Áreas – parte 1
Rodrigo Lucio Silva
Isabelle Araújo
Introdução
Desde os egípcios, que procuravam medir
e demarcar suas terras, até hoje, quando
topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem
seus mapeamentos e plantas, o cálculo de
áreas tem sido uma preocupação constante
na história da Matemática.
Na aula de hoje você aprenderá como
resolver problemas envolvendo áreas.
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2
Área do Retângulo
Tomando como unidade
de área o quadrado de
1cm², observamos que
cabem
12
desses
quadrados no retângulo
ao lado. Logo, a área
do retângulo é 12cm².
1 cm
1cm²
1 cm
3 cm
4 cm
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3
Área do Retângulo
Por outro lado, se multiplicarmos a medida do
comprimento do retângulo pela medida da sua
largura, obtemos o mesmo resultado.
4 cm . 3 cm = 12 cm²
Portanto, a área da superfície de um retângulo
é igual ao produto das medidas da base b e
da altura h.
h
A
.
Aretângulo = b . h
b
Em que: b e h são números reais positivos.
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4
Área do Quadrado
Particularmente, para o quadrado de lado a,
ou seja, b = a e h = a, temos :
a
A
.
a
Aquadrado = a . a ou Aquadrado = a²
Em que: a é um número real positivo.
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Exercício
O comprimento de um terreno retangular tem
28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que
o perímetro desse terreno é de 112 m,
determine:
a) As dimensões desse terreno.
b) A área desse terreno.
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6
Resolução
Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões
Como o perímetro de um
polígono plano é a soma
das medidas de todos os
seus lados, somamos x + 28
seus lados e igualamos
ao perímetro fornecido
pela questão, que é 112.
x
x + 28
x
( x  28)  ( x  28)  x  x  112
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7
Resolução
( x  28)  ( x  28)  x  x  112
4 x  56  112  4 x  112  56
56
4 x  56  x 
 x  14
4
14 + 28
= 42
14
14 + 28
= 42
a)
Substituímos o valor encontrado
14
para x nas dimensões do
retângulo. Verificamos que o terreno mede 14 m
de frente e 42 m de comprimento.
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8
Resolução
b)
Sabemos as dimensões do retângulo e
queremos saber sua área. Vimos que a área
do retângulo é dada pelo produto das medidas
da base e da altura, no caso, a base e a altura
valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:
A  14m.42m  588m²
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Exercício
(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m²
de área, deseja-se construir um jardim,
também retangular, medindo 9 m por 4 m,
contornado por uma calçada de largura L,
como indica a figura. Calcule o valor de L.
CALÇADA
JARDIM
L
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L
10
Resolução
De acordo com
as
medidas
fornecidas
do
jardim, sabemos
que a área do
terreno pode ser
escrita
em
função de L da
seguinte forma:
L
4
4
9
L
9
L
L
A  (9  2L).(4  2L)
A = Largura x Altura
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11
Resolução
Como a questão nos fornece o valor da área
total, igualamos esse valor dado à equação que
montamos anteriormente para determinar L:
A  (9  2 L).(4  2 L)  104
104  9(4)  9(2 L)  2 L(4)  2 L(2 L)
104  36  18 L  8 L  4 L ²
104  36  26 L  4 L ²  68  26 L  4 L ²
34  13L  2 L ²  2 L ²  13L  34  0
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12
Resolução
Resolvemos a equação de segundo grau e
acharemos possíveis valores para L:
2 L ²  13L  34  0
  13²  4(2)(34)  169  272  441
 13  441  13  21 8
L' 

 2
2(2)
4
4
 13  441  13  21  34
L' ' 


 8,5
2(2)
4
4
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13
Resolução
Depois de resolvermos a equação, achamos
2 e -8,5 como possíveis valores para L,
porém, o valor L é referente a medida,
dimensão, e como não existem medidas
negativas, desconsideramos o valor de -8,5.
Então, o valor de L é de 2 m.
 13  441  13  21 8
L' 

 2
2(2)
4
4
 13  441  13  21  34
L' ' 


