Previsão da precipitação pluviométrica na cidade de Natal-RN,
com modelos de séries temporais
Naje Clécio Nunes da Silva 1
Thelma Sáfadi 2
Joel Jorge Nuvunga3
Wederson Leandro Ferreira4
Oseas Machado Gomes5
André Barbosa Ventura da Silva6
INTRODUCÃO
Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo,
representada por Zt ; t  1,
, n , e que pode ser representada por um modelo de
decomposição de soma de três componentes não-observáveis,
Zt  Tt  St  at ,
(1)
em que: Tt é a componente que explica a tendência da série, isto é, o aumento ou
diminuição dos valores observados segundo um comportamento que pode ser polinomial
ou exponencial; St é a componente que explica a sazonalidade da série, isto é, fenômenos
que ocorrem regularmente (diariamente, semanalmente, mensalmente, entre outros); at é
a componente aleatória ou erro. A suposição usual é que at seja uma série puramente
aleatória ou ruído branco, com média zero e variância constante
.
Segundo Morettin & Toloi (2006), a tendência pode ser entendida como aumento
ou diminuição gradual das observações ao longo do tempo, a sazonalidade indica
possíveis flutuações ocorridas sempre em períodos menores ou iguais a doze meses e a
componente aleatória mostra oscilações aleatórias irregulares.
O principal interesse em considerar o modelo (1), é estimar a tendência Tt e a
sazonalidade St , já que estas estão intrinsecamente ligadas, e faz com que a série Z t não
atinja seu estágio estacionário, condição exigida na metodologia de ajuste dos modelos
de Box e Jenkins. Uma vez estimadas Tt e St , elas são subtraídas de Z t , restando apenas
uma estimativa da componente aleatória at .
1
Doutorando do Programa de Pós-Graduação em Estatística e Exp. Agropecuária – UFLA, agradecimento a FAPEMIG pelo apoio
financeiro
2
Docente do Programa de Pós-Graduação em Estatística e Exp. Agropecuária – UFLA
3
Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Estatística e Exp. Agropecuária – UFLA
4
Doutorando do Programa de Pós-Graduação em Estatística e Exp. Agropecuária – UFLA
5
Mestrando em Biometria e Estatística Aplicada - UFRPE
6
Mestre do Programa de Pós-Graduação em Estatística e Exp. Agropecuária – UFLA
1
O objetivo deste trabalho é ajustar uma série temporal aos dados anuais da série
climatológica de precipitação pluviométrica da cidade de Natal - RN, no período de 1911
a 1977.
MATERIAL E MÉTODOS
A série temporal utilizada no presente estudo é climatológica referente à
precipitação pluviométrica na cidade de Natal localizada no Estado do Rio Grande do
Norte, situada a 05°47’42” de latitude Sul, 35°12’34” de longitude Oeste, da região
nordeste do Brasil. Os dados são anuais e compreendem o período de 1911 a 1977,
totalizando 67 observações.
Inicialmente a série foi analisada graficamente para observar seu comportamento,
em seguida para saber se a série possui ou não tendência foi utilizado o teste de CoxStuart (Morettin e Toloi, 2006), que consiste em agrupar as observações em pares
 Z1, Z1c  ,
cada par
,  Z N c , Z N  , onde c 
 Zi , Zi c 
N
N 1
, se N for par e c 
, se N for ímpar. A
2
2
será associado ou sinal “  ” se Zi  Zi c , ou “  ” se Zi  Zi c .
Quando Zi  Zi c , o par  Zi , Zi c  não é considerado. Seja n o número de pares onde
Zi  Zi c . Tem-se as seguintes hipótese a serem testadas:
H 0 : P  Zi  Zi c   P  Zi  Zi c  , i , isto é, não há tendência;
H1 : P  Zi  Zi c   P  Zi  Zi c  , i , isto é, há tendência.
A estatística usada pelo teste é: se T2  n  t , rejeita-se H 0 , em que: T2 é o
número de pares com sinal “  ”, sendo que t é encontrada numa tabela de distribuição
binomial com p  0,5 e n , para algum nível de significância  considerado. Quando
n  20 é recomendado utilizar distribuição normal aproximada da distribuição binomial.
Se a série possui tendência determinística, ajusta-se a uma