Disciplina: Matemática A
Prova: 635
Ano: 2013
Fase: 2ª
Resolução
O Sistema (www.osis-tema.blogspot.pt)
Matemática A (635) – 2º Fase - Resolução
2013
GRUPO I
1 2 3 4 5 6 7 8
Versão 1 B C A D B A C A
Versão 2 A D B B C A D C
1.
Começamos por colocar os 9 discos brancos. Há 16 espaços disponíveis. Como os discos são todos brancos a ordem
não interessa. Então
é o número de maneiras possíveis para colocar os discos brancos.
Para cada uma dessas disposições sobram
espaços para colocar os 3 discos pretos. Novamente a ordem
não interessa pois os discos a colocar são todos pretos. Então temos a solução
.
2.
A linha de
tem
1000. Todos os outros (
Então,
.
elementos. Desses 23 elementos há
) são superiores a 1000.
(os 3 primeiros e os 3 últimos) que são inferiores a
3.
4.
Só a função
verifica as condições do corolário do teorema de Bolzano no intervalo indicado.
5.
Da condição
, concluímos que a derivada da função no ponto de abcissa é nula, ou seja, a
recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa tem declive nulo, logo, é uma recta horizontal.
Da condição
, concluímos que a concavidade do gráfico de é voltada para baixo.
Então
deverá ser um máximo da função.
6.
O gráfico de resulta do gráfico de por uma translação horizontal associada ao vector
.
Tal significa, por exemplo, que deverá ter derivada nula para valores de próximos de
e
.
Este facto elimina duas das opções dadas no enunciado. Das restantes escolhemos aquela que verifica a relação
entre o sinal da derivada e a monotonia da função.
7.
Como
, o afixo do conjugado de pertence ao 1º quadrante. Então, de acordo com o intervalo de variação de
, o argumento do conjugado de terá de ser . Sabemos ainda que
.
Vamos provar que este módulo não pode ser :
, o que é impossível pois
2
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é um número real. Resta a opção
.
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8.
A primeira condição representa uma coroa circular com centro em
.
A segunda define um ângulo com vértice no centro desta coroa, de amplitude
e cujo lado origem faz também um
ângulo de amplitude com a semi-recta de origem no centro da coroa e que é paralela ao semi-eixo real positivo.
A intersecção dos dois espaços encontra-se no 1º quadrante.
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Grupo II
1.1.
Seja
.
. Como
,
.
Então
Para que
seja um número real negativo,
.
é a solução pretendida.
1.2.
cqd
4
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2.
Como
,
3.1.
Nº de jornalistas do sexo feminino:
Nº de jornalistas do sexo masculino:
.
;
1
5
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.
;
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3.2.
Resposta I)
Nesta resposta começamos por considerar o nº de possibilidades de ocupar todas as cadeiras das duas primeiras
filas com os jornalistas. Consideramos o nº de conjuntos de 16 jornalistas que é possível formar a partir de 20
jornalistas (
). Para cada um destes conjuntos temos de considerar as permutações entre os seus elementos pois
interessa a ordem (por exemplo, a troca de lugar entre dois deles implica a contabilização de uma nova hipótese).
Daí
(dito de outro modo,
representa o número de sequências de 16 jornalistas que se podem
formar a partir de um grupo de 20 jornalistas, ou seja,
).
Para cada uma destas sequências temos que considerar ainda as possibilidades de sentar na terceira fila os restantes
4 jornalistas, ou seja, multiplicar o número de hipóteses anteriores por tal número de possibilidades. Estas
correspondem ao número das sequências resultantes da ocupação dos 8 lugares da 3ª fila pelos 4 jornalistas
restantes, isto é, sequências das 4 cadeiras ocupadas a partir das 8 disponíveis,
.
Assim, a resposta é
.
Resposta II)
Começamos por determinar o número de sequências possíveis para distribuir os 20 jornalistas pelas 8 cadeiras da 1ª
fila (
).
Para cada uma destas hipóteses, consideramos depois a distribuição dos jornalistas restantes (
) pelas
cadeiras da 2ª fila, isto é, multiplicamos as hipóteses anteriores por
, obtendo assim
.
Para cada uma destas hipóteses temos que considerar ainda as possibilidades de sentar na terceira fila os restantes 4
jornalistas, ou seja, multiplicar o número de hipóteses anteriores por tal número de possibilidades. Estas
correspondem ao número das sequências resultantes da ocupação dos 8 lugares da 3ª fila pelos 4 jornalistas
restantes, isto é, sequências das 4 cadeiras ocupadas a partir das 8 disponíveis,
.
Obtemos assim,
.
6
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4.1.
Para levantar a indeterminação usamos a seguinte substituição:
Como
,
, pelo que,
4.2.
Para levantar a indeterminação usamos a seguinte substituição:
Quando
,
7
admite a assimptota oblíqua
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.
não é contínua em
.
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5.
A condição
Então,
é universal pois como
,
.
-
0
+
+
+
+
-
0
+
P. I.
Para
gráfico de
8
, o gráfico de tem concavidade voltada para baixo. Para
tem concavidade voltada para cima. Existe um ponto de inflexão para
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,o
.
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6.
.
Introduzimos na calculadora a função
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e procuramos o mínimo no intervalo indicado.
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7.1.
Seja
.
cqd
7.2.
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