UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Navegação
R
H
e
RR
Cada ponto marcado no plano...
remete aos exercícios (Rapidinhas)
ou respostas de exercícios
(Respostas das Rapidinhas)
remete à história
da Matemática
remete à novas
informações
ouve uma narração ou som
remete a um bloco de notas
no qual você poderá imprimir
ou salvar suas anotações
volta ao primeiro slide
volta ao slide anterior
vai para o slide seguinte
vai para o último slide
VOL
aumenta ou diminui
volume do som
Sistema de coordenadas
Números reais são associados aos
pontos de uma reta de tal modo que
a cada número corresponda um
ponto e a cada ponto
corresponda um número real. Tal associação estabelece uma
correspondência biunívoca
entre o conjunto dos números
reais (R) e os pontos da reta.
-1,7
-2
-0,5
-1
VOL
0,6
0
1,8
1
2
Eixo orientado é a reta,
orientada, na qual se escolhe um
ponto, arbitrário,
como origem e a ele se associa
o número real 0 (zero).
0
À esquerda de 0 escrevemos
os números negativos e, à
direita, os positivos:
-1
-¼ 0
VOL
½
1
2
eixo y ou eixo
das ordenadas
Um sistema de coordenadas é
denominado
cartesiano ou retangular se
associarmos duas retas orientadas,
uma perpendicular à outra,
interceptando-se na origem.
eixo x ou eixo
das abscissas
VOL
H
Eixos coordenados são as duas retas.
Origem é o ponto de intersecção entre elas.
eixos coordenados
origem dos
eixos
VOL
Cada ponto marcado no plano
tem um endereço que indica sua
posição em relação aos dois eixos.
y
P(a; b)
b
a
VOL
x
O símbolo P(a; b)
denota o ponto P
com abscissa igual
a a e ordenada
igual a b.
abscissa
P(a; b)
Péo
nome do
ponto
ordenada
VOL
Todo ponto sobre o eixo x tem y = 0.
y
P(2; 0)
2
x
Todo ponto sobre o eixo y tem x = 0.
y
3
P(0; 3)
x
VOL
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano
cartesiano:
a) A(-1; 0)
b) B( 4; 0)
c) C(0; 0)
d) D(-8; -½)
e) E(3; -¼)
RR
VOL
Responda, no papel, considerando o
gráfico ao lado:
RR
a) quais as coordenadas do ponto B?
y
b) qual a abcissa do ponto E?
E
u
c) qual a ordenada do ponto E?
B
r
d) quais os pontos cuja ordenada é nula?
C
A
p
VOL
q
D
s
t
x
Função
O conceito de função é um dos
mais úteis na Matemática.
No dia-a-dia estamos rodeados por
funções.
VOL
 o preço é função do
produto em um Super-Mercado;
 o valor pago no
semestre pelo aluno da
UNISINOS é função do
número de disciplinas em
que se matriculou;
 o gasto de energia elétrica de
uma residência é função do número
de lâmpadas, da potência das
lâmpadas, do tempo em que ficam
ligadas, do preço do kilowat-hora,
entre outros.
VOL
 o preço é função do produto em um Super-Mercado
Produtos
É função porque o conjunto
Produtos (todos os produtos
vendidos) e o conjunto Preços
(todos os preços dos produtos
vendidos) de um SuperMercado:
Preços
R$43,00
R$1,58
R$18,50
R$3,50
R$97,50
R$1,20
VOL
estão em uma relação muito
especial, um com o outro.
Produtos
Esta é uma representação,
Preços
R$43,00
por meio de diagramas,
R$1,58
da função
F: Produtos  Preços.
R$18,50
R$3,50
R$97,50
R$1,20
VOL
Assim, para que seja uma função :
não podem
sobrar produtos no conjunto Produtos e
todo elemento do conjunto Produtos deve se relacionar
com um e apenas um preço do conjunto Preços.
VOL
H
Está na sua hora. É agora!
Clique sobre o Bloco de Notas e relacione, pelo menos,
5 exemplos de função. Faça o diagrama para analisar
melhor. Imprima e discuta com um colega.
Tente! Faça! Discuta!
VOL
VOL
RR
RR
A relação R de Alunos em Classes
de uma sala de aula representa uma função?
