quantidade. Para a simbolização, que é a última etapa
do processo e por exigir habilidades motoras, é importante que sejam desenvolvidas atividades
direcionadas à grafia dos números.
Para auxiliar os alunos na grafia com os números, existe uma atividade na qual são
utilizados números recortados em lixa ou utilizando areia e cola, em tamanho grande, fixados em
folhas de papel, para os alunos desenvolverem a coordenação motora, na medida em que passam
a mão sobre esses números. Nessa atividade, os alunos devem ser orientados a seguirem sempre
uma direção (da esquerda para a direita e de cima para baixo, que são os movimentos feitos mais
facilmente. Para o canhoto é o inverso). Atividades com água, com tinta ou outras alternativas para
desenharem números, também são interessantes.
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Atividade 02 - Contando mais que nove
Um obstáculo que surge quando ensinamos os números é a mudança de representação,
utilizando dois símbolos a partir da quantidade dez. É necessário, aqui, que os alunos componham
essas quantidades, a partir de grupamentos de dez e, para atingir esse objetivo, pode ser desenvolvida
a atividade a seguir.
Orientações
Essa atividade é uma extensão do trabalho que foi desenvolvido anteriormente. Os
alunos já aprenderam a compor as quantidades, sempre acrescentando mais um e isso permanece
igual, quando o número a ser composto é o dez, que nada mais é que nove mais um. Agora, você
vai ensinar a eles que sempre que juntarmos dez coisas devemos formar um grupo e que isso pode
ser considerado uma regra ou um jogo.
- Trabalhe com palitos de picolé e componha outras quantidades, como:
+
ou
+
-Faça isso com outras quantidades (desarrumadas), desafiando os alunos a contarem e depois
discuta a forma de representar essas quantidades. Para isso, use a linguagem “quantos grupos de
dez e quantos soltos?”. A resposta a essa pergunta possibilitará que os próprios alunos representem
as quantidades maiores que dez e a própria quantidade dez como um grupo de dez e nenhum
solto. Lembre-se que os alunos estão compondo quantidades. Experimente, então, desconstruir
essas quantidades ou decompô-las, quebrando os números ou subtraindo. Isto é, trabalhar com a
reversibilidade.
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Comentários
Sem pretender definir o momento em que essa atividade deverá ser aplicada, pois
depende da velocidade dos seus alunos, podemos dizer que normalmente ocorre no final da 1ª
série. O importante é que essa estratégia seja utilizada para trabalhar com quantidades envolvendo
dezenas e seja ampliado para o trabalho com centenas, quando o grupamento de 10 dezenas formar
uma centena. Você estará, assim, trabalhando o Sistema de Numeração Decimal e os alunos estarão
compreendendo que a quantidade 12, por exemplo, nada mais é que 10 + 2, ou um grupo de dez
e dois soltos, ou ainda, uma dezena e duas unidades. Essa compreensão é fundamental, pois essa
idéia é básica para o trabalho com as operações que deverá ser feita posteriormente.
Novamente, não deve haver preocupação inicial com a gradualidade. Trabalhe com
diferentes quantidades, sem a preocupação com a ordem. Só depois, se você sentir que é necessário,
é que essa preocupação deve aparecer.
Utilize recursos diversos para fazer contagens. Use sementes de frutas comuns no
seu município, desenhos de animais regionais ou outras coisas presentes no seu contexto. Aproveite
para conversar sobre preservação.
1.2. A Contagem e o Pensamento Abstrato
Um momento que exige um trabalho cuidadoso é a passagem do trabalho com
objetos concretos para as representações abstratas, quando apenas os números irão aparecer. A
sugestão que damos é que seja feito um trabalho de transição, com um material que traz implícita
essa idéia: O Ábaco.
A transição se dá, pois no Ábaco são utilizadas bolinhas para representar quantidades
e essas bolinhas assumem valores diferentes, na medida em que estão em posições também
diferentes. Com ele, os alunos podem representar grandes quantidades, utilizando o princípio do
valor posicional.
O Ábaco foi a primeira calculadora inventada pelo homem e as suas primeiras
versões utilizavam pedras e fios. Sua maior vantagem era a de prescindir do “zero”, que ainda não
havia sido inventado à época do seu surgimento.
Existem várias versões. O Ábaco Japonês é constituído por uma espécie de grade
retangular, com hastes fixas paralelamente e uma haste perpendicular. Nas hastes paralelas são
colocadas bolinhas que deslizam em direção à haste perpendicular. Cada bolinha que fica abaixo da
haste perpendicular vale 01 (uma) unidade, enquanto que a bolinha que fica acima desta haste, vale
05 (cinco ) unidades. O Ábaco Chinês é similar ao Japonês, sendo que são colocadas duas bolinhas
acima da haste vertical. Os valores das bolinhas também são os mesmos. O Ábaco Romano, que
é o mais utilizado nas escolas (em duas versões), é composto por uma base e várias hastes. Cada
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haste comporta 09 (nove) argolas.
Em todas as versões, porém, o princípio é o valor posicional: Na primeira haste,
à direita, cada bolinha abaixo da haste central (na horizontal) vale uma unidade. Na segunda (da
direita para a esquerda), cada bola vale dez. Na terceira, vale cem e assim sucessivamente. As
bolas acima da haste valem cinco no chinês e dez no japonês. A contagem é feita considerando as
bolas que estão coladas na haste central. No chinês utiliza-se o princípio da subtração, enquanto
que no japonês, o princípio aditivo.
- Ábaco Japonês, com a representação do número 162
-
Ábaco Chinês:
- Ábaco Romano, com a representação do número 21.348
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Atividade 03 - Contando com o Ábaco
O objetivo, ao se trabalhar com o Ábaco, é permitir a passagem do pensamento
com base no concreto, para o pensamento abstrato. No entanto, é importante que os alunos façam
a representação, no papel, após fazer a contagem no ábaco.
Orientações
Novamente, aqui, o trabalho deve ser uma extensão da proposta que vem sendo posta
em prática. Para contar e representar no Ábaco, os alunos devem dispor e manusear quantidades
(desarrumadas) de objetos. Essas quantidades podem ser resultantes de situações criadas por você,
professor(a) ou pelas crianças. É necessário, no entanto, que elas lembrem da regra básica de
formar um grupo, sempre que contarem dez. No Ábaco, não podem ficar 10 bolinhas em uma
haste e sempre que se alcançar essa quantidade elas devem trocar por uma bolinha a ser colocada
na haste imediatamente à esquerda. O desafio e a atividade devem ser das crianças.
- Solicite, então, que contem e representem no Ábaco quantidades diversas, como por exemplo:
Comentários
Você pode construir o Ábaco juntamente com seus alunos. Use materiais da sua
região e, para contar e representar, continue utilizando coisas do seu contexto. No final, explore as
situações criadas por você e seus alunos, aproveitando para ampliar a discussão envolvendo outros
aspectos, que não a matemática.
1.3. Operações
A criança entende mais facilmente as coisas que fazem parte de sua realidade.
A Matemática é algo que faz parte dessa realidade. Assim, ao discutir ensino de Matemática, o
primeiro aspecto é sem dúvida, a necessidade de se fazer, ao ensinar, essa relação. É necessário no
entanto, entender que as realidades são diferentes e que é preciso trabalhar com as realidades das
crianças para as quais se está ensinando.
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O trabalho com as operações deve ser feito de modo a relacionar os processos
desenvolvidos em sala de aula com os processos desenvolvidos pelos alunos no seu cotidiano. É
aconselhável que as contas sejam sempre acompanhadas de uma história que as contextualizem.
As propriedades das operações, por sua vez, considerando que são coisas que sempre acontecem,
que são próprias de determinadas operações, devem ser construídas pelos alunos após a observação
de exemplos concretos de operações realizadas.
A adição, que é a operação geradora das demais, se encontra implícita na ação de
juntar que é própria da construção de Número, mas a adição também pode estar implícita na ação
de comparar quantidades (qual tem mais?), ou mesmo na ação de completar (quantos faltam para?).
O conceito de Adição, portanto, deve ser o primeiro a ser construído pelos alunos e os demais,
como extensão deste. O uso de diferentes processos é sempre válido. Mas é importante, sobretudo,
que o pensamento reversível seja trabalhado, de modo a que se perceba a relação existente entre os
conceitos construídos (ou em construção). Assim sendo, sempre que se falar ou propor a realização
de uma adição é importante fazer a relação com a subtração.
Atividade 04 - As primeiras Adições
Orientações
O objetivo, com esta atividade, é que os alunos construam o conceito de Adição.
No momento inicial, que pode ocorrer na 1ª série, a sugestão é que sejam apresentados,
aos alunos, problemas envolvendo o manuseio de materiais. Você entrega certa quantidade de
objetos aos alunos (bolinhas, por exemplo) e pergunta:
-Quantas bolas vermelhas? Quantas azuis? Quantas, no total? Qual tem mais? Quantas a mais?
Quantas azuis faltam para completar a quantidade de vermelhas?
Comentários
É importante, nesse momento inicial, que os alunos possam manusear materiais.
Você pode armar a conta, utilizando riscos representando as quantidades, ensinar o símbolo + e
até pode usar os termos parcela e soma, mas sem cobranças. A conta, utilizando os números pode
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vir em um segundo momento e somente aí, possivelmente em uma segunda série, é que os termos
poderão ser cobrados. A mecanização do processo ocorrerá naturalmente e apenas depois que os
alunos compreenderam e memorizaram.
No exemplo, foram utilizadas bolinhas, mas você deve lembrar que a contextualização
do trabalho é responsabilidade sua e, para isso, pode utilizar objetos do cotidiano dos seus alunos
e, depois, ampliar a discussão, envolvendo aspectos não matemáticos.
O conceito de subtração é construído a partir da adição e deve ser trabalhada em
paralelo. A ação de juntar e de retirar devem ser compreendidas como ações inversas, mas que
podem ser momentos diferentes de uma mesma situação. A ação de completar, também permite
esse olhar reversível. A busca das respostas às perguntas feitas, na situação apresentada, é que
darão indicativos das operações realizadas pelos alunos.
