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Projeto Jovem Nota 10
Determinante – Lista 1
Professor Marco Costa
1. (Uff 2000) Numa progressão aritmética, de termo geral aŠ e razão r, tem-se a=r=1/2.
Calcule o determinante da matriz mostrada na figura adiante.
2. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o
determinante da matriz
Justifique.
3. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A£ + 2AB - B
= 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB¢ = B¢A e que (b) A é inversível
4. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz
na forma de um produto de números reais.
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Professor Marco Costa
5. (Ita 2004) Se A é uma matriz real, considere as definições:
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A¢ = A .
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a‹Œ = 0, para todo i, j = 1,..., n, com i · j.
Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais.
6. (Uerj 2001) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.
Considere o determinante de ordem 3 abaixo:
Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
7. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (a‹Œ)‚Ö‚, tal que
a‹Œ = 2, se i < j
a‹Œ = 3i + j, se i µ j,
encontre o DETERMINANTE da matriz A .
8. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação
encontramos 3 raízes reais.
Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.
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9. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes
Calcule:
a) o determinante da matriz (B - A).
b) a matriz inversa da matriz (B - A).
10.(Unesp 2004) Considere a matriz
a) Determine todos os números reais — para os quais se tem det (A - —I) = 0, onde I é a matriz identidade de
ordem 3.
b) Tomando — = - 2, dê todas as soluções do sistema
ý(6 - —) x - 3y = 0
þ- 3x + (6 - —) y = 0
ÿx - y + (2 - —) z = 0
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11.(Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500
crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o
peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde
Com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
12.(Unesp 2006) Sejam
matrizes reais.
a) Calcule o determinante de A, det(A), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares
ordenados (x,y) que satisfazem a inequação det(A) ´ det(B).
b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.
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13. (Unicamp 2000) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear a seguir:
ý—x + y + z = — + 2
þ x + —y + z = — + 2
ÿ x + y + —z = — + 2
a) Ache as raízes da equação: detA=0.
b) Ache a solução geral desse sistema para —=-2.
14.(Unicamp 2003) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.
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15.(Unifesp 2002) Considere a matriz mostrada na figura adiante, onde x varia no conjunto dos números
reais.
Calcule:
a) o determinante da matriz A;
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
16.(Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1.
(02) A matriz A = (a‹Œ)Öƒ, tal que a‹Œ = i -3j é A = [-2 -5 -8].
(04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2.
(08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A. Nessas
condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica.
(16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja uma
matriz nula, o valor de x deve ser 2.
A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(A)
= 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.
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17. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de
cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo.
Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$
3.000,00. (figura 1)
(02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele.
(04) A solução da equação (figura 2) é x = 1.
(8) A matriz (figura 3) não possui inversa.
18.(Ufpr 2001) Dadas as matrizes
é correto afirmar:
(01) O determinante de A nunca é negativo, qualquer que seja o valor de x.
(02) A - B = - A
(04) Sempre que o valor de x está no intervalo aberto (0, ™/2), a matriz A tem inversa.
(08) A matriz A . B é a transposta de A.
Soma (
)
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19.(Ufpr 2002) Para cada número x, considere as matrizes A e B mostradas na figura adiante. Então, é
correto afirmar:
(04) Existe número real x tal que det A = det B.
(08) Existe número real x tal que A é inversa de B.
(16) O número complexo 1 + i é raiz da equação det A = 0.
(32) (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a 3.
Soma (
)
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20. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.
(02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.
(4) A soma das raízes da equação
(08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.
(16) O sistema
ý3x - 2y = 0
þ
ÿx + y = 0
Soma (
)
é indeterminado.
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GABARITO
1. det M = 11.
2.
Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d = a + 3n.
Portanto, detA = e£ò®¤¾ - e£ò®¤¾ = 0.
3. a) Se B é inversível, temos:
AB = BA Ì AB . B¢ = BA . B¢ Ì
A = BA . B¢ Ì B¢ . A = B¢. BA . B¢ Ì
B¢ . A = A . B¢
b) Como A e B comutam, tem-se:
c.q.d.
A£ + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B)
Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos:
det B = det [ A (A+2B) ] Ì
det B = det A . det (A+2B)
Como B é inversível, det B = k, k · 0.
Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos:
k = 0 . det (A+2B) Ì k = 0
O que é uma contradição, pois k· 0.
Portanto, A é inversível.
c.q.d.
4. (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c)
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5. Ver figura de resolução.
6. det = 80 + 140 - 64 - 20
det = 136
det = 17 . 8
é divisível por 17
7. det (A ) = 18
8. 2; 2 + Ë7 e 2 - Ë7
9. a) 50
b)
10. a) — = 2 ou — = 3 ou — = 9
b) S = { (0, 0, 0) }
11. a) 18 kg
b) 11 anos
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12.a) det(A) = y – 4x
b) x = 1 e y = 2
13. a) 1 e - 2
b) V = {(‘; ‘; ‘)} ¯ ‘ Æ R
14. a) 3; 1 - 2i; 1 + 2i
b) {a Æ IR | - 3 < a ´ 5}
15. a) det A = sen x . cos x + 8
b) valor máximo = 8,5
valor mínimo = 7,5
16. 02 + 16 = 18
17. proposições corretas: 04 e 08
proposições incorretas: 01 e 02
18. 01 + 04 = 05
19. 01 + 04 + 16 = 21
20. 04