A relação S de todos os Professores e todos os Alunos,
na UNISINOS, representa uma função?
VOL
Clique no Bloco de Notas e escreva
5 relações entre dois conjuntos.
Identifique aquelas que representam
função, justificando através do diagrama.
Discuta a solução com seu
(ou sua) colega. Peça ajuda
ao professor. Tente!
VOL
H
Uma função F: A  B (lê-se: função
F de A com imagens em B) é o conjunto
dos pares ordenados (x, y) de tal modo
que para todo x pertencente ao conjunto
A existe um e apenas um y pertencente
ao conjunto B.
Essa relação entre os elementos dos H
dois conjuntos pode ser expressa por uma
(ou mais) lei matemática do tipo y = f(x).
VOL
A
3
A função
representada pelo
diagrama
tem os elementos
de A relacionados
aos
elementos de B pela
lei
B
4
0
1
2
-1
5
y=x+1
VOL
A
3
1
-1
se x = 3, y = 3 + 1 = 4;
se x = 1, y = 1 + 1 = 2;
se x = -1, y = -1 + 1 = 0.
B
4
0
2
5
É a expressão
matemática y = x + 1
que nos dá a
relação entre os
elementos de A e B.
(3; 4), (1; 2), e (-1; 0) são
pontos da função
F: A  B, y = x + 1.
VOL
Chamamos de
domínio da função: aos elementos de A;
contradomínio da função: aos elementos de B;
imagem da função: aos valores de y dos pares
ordenados da função.
A
B
dom f = A
cdom f = B
im f = {0; 2; 4}
4
3
0
1
2
-1
5
VOL
Em relação ao diagrama, abra o Bloco de
Notas e responda:
a) qual o domínio?
b) o contradomínio?
c) a imagem da função?
d) o que diferencia imagem de
contradomínio?
e)qual a lei matemática que relaciona
os elementos dos dois conjuntos?
A
3
1
0
B
2
-1
0
5
RR
VOL
Clique em cada figura.
VOL
Verifique se a relação R1: {-1; 0;
1}  {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y =
x + 1, é função. Justifique. Se
afirmativo
calcule
domínio,
contradomínio e imagem da
função.
RR
Determine a lei matemática de
F: {0; 1; 4}  Z, cujos
elementos são os pares
ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}.
Calcule domínio, contradomínio
e imagem da função. Faça o
gráfico.
RR
A relação R2: N  N, dada pela lei y = x - 1 é função?
Justifique. O que é preciso alterar na definição da função
para que ela represente uma função?
RR
VOL
Clique em cada figura.
VOL
A relação R3 : N R, dada pela lei y = x2 é função? Por que? Faça o
gráfico.
A relação R4: R  R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico.
VOL
RR
RR
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
y
a
RR
d
c
b
y
x
RR
x
y
2
RR
b
x
RR
a
c
x
d
VOL
R
CRIAÇÃO E MONTAGEM:
PROFª NARA SARAIVA
Rua Mal. Floriano, 614, aptp 711,
Centro, Porto Alegre,RS, Brasil.
O endereço do ponto é
dado pelo par ordenado (a; b).
A idéia é semelhante ao
endereço de uma residência:
é ele que dá a posição do
morador no mapa da cidade.
VOL
Marcar um ponto significa colocar no
plano coordenado o ponto P de
coordenadas a (abscissa) e b (ordenada),
representando-o por um
(ponto) na
posição apropriada.
y
b
a
x
VOL
Respostas da Rapidinhas 1
Não esqueça
de orientar o eixo y
e colocar seu
nome
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano:
a) A(-1; 3)
y
b) B( 4; 0)
A
c) C(0; 0)
d) D(-3; -½)
e) E(3; -¼)
Não esqueça
de orientar o eixo x
e colocar seu
nome
3
2
1
D -3
-2
C
-1
2
-3
VOL
B
E
1
2
3
4
x
Respostas da Rapidinhas 2
Responda, considerando o gráfico ao lado:
a) quais as coordenadas do ponto B? (q; r)
y
b) qual a abcissa do ponto E? x = t
E
u
c) qual a ordenada do ponto E? y = u
B
d) quais os pontos cuja ordenada é nula?
