 RESUMO TEÓRICO 
 IDÉIA DO CONCEITO:
“ Mat ri z Adjunta co mo ‘ et ap a’ na obt en ção da Matriz Inver sa.”
“A Matriz Inversa é útil na resolu ção d e si st emas lin eares e equaçõ es matri ciai s.”
 RESUMO:
 A Matriz Inversa de uma matriz quadrada é aquela que quando multiplicada pela original resulta na
matriz identidade.
Em outras palavras, dada a matriz quadrada A de ordem n , a matriz inversa de A será A1, de tal forma que:
A  A1 = A1  A = In
 4
Exempl o: S e A = 
 1
6
2
A1

A
 4

 1
 1


1
 su a inver sa é A =  1

 2
6
2
 1
 
   1
  2
=
A1
-3   1
 
=
1
2     2

-3 


2 

-3 

poi s:
2 

A
 4

 1
=
6
2
In
 1
 = 
 0
0

1 
 Só existe a matriz inversa de uma matriz A se seu determinante é diferente de zero!
det A  0  Existe a inversa A1
Exempl os:
 4
6
2

 poi s det A = 2 .

 3 6 
 poi s d et A = 0.
2) Não exi st e a in versa d a matriz A= 
 1 2 
1) Existe a inver sa d a m atriz A= 
 1
 Caso exista a matriz inversa de A, o determinante da inversa é o inverso do determinante da matriz
original!
det A 1 
1
det A
1
 4
Exempl o: A= 
 1
6 
  exi st e a in ver sa d a matri z A d et A = 2 e o d et erminant e d a in versa
2 
ser á o in ver so d e 2:
det A 1 
1
1
 .
det A 2
(Note que pa ra o bter o d eterm inant e det A1 não é necessário obter A1)
 A Matriz Inversa de uma matriz A pode ser obtida pela relação
A 1 
1
 adj A
det A
Onde adj A é a Matri z Adju nta de A; e é obtida p or meio do s seguintes passo s:
1 o Pa sso: en contr amo s a matri z A , cofato ra d e A, sub stituindo cada el emento de A p elo
resp ecti vo cof ator.
2 o Passo: en contr amo s a matri z adjunt a, “transp ondo ” a matri z cof atora .
Ou sej a, a m atri z adju nta é a “tr an spo st a” d a matriz cof ator a:
Exemplo:
 1

A=  0
 0

2
3
0
1
2
1






adj A =
 A t .
A1 = ?
det A = 3  Exi ste a inver sa A1. Vamos então encontrar a adjunta adj A.
1 o Passo: Obt en do o s cof ator es par a formar a matriz do s cof ator es A :
A 1 1 = 3; A 1 2 = 0; A 1 3 = 0; A 2 1 = 2; A 2 2 = 1; A 2 3 = 0; A 3 1 = 1; A 3 2 = 2; A 3 3 = 3.
 3

A = - 2
 1

Cofatora d e A:
0
1
-2
0
0
3





2 o Passo: en contramo s a matri z adjunt a, “transp ondo ” a m atri z cof atora .
adj A =
t
A 
 3

= A =  0
 0

-2
1 

1 -2 
0 3 
Final ment e enco ntram os a matri z in versa u sand o a rel ação:
2
A
1
 3
1 
1
=
 adj A=
 0
3 
det A
 0
A1
-2
1
0

1

= 0

0




1  
 
-2 = 
3  



-
1
3
3
1
0
3
1
0
3
1
 ( - 2)
3
1
1
3
1
0
3
1

1 
3


1
 (-2) 
3

1

3 
3

2
1 

3
3 
1
2
- 
3
3 
0
1 


 Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial AX = B e, para se encontrar a matriz solução X, basta
multiplicar a Matriz Inversa de A, se existir, à esquerda nos dois lados da equação.
AX = B

A1 A X = A1 B  (A1 A = I )  I X = A1 B 
X = A1 B
X  A 1  B
 ATIVI D ADES BÁSIC AS:
1) Para as matrizes dadas em cada item, verifique se B é a inversa de A.
 1
a) A = 
 3
2
4
 -2


 e B =  3


 2
1 

1 
- 
2 
 0
1
3
 1
2
4
b) A = 
 2

 0
 e B = 

 3
-2 

- 1 
2) Determine, se existir, usando a definição, a matriz inversa de:
 1
a) A = 
 3
2
4