 8,5
2(2)
4
4
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14
Área do Paralelogramo
Cortando um pedaço do paralelogramo,
podemos encaixá-lo do outro lado,
transformando-o num retângulo. Veja:
h
b
h
b
Então, podemos definir que a área do
paralelogramo é igual à área do retângulo:
Aparalelogramo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
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Área do Triângulo
Toda região triangular é metade da
região limitada por um paralelogramo
de mesma base e altura.
Como
dividimos
um
h
paralelogramo em dois
triângulos iguais, a área
b
de cada um dos triângulos
b.h
é igual à metade da área Atriângulo =
2
do paralelogramo:
Em que: b e h são números reais positivos.
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Exercício
A vela de um barco tem a forma triangular,
com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer
pintar 35% dessa vela de azul, 25% de verde
e o restante de branco.
a) Qual a área da parte azul?
b) Qual a área da parte verde? E da branca?
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17
Resolução
Sabemos que a área do triângulo é a metade
do produto da base pela altura. Como temos
esses valores, apenas aplicamos a definição:
a) b.h 4.5 20
A


 10m²
2
2
2
Como 35% dessa área será pintada de azul,
multiplicamos 35/100 pelo valor da área total
para saber a área azul que será pintada:
35
350
Aazul 
.10 
 3,5m² A área pintada de
100
100
azul será 3,5 m².
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18
Resolução
b) 25% da vela será pintada de verde, então:
25
250
Averde 
.10 
 2,5m² A área pintada de
100
100
verde será 2,5 m².
Já foi pintada 60% da área da vela (35% de
azul e 25% de verde). Como o restante será
pintado de branco, esse restante será de
40% da área da vela (100% – 60%):
40
400
A área pintada de
Abranco 
.10 
 4m ²
branco será 4 m².
100
100
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Exercício
Para decorar seu quarto, Carol preparou
bandeirinhas de papel. A partir do modelo
abaixo, ela fez 240 bandeirinhas. Qual a área
total de papel utilizado para fazer toda essa
decoração no quarto dela?
4 cm
4 cm
4 cm
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20
Resolução
Para calcular a área total, achamos a área de
uma bandeira, e depois multiplicamos pelo
numero n de bandeiras.
4 cm
2 cm
4 cm
4 cm
4 cm
Aplicamos o teorema de
Pitágoras para achar a
altura h do triângulo.
4²  2²  h²  16  4  h²
12  h²  h   12  h  2 3
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21
Resolução
2 cm
4 cm
Agora acharemos a área da
metade de uma bandeira, já
2 3 cm que temos sua base e altura:
2.2 3
A
 2 3cm ² Como achamos a metade
2
da área de uma bandeira,
a área da bandeira será o
dobro dessa área:
Abandeira  2. A  2.2 3  4 3cm²
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22
Resolução
Achamos a área de uma bandeira, a área total
será o número de bandeiras multiplicado por
essa área. Como o número de bandeiras é
240, multiplicamos esse valor pela área de
uma bandeira e acharemos a área total:
Atotal  240. Abandeira  240.4 3  960 3cm²
A área total de papel necessário para Carol
fazer suas bandeirinhas foi 960 3 cm².
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Áreas
Podemos, também, decompor uma figura plana
em regiões cujas áreas já sabemos calcular.
Assim, a área dessa figura será a soma das
áreas das regiões em que a figura foi
decomposta.
Veremos exemplos a seguir!
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24
Área do trapézio
• Trapézio é todo quadrilátero com apenas um
par de lados paralelos, que são suas bases.
Vamos
decompor
a
região limitada por um
trapézio para encontrar
sua área.
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25
Área do trapézio
Considere um trapézio de bases b, B e altura a
(números reais positivos).
b
Primeiro, decompomos
a região traçando uma
de suas diagonais.
a
B
Observe que temos agora 2 regiões triangulares:
b
a
a
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B
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Área do trapézio
A área de uma região triangular nós já aprendemos a
calcular, então temos:
b
A T  A1  A 2
b.a B.a
AT 

2
2
b.a  B.a
AT 
2
(b  B ).a
AT 
2
a
A1
A2
B
Ou seja:
( B  b) a
AT 
2
Em que b, B e a são números reais positivos.
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Exercício
Determine a área do terreno plano abaixo usando as
medidas dadas.
12m
5m
6m
4m
9m
11m
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28
Resolução
12m
Modelo matemático:
decomposição
do
terreno
em
três
regiões.
Retângulo
Triângulo
6m
5m
4m
Trapézio
9m
11m
Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos
que:
A terreno  A retângulo  A triângulo  A trapézio
A terreno
A terreno
 bh   ( B  b)h 
 (bh)     

2
 2 

 5  6   (9  11)  4 
 (12  6)  