A, C e D
C
A
p
VOL
r
q
D
s
t
x
Sobrar significa dizer que o
elemento não se relaciona com um
elemento do outro conjunto.
VOL
Respostas da Rapidinhas 3
A
B
Não é função porque tem um elemento do conjunto A
que se relaciona com mais do que um elemento do
conjunto B.
VOL
Respostas da Rapidinhas 3
A
B
É função porque cada elemento do conjunto A
se relaciona com um único elemento do
conjunto B.
VOL
Respostas da Rapidinhas 3
A
B
É função porque cada elemento do conjunto A se
relaciona com um único elemento do conjunto B.
VOL
Respostas da Rapidinhas 3
A
B
Não é função porque tem um elemento do conjunto A
que não se relaciona com um elemento do conjunto
B.
VOL
Chamamos de função a uma F: Produtos 
Preços se todo produto do conjunto
Produtos se relaciona com um e apenas
um elemento do conjunto Preços.
VOL
Respostas da Rapidinhas 4
A relação R de
Alunos em
Classes de uma
sala de aula
representa uma
função?
Alunos
Classes
VOL
Sim porque
cada aluno
existente na
sala de aula
se acomoda
em uma e
apenas uma
classe
Observe que podem
sobrar classes porém
não podem sobrar
alunos sem classes!
Respostas da Rapidinhas 4
A relação S de todos
os Professores e
todos os Alunos, na
UNISINOS,
representa uma
função?
Professores
Alunos
Não é função
porque cada
professor tem
mais do que
um aluno.
VOL
Observe que cada
professor tem mais do
que um aluno em sua
sala de aula!
O termo cartesiano é usado em homenagem
ao matemático e filósofo francês René Descartes
(1596 - 1650) que foi um dos primeiros a
utilizar tal sistema de coordenadas.
VOL
Alguns autores usam plotar
o ponto (do inglês to plot)
ao invés de marcar o
ponto.
VOL
A natureza e o conceito de função
As primeiras idéias sobre o conceito de função
surgiram no início do século XVII, quando o
estudo da natureza começou a se basear a
observação dos fenômenos e nas leis que
procuravam explicá-lo.
VOL
Galileu Galilei (1564 - 1642) e
Isaac Newton (1642 - 1727)
utilizaram em seus trabalhos as
noções de lei e dependência entre
fenômenos,que estão diretamente
ligadas ao conceito de função.
VOL
Jean Bernonilli (1667 1748), no século XVIII,
matemático suíço, usou o termo
função para
indicar valores obtidos de
operações entre variáveis e
constantes.
VOL
No século XVIII, o matemático
Leonhard Euler também fez
uso do conceito de função.
A definição que
mais se aproximou
da atualmente
aceita foi a de
Peter Dirichlet
(1805-1859),
matemático
alemão, na
primeira metade do
século XIX.
VOL
A definição de função, dada pelo matemático
alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e
apresentada na primeira metade do século
XIX, se diferencia da atual pelo fato de, na
época, ainda não ter sido desenvolvida a
Teoria dos Conjuntos.
VOL
O conceito de função, modernamente,
baseia-se na idéia elementar de
par ordenado e no estabelecimento
de relações entre conjuntos.
VOL
A
3
1
-1
se x = 3, y = 3 + 1 = 4;
se x = 1, y = 1 + 1 = 2;
se x = -1, y = -1 + 1 = 0.
B
4
0
É a expressão
matemática
=x+1 y=x+1o
Substituindo
na yexpressão
dá aelementos do
valorque
de nos
x pelos
relação
entre os que o valor de
conjunto
A verificamos
elementos
de A e B.do conjunto B.
y obtido
é um elemento
2
5
(3; 4), (1; 2), e (-1; 0) são
pontos da função
F: A  B, y = x + 1.
VOL
Respostas da Rapidinhas 5
a) qual o domínio? Dom f = A
b) o contradomínio? C-dom f = B.
c) a imagem da função? {-1; 0; 2}.
d) o que diferencia imagem de contradomínio?
Contradomínio são todos os elementos de B.
Imagem são os valores de y que se relacionam
com os valores de x.
A
3
1
e)qual a lei matemática que relaciona
os elementos dos dois conjuntos?A lei é
y = x - 1.
