Subconjuntos
Série Problemas e soluções
Objetivos
1. Introduzir a ideia de conjuntos;
2. Listar os subconjuntos;
3. Contabilizar o número total de
subconjuntos possíveis.
Subconjuntos
Série
Problemas e Soluções
Conteúdos
Conjuntos; Subconjuntos;
Contagem.
Duração
Aprox. 4 minutos.
Objetivos
1. Introduzir a ideia de
conjuntos;
2. Listar os subconjuntos;
3. Contabilizar o número total de
subconjuntos possíveis.
Sinopse
Em um jogo de boliche, os
amigos Julia, Bruno e Renato
discutem sobre subconjuntos.
Material relacionado
Experimentos: Táxi e
combinatória, De quantas
maneiras posso amarrar o meu
cadarço;
Softwares: Geometria do táxi contagem.
Introdução
Sobre a série
A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática
do Ensino Médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa,
um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco
minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolvê-los. No
contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de
discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O
segundo bloco programa apresenta as soluções e alguns comentários
ou informações adicionais.
Durante o programa, os alunos devem exercitar a abstração, pois
estarão apenas ouvindo os problemas e suas soluções, mas é sempre
recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor aproveitar
o conteúdo.
Sobre o programa
Como formar subconjuntos a partir de um conjunto? E como
contabilizar o número total subconjuntos possíveis?
Na ficção, Julia, Bruno e Renato estão jogando boliche e interrompem,
brevemente, o jogo para discutir um pouco sobre subconjuntos.
Um conjunto é formado por elementos, por exemplo, um conjunto A
formado pelos elementos Julia (elemento a) e Bruno (elemento b) é
dado por A = {a,b}.
A partir do conjunto A, é possível formar os subconjuntos {a,b}, {a}, {b}
e Ø, sendo o último conjunto denominado conjunto vazio. Portanto, há
quatro subconjuntos possíveis a partir do conjunto A.
ÁUDIO
Subconjuntos 3/6
Se um novo elemento, Renato (elemento c), for adicionado ao conjunto
A, então, pode-se definir o conjunto B = {a,b,c}. E agora? Quantos
subconjuntos possíveis podem ser formados a partir do conjunto B?
Pode-se listá-los: {a,b,c}, {a,b}, {a,c}, {a}, {b,c}, {b}, {c}, Ø. Portanto,
podem-se formar oito subconjuntos.
Todavia, a listagem dos subconjuntos possíveis pode se tornar
impraticável dependendo do tamanho do conjunto. Por exemplo,
considere o conjunto formado pelos 10 pinos do jogo de boliche.
Quantos subconjuntos são possíveis formar a partir deste conjunto?
Um raciocínio matemático permite contabilizar o número total de
subconjuntos sem a necessidade da listagem e também sem muito
esforço.
Note que, nos exemplos acima, quatro subconjuntos foram formados
a partir do conjunto A, que contém 2 elementos. E, quando um novo
elemento foi adicionado ao conjunto A, sendo renomeado para
conjunto B, este passou a conter 3 elementos e 8 subconjuntos foram
formados a partir do conjunto B.
Observe que a contagem desses 8 subconjuntos contabiliza os 4
subconjuntos formados anteriormente a partir somente dos dois
elementos, e, para cada um destes subconjuntos já formados, um
novo subconjunto é formado considerando o novo elemento.
A tabela clarifica,
Subconjuntos
antigos
Novos
subconjuntos
{a,b}
{a}
{b}
Ø
{a,b,c}
{a,c}
{b,c}
{c}
Então, um conjunto vazio só tem um subconjunto, que é o vazio. Um
conjunto com somente um elemento permite formar somente dois
ÁUDIO
Subconjuntos 4/6
subconjuntos; um conjunto com dois elementos permite formar quatro
subconjuntos ou 22; um conjunto com três elementos permite formar
oito subconjuntos ou 2 x 22 = 23.
Portanto, por indução, concluímos que um conjunto com n elementos
permite formar 2n subconjuntos.
Sugestões de atividades
Antes da execução
O professor pode dar exemplos de conjuntos e subconjuntos tendo os
alunos como elementos. Inicialmente, pode-se construir um conjunto e
seus respectivos subconjuntos com um pequeno número de alunos
considerando 2, 3 e 4 alunos.
Para cada conjunto considerado, pode-se fazer a listagem dos
possíveis subconjuntos e contabilizá-los. A partir da contabilização
dos números totais de subconjuntos possíveis a partir de conjuntos
formados por 2, 3 e 4 alunos, o professor afirma que há uma regra
matemática para a contabilização do número total de subconjuntos e
questiona se é possível visualizar esta regra matemática através dos
exemplos.
Independentemente do resultado da discussão, o professor pode
questionar os alunos sobre o número total de subconjuntos formados
a partir do conjunto de todos os alunos da sala de aula.
Durante a execução
Se a regra matemática foi descoberta antes da execução, esta pode ser
testada no 2:55, quando Renato pergunta de quantas maneiras
possíveis os pinos podem ficar após o arremesso da bola de boliche.
ÁUDIO
Subconjuntos 5/6
Depois da execução
Obtenha o número total de subconjuntos formados a partir do
conjunto de todos os alunos da sala segundo a regra de potência de
dois.
Sugestões de leitura
J. R. Giovanni e J. R. Bonjorno (2000). Matemática – Uma nova
abordagem: Volume 1. Editora FTD.
A. S. Machado (1996). Matemática na escola do segundo grau: Volume
1. Editora Atual
Ficha técnica
Autor Márcio Augusto Diniz
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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