  A terreno  127m²
29
2
 2  

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Área do losango
Todo losango pode ser transformado num retângulo
equivalente, com altura D e base d/2.
d/2
D
Assim, a área da região limitada
por um losango é dada pela
metade do produto das medidas
das diagonais.
d
A losango  D.
2
Em que D e d são números reais
positivos.
30
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Exercício
(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os
pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a
razão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango
(AL)?
a)
b)
c)
d)
½
2
1/3
4/3
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31
Resolução
D
Temos a seguinte figura:
d
A partir disso, calculamos a área de cada figura:
A r  Dd
e
Dd
, logo a razão Ar/AL é:
AL 
2
A r Dd Dd 2



2
A L Dd
1 Dd
2
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32
Exercício
(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os
pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a
razão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango
(AL)?
a)
b)
c)
d)
½
2
1/3
4/3
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33
Área de um triângulo equilátero
Observe o triângulo de vértices A, B e C
com lados medindo 𝒍 e altura h.
A
𝑙
𝑙
h
C
𝑙
B
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34
Área de um triângulo equilátero
Nesse caso não sabemos a medida da altura, que deverá ser
calculada através do Teorema de Pitágoras.
𝑙 2
= +
2
2
𝑙
𝑙2 = h2 +
4
2
𝑙
h2 = 𝑙2 4
𝑙2
h2
4h2 = 4𝑙2 – 𝑙2
4h2 = 3𝑙2
𝑙
h
2
3𝑙
h2 =
4
𝑙 3
h=
2
𝑙
2
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35
Área de um triângulo equilátero
De acordo com a medida da altura h
calculada, determinaremos a área do
triângulo equilátero com base na seguinte
fórmula:
𝑏.ℎ
A=

2
𝒍𝟐 𝟑
A=
𝟒
A=
𝑙
𝑙 3
.
2
2
A=
𝑙2 3
2
2
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A=
𝑙2 3 . 1
2
2
36
Área de um hexágono regular
Um hexágono regular é formado por seis regiões
triangulares equiláteras.
Como a área de uma região
triangular equilátera é dada por:
l² 3
A triânguloequilátero 
4
A área do hexágono é dada por:
l ² 3 6l ² 3
A hexágono  6 

4
4
Ou seja:
3l ² 3
A hexágono 
2
Em que l é um número real
37
positivo.
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Área de um polígono regular
Um polígono regular é aquele que tem todos os
lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele
pode sempre ser inscrito em uma circunferência.
Exemplos:
Triângulo equilátero
Quadrado
Polígono regular de Polígono regular de
3 lados
4 lados
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Pentágono regular
Polígono regular de
5 lados
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Área de um polígono regular
Pode-se perceber que se o polígono regular tem n
lados, a região limitada por ele pode ser decomposta
em n regiões limitadas por triângulos isósceles.
Em cada um desses triângulos, a
base é o lado (l ) e a altura é o
apótema (a). Logo:
la
A  n
Em que l : lado
O
a
2
A
l
B
a: apótema
n: número de lados, (valores reais positivos).
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Exercício
Na figura, ABCD é um quadrado de
lado a. Tomando-se E e G nos
prolongamentos da diagonal AC e
F e H nos prolongamentos da
diagonal BD, com EA=AC=CG e
FB=BD=DH, determine a área do
octógono AFBGCHDE em função de
a.
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40
Resolução
Podemos perceber que o
octógono é formado por 4
triângulos congruentes:
Logo, a área total equivale
a soma das áreas de cada
triângulo.
Sendo assim, vamos encontrar as
medidas, calcular a área de um
triângulo e multiplicar por 4.
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41
Resolução
Primeiro considere o triângulo
isósceles
(hachurado),
de
medidas a, x e x.
a
x
.
x
E note que o valor de x
corresponde a base dos
triângulos maiores.
Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),
aplicando o teorema de Pitágoras:
2
a
a
2
2
2
2
2
2
a  x  x  a  2x  x 
x
2
2
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42
Resolução
Sabendo o valor de x,
podemos verificar as demais
medidas
dos
triângulos
maiores.
3x
x
Para descobrir a altura
do triângulo, voltamos
para o enunciado da
questão, que diz que
DB=DH, por exemplo.
Logo
a
altura
do
triângulo é o triplo de
sua base.
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2x
x
43
Resolução
a
a
x

Como
, a base do triângulo é igual a
2
2
3a
altura é
.
2
e
a
Por fim a área de cada triângulo é dada por:
2
a
3a
3a

2
Base  altura
3a
2  2 
A triângulo 
 2
2
2
2
4
3a
2
a
2
E a área do octógono:
A total
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3a 2
 4
 3a 2
4
44