Se você quiser fazer uma discussão envolvendo outras áreas e temáticas, experimente
perguntar aos alunos sobre situações que eles observaram aumento ou diminuição de quantidades.
Você pode, depois das respostas e das situações e discussões daí resultantes, criar outras e falar
da variação da quantidade de alunos na turma (em diferentes dias), de preços de coisas que eles
compram, do valor de passagem, ou outras situações possíveis. Isso pode gerar uma discussão
interessante. Mas é importante que as comparações, nos diferentes momentos, se dê, na perspectiva
de que eles percebam as variações sempre relacionadas às operações adição e subtração.
Mais adições e subtrações
Nas duas últimas séries iniciais, os processos de adição e subtração assumem uma
maior formalidade quando são trabalhadas quantidades maiores. Nesse momento, o conhecimento
sobre o Sistema de Numeração Decimal é uma exigência, sendo importante que os alunos percebam
que os números podem ser “quebrados”. O número 43 pode ser entendido como 40 + 3 e isso
facilitará a compreensão das operações. Essas idéias foram trabalhadas na atividade 2 (contando
mais que 9) e você pode, agora, sistematizar esse conhecimento detalhando as características desse
sistema.
Adicionar 38 + 27 poderia ser feito da seguinte maneira:
30 + 8 (+)
20 + 7
50 + 15 Mas, como o 15 pode ser quebrado, ficamos com:
50 + 10 + 5 = 60 + 5 e, juntando os pedaços
65
Desse modo, a idéia do “vai um” seria mais bem interpretada. Na subtração, o
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processo seria o mesmo. Observe, no exemplo abaixo, como poderia ser realizada a subtração de
43 - 29:
40 + 3 (-)
20 + 9
Como não é possível retirar a quantidade 9 de 3, retiramos uma dezena, das dezenas,
juntamos ao 3 e ficamos com a seguinte subtração:
30 + 13 (-)
20 + 9
10 + 4 que, ao juntar os pedaços, resulta em
14
O processo de quebrar os números (ou decompor) para operar é um princípio
utilizado para a realização de cálculos mentais. Observe, nos exemplos dados anteriormente, como
isso ocorre e incentive os alunos a fazerem, também, essa observação. Depois solicite que os
cálculos sejam refeitos sem o registro do processo.
A contextualização do trabalho com as operações ainda é uma necessidade.
Nesse sentido, entenda que a generalização que aqui se faz presente é necessária devido ao não
conhecimento de seu contexto, que é específico. Procure, portanto, sempre criar situações que se
encaixem nas continhas propostas, possivelmente, aproximará a matemática da realidade de seus
alunos.
Atividade 05 -
Noção de Multiplicação
Orientações
A atividade permite a construção do conceito de Multiplicação, como uma extensão
do conceito de Adição. Esse modo de entender a multiplicação me parece ser a melhor forma
de possibilitar a compreensão, pelas crianças, dessa operação, e a auto-avaliação, no processo.
O conceito de multiplicação também é apresentado, na atividade, como operação inversa da
divisão.
Apresente figuras, com os exemplos a seguir, e solicite que os alunos contem no
primeiro caso, a quantidade total de bolinhas e
no segundo caso, a quantidade total de pontas
das estrelas.
Nas situações apresentadas a reversibilidade precisa se fazer presente. Você pode
perguntar aos alunos: Se existem 12 bolinhas em três fileiras, quantas bolinhas existem em cada
fileira? Se forem 25 pontas no total e cada estrela tem 5 pontas, quantas são as estrelas?
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Comentários
Incentive os alunos a descobrir um processo para agilizar a contagem. Isso os
conduzirá à percepção de que é possível contar quantas vezes uma determinada quantidade se
repete. É aqui que deve surgir a idéia de contar de 3 em 3, de 5 em 5 etc. Depois, para exercitar o
processo, você pode utilizar brincadeiras como aquela na qual os alunos contam (falam, recitam)
os Números Naturais, em seqüência, e substituem os números (de 3 em 3, por exemplo) por uma
palavra, pão por exemplo, ficando assim: um, dois, pão, quatro, cinco, pão, sete, oito, pão, e assim
por diante. Aqui, a idéia de múltiplos estaria sendo formada.
Associe a multiplicação à contagem de quadradinhos, em papel quadriculado,
de modo que os alunos percebam que para descobrir a quantidade total de quadradinhos, basta
observar a quantidade de quadradinhos na horizontal e a quantidade de quadradinhos na vertical.
Desse modo, você estará fazendo uma aproximação com a noção de área, ao relacionar com a
quantidade de quadradinhos que cabem em uma superfície.
Utilize outros exemplos, explorando situações presentes no seu contexto que
expressem a idéia de multiplicação. Elabore, também, problemas envolvendo dobro e triplo.
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matemática nas séries iniciais
Atividade 06 - Painel X
Essa atividade pode ser utilizada para a construção, pelos alunos, do conceito
de multiplicação, caso seja desenvolvida como atividade introdutória dessa temática. O que se
pretende, com essa atividade, além da construção pelos alunos, do conceito de multiplicação, é que
seja feita a sistematização do processo, de modo que os alunos possam compreender a organização
da tabuada, a partir da adição de parcelas iguais. Professor(a), se você quiser, pode fazer as duas
coisas!
Além dos conceitos de adição e multiplicação, o material permite que os alunos
tenham a oportunidade de observar propriedades dessas operações, trabalhar com múltiplos,
divisores, e números primos, dentre outros.
Painel 1:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Painel X
4 5 6
8 10 12
12 15 18
16 20 24
20 25 30
24 30 36
28 35 42
32 40 48
36 45 54
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
18
27
36
45
56
63
72
81
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Painel 2:
48
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
matemática nas séries iniciais
Orientações
O material, que deve ser previamente confeccionado por você, é composto por dois
painéis, que podem ser feitos de papel cartão, cartolina ou papel carmim (de preferência), de cores
diferentes, sobrepostos um sobre o outro. Cada um deles contém 9 linhas e 9 colunas, num total de
81 espaços preenchidos com números. O painel 2 deve ficar sobre o painel 1.
Na confecção do painel X, os espaços que contém os números do painel 2 são
recortados nas laterais e em baixo, de modo a formarem janelas que, ao serem levantadas, fazem
aparecer os números do painel 1. Cada número que aparece é o resultado da multiplicação do
número que está na linha, pelo número correspondente à coluna da janela que foi aberta.
O Painel X, montado a seguir, apresenta um exemplo no qual foi aberta a sétima
janela da linha 4 e apareceu o número 28. Isso ocorreu, pois ele é o produto de 7x4.
Painel X
28
O “Painel x” é um material que pode ser utilizado de forma lúdica. Os alunos,
sem nenhuma informação prévia, podem ser convidados a adivinharem os números que irão
aparecer quando for aberta determinada janela e a explicarem o porquê de terem acertado (quando
acertarem), o que significa que estarão descobrindo a relação entre esse número e os números das
linhas e colunas (que é produto desses dois números). É importante que os alunos, ao perceberem
a lógica presente no material, não contem aos demais, de modo a permitir que todos possam chegar
a essa descoberta.
Depois da descoberta, formule desafios, a partir de questões como “quantas vezes
e onde aparece o número 12?”. Solicite que as crianças procurem explicar como descobriram isso.
Pergunte “qual/quais o(s) número(s) que mais aparece(m) quando abrirmos todas as janelas?” ou
“quais os números que só aparecem na linha um e na sua própria linha?”. A discussão das respostas
lhe permitirá tratar sobre múltiplos, divisores e números primos. O número 8, por exemplo, aparece
nas linhas 1, 2, 4 e 8, pois o 8 é múltiplo desses números. O número 7, por exemplo, aparece apenas
nas linhas 1 e 7, pois ele é primo e divisível apenas pela unidade e por ele mesmo.
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matemática nas séries iniciais
Comentários
Os conteúdos envolvidos, que podem ser explorados com a atividade, são: Adição
de Números Naturais, Multiplicação de Números Naturais, Múltiplos e Divisores, Propriedade
Comutativa da Multiplicação, Elemento Neutro e Fechamento
O trabalho com este material se configura em uma atividade informal e que, portanto,
costuma oportunizar uma aprendizagem significativa. Assim, o uso do “Painel X” pretende resgatar
essa aprendizagem informal na prática pedagógica do(a) professor(a), no momento de ensinar a
operação multiplicação, partindo do seu princípio conceitual como adição de parcelas iguais. Nesse
sentido, espera-se que os alunos construam esse conhecimento, na medida em que eles observam e
chegam a essa conclusão, por si próprios. É importante que a formalização, ou seja, a organização
do processo de multiplicação, no quadro, se dê apenas após o trabalho com o material.
Atividade 07 - O TEMPO E O MEIO AMBIENTE: Avançando com os divisores
O Jogo “O tempo e o meio ambiente” é uma viagem no tempo, com o objetivo de
limpar um rio poluído. A viagem é feita em um circuito numérico e a limpeza acontece quando os
competidores, superando os obstáculos que lhes são colocados, sob a condição de divisibilidade ou
do acerto de questões, avançam no tempo, descobrindo o tempo necessário para a decomposição
de diferentes materiais, além de outros aspectos relacionados à poluição dos rios.
Para andar no circuito, os jogadores têm que obter, ao jogar o dado, um divisor do
número seguinte (na cartela) ou acertar a resposta de uma pergunta constante em cartas-bônus.
Observe que, no jogo, sempre que o próximo número da trilha for primo, ele se deslocará apenas
quando obtiver, no dado, o número um ou acertar o desafio. O objetivo do jogo é que todos os
jogadores cheguem ao final do percurso. Porém, a intenção maior é limpar completamente um rio
poluído, na medida em que os alunos aprendem os múltiplos e, por esse motivo os jogadores que
alcançarem o ponto de chegada auxiliam os demais jogadores.
Orientações
Aqui existe um convite para sua participação na construção do material, o que pode
ocorrer conjuntamente com os alunos. Ele é composto por:
- 01 cartela com o desenho de um painel composto por números diversos subdivididos em 04
grupos, nas cores azul, vermelho, lilás e verde. Como pano de fundo, o painel apresenta a
figura de um rio poluído. (rio da região).
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matemática nas séries iniciais
- 01 dado de madeira/acrílico/emborrachado.
- 04 pinos coloridos de acrílico (nas cores azul, vermelho, lilás e verde).
- 50 cartas-bônus, numeradas de 01 a 50 contendo questões sobre o tema “poluição dos rios da
Amazônia”. Você é quem deve elaborar as perguntas. As respostas devem ser apresentadas no
verso de cada carta-bônus.
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matemática nas séries iniciais
Como jogar:
Para jogar, os jogadores, no máximo 4, escolhem uma cor e colocam o pino dessa
cor no ponto de partida. Em seguida, definem a ordem em que irão jogar através do lançamento
de um dado (do maior para o menor número). Depois, devem jogar o dado, alternadamente e, se o
número obtido for divisor do primeiro número da sua trilha, deve deslocar o pino para esse número
e, se quiser, retira uma carta bônus, respondendo a pergunta. Se acertar a resposta, avança uma
casa, mas se errar, volta ao ponto de partida, passando o dado ao próximo jogador. Caso não seja
um divisor, ele retira uma carta-bônus, lê a questão e responde. Se o jogador acerta, ele desloca
o pino para esse número e passa o dado ao próximo jogador. Se erra, ele não movimenta o pino,
passando a jogada para o próximo jogador.
O jogo tem continuidade com os jogadores jogando o dado, de modo a obter um
número que seja divisor do próximo número da trilha, repetindo o processo inicial.
Ao passar para o próximo estágio (chegar no número 20), o jogador adquire uma
super força, o que lhe dará o direito de jogar duas vezes o dado, na tentativa de caminhar duas
casas. Se na primeira jogada ele obtiver um divisor e se movimentar, a segunda chance poderá lhe
permitir caminhar outra vez. Depois da segunda jogada, pode optar por retirar uma carta bônus
e tentar seguir em frente mais uma casa. Mas se errar, retorna para a casa que estava no início da
jogada. Se ele não conseguir um divisor em nenhuma das tentativas, retira uma carta-bônus e, se
acertar a resposta, caminha uma casa. Se errar, permanece na mesma casa.
Ao passar para o estágio seguinte (chegar no número 30), o jogador adquire uma
hiper força, o que lhe dará o direito de jogar três vezes e, se quiser, retira uma carta-bônus. Se não
conseguir um divisor nas três tentativas, retira a carta-bônus e repete o processo.
Ao chegar no número 40 (passar para o estágio seguinte), o jogador adquire uma
mega força, o que lhe dará o direito de jogar quatro vezes e, se quiser, mais a carta bônus. Se não
conseguir um divisor nas quatro tentativas, retira a carta bônus e repete o processo. Para completar
a limpeza do rio, os jogadores que alcançarem o ponto de chegada auxiliam os demais.
Comentários
O conteúdo envolvido no jogo, além da Educação Ambiental, é: Múltiplos e
Divisores, Números Primos, Critérios de divisibilidade e Sistema de Numeração Decimal. A
característica interdisciplinar está presente, na medida em que envolve o tema transversal meio
ambiente. A ênfase ao trabalho coletivo é outro aspecto presente.
O jogo permite o seu uso na escola ou mesmo em outro ambiente, sendo certo que
os brincantes irão visitar, de forma lúdica, o universo desses conteúdos de implícitos. Na escola,
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matemática nas séries iniciais
pode ser visto como um típico jogo de fixação e deve ser utilizado após o trabalho de ensino dos
conteúdos envolvidos.
A seguir, você tem algumas informações técnicas, que deverão ser conhecidas dos
alunos:
- O Sistema de Numeração Decimal é formado a partir de grupamentos de 10.
- Um número é múltiplo de outro, se o segundo for o produto do primeiro quando multiplicado
por um número natural diferente de zero. Um número é divisor de outro, quando o resto da
divisão do primeiro por um número natural for zero.
- Todo número natural é divisível por 1. Todo número par é divisível por 2. Um número é
divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 3. Todo número
terminado em 00 ou que seus últimos dois algarismos formarem um número divisível por
quatro, é divisível por 4. Para um número ser divisível por 5 ele deve terminar em 0 ou 5 e um
número é divisível por 6 quando ele é ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3.
Consulte o jogo “Transporte na Amazônia: Números frutas
e barcos” no qual se explora a adição e multiplicação relacionados
ao contexto amazônico. Esse jogo é um produto do EDUCIMAT,
elaborado por Neivaldo Silva, para uso em sala de aula e encontrase disponível no NPADC/UFPA.
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matemática nas séries iniciais
Atividade 08 - Quebrando Números para multiplicar
Objetivamos, com esta atividade, que os alunos compreendam o processo formal da
multiplicação, a partir do contraste com um diferente processo.
Orientações
Apresente o processo abaixo, sob a forma de desafio aos alunos, solicitando que eles
observem o processo utilizado para resolver a multiplicação e compare com o que eles conhecem.
Você pode fazer as perguntas a seguir:
35 x
47
35
210
200
1200
1645
-Qual a diferença que existe?
- O que existe de parecido?
Após as respostas e uma discussão mediada por você, proponha que eles “quebrem
os números”, e resolvam a operação, do seguinte modo:
30 + 5 x
40 + 7
Solicite que façam outros exemplos, para ver se entenderam e discutam isso com
os colegas.
Comentários
O processo é similar ao utilizado normalmente. A diferença é que ele é mais longo
e não usamos o “vai um”. No entanto, ele permite uma maior compreensão do processo usual, que
é mais rápido e possui passagens que ficam apenas na memória e não são registradas.
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matemática nas séries iniciais
Atividade 09 - Descobrindo quantas vezes cabem
A atividade envolve o trabalho com um diferente processo de divisão, na intenção de
possibilitar uma melhor compreensão do conceito de divisão, a partir de subtrações sucessivas.
Orientações
Apresente esta nova forma de fazer uma divisão, também sob a forma de desafio
aos alunos, solicitando que eles observem o processo utilizado e descubram como foi feito. Oriente
que discutam, em grupo e, depois, respondam as perguntas a seguir:
-Qual a diferença que existe entre este e o processo que vocês conhecem?
- O que existe de parecido?
452
375
75
5+1=6
77
75
2
Solicite aos alunos que façam outros exemplos, para ver se entenderam.
Comentários
É mais fácil entender um processo de divisão, quando associamos a uma situação.
No exemplo, pode-se imaginar a divisão de palitos entre 75 pessoas. O processo segue os passos
da distribuição. Inicialmente, são dados 5 palitos para cada pessoa e, como ainda restam 77 palitos,
é dado mais 1 para cada. Este processo é mais longo que o usual e aqui não precisamos fazer
divisões de partes do número, mas também permite uma maior compreensão do processo usual,
que também possui passagens que ficam apenas na memória e não são registradas.
Ao tratar sobre divisão, em Matemática, você pode associar à idéia de justiça social,
fazendo uma discussão nessa direção, pois, em Matemática, sempre dividimos em partes iguais.
1.4. Números e Frações
Estudos indicam que a aprendizagem de frações deve ocorrer após a aquisição, pelo
aluno, do conceito de “conservação de quantidade”. Em um sentido geral, “Conservar implica
em compreender que uma quantidade de matéria não sofrerá mudanças relevantes, a não ser pela
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retirada ou acréscimo de matéria” (Wadsworth,1992, p. 47). E, por sua vez, está relacionada de
forma direta com o conceito de reversibilidade, característica que diz respeito à capacidade de
voltar ao ponto de partida em um processo.
Para que uma criança possua a capacidade conservativa, ela necessita compreender que
a quantidade não varia quando modificamos outros aspectos (forma, posição ...) e para que uma
criança compreenda que uma quantidade permanece invariável, ela terá que, a priori, perceber que
estas modificações resultam de transformações mentalmente reversíveis, visualizando a ida e a
volta como aspectos da mesma ação.
De acordo com Piaget e ratificado por pesquisas realizadas sobre a gênese do conceito de
frações, é no período das operações concretas que o indivíduo adquire o conjunto de princípios de
conservação e que resultará, mais adiante, no conceito de fração.
A história da Matemática nos conta que as idéias que permitiram a sua estruturação não
são novas, pelo contrário, foram surgindo na medida das necessidades do homem e a partir das
diversas noções que fazem parte do dia-a-dia das pessoas. Foi uma construção que evoluiu com a
própria história da humanidade. Se defendo essa verdade, certamente acredito que cada construção
matemática tem seu lugar nessa linha evolutiva.
É preciso, então, descobrir o lugar das frações na linha evolutiva da matemática e recriar,
em sala de aula, as linhas gerais dessa evolução. Conta-se, por exemplo que por volta do ano 3.000
a. C., o faraó Sesótris repartiu o solo do Egito, às margens do rio Nilo, entre seus habitantes. Eram
utilizadas cordas para fazer as medições das terras e havia uma unidade de medida marcada nas
cordas. Porém, por mais adequada que fosse essa medida, dificilmente cabia um número inteiro de
vezes nas dimensões do terreno. Foi por esse motivo que os egípcios criaram o número fracionário,
gerando as frações.
Porém, não basta ir aos livros de história da matemática, objetivando a reconstituição
histórica do tema, pois isto nos levaria a uma ação fragmentada e unilateral, sem levar em
consideração o aluno enquanto sujeito histórico, que também traz consigo a sua história e um
conhecimento informal, nem é suficiente uma relação artificial ou esparsa, pois desse modo o
conhecimento matemático não teria real valor para o aluno. Nesse sentido, a orientação é que se
busque criar situações que apresentem conexão com a realidade dos alunos, gerando discussões
sobre o tema e que a ação dos alunos seja o aspecto central do processo.
No momento da formação do conceito de frações, é importante que você trabalhe com
quantidades contínuas e descontínuas. Quantidades contínuas, são quantidades relativas a grandezas
que não podem ser contadas diretamente (relacionadas biunivocamente aos Números Naturais)
e que utilizamos uma unidade comparativa para avaliá-las (medi-las). Como exemplo, temos o
comprimento da barra de chocolate, a superfície da pizza, tempo, dentre outras; e as descontínuas
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matemática nas séries iniciais
(ou discretas), que são aquelas relacionadas diretamente aos números e que, contamos naturalmente
(5 bolas, 7 bonecas ...).
Tem sido comum no ensino, um trabalho introdutório com quantidades contínuas, utilizando
exemplos concretos como barra de chocolate, pizzas, etc., para depois, se fazer um trabalho abstrato
com quantidades discretas, quando os alunos devem calcular, por exemplo, a metade de 10. Nesse
momento, o processo torna-se mecânico, pois se ensina que basta multiplicar a fração por essa
quantidade.
A sugestão aqui, é que a discussão sobre o trabalho com frações envolvendo os dois tipos
de quantidade, o contínuo e o descontínuo, se dê de modo que o aluno possa estabelecer conexões
entre essas quantidades e as frações delas originadas. Essa relação é extremamente necessária, no
meu modo de entender e, sem ela, a formação do conceito de frações pode não ocorrer de maneira
eficaz.
Assim, e levando em consideração a necessidade da visualização da relação entre as
quantidades contínuas e descontínuas, é necessário que o trabalho não se dê de modo isolado, mas,
ao contrário, seja de tal modo articulado que as diferenças sejam quase que imperceptíveis e as
conexões feitas permitam uma visão globalizadora.
É preciso considerar, ainda, se quisermos pensar na idéia de fração inserida em um contexto
social, que olhar para partes não parece que tem sido a intenção maior das pessoas, em uma
sociedade individualizada na qual cada indivíduo não procura se ver como parte de um coletivo.
Somos auto-suficientes demais, somos seres totalizados em nós mesmos. Talvez aí se encontre
nossa dificuldade de olhar para partes ... Superar essa visão que não se coaduna com “o olhar para
as partes” poderia ser simples, bastando estudar com detalhes essas partes. Mas ainda assim não
se daria a superação, pois ficaria faltando a compreensão da relação dessas partes com o todo. O
coletivo só tem sentido quando existem individualidades, que por sua vez, compõe esse coletivo.
Assim, de modo a encarar o processo contraditório que o aluno vive ao se deparar com
o conhecimento matemático escolar que ele desconhece, mas dominando noções matemáticas
contidas no seu saber cotidiano, construir a relação concreto e abstrato, a relação todo e partes,
além de possibilitar a recriação e vivência da linha evolutiva da matemática considerando sua
própria história, a prática docente deve ter como objetivo o estabelecimento de conexões, de
relações contínuas e consistentes entre esses universos; entre a história formal da matemática e
a evolução dos conceitos matemáticos em um nível cognitivo; entre o conhecimento formal e o
conhecimento informal; entre o todo e as partes; entre o concreto e o abstrato; entre o contínuo e
o descontínuo ...
É o que se objetiva com o trabalho proposto tendo como referência as atividades apresentadas
a seguir. Mas é importante que você entenda que elas não são as únicas nem suficientes para seu
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matemática nas séries iniciais
trabalho de ensino e que você deve, necessariamente, acrescentar coisas relativas ao seu e ao
contexto das crianças com as quais trabalha. A função de contextualizar o trabalho é sua, pois é
você que vive seu contexto!
Atividade 10 -
Uma ponte entre Naturais e Frações Contínuas
Antes de iniciar propriamente a atividade, é interessante uma conversa informal para
verificar quais os conceitos de fração que os alunos apresentam. Pergunte aos alunos:
- Quando você compra coisas, tudo é comprado inteiro?
- Como você denomina isso que compra (como pede ao vendedor)?
Em seguida, você deve relacionar as respostas dos alunos à idéia de “parte” ou
“pedaço”. Nesse momento, a discussão sobre as coisas não inteiras que normalmente são utilizadas
(compradas) no dia-a-dia é algo que pode facilitar bastante a compreensão da idéia de fração.
Porém, é primordial que a idéia de divisibilidade em partes iguais seja reforçada, para que o
conceito a ser formado expresse de modo correto a idéia de fração. Chame a atenção dos alunos
para o fato de que uma fração é parte do inteiro que foi dividido em partes iguais!
A seguir, é fundamental que o conhecimento que será introduzido, tenha relação com o
previamente conhecido. Assim, é importante que o ponto de partida para a construção da idéia de
fração esteja ancorada à construção do sistema de numeração decimal e dos números naturais. A
noção de grupamento precisa ser resgatada. Para isso, sugerimos que a abordagem se faça contando
objetos que podem ser fracionados.
Você pode utilizar papel e compor, juntando folhas, as quantidades 1 (unidade), 2 (duas
unidades), 3 (três unidades), ... (até o número 13, por exemplo), de modo que os alunos percebam
a construção do Sistema Numérico Decimal.
Depois, você irá utilizar folhas e fracionar em ½ (um meio ou uma parte do inteiro
que foi dividido em duas partes), em 1/4 (um quarto ou uma parte do inteiro que foi dividido
em quatro partes). Assim chegará a 1/10 (um décimo ou uma parte do inteiro que foi dividido
em dez), 1/100 (um centésimo ou uma parte do inteiro que foi dividido em cem partes). Essa
continuidade poderia ser feita sem o auxílio de materiais, ou com um material que permitisse
essa representação. Assim, a relação estaria feita entre Naturais, Decimais e Frações.
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matemática nas séries iniciais
Atividade 11 - Frações de Quantidades Descontínuas
O objetivo com esta atividade é a construção, pelos alunos, do conceito de frações,
a partir do trabalho com quantidades descontínuas ou discretas (conjuntos discretos). Para isso,
podem ser utilizados os cartões abaixo.
Cada aluno(a) deverá ter uma certa quantidade desses cartões, para realizar as ações
indicadas pelo(a) professor(a). Para iniciar o trabalho com os cartões, você pode solicitar que os
alunos desenhem um animal em uma face de cada cartão e uma fruta na outra face, para que depois
sejam seguidas as seguintes etapas:
1. Solicite que os alunos peguem 8 cartões, arrumem enfileirados, separados em dois grupos.
Solicite que desenhem corujas, nos cartões do primeiro grupo e bem-te-vis nos cartões do segundo
grupo. Pergunte a eles: Qual a relação entre as quantidades de corujas e bem-te-vis? Qual a relação
entre a quantidade de corujas e o total de animais (que parte do total)? Qual a relação entre o
número de bem-te-vis e o total de animais (que parte do total)?
Os alunos deverão perceber que 4 é a metade de 8 (uma parte de 8, que foi dividida em duas
partes iguais).
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matemática nas séries iniciais
1. Solicite que os alunos peguem 9 cartões, arrumem enfileirados, mas separados em três grupos.
Em seguida, solicite que os alunos desenhem papagaios, no primeiro grupo e macacos nos
cartões de dois grupos (6 cartões). Faça as mesmas perguntas da etapa anterior.
Os alunos deverão perceber que 3 é um terço de 9 (uma parte de 9, que foi dividida em três
partes iguais) .
Dê prosseguimento à atividade com outras quantidades de cartões e com a divisão em mais
partes.
Comentários
Perceba que os alunos farão relações de segunda ordem, pois deverão primeiramente
relacionar a quantidade de grupos entre si e depois o resultado dessa relação, com o total. Observe
que, no primeiro exemplo, a relação a ser feita é 1 de 2 (1/2 um meio) e o resultado deve ser
comparado ao total 1/2 de 8 (metade de 8) que é 4. No segundo exemplo, temos a relação 1 de 3
(1/3 um terço) e o resultado deve ser comparado com o total 1/3 de 9 (um terço de 9) que é 3.
60
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
matemática nas séries iniciais
Você pode criar situações (inventar histórias) que recaiam nas situações apresentadas.
Se quiser, utilize outros animais que estejam mais relacionados ao seu e ao contexto de seus alunos
e aproveite para discutir essa temática.
Atividade 12 - Problemas com Frações
Essa atividade permite buscar a aproximação entre o conceito de fração construído
a partir de quantidades contínuas e de quantidades discretas, de modo a convergir para uma única
compreensão.
Para isso, a proposta é que você utilize o trabalho com problemas como o ponto
de partida. O processo pode ser entendido a partir da resolução do problema proposto a seguir.
Entretanto, é importante que os problemas sejam significativos para as crianças e, nesse sentido,
é importante que você crie problemas que possam ser similares ao apresentado. Para isso, solicite
que os alunos resolvam o problema que lhes for apresentado.
- Se um livro possui 48 páginas e já li ¼ dele, quantas páginas ainda restam para serem lidas ? Orientações
Depois da resolução (ou tentativa) pelos alunos, discuta os processos utilizados por
eles e apresente o processo indicado a seguir:
- Solicite que os alunos desenhem uma barra como a apresentada abaixo, procurando distribuir
por igual, nas quatro partes, a quantidade total relativa à quantidade de páginas do livro e depois
tentem identificar as frações lidas e não lidas nessa barra.
?
?
?
?
48 páginas
Comentários
Ao relacionar o total de páginas com o inteiro, fica mais simples a visualização das
frações tratadas no problema. No exemplo, cada espaço seria ocupado por 12 páginas e se já havia
lido ¼ dele, restava ainda por ler, os outros ¾, que corresponde à soma de três espaços ocupados
(12 + 12 +12). Restavam, para serem lidas, portanto, 36 páginas do livro.
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61
matemática nas séries iniciais
Crie outros problemas e proponha à turma. Incentive as crianças a trabalharem
coletivamente e a contarem os processos que utilizaram, para que isso seja discutido em sala.
A forma de resolver pode variar de acordo com o nível em que a turma se encontra
e certamente a própria turma deve indicar a “velocidade” desse tratamento e avançar, na medida
em que mais problemas forem propostos e resolvidos pelos alunos. O importante é deixar para eles
a resolução.
Atividade 13 - Comparação de Frações / Operações
O objetivo desta atividade é possibilitar aos alunos a percepção da equivalência de
frações e da realização das primeiras operações com frações, a partir de dobraduras de papel. O
trabalho deverá ser também um momento de retomada do conceito de frações, além da construção
de significados aos termos das frações. É um trabalho que prevê momentos de abstrações, necessário
ao aprendizado da matemática.
Orientações
Cada aluno(a) deverá ter um jogo de fichas nas cores apresentadas abaixo, para
acompanhar e realizar as ações indicadas por você. Aqui você também pode criar uma situação,
de modo que as fichas possam estar representando objetos. Para realizar o trabalho com as fichas,
siga as seguintes etapas:
- Solicite que os alunos peguem a ficha de cor branca e esclareça que essa ficha representa o
“inteiro”, relacionando este inteiro com “coisas” inteiras. Solicite, então, que cada aluno escreva
na sua ficha a palavra “inteiro”.
- Solicite que os alunos peguem a ficha de cor azul e divida em duas partes iguais. Então, pergunte
se os alunos sabem o “nome” de cada pedaço, o que permitirá que se introduza o nome da
fração “meio” ou “metade”. Em seguida, compare os dois pedaços com a ficha branca e discuta
a representação dessa fração “1/2”, de modo que o aluno perceba que uma parte do inteiro foi
dividida em dois pedaços.
- Solicite que os alunos peguem a ficha de cor verde e divida em três partes iguais, repetindo o
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procedimento anterior para os “terços”. Depois, a ficha de cor amarela a ser dividida em quatro
partes iguais, repetindo o procedimento para os “quartos”. Peça que os alunos comparem com os
pedaços de cor azul (comparação de “quartos” com “meios”).
- Solicite que os alunos peguem a ficha de cor lilás e divida em cinco partes iguais, repetindo o
procedimento para os “quintos”. Daqui em diante, você pode solicitar que os alunos imaginem
fichas divididas em mais pedaços, perguntando quais os nomes dos “pedaços” que iriam surgir;
discutir qual o número na fração, que nos indica seu nome (denominador) e qual o que indica o
número de partes que a fração possui (numerador), além de realizar adições e subtrações com
frações de mesmo denominador.
Após o entendimento do processo de construção do material e das idéias nele
implícitas, você poderá orientar os alunos a realizarem pequenas operações com frações de mesmo
denominador. Essa é uma tarefa sua!
Comentários
É importante perceber que essa atividade permite a discussão sobre o conceito de
fração, que está necessariamente ligado à divisão em partes iguais, visualização das frações e da
equivalência entre elas, além do trabalho com as primeiras operações, sempre de modo prático
e tendo como base a reflexão do aluno a partir das questões a serem propostas por você. Outro
aspecto importante, que você não pode esquecer e que deve fazer o aluno perceber é que sempre
que operamos com frações, estaremos sempre relacionando frações de UMA MESMA UNIDADE
ou de UM MESMO INTEIRO.
A noção de equivalência deverá estar relacionada a tamanhos iguais e a múltiplos. Em
relação às operações, tenha em mente que para fazer adições com material concreto, é importante
que os alunos percebam que a ação de adicionar tem relação à ação de juntar (ou de emendar). Para
fazer subtrações, a ação deve ser de retirar (ou sobrepor).
2. Resumo da unidade
Nesta segunda unidade, depois de haver feito um grande passeio teórico, foi o
momento de aplicar atividades que estivessem de acordo com os caminhos traçados na primeira
unidade, um passeio prático pelo universo da Aritmética. Mas a cada etapa nesse universo era feito
um breve bate-papo inicial, como forma de apresentação dos seus ilustres membros.
Você foi apresentado(a) ao Pensamento Matemático e conversou sobre o processo
de Construção do Número, através de duas atividades com ênfase no concreto. Continuando essa
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matemática nas séries iniciais
conversa, você desenvolveu uma atividade sobre Contagem e o Pensamento Abstrato e, nesse
momento, trabalhou com a calculadora mais antiga que conhecemos, o Ábaco.
Mas o passeio não havia terminado e você entrou em uma parte desse universo que
é povoado por Adições, Subtrações, Multiplicações e Divisões. Esse foi um momento concreto e
lúdico da viagem, com atividades que envolviam jogos e diferentes processos apresentados em
forma de desafios. Em seguida, você conversou com as frações ao entrar em um espaço bastante
colorido e concreto, com momentos de envolvimento com problemas, descobertas, comparações e
relações. Aqui, encontrou-se novamente com as Adições, Subtrações, Multiplicações e Divisões,
mas percebeu que elas agora estavam diferentes. Você também se envolveu com quantidades
contínuas e descontínuas, através de atividades que exploravam o concreto e que tinham como
princípio básico, assim como todas as outras atividades presentes na unidade, a efetiva ação dos
alunos.
Consulte a página do NPADC/UFPA, no endereço http://www.
ufpa.br/npadc/educimat/grupos/seriesiniciais que lá você encontrará
o programa on line “Passeio pela Amazônia”, um produto resultante
do Programa EDUCIMAT, elaborado por Gleiciane Alves, Neivaldo
Silva, e Osvando Alves, com sugestões para um ensino de matemática
que explora o contexto amazônico de modo interdisciplinar.
REFERÊNCIAS
CARRAHER, Terezinha e outros. Na vida dez, na escola zero. 3ª. ed. São Paulo: Cortez, 1989.
NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1992.
Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática, Brasil: MEC, 1998.
WADSWORTH, J. B. Inteligência e Afetividade da Criança na Teoria de Piaget. São Paulo:
Pioneira, 1992.
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matemática nas séries iniciais
UNIDADE 3
ENSINO DE GEOMETRIA
Introdução
Na primeira unidade, você refletiu sobre Conhecimento, Educação Matemática e
Diretrizes para o Ensino, tendo como perspectiva sua prática pedagógica. Na unidade anterior, você
refletiu sobre Aritmética e desenvolveu atividades envolvendo Números, Operações e Frações.
Tudo o que foi feito teve como referência as diretrizes para o ensino, apresentadas e discutidas na
unidade inicial. Agora é o momento de praticar com Geometria.
Saindo do universo da Aritmética, você entrará, a seguir, em outro universo do
mundo da Matemática, que é a Geometria. Porém, a intenção é que você perceba que esses dois
universos estão muito próximos e mantém uma profunda conexão.
A terceira unidade, assim como a segunda, é composta por várias atividades de
ensino, que têm como objetivo final a sala de aula, sendo que agora envolve a Geometria. A
pretensão é lhe possibilitar o desenvolvimento de estratégias de ensino de matemática para as
séries iniciais, em termos de Geometria, tendo como referência algumas diretrizes metodológicas
que se adeqüem ao momento atual, bem como rever conteúdos de matemática, em termos de
Geometria, de modo a permitir uma atuação transformadora no espaço da sala de aula sob uma
ótica atual.
O desejo, aqui, também não é esgotar os conteúdos que constam na proposta para
as Séries Iniciais. São apenas alguns exemplos. Lembre-se da necessidade de retornar à primeira
unidade, sempre que for necessário e siga em frente!
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matemática nas séries iniciais
1. GEOMETRIA E ENSINO DE GEOMETRIA
O homem sempre procurou entender o mundo em que vive. Assim, as formas
presentes na natureza e as relações entre essas formas geraram, naturalmente, a Geometria. Alguns
historiadores contam que o surgimento da Geometria deveu-se às necessidades do homem, mais
propriamente a necessidade de medir terras, daí a denominação Geo (terra) metria (medida).
No passado, as descobertas se davam à medida que as sociedades desenvolviam-se
e, desse modo, a Geometria foi sendo construída acompanhando o próprio desenvolvimento da
humanidade. Foram muitos passos, muitas civilizações contribuíram, como babilônios, assírios,
egípcios, hindus, mas foi na Grécia que Euclides organizou os conhecimentos geométricos
existentes até aquele momento. Por esta razão, a Geometria que estudamos hoje é denominada
“Euclidiana”.
As aplicações da Geometria são vastas. Basta olharmos em volta e observarmos as
formas de portas, janelas, ladrilhos, discos... A necessidade de efetuar medidas, calcular áreas e
situar posições de objetos são, entre outros, alguns dos muitos exemplos. Tudo isso é Geometria!
A inclusão do ensino de geometria na escola básica está relacionada, principalmente,
à possibilidade do desenvolvimento de habilidades, através de atividades que permitem ao aluno
medir, manusear, desenhar, construir, recortar, dobrar, etc.
Desse modo, e tendo o mundo do aluno como referência, o ponto de partida para
a introdução ao ensino de Geometria deve ser a exploração, pelo aluno, de seu mundo, de modo
a tornar presente a relação existente entre o mundo físico e as idéias abstratas que permeiam
a Geometria e assim, o caminho mais lógico é partir da realidade à Geometria. Nesse sentido,
é necessário permitir ao aluno a visão clara do elo entre o real (concreto) e o formal, pois, se
vistos de forma isolada, certamente surgirão problemas de aprendizagem. Portanto, a sugestão é
iniciar com atividades exploratórias para depois discutir as idéias que estruturam o conhecimento
geométrico.
Esse caminho é proposto uma vez que é preciso considerar que a Geometria
plana é, na verdade, uma idealização. O real é espacial e, assim sendo, é conveniente que se leve
em consideração esse aspecto nas atividades de ensino. Para isso, a sugestão é que você faça,
inicialmente, um trabalho exploratório.
1.1. Atividades exploratórias
Num primeiro momento, existem inúmeras sugestões de atividades, como a
exploração de elementos da natureza, objetos existentes no cotidiano dos alunos e observação
de prédios, entre outras. Nesse momento, o fundamental é que os alunos possam realizar essa
exploração sem a preocupação com aspectos formais previamente estabelecidos, ou seja, eles
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matemática nas séries iniciais
devem ser deixados livres para colocarem sua criatividade para funcionar. O relato oral e escrito
das observações feitas pode ser um exercício interessante. Portanto, incentive seus alunos a
desenharem e escreverem as coisas que observaram.
Uma atividade fácil de ser realizada é a exploração de caixas que podem inclusive
ser desmontadas. É importante, nesse momento, que os alunos possam perceber o surgimento do
plano oriundo do espacial e isso pode ocorrer na medida em que essas caixas forem usadas como
exemplos de figuras espaciais e, as suas faces, depois de desmontadas, podem ser visualizadas (ou
desenhadas) como figuras planas.
Outra atividade pode surgir do fato de que, no dia-a-dia normalmente observamos
objetos que, se desenhados, originam linhas como os fios elétricos, as margens das ruas, as linhas
que indicam o encontro de tábuas em um piso ou forro, as barras de algumas grades, os caixilhos
de portas, etc... (idéia de paralelismo). Esses desenhos permitiriam um trabalho interessante com
linhas.
Proponha isso a seus alunos e depois explore os desenhos feitos por eles! Aproveite os
desenhos para discutir tipos de linhas, de posição relativa (linhas paralelas e linhas perpendiculares)
ou outros elementos que surgirem nos desenhos! Pergunte aos alunos se eles conhecem outros
exemplos e que mostrem através de desenhos!
Uma nova atividade pode surgir da observação de outros objetos. A observação
da abertura de uma tesoura, dos ponteiros de um relógio, entre outros, são exemplos que também
podem ser explorados em sala de aula, de modo a trabalhar ângulos. É importante, também,
que os alunos possam medir esses ângulos com um transferidor. O trabalho com canudinhos de
refrigerante é outra sugestão, pois ao utilizá-los as crianças podem construir figuras planas e colar
em papel cartão. Se elas utilizarem elástico bem fino (lastex) passando por dentro dos canudinhos,
podem construir figuras espaciais (apenas as arestas).
Ainda como atividade de exploração, os alunos podem realizar desenhos de pequenos
mapas, onde a questão da localização deverá ser o objetivo principal, de modo que os alunos
possam explicitar conhecimentos prévios, conceitos, etc. Aqui você também pode aproveitar os
desenhos feitos para discutir outros elementos que surgirem. Algumas noções topológicas como ao
lado, em frente, longe, perto, devem aparecer. Talvez surjam figuras geométricas como retângulo e
quadrado (quadra, quarteirão). O trabalho é seu e a sensibilidade e criatividade, também!
No momento de se iniciar o Estudo Específico da Geometria Plana, caberia
perfeitamente um “bate papo” sobre brincadeiras comuns de crianças, como (jogo de peteca,
brincadeira com elástico, macaca, pula corda...), dentre outras. Se você deixá-las contar sobre essas
brincadeiras, falando e/ou desenhando e depois comentar sobre os elementos Geométricos genéricos
aí implícitos, certamente você lhes permitiria enxergar, de maneira informal, muita Geometria
presente no mundo delas ampliando, assim, a visão do tema em questão e contextualizando o
trabalho a ser desenvolvido posteriormente.
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matemática nas séries iniciais
O trabalho exploratório também pode ocorrer mais adiante, quando você estiver
trabalhando com as figuras geométricas. Para isso, é necessário que, no momento em que você
estiver trabalhando com elas, incentivar os alunos a observarem as características de cada uma
delas e comparar as diferentes figuras. Essa é uma sugestão que daria continuidade ao seu trabalho
deixando aos alunos uma ação mais efetiva. A classificação das figuras geométricas poderia,
seguindo essa proposta, ser feita pelos próprios alunos.
Atividades com dobraduras de papel é outra forma interessante de trabalho, pois
elas permitem a participação dos alunos no processo de construção do conhecimento geométrico.
Para que isso ocorra, essas atividades também devem ser exploratórias. A manipulação de jogos
como o Tangran, além do caráter lúdico também permitiria essa manipulação e exploração.
Um aspecto importante, em termos de ensino, é a possibilidade de utilizar a
geometria para ajudar na visualização da aritmética e sobre isso serão feitas algumas considerações
a seguir.
1.2. As Conexões entre Aritmética e Geometria
Uma das principais dificuldades apresentadas por alunos é a construção de uma
visão globalizada, tendo em vista o modo de organização disciplinar que eles vivenciam. São
oferecidos fragmentos de conhecimentos e cobra-se deles a difícil tarefa de montar um verdadeiro
quebra-cabeça, buscando conexões entre as várias peças. Cabe uma pergunta: Não seria mais fácil
para o(a) professor(a) tentar esses encaixes e trabalhar buscando fazer os alunos perceberem as
relações? Essa é uma orientação presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais e nos parece ser
um caminho absolutamente necessário.
No ensino de matemática, no entanto, antes de atingir esse estágio de articulação
podendo ser compreendido como um trabalho interdisciplinar existe um passo inicial que também
precisa ser dado, que é estabelecer articulações entre os vários ramos que a compõe, o que não
costuma ser feito por professores, dando a esses ramos um tratamento isolado.
Isso ocorre desde as séries iniciais. A Geometria é pouco utilizada para permitir a
visualização de aspectos aritméticos, apesar da relação muito próxima. O paralelo entre esses dois
campos de conhecimento pode permitir maior compreensão de ambos os campos. É necessário
evitar os exercícios mentais sem possibilidade de um parâmetro visual e, na medida em que essa
visualização ocorre, pode-se ampliar o foco de visão e traçar vínculos com a realidade, permitindo
chegar ao estágio interdisciplinar.
Em razão dessa organização fragmentada do ensino e da necessidade de permitir
uma visão mais unificada do conhecimento matemático, principalmente tendo como perspectiva o
ensino de Geometria, é que surge a idéia de estabelecer “Conexões”. São várias as alternativas que
podem ser utilizadas para um trabalho articulado entre a Aritmética e Geometria. Alguns exemplos
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matemática nas séries iniciais
estão presentes nas atividades que serão apresentadas neste módulo, às vezes de modo explícito,
outras vezes de modo implícito.
Atividade 14 - Explorando o ambiente
Essa atividade é uma extensão do trabalho proposto no início da unidade e tem
como ponto de partida a proposição abaixo, que possibilitará a você uma espécie de diagnóstico
sobre as noções de plano e espaço que seus alunos possuem.
- Observe o ambiente ao seu redor e depois faça o que se pede, abaixo:
1) Relacione e desenhe figuras geométricas planas que você observa no ambiente.
2) Relacione e desenhe figuras geométricas não planas que você observa no ambiente.
Depois disso feito, pergunte aos alunos:
- Em sua opinião, o que são figuras geométricas planas?
- Em sua opinião, o que são figuras geométricas não planas?
Após as respostas dos alunos, entregue caixas para que eles possam explorá-las.
Solicite que reflitam sobre a confecção dessas caixas, que desenhem as diversas faces e comparem
essas faces. Depois, faça a eles as perguntas a seguir:
- A partir de figuras espaciais, é possível obter-se uma figura plana? E a partir de figuras planas, é
possível obter uma figura espacial?
Comentários
A Geometria plana é, na verdade, uma idealização. O real é espacial e o surgimento
da Geometria Plana se dá quando se faz o registro, no papel, daquilo que se vê. Assim sendo, é
conveniente que se leve em consideração esse aspecto nas atividades iniciais de ensino, pois, dessa
forma, os alunos poderão perceber o surgimento do plano oriundo do espacial. Nesse momento,
o fundamental é que os alunos possam realizar essa exploração sem a preocupação com aspectos
formais previamente estabelecidos.
Na exploração de caixas, é possível que os alunos as desmanchem. Se eles não
o fizerem, você deve sugerir que o façam. Depois da exploração das caixas pelos alunos e das
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matemática nas séries iniciais
respostas dadas por eles, certamente deverá ficar claro para eles que existe uma relação entre o
plano e o espacial e que um pode gerar o outro, mas que o plano, como foi mencionado, é uma
idealização que se faz presente apenas sob a forma de representação.
Atividade 15 - Construindo o Tangran
Orientações / Informações
Esta atividade com o TANGRAN tem como perspectiva, além do seu caráter
lúdico e da exploração de seus aspectos geométricos, servir para a articulação de temas afins da
matemática, estimular o trabalho coletivo e constituir um momento de criação e construção de
conceitos pelos alunos, entre outras possibilidades que existem.
Tendo em vista esses objetivos, optamos por apresentar o TANGRAN a partir da sua
construção, que deve se dar com a participação dos alunos e com a exploração, nessa construção,
através de questões-desafio, das propriedades e relações entre as figuras que irão surgindo.
O processo de construção do TANGRAN pode gerar a criação e solução de alguns
problemas envolvidos à compreensão de conceitos matemáticos, centrados em uma concepção
significativa de aprendizagem. Tendo em vista a possibilidade de incentivar a criatividade dos
alunos e a construção de conceitos matemáticos, a partir da manipulação de objetos e discussão
das informações obtidas em tal atividade, sugerimos a exploração das várias interrogações que
deverão surgir, de modo a permitir ações e reflexões diversas. Várias informações, em nível de
conteúdo, se encontram presentes na proposta, à medida que o material é construído, podendo ser
apresentado, em um primeiro momento, apenas com as três primeiras peças construídas.
A diretriz básica da proposta é possibilitar ao aluno a ação-reflexão-ação. Assim, a
observação das propriedades geométricas antecede as definições, as quais devem ser construídas
pelos alunos, sob orientação do(a) professor(a). A(o) professor(a) cabe identificar conceitos
trazidos pelos alunos e trabalhar no sentido de aprimorar esses conceitos, de forma a preparar os
alunos para as definições com as quais irão se deparar posteriormente. Cabe, também, perceber
quais as propriedades a serem exploradas, de acordo com o nível de sua turma, pois a forma de
apresentação está diretamente ligada a esse nível.
A manipulação do TANGRAN como artefato de construção de conceitos matemáticos
suscita uma lenda chinesa que narra a queda de um meteorito nos arredores de um mosteiro chinês,
onde os monges que lá se encontravam tentaram montar o referido objeto a partir dos sete pedaços
De acordo com Ausubel, Aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto
relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo. Para ele, ocorre aprendizagem significativa quando a nova informação ancorase em conceitos relevantes preexistentes na estrutura cognitiva de quem aprende.
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matemática nas séries iniciais
encontrados após sua queda. Naquele momento perceberam que as peças poderiam ser permutadas
entre si de maneira a gerar novos contornos e formas geométricas a partir daquela forma básica
(o quadrado). É a experimentação e a investigação, fruto da manipulação de objetos, norteando a
construção de conceitos que se evidencia nesse relato.
É um material composto por sete peças cujas formas geométricas são: cinco
triângulos, um paralelogramo e um quadrado, originados da decomposição de um quadrado maior.
Alguns conhecedores desse material (jogo) o chamam de “sete pedras teimosas”, “sete pedras
mágicas”, ou ainda “sete tábuas de argúcia (habilidade, destreza)”, pois seu nome originou-se do
chinês “TCH’I TCH’IÃO PAN”.
A utilização do TANGRAN prevê a exploração do espaço geométrico pelo(s)
aluno(s), o conhecimento das formas geométricas mais comuns e de seus elementos, relações entre
essas formas, classificações, o trabalho com frações, medidas, bem como o desenvolvimento de
habilidades de observação, comparação, levantamento de hipóteses, classificação, generalização,
entre outras.
Na proposta, algumas interrogações devem ser feitas aos alunos. No entanto, é
possível levar em consideração outras interrogações que possam surgir do tipo: como se fazer o
TANGRAN ? Quais as medidas? Qual o material adequado à sua confecção, tendo em vista a sua
utilização em sala de aula? Nesse momento, é importante que se analise primeiramente o que se
quer desenvolver nessas atividades.
A partir desses questionamentos, pode-se sugerir aos alunos que construam
cada um o seu TANGRAN e, de modo a cumprir esse objetivo, apresentamos a seguir algumas
orientações para o trabalho de confecção coletiva, tendo como princípio o uso de dobraduras e
recortes de papel.
Confecção do Tangran a partir de uma folha de papel
Para tal atividade é aconselhável utilizar papel de espessura média para não rasgar
nem causar dificuldade em dobrá-lo. O papel e as formas geradas devem ser considerados como
elementos matemáticos durante a confecção do TANGRAN, de modo que os conceitos matemáticos
possam fluir durante o processo de construção.
A linguagem, nessa construção, terá maior ou menor formalidade, dependendo do
nível da turma a que o material for levado. Uma alternativa para a utilização de uma linguagem
adequada é a sondagem da turma em termos de domínio de conceitos, antes da construção do
material.
O TANGRAN pode ser trabalhado em qualquer nível. Porém, nas séries iniciais uma
forma de utilização é o trabalho com as 3 (três) peças construídas inicialmente (três triângulos).
Essa alternativa possibilita um trabalho gradual e, consequentemente, uma maior aprendizagem.
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matemática nas séries iniciais
Para iniciar o processo de construção, apresente aos alunos uma folha de papel retangular, a qual
deverá ser explorada por eles, a partir de interrogações, como:
-Qual a forma dessa folha de papel?
- Possui quantos cantos (ângulos)?
- Os cantos (ângulos) são iguais ou diferentes?
Após as respostas, você terá condições de avaliar os conceitos dominados pelos
alunos e poderá conduzir a discussão no sentido de aprimorar esses conceitos. A seguir, proponha
que a partir do retângulo construam um quadrado. Como fazer isso? A tarefa é do aluno.
Comentário: Os alunos precisarão perceber que ao dobrar o papel eles terão que garantir que os
lados possuam as mesmas medidas. Deverão perceber, também, que as dobras que aparecerão no
quadrado construído representam elementos desse quadrado: o seu lado e a sua diagonal. Nesse
momento, é possível observar que a diagonal divide o ângulo reto (90º) em duas partes iguais (dois
ângulos de 45º). Os passos deverão ser correspondentes aos desenhos apresentados abaixo:
A partir do quadrado, oriente os alunos para construir dois triângulos, recortando na
diagonal do quadrado.
Nesse momento, o material pode ser utilizado como jogo e algumas figuras podem
ser formadas pelos alunos. É importante que você propicie condições para o desenvolvimento da
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“visão espacial” dos alunos e, para isso, solicite que os alunos coloquem um triângulo em cada
uma das mãos afastadas, mentalize a aproximação dessas peças e diga qual será a figura obtida
quando se tocarem. Só depois de dizer qual a figura resultante é que os triângulos deverão ser
aproximados, de modo a avaliarem a correção da resposta.
Comentário:O processo deverá ser o que está representado a seguir e nele, os alunos deverão
ser orientados para que observem que os triângulos resultantes sejam retângulos e isósceles, pois
possuem dois lados com medidas iguais e apresentam um ângulo reto.
Um dos triângulos deverá ser recortado, de modo a obter dois outros triângulos
semelhantes aos dois primeiros (isósceles retângulos). Como fazer isso? Faça esse questionamento
aos alunos.
Comentário: As figuras a seguir ilustram o que será feito pelos alunos. As figuras resultantes
serão as duas primeiras peças do TANGRAN. Aqui, é possível fazer com que os alunos percebam a
semelhança entre os triângulos resultantes (peças 1 e 2), com o triângulo (B) que não foi recortado.
Nesse momento, os três triângulos podem ser utilizados para formar novas figuras.
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matemática nas séries iniciais
Como foi dito inicialmente, você poderá trabalhar nas séries iniciais apenas com as
três peças. No entanto, é interessante que o processo de construção do Tangran seja completado,
pois ele deverá ser utilizado no momento em que você perceber que os alunos estão preparados
para isso.
A terceira peça do TANGRAN surge no momento em que se toma a outra metade do
quadrado original (triângulo B). Os alunos deverão marcar as metades dos lados de mesma medida
do triângulo isósceles (pontos médios), dobrar e cortar. É importante observar que ao dobrar, o
canto (vértice) superior irá coincidir com a metade (ponto médio) do maior lado do triângulo.
As ilustrações abaixo apresentam os passos a serem seguidos.
A figura (C) poderá ser utilizada, juntamente com as peças (1), (2) e (3), para
gerar novas formas. Se você achar conveniente, o trapézio (isósceles) pode ser explorado. Mas
a construção do TANGRAN ainda continua. A partir do trapézio (isósceles) resultante, serão
construídas as quatro últimas peças do TANGRAN. Porém, a figura será recortada inicialmente ao
meio, de forma a obter dois trapézios (retângulos).
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matemática nas séries iniciais
Finalmente, de um dos trapézios retângulos serão construídos um quadrado e um
triângulo e do outro, serão construídos um triângulo e um paralelogramo. Os procedimentos estão
ilustrados a seguir:
O paralelogramo surge pela primeira vez. Assim, é importante que os alunos tenham
a oportunidade de explorá-lo e fazer comparações com as demais peças construídas. Após
esse trabalho, os alunos terão construído seus TANGRANS. Como desafio a eles, faça a sugestão
de que montem o quadrado original, com as sete peças obtidas. Eles deverão obter o seguinte:
A montagem do quadrado original deverá resgatar toda a construção dos conceitos
geométricos presentes nas peças do TANGRAN, em virtude de evidenciar a composição geométrica
de todo o material confeccionado. A partir desse momento, você poderá lançar desafios aos alunos,
visando evidenciar novas relações entre as peças e dar continuidade à formação dos conceitos
trabalhados. Proponha aos alunos, que construam:
- Um triângulo com: 2 peças, 3 peças e 4 peças.
- Um quadrado com: 2 peças, 3 peças e 4 peças.
- Um retângulo com: 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças.
- Um paralelogramo com: 2 peças, 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças.
- Um trapézio retângulo com: 2 peças, 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças.
- Um trapézio isósceles com: 3 peças, 4 peças, 5 peças, 6 peças e 7 peças.
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Todas essas atividades não devem, necessariamente, ser propostas em um mesmo
momento, sendo desejável que você discuta com a turma os resultados obtidos.
Após essas atividades, você pode propor que os alunos montem figuras diversas
com as peças do TANGRAN, num primeiro momento utilizando quantas peças desejarem e,
posteriormente, utilizando todas as peças.
Comentários
No trabalho com o TANGRAN, os alunos estarão vivenciando o processo de
classificação, sem a preocupação com definições prévias, de modo lúdico e informal. Após
esse trabalho, você pode discutir com eles a classificação das diversas figuras geométricas que
surgiram.
As relações entre as áreas das peças Tangran ou outras que podem ser formadas a
partir da junção de duas ou mais peças permite um trabalho interessante envolvendo frações. Basta
que os alunos superponham umas peças sobre as outras e observem essas relações. Além disso,
você pode formular problemas de modo que eles necessitem perceber essas relações, mas isso fica
para você descobrir.
Atividade 16 - Multiplicação de Frações por Processo Geométrico
Objetivamos com a atividade estabelecer uma conexão entre Aritmética e Geometria,
a partir do trabalho com dobraduras de papel. Além disso, a intenção é que os alunos percebam uma
grande mudança que ocorre com o conceito de multiplicação. Se, quando tratamos com Números
Naturais a idéia de multiplicar significa “aumentar”, quando multiplicamos fração por fração, o
significado é o inverso. Quando multiplicamos fração por fração, o produto é sempre menor que
as partes. Vá em frente e explore com seus alunos essa mudança conceitual!
Orientações
A atividade pode ser trabalhada individualmente ou por equipes. Os alunos devem
possuir folhas de papel e sempre que forem iniciar a resolução de uma multiplicação, devem a
partir de uma folha, que possui forma retangular, construir um quadrado e depois seguir suas
orientações. A tarefa é do aluno, mas os passos poderão ser correspondentes aos apresentados a
seguir e que estão ilustrados nos desenhos que acompanham os comandos.
- Solicite que apanhem o quadrado de papel que representa o inteiro e dobrem horizontalmente, de
forma a representar a fração ½. E que depois façam, na fração tomada, riscos em um sentido,
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matemática nas séries iniciais
- Depois, dobrem o mesmo quadrado, agora no sentido vertical, de modo a representar a fração ¼.
Façam, na fração tomada, riscos noutro sentido, como no desenho:
- Pergunte aos alunos que fração do inteiro representa a intercessão dos riscos. Questione se o
resultado seria igual ou diferente, caso eles representassem primeiro a fração ¼ e depois a fração
½.
- Você pode utilizar outros pedaços de papel para realizar outras multiplicações. O processo
deverá ser o mesmo.
Comentários
Professor(a), observe que temos pedaço de pedaço ou fração de fração e, portanto,
os pedaços resultantes são menores ainda. Para os alunos entenderem isto, você pode utilizar a
seguinte linguagem: um meio de um quarto (ou metade de um quarto) ou ainda um quarto de um
meio (ou quarta parte da metade). Essa inversão de parcelas deverá possibilitar que os alunos
percebam a comutatividade da multiplicação de frações, na medida em que o produto obtido
deverá ser sempre o mesmo.
Atividade 17 - Frações Decimais e Números Decimais
Essa atividade deverá possibilitar ao aluno a percepção da relação entre Frações
decimais e Números decimais. Aqui, deve ser retomada a ponte estabelecida na construção das
frações, a partir dos números naturais, que por sua vez, tem por base a idéia de formação de grupos
de dez.
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Orientações
O material pode ser previamente preparado por você, professor(a), ou conjuntamente
com os alunos. Seja qual for o caso, solicite que seus alunos identifiquem quantas partes de dez
foram pintadas e inventem um modo de representar essa quantidade.
- 1/10 um décimo ou uma parte de dez
- 0,1
- Depois da tentativa deles, discuta as formas de apresentação sugeridas e introduza as utilizadas
acima, fazendo uma relação entre as duas. - Apresente outros exemplos, como os dados a seguir e dê continuidade à discussão.
- 14/10 14 décimos
- 1,4
- 1/100 um centésimo ou uma parte de cem
- 0,01
Comentários
É importante observar que as quantidades pintadas são pedaços de unidade (são
frações) e que, portanto, são menores que a unidade, mas maiores que o zero. E, se os alunos
entenderem que a representação 0,1 se aproxima de uma adição (0 unidade + 1 pedaço), eles
estarão construindo um conceito significativo do Número decimal.
A atividade possibilita que se faça, também, uma conexão com o sistema métrico
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decimal e a construção do metro, com seus múltiplos e submúltiplos. Num primeiro momento, são
construídos a partir de divisões, o decímetro, o centímetro e o milímetro; em seguida, o decâmetro,
hectômetro e quilômetro, por grupamentos.
Atividade 18 - Observando Triângulos
Em atividades anteriores, os alunos visualizaram triângulos nas suas brincadeiras
e também construíram triângulos, no momento em que trabalhavam com o Tangran. Mas é
importante, no entanto, que você dê ênfase à forte presença dessa figura geométrica no mundo.
Chame a atenção deles para a propriedade característica dessa figura que é a sua rigidez. Faça-os
observarem a presença de triângulos nas estruturas metálicas de torres de antenas de televisão ou
rádio e nas estruturas de telhados, por exemplo.
Para ilustrar essa observação, convide-os a montarem triângulos utilizando palitos
de picolé e tachinhas, para que depois tentem deformar esse triângulo. A fim de que percebam
a diferença, eles podem montar quadrados com os palitos e depois tentar deformá-los. Então,
perceberão que o quadrado não é uma forma que dá rigidez às estruturas, mas o triângulo sim.
Depois, apresente aos alunos a tabela a seguir como forma de exercício. Solicite
que observem a tabela e procurem classificar os triângulos.
Triângulo
Medida dos lados
a
b
c
1 cm
1 cm
1 cm
Classificação quanto à
medida dos lados
triângulo equilátero
1 cm
1,5 cm 1,5 cm
triângulo isósceles
1 cm
1,5 cm
triângulo escaleno
2 cm
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Faça o mesmo com esta outra tabela.
Triângulo
a
Tipo de Ângulo
b
c
Classificação quanto à
medida de Ângulo
Reto
agudo
agudo
triângulo Retângulo
obtuso
agudo
agudo
triângulo Obtusângulo
Agudo
Agudo Agudo
triângulo Acutângulo
Comentários
A primeira classificação é feita com relação aos lados, tendo sido apresentada
anteriormente. A segunda classificação é feita de acordo com os ângulos internos desses triângulos.
O triângulo retângulo possui um ângulo reto, o triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e
o triângulo acutângulo possui os três ângulos agudos.
É muito importante que os alunos percebam que, quando um triângulo possui um
ângulo reto ou obtuso, não existe a possibilidade de que haja outro ângulo nesse triângulo que não
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seja agudo, pois a soma dos seus ângulos internos é sempre 180º.
Atividade 19 - Poesia Matemática
Solicite que seus alunos leiam a Poesia Matemática, abaixo, atentando para os termos que
nela aparecem e depois, façam o que se pede:
Poesia Matemática (Millôr Fernandes)
Às folhas tantas de um livro matemático um Quociente apaixonou-se,
um dia, doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a, do ápice à base, uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo octogonal, seios esferóides.
Fez da sua, uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no infinito.
“Quem és tú?”, indagou ele, com ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
mas pode me chamar de Hipotenusa.”
E de falarem descobriram que eram - o que em aritmética,
corresponde a almas irmãs – primos entre si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação, traçando, ao sabor do momento e da paixão,
retas, curvas, círculos e linhas senoidais.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclideanas
e os exegetas do universo finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas
e, enfim, resolveram se casar, constituir um lar,
mais que um lar, uma perpendicular.
Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro,
sonhando com uma felicidade integral e diferencial.
Se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes até aquele dia
em que tudo afinal, vira monotonia.
Foi então que surgiu o máximo divisor comum,
frequentador de círculos concêntricos, viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta,
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo,
uma unidade, era o triângulo, tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era a fração mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser moralidade,
como aliás, em qualquer sociedade.
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Orientações
 Solicite que apresentem conceitos para cada um desses termos presentes na
poesia. Se os conceitos não estiverem satisfatórios, você pode sugerir uma
pesquisa individual ou em grupo para depois retomar a discussão, aprimorando
os conceitos trazidos pelos alunos.
 Observe que a poesia retrata uma situação que ocorre na sociedade. Se você
procurar explorar isso no desenvolvimento da atividade, a relação com a realidade
certamente estará garantida.
Comentários
A atividade envolve os conteúdos de Geometria e Aritmética. O conteúdo
interdisciplinar envolve Língua Portuguesa ou outros, dependendo da forma como você explorará
a poesia. Fica a sugestão de que você pense em outras poesias ou músicas que possam ser utilizadas
em sala de aula ou que desafie seus alunos a imaginarem histórias envolvendo elementos da
matemática.
Lembre-se que esta atividade tem como perspectiva o trabalho de sala de aula e que,
depois de realizá-la, não esqueça de relatar os resultados da aplicação com os alunos.
Para conhecer mais uma sugestão de trabalho de sala de aula,
envolvendo o ensino de aritmética e geometria em uma perspectiva
contextualizada e interdisciplinar, consulte o Cd room “aprendendo
sobre o açaí”, um produto elaborado por Neivaldo Silva e outros.
Este é resultante do Programa EDUCIMAT e está disponível no
NPADC/UFPA.
2. Resumo da unidade
Esta foi a terceira e última unidade. Nela, você transitou pelo universo da Geometria,
depois de ter realizado outra viagem prática, cheia de atividades de Aritmética. Este foi também
um momento de aplicação, um momento em que a sua prática de sala de aula estava em evidência.
As referências, para essa prática, continuaram sendo os caminhos traçados na primeira unidade.
O último passeio foi breve. Inicialmente, você foi convidado a refletir sobre a
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Geometria e o Ensino de Geometria. Aqui você percebeu a Geometria como uma construção
histórica do homem e entendeu que a presença dela em sala de aula deve-se, principalmente,
à sua relação com as coisas da natureza, mas que necessita estar em profunda conexão com a
Aritmética.
Em seguida, desenvolveu atividades de exploração do ambiente, atividades com o
Tangran, com dobraduras de papel, além de explorar matematicamente uma poesia.
Você chegou, portanto, ao final do trabalho e está de parabéns. Mas é necessário
entender que esta foi apenas mais uma etapa do seu processo de formação continuada, pois o
aprimoramento constante é a única forma de garantir que o trabalho dos profissionais de educação
se mantenha em sintonia com um mundo que permanentemente se renova.
Seu desafio agora é o aprofundamento das idéias discutidas e das atividades
desenvolvidas na sua sala de aula. Tenha muito sucesso!
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REFERÊNCIAS
BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
DUARTE, Newton. O ensino de matemática na educação de adultos. São Paulo: Cortez :
Autores Associados, 1986.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática: V.6. Dando corda na Trigonometria. São
Paulo. Ática, 1995.
IMENES, Luiz Márcio P. Geometria das dobraduras. Série Vivendo a Matemática. São Paulo:
Scipione, 1988.
NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1992.
JORNAL DO TELECURSO 1º GRAU: Matemática, MEC, Fundação Roberto Marinho,
Fundação UnB. Rio Gráfica, Rio de Janeiro, 7 ed, 1986.
LOPES, Maria Laura M. L. e NASSER, Lílian. Geometria: na era da imagem e do movimento.
Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996.
MOREIRA, Marco Antônio. Aprendizagem Significativa – A Teoria de David Ausubel. São
Paulo: Scipione, 1993.
SILVA, Neivaldo O. e MENDES, Iran Abreu. Tangran: Construção como processo de Ensinoaprendizagem. Belém: NPADC/UFPA, 1995.
WADSWORTH, J. B. Inteligência e Afetividade da Criança na Teoria de Piaget. São Paulo:
Pioneira, 1992.
ZARO, Milton e HILLEBRAND, Vicente. Matemática Experimental. São Paulo: Ática, 1992.
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Coordenação Editorial
Oneide Campos Pojo
Editoração Eletrônica
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Ruan Carlos Sasaki Brito
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