0
VOL
B
2
-1
0
5
Respostas da Rapidinhas 5
a) qual o domínio? Dom f = A
b) o contradomínio? C-dom f = B.
y
c) a imagem da função? {-1; 0; 2}.
5
Gráfico da função
4
d) o que diferencia imagem de contradomínio?
Contradomínio são todos os elementos de B.
Imagem são os valores de y que se relacionam
com os valores de x.
3
2
1
-1
B
A
1
3
1
2
3
x
2
-1
e)qual a lei matemática que relaciona
0
0
os elementos dos dois conjuntos?A lei é
5
y = x - 1.
Elementos da função: {(0;-1),(1;0),(3;2)}
VOL
A
3
B
4
0
1
2
-1
5
A função
representada pelo
diagrama tem os
elementos de A
relacionados aos
elementos de B pela
lei y = x + 1.
y += 1x o+ 1x designa os
Na lei y = x
elementos que pertencem a A e o y
os elementos que pertencem a B.
VOL
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
A
B
4
2
-5
8
0
4
0
RR
VOL
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
A
B
5
4
25
16
-2
4
8
RR
VOL
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
0
B
1
4
-2
-1
0
2
RR
VOL
Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
A
4
-2
B
2
RR
VOL
Resposta da Rapidinhas 7
Verifique se a relação R1: {-1; 0; 1}  {0; 1; 2;
3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique.
Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e
imagem da função.
-1
0
1
0
1
2
3
Sim, é função porque cada elemento do
conjunto A se corresponde com apenas um
elemento do conjunto B.
dom f = A; cdom f = B; im f = {0; 1; 2}
VOL
Resposta da Rapidinhas 7
Determine a lei matemática de
F: {0; 1; 4}  Z, cujos
elementos são os pares
ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}.
Calcule domínio, contradomínio
e imagem da função. Faça o
gráfico.
Lei: y  x
dom f = (0; 1; 4}
cdom f = Z
im f = {0; 1; 2}
y
2
1
1 2 3 4
x
VOL
Resposta da Rapidinhas 7
Não, porque se x = 1, y = 1 - 1 =0 e 0 não
pertence ao conjunto N, contradomínio da
função. Para representar uma função poder-seia, por exemplo, alterar
• o domínio para N - {1} ou
• o contradomínio para N {0} ou
• a lei para, por exemplo, y = x
A relação R2: N  N, dada pela lei y = x - 1 é função?
Justifique. O que é preciso alterar na definição da função
para que ela represente uma função?
VOL
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
1
2
3
1
RR
3
2
VOL
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
1
2
3
1
Dom f = {1; 2}
3
2
VOL
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
3
6
2
RR
7
4
VOL
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
3
6
2
7
4
Dom f = {2}
VOL
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
RR
B
3
8
1
2
5
1
VOL
Resposta da Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
3
8
1
2
5
1
Dom f = {1; 2}
VOL
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
1
+1
-1
3
2
-2
2
4
RR
VOL
Rapidinhas
Resposta da
8 Rapidinhas 8
Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama
represente função. Escreva o domínio da função.
A
B
1
+1
-1
3
2
-2
2
4
Dom f = {2}
VOL
Resposta da Rapidinhas 9
A relação R3 : N R, dada pela lei y = x2 é função? Por que? Faça o
gráfico.
Sim, é função porque todo
elemento do conjunto N se
relaciona com apenas um
elemento do conjunto R.
y
4
3
2
1
1 2 3
VOL
x
Resposta da Rapidinhas 9
Sim, é função.
y
A relação R4: R  R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico.
x
VOL
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
a
Sim, é função.
d
b
c
x
Dom f = [b; c]
im f = [d; a]
VOL
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
Sim, é função.
y
Dom f = R
im f = {2}
2
x
VOL
Rapidinhas
Resposta da
10 Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
Não é função.
x
VOL
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
Sim, é função.
Dom f = [b; c]
y
im f = [d; a]
b
a
d
VOL
c
x
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
y
y
RR
3
c
x
a
RR
x
d
b
x
RR
R
VOL
Rapidinhas
Resposta da
10 Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
Não é função.
3
x
VOL
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
Sim, é função.
Dom f = R
x
VOL
im f = (0; )
Resposta da Rapidinhas 10
Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.
