FOLHA 2
Programação Linear : modelação matemática
1.
A fábrica de gelados Derretem-se na Boca SARL fabrica 2 qualidades de gelados : de nozes (C) e
de frutas (P). A loja encontra-se localizada numa animada área turística de modo que toda a produção
é sempre vendida.
Um cone de C custa 75$00 e um cone de P custa 60$00. Um cone de C necessita de 4 gr de mistura
de frutas e de 2 gr de noz moída. Um cone de P requer 6 gr de mistura de frutas e 1 gr de noz moída.
Apenas podem ser produzidas por hora 96 gr de mistura de frutas e 24 gr de noz moída.
Quantos cones de cada tipo devem ser fabricados de modo a maximizar a receita em cada hora ?
Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente.
2.
Uma empresa labora em dois processos produtivos, fabricando 2 produtos : P1 e P2. No
primeiro processo, 1 Kg de matéria-prima dá origem a 2 unidades de P1 e 1 unidade de P2, gerando
20 g de um resíduo altamente poluente. No segundo processo, com 1 Kg de matéria-prima obtêm-se 1
unidade de P1 e 3 unidades de P2, gerando 10 g do mesmo resíduo.
A empresa dispõe de 3 toneladas de matéria-prima e deve satisfazer encomendas de 2000
unidades de P1 e 4000 unidades de P2.
Atendendo a que a empresa pretende minimizar a quantidade produzida de resíduo poluente :
a) Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente.
b) Quais as quantidades de P1 e P2 produzidas em cada processo ?
c) Qual a quantidade de matéria-prima não utilizada ?
d) Qual a quantidade total de resíduo poluente produzido ?
3.
Uma empresa electrónica fabrica 2 tipos de circuitos impressos : A e B. Os do tipo A são
vendidos por 4000$00 e os do tipo B por 5000$00. No processo produtivo, ambos os tipos de circuitos
passam por 2 máquinas. Na 1ª, os circuitos do tipo A são trabalhados durante 4 horas e os do tipo B
durante 5 horas. Na outra, os circuitos passam 4 e 3 horas, respectivamente. A 1ª máquina pode
4
Programação Linear : modelação matemática
funcionar durante um máximo de 32 horas, enquanto a outra máquina não pode exceder as 24 horas
de funcionamento.
A empresa pretende maximizar a receita. Formule matematicamente o problema e resolva-o
graficamente. Qual a receita máxima que a empresa pode obter ?
4.
Devido a alterações de mercado, os preços dos produtos A e B referidos no problema anterior,
caíram para 4 e 3 mil escudos, respectivamente. Em simultâneo, modificações no processo produtivo,
requeridas por um mais rigoroso controlo de qualidade, levaram à aquisição de uma nova máquina,
onde tanto o produto A como o B sofrem alterações durante 1 hora. No entanto, esta máquina não
pode funcionar menos de 8 horas semanais.
Reformule o problema com as novas condições, representando graficamente a região admissível.
5.
Os produtos 1, 2 e 3 são manufacturados passando por 3 operações : A, B e C. Os tempos (em
minutos) requeridos por unidade de cada produto, a capacidade diária das operações de fabrico (em
minutos/dia) e o lucro por unidade vendida de cada produto (numa dada unidade monetária) são :
Tempo por unidade
Operação
Produto 1
Produto 2
Produto 3
Capacidade Operativa
(min/dia)
A
1
2
1
430
B
3
0
2
460
C
1
4
0
420
Lucro unitário (u.m.)
3
2
5
Supondo que toda a produção é vendida, formule o problema, de modo a obter um lucro máximo.
6.
Um agricultor pode usar 2 tipos de cereais para alimentar as suas galinha (ver tabela seguinte) :
Unidades nutritivas (Kg/cereal)
Tipo de
cereais
Vitamina A
Vitamina B
Vitamina C
Custo/Kg cereal
(escudos)
1
5
4
2
60
2
7
2
1
350
O número mínimo de unidades nutritivas requeridas por dia é de 8, 15 e 3 para as vitaminas A, B e
C, respectivamente.
Sabendo que se pretende minimizar o custo da alimentação das galinhas, formule o problema
como um de programação linear.
Folhas de Exercícios para Investigação Operacional
Programação Linear : modelação matemática
7.
5
Uma empresa produz 2 tipos de cintos : A e B. As margens brutas unitárias respectivas são de
160$00 e 70$00. Cada cinto do tipo A exige o dobro do tempo necessário à produção dum cinto do
tipo B. A empresa pode fabricar diariamente 1 000 cintos do tipo B. A quantidade de cabedal
fornecido à empresa é apenas suficiente para fabricar por dia 800 cintos. O cinto do tipo A necessita
de uma fivela de luxo e só se dispõe diariamente de 400 destas fivelas. Para o cinto B pode-se dispor
diariamente de 700 fivelas.
Apresente a formulação matemática deste problema de forma a maximizar o lucro diário.
8.
Uma empresa possui 3 fábricas onde existe capacidade de produção em excesso. Todas as
fábricas estão aptas a produzir um novo produto e a direcção decidiu usar desta forma alguma da
capacidade disponível. Este novo produto pode ser fabricado em 3 tamanhos : grande (G), médio (M)
e pequeno (P). Estes dão um lucro unitário de 42, 36 e 30 contos, respectivamente.
As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade em excesso para produzir diariamente 750, 900 e 450 unidades
deste produto, respectivamente, independentemente dos tamanhos ou combinações de tamanhos. O
espaço de armazenamento disponível impõe uma limitação na produção do novo produto. As
fábricas 1, 2 e 3 têm, respectivamente, 13000, 12000 e 5000 m2 de espaço de armazenamento
disponível por um dia de produção. Cada unidade dos produtos G, M e P produzida por dia
necessita de 20, 15 e 12 m2, respectivamente.
As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas diariamente 900, 1 200 e 750 unidades
dos produtos G, M e P, respectivamente. Para manter uma força de trabalho uniforme nas fábricas e
dispor de alguma flexibilidade, a direcção decidiu que as fábricas devem usar a mesma percentagem
da sua capacidade em excesso para produzir o novo produto. A direcção pretende saber quanto, de
cada tamanho, deve ser produzido em cada fábrica, de modo a maximizar o lucro total.
Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando o significado das variáveis
de decisão, das restrições e da função objectivo.
9.
Uma empresa pode produzir 3 produtos. Para o efeito são necessários 3 recursos : serviços
técnicos (ST), mão-de-obra (MO) e serviços de administração (SA). A tabela seguinte apresenta os
requerimentos de cada um dos recursos para os 3 produtos :
Recursos (horas)
Produtos
ST
MO
SA
Lucro unitário
(escudos)
1
1
10
2
10
2
1
4
2
6
3
1
5
6
4
Folhas de Exercícios para Investigação Operacional
6
Programação Linear : modelação matemática
Dispõe-se de 100 horas de ST, 600 horas de MO e 300 horas de SA. A fim de determinar a
combinação óptima dos produtos que maximizam o lucro total, formule o problema como um de PL.
10. Uma fundição de ferro tem um pedido de uma empresa para produzir no total 1000 Kg de
peças de fundição, contendo pelo menos 0.45% de manganês e entre 3.25% e 5.50% de silício.
Como estas peças representam uma encomenda especial, não existem na fundição peças
adequadas, pelo que terão de ser necessariamente produzidas. As peças serão vendidas por 450
escudos/Kg. A fundição tem disponíveis 3 tipos de ferro−fusa em quantidades praticamente
ilimitadas, e com as seguintes propriedades :
Tipo de ferro−fusa
Silício
Manganês
A
B
C
4%
1%
0.6%
0.45%
0.5%
0.4%
Note-se ainda que no processo de produção, pode ser adicionado directamente manganês ao metal
fundido. Os custos dos vários componentes são :
Ferro−fusa tipo A
:
21 000$00/tonelada
Ferro−fusa tipo B
:
25 000$00/tonelada
Ferro−fusa tipo C
:
15 000$00/tonelada
Manganês
:
8 000$00/Kg
Derreter 1 Kg de ferro−fusa tem um custo de 5$00. Pretende-se determinar um plano de produção
que maximize o lucro total. Para tal, formule o problema como um de PL (não o resolva).
11. Uma fundição recebeu uma encomenda de 2 000 kgs de uma liga metálica que deve possuir as
seguintes características : pelo menos 60% do seu peso em cobre e não mais de 30% do seu peso em
níquel. A liga pode ser obtida directamente a partir de cobre e níquel adquiridos no mercado ou a
partir de sucatas provenientes da produção de outras ligas que contêm aqueles metais. Os dados
técnico-económicos relevantes são os seguintes :
Composição dos materiais (%)
Materiais a utilizar
Disponibilidades
Preço
Níquel
Cobre
Outros
kgs
u.m./kg
Liga A
25
70
5
1 000
30
Liga B
40
50
10
1 500
24
Sucatas
Folhas de Exercícios para Investigação Operacional
Programação Linear : modelação matemática
7
Puros
Níquel
100
Cobre
100
Miscelânea
100
ilimitada
10
ilimitada
48
ilimitada
4
Sabendo que a fundição pretende minimizar o custo da liga metálica, construa um modelo
matemático de PL para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, restrições e
função objectivo.
12. Uma
família possui 500 mil m2 de terra e tem 5 mil contos em fundos disponíveis para
investimento. Os membros da família podem produzir um total de 3 500 pessoas−hora de trabalho
durante os meses de Inverno e 4 000 pessoas−hora durante o Verão. Se parte destas pessoas−hora não
for necessária, os membros mais novos da família podem usá-la para trabalhar nas quintas vizinhas,
por 800 escudos/hora no Inverno e 1 000 escudos/hora no Verão.
As receitas, em dinheiro, podem ser obtidas através de 3 colheitas e da criação de 2 tipos de
animais : vacas leiteiras e galinhas. Para as colheitas, não são necessários investimentos. Cada vaca
requer um investimento de 200 mil escudos e cada galinha custa 1500 escudos. Cada vaca necessita de
6 mil m2 de terra, 100 pessoas−hora de trabalho durante o Inverno e 50 pessoas−hora durante o Verão.
Cada vaca produz uma receita anual líquida para a família de 165 mil escudos, enquanto cada galinha
gera 850 escudos. Cada galinha necessita de 0.6 pessoas−hora de trabalho durante o Inverno e 0.3
pessoas−hora durante o Verão, não sendo necessário o uso de terra.
O galinheiro pode albergar um máximo de 3000 galinhas, enquanto o tamanho de estábulo limita o
número de vacas a 32.
Os valores estimados de pessoas−hora e de receita por m2 de terra plantado, em cada uma das 3
colheitas são :
Soja
Milho
Aveia
Pessoas−hora no Inverno
20
35
10
Pessoas−hora no Verão
50
75
40
1 000
1 500
750
Receita anual líquida (escudos)
A família pretende determinar qual a superfície de terra que deve ser plantada em cada uma das
colheitas, e quantas vacas e galinhas devem ser adquiridas para maximizar a receita líquida anual.
Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando o significado das variáveis de
decisão, das restrições e da função objectivo.
Folhas de Exercícios para Investigação Operacional
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Programação Linear : modelação matemática
13. Um fabricante de papel produz 3 tipos de papel : pesado (P) a um lucro de 6 u.m. por T, médio
(M) a um lucro de 4 u.m. por T e fino (F) a um lucro de 5 u.m. por T. Para produzir 1 tonelada de P
são consumidas 2 T de pasta e 2 unidades de energia eléctrica; para produzir 1 T de M aqueles valores
valem, respectivamente, 1 e 2, e para a produção de 1 T de F os valores 1 e 5, respectivamente. O
fabricante dispõe, semanalmente de 30 T de pasta e de 40 unidades de energia eléctrica.
Pretende-se determinar o esquema de fabrico óptimo, isto é, a solução que maximiza o lucro total.
Para o efeito, formule o problema como um modelo de PL.
14. Um
estudante que toma as suas refeições diárias numa cantina universitária, tem à sua
disposição, num determinado dia, 5 menus completos e variados (3 para o almoço e 2 para o jantar)
cujos preços (em escudos) são apresentados na tabela seguinte :
Almoço
Jantar
Menu 1
Menu 2
Menu 3
Menu 1
Menu 2
250
300
330
200
350
Após ter determinado o total de substâncias nutritivas (proteínas e vitaminas) contido em cada um
desses menus, obteve os valores seguintes :
Almoço
Jantar
Menu 1
Menu 2
Menu 3
Menu 1
Menu 2
Proteínas (gr)
16
20
25
15
25
Vitaminas (mg)
20
15
12
10
5
Por outro lado, os requerimentos totais (almoço e jantar) de proteínas e vitaminas exigidos pelo
estudante para a sua alimentação nesse dia são respectivamente 35 gr e 0.02 gr.
Qual o esquema de alimentação que o estudante deve adoptar por forma a obter um custo mínimo
de alimentação para esse dia específico ? (isto é, qual o menu que ele deve escolher para o almoço e
qual deve escolher para o jantar ?) Formule o problema como um de PL.
15. Um industrial têxtil pode fabricar 2 tipos de tecido (A e B), para o que necessita de 4 tipos de fio
(1, 2, 3 e 4). Assim, para fabricar 1 unidade de medida (u.m.) do tecido A, são necessários 4 Kgs de fio
1, 3 Kgs de fio 2, 6 Kgx de fio 3 e 1 Kg de fio 4. Para fabricar 1 u.m. de tecido B, são necessários 2 Kgs
de fio 1, 8 Kgs de fio 2, 1 Kg de fio 3 e 3 Kgs de fio 4. O custo (em unidades monetárias − U.M.) por Kg
de fio, é dado na tabela seguinte :
Fio
1
2
3
4
Custo
10
12
11
13
Folhas de Exercícios para Investigação Operacional
Programação Linear : modelação matemática
9
O preço de venda por unidade de medida de tecido é de 250 U.M. para o tecido A e de 300 U.M.
para o tecido B.
Sabendo que o industrial só dispõe de 200 000 U.M. para investir na compra de fio e que o
fornecedor de fio só pode garantir a entrega de 8 000 Kgs do fio 2, que quantidades devem ser
fabricadas de tecido A e de tecido B, por forma a maximizar o quantitativo recebido pela venda
(supõe-se garantida a venda total da produção) ? Formule (não resolva) o problema como um de PL.
16. Uma fábrica de objectos de mármore produz 4 tipos de objectos : jarras (J), cinzeiros (C), formas
livres (FL) e estátuas (E). Para cada objecto são necessárias as seguintes horas :
J
C
FL
E
Disponibi
lidades
Corte
30
5
45
60
300
Cinzelagem
20
8
60
30
180
Polimento
0
20
0
120
300
280
40
500
510
Produtos
Secção
Lucro unitário (u.m.)
Formule este problema como um de PL, sabendo que se pretende maximizar o lucro total.
Folhas de Exercícios para Investigação Operacional