 3

3) Dada a matriz A =  0
 1

 2
b) B = 
- 6
0
2
1
1

- 4 
c) C = 
2



3 

- 1  ,determine se existir:
1 
a) A matriz cofatora A ;
b) A matriz adjunta adj A ;
c) O determinante det A ;
d) O determinante da inversa det A1 ;
e) A matriz inversa A–1.
 1

4) Dada a matriz A =  0
 0

2
2
0
3

- 1  ,determine se existir:
1 
a) A matriz cofatora A ;
b) A matriz adjunta adj A ;
c) O determinante det A ;
3
d) O determinante da inversa det A1 ;
e) A matriz inversa A–1.
 ATIVIDADES EXTRAS 
 cos θ 2 senθ
5) (G1 - IFCE 2014) Considere a matriz A   3
1
3  . Sabendo-se que senθ   cos θ, em que
 senθ 0 cos θ
-1
0  θ  2π, o determinante da matriz inversa de A, indicado por Det A , vale
a) – 1.
c) 1.
b) 0.
d) 2.
e) – 5.
 1 2
 1 2
1
 eB
 . O determinante da matriz (AB) é:

1
0

1
0




6) (G1 - IFAL 2011) Se A  
a) 
1
.
10
b)
21
.
10
c)
a b 
13
.
10
3
d) 
13
.
10
e) nda.
1
7) (UFPE 2013) Seja 
 a inversa da matriz 
 . Indique a  b  c  d .
 c d
11 4 
8) (UDESC 2014)
Se A T e A 1 representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz
2 3
T
1
A
 , então o determinante da matriz B  A  2A é igual a:
4 8
111
83
97
a)
b)
c) 166
d)
2
2
2
e) 62
 3 1
 , e que a matriz X é solução
 5 2 
9) (FGV 2013) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A 1  
da equação matricial X  A  B, em que B  8 3 , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz
X é
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
10) (FUVEST 2000) Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A2=2A, então o determinante de A
será:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
 RESPOSTAS - ATIVIDADES EXTRAS 
5) Alternativa C.
Solução: Calculando o determinante de A, temos: det(A)  cos2 θ  6  senθ  sen2 θ  6  cos θ
Considerando que senθ   cos θ, temos det(A) = 1 e det(A 1) 
1
1
det(A)
6) Alternativa E.
Solução:
Como A  B, segue que det(AB)1  det(A 2 )1 
1
1

.
det(A 2 ) (det A)2
4
Portanto, det A 
1 2
1 0
 1 0  ( 1)  2  2  det(AB)1 
1
.
4
7) Solução:
a b
 é a inversa de
 c d
Se a matriz 
 3 1

 , então:
11 4 
3a  11b  1

a b   3 1   1 0 
a  4b  0




 
 


c
d
11
4
0
1

 
 

3c  11d  0
c  4 d  1

a  4

b  1

.
c  11
d  3

Portanto, | a |  | b |  | c |  | d |  | 4 |  | 1|  | 11|  | 3 |  19.
8) Alternativa B.
Solução: O determinante de A é igual a
 8

Logo, A 1   4
 4
 4
2 3
 2  8  4  3  4.
4 8
3 
3
   2  
4 
4 . Daí,
2A 1 
 

2 
1
1
4  
2 
3

 4  2  e, portanto,


1 
 2
3 
11

 2 4   4    2
B
2 
2 .

 

3 8   2
1   5 7 

O resultado pedido é
2
5
11
11
83
 .
2  2  7  5 
2
2
7
9) Alternativa A.
Solução: Sabendo que A  A 1  I, com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos
X  A  B  X  A  A 1  B  A 1
 X  I  B  A 1
 3 1
 X  8 3   

 5 2 
 X  24  15 8  6
 X   9 2  .
Assim, a soma pedida é igual a 9  ( 2)  7.
10) Alternativa E.
5