Se afirmativo, calcule domínio e imagem.
y
Sim, é função.
g)
c
a
Dom f = [a; b]
im f = [d; c]
d
VOL
b
x
Se nem todo elemento do conjunto à
esquerda se relaciona com um e
apenas um elemento do conjunto da
direita temos apenas uma relação
e não uma função.
VOL
Rapidinhas 1
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano
cartesiano:
a) A(-1; 0)
b) B( 4; 0)
c) C(0; 0)
d) D(-8; -½)
e) E(3; -¼)
RR
VOL
Respostas da Rapidinhas 1
Não esqueça
de orientar o eixo y
e colocar seu
nome
Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano:
a) A(-1; 3)
y
b) B( 4; 0)
A
c) C(0; 0)
d) D(-3; -½)
e) E(3; -¼)
Não esqueça
de orientar o eixo x
e colocar seu
nome
3
2
1
D -3
-2
C
-1
2
-3
VOL
B
E
1
2
3
4
x
O termo cartesiano é usado em homenagem
ao matemático e filósofo francês René Descartes
(1596 - 1650) que foi um dos primeiros a
utilizar tal sistema de coordenadas.
VOL
Marcar um ponto significa colocar no plano
coordenado o ponto P de coordenadas a
(abscissa) e b (ordenada), representando-o
por um ponto na posição apropriada.
y
b
a
x
VOL
Navegação
R
H
e
RR
Cada ponto marcado no plano...
remete aos exercícios (Rapidinhas)
ou respostas de exercícios
(Respostas das Rapidinhas)
remete à história
da Matemática
remete à novas
informações
ouve uma narração ou som
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VOL
aumenta ou diminui
volume do som
Navegação
R
H
e
RR
Cada ponto marcado no plano...
remete aos exercícios (Rapidinhas)
ou respostas de exercícios
(Respostas das Rapidinhas)
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da Matemática
remete à novas
informações
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VOL
aumenta ou diminui
volume do som
Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no
Bloco de Notas, justificando.
A
B
RR
VOL
Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no
Bloco de Notas, justificando.
B
A
RR
VOL
Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no
Bloco de Notas, justificando.
A
B
RR
VOL
Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no
Bloco de Notas, justificando.
A
B
RR
VOL
Valor numérico de uma função
Se você realiza
um trabalho, por
hora,
para
alguém e cobra
R$1,50 a hora ao
término de 2
horas, qual é o
valor cobrado?
R$3,00 é o valor numérico da função
valor(horas) = horas . 1,50
quando substituímos a variável horas por 2.
O valor numérico de
uma função y = f(x) é o
valor de y quando
substituímos o x por
um número.
VOL
A
3
1
-1
B
4
0
2
5
É a expressão matemática y = x + 1
que nos dá a relação entre os
elementos de A e B.
4 é o valor numérico da função quando x é igual a 3
 2 é o valor numérico da função quando x é igual a 1
 0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1
VOL
f(3) = 4
f(1) = 2
f(-1)= 0
A
3
1
-1
B
4
0
2
5
É a expressão matemática y = x + 1
que nos dá a relação entre os
elementos de A e B.
O valor numérico de uma função
y = f(x) é o valor de y quando substituímos
o x por um número.
4 é o valor numérico da função quando x é igual a 3
f(3) = 4
 2 é o valor numérico da função quando x é igual a 1
 0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1
f(1) = 2
VOL
f(-1)= 0
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
A
B
4
2
-5
8
0
4
0
Sim, é função porque cada
elemento do conjunto A se
corresponde com um e apenas
um elemento do conjunto B.
VOL
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
A
B
5
4
25
16
-2
4
8
Sim, é função porque cada
elemento do conjunto A se
corresponde com um e apenas
um elemento do conjunto B.
VOL
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
0
B
1
4
-2
-1
0
2
Sim, é função porque cada
RR
elemento do conjunto A se
corresponde com um e apenas
um elemento do conjunto B.
VOL
Resposta da Rapidinhas 6
Identifique os diagramas que representam uma função de A  B.
A
4
-2
2
B
Não é função porque o
elemento do conjunto A não se
corresponde com um e apenas
um elemento do conjunto B.
VOL
CRIAÇÃO E MONTAGEM:
PROFª NARA SARAIVA