Lista 1 - Bases Matemáticas - NH 2805
Professor: Maurı́cio Richartz
Leitura recomendada: Shankar (capı́tulo 1), Griffiths (apêndice), notas de aula do prof. Golwala.
Obs1: a maioria dos exercı́cios foi retirada do Shankar (alguns foram adaptados).
Obs2: exercı́cios marcados com ∗ devem ser entregues na data marcada!
Problema 1 (Shankar 1.1.4) Considere os seguintes elementos do espaço vetorial formado
pelas matrizes reais 2 × 2 (os escalares são também números reais nesse caso):
0 1
1 1
−2 −1
|1i =
|2i =
|3i =
0 0
0 1
0 −2
Determine se esses elementos são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
*Problema 2 Considere o espaço vetorial formado pelas matrizes complexas 2 × 2 (os escalares
são também números complexos
A B nesse caso). Mostre que qualquer elemento desse espaço vetorial
(i.e. uma matriz genérica C
D ) pode ser escrito como uma combinação linear das seguintes quatro
matrizes:
1 0
0 −i
0 1
1 0
σz =
σx =
σx =
I=
0 −1
i 0
1 0
0 1
Problema 3 (Shankar 1.1.5) Considere os seguintes vetores em R3 : v~1 = (1, 1, 0), v~2 =
(1, 0, 1) e v~3 = (3, 2, 1). Determine se o conjunto {v~1 , v~2 , v~3 } é uma base para R3 . Repita o exercı́cio
para w~1 = (1, 1, 0), w~2 = (1, 0, 1) e w~3 = (0, 1, 1).
Problema 4 (Griffiths A.4) Suponha que você inicie com uma base (|e1 i , |e2 i , . . . , |en i) que
não seja ortonormal. O procedimento de Gram-Schmidt é um ritual sistemático que gera a partir
dele uma base ortonormal (|e01 i , |e02 i , . . . , |e0n i). Funciona assim:
i) normalize o primeiro vetor base (divida por sua norma):
0
e1 = |e1 i .
ke1 k
ii) calcule a projeção do segundo vetor junto ao primeiro e subtraia:
|e2 i − he01 |e2 i e01
Esse vetor é ortogonal a |e01 i; normalize para obter |e02 i.
iii) subtraia de |e3 i suas projeções junto a |e01 i e |e02 i e normalize o vetor obtido para obter |e03 i.
iv) repita o procedimento até encontrar |e0n i.
Utilize o procedimento de Gram-Schmidt para ortonormalizar os seguintes vetores: |e1 i =
(1 + i)~i + ~j + ~k, |e2 i = (i)~i + 3~j + ~k, |e3 i = 28~j.
Problema 5 (Griffiths A.5 e Shankar 1.3.4) i) Demonstre a desigualdade de Schwarz
(ver a sugestão no exercı́cio do Griffiths; a demonstração completa está no Shankar - pág.16). ii)
Demonstre a desigualdade triangular a partir da desigualdade de Schwarz. Dica: comece com hV +
W |V + W i. iii) Prove que a desigualdade triangular é uma igualdade se e somente se |V i = λ |W i
para algum λ real positivo (obs: demonstrar a volta é fácil; demonstrar a ida é consideravelmente
mais difı́cil).
Problema 6 (Shankar 1.6.2) Dados os operadores hermitianos Ω e Λ, o que podemos dizer
a respeito dos operadores a) ΩΛ, b) ΩΛ + ΛΩ, (c) [Ω, Λ] e d) i [Ω, Λ]?
Problema 7 (Shankar 1.8.2) Considere a matriz


0 0 1
Ω = 0 0 0
1 0 0
a) Ela é hermitiana? b) Determine seus autovalores e autovetores. c) Verifique que U † ΩU é
diagonal, onde U é a matriz de autovetores de Ω.
*Problema 8 (Shankar 1.8.3) Considere a

2
1
0
Ω=
2
0
matriz hermitiana

0
0
3 −1
−1 3
a) Determine os autovalores de Ω. b) Encontre uma base ortonormal de autovetores de Ω (obs:
existe mais de uma possibilidade).
Problema 9 (Shankar 1.8.5) Considere a matriz
cos θ sin θ
Ω=
− sin θ cos θ
a) Mostre que Ω é unitária. b) Determine os autovalores de Ω. c) Determine os autovetores de Ω e
prove que eles são ortogonais. d) Verifique que U † ΩU é diagonal, onde U é a matriz de autovetores
de Ω.
*Problema 10 (Shankar 1.8.10) Considerando o comutador, mostre que as matrizes abaixo
podem ser diagonalizadas simultaneamente. Determine os autovetores comuns a ambas. Determine
uma transformação unitária que diagonaliza ambas as matrizes.




1 0 1
2 1
1
Ω = 0 0 0
Λ = 1 0 −1
1 0 1
1 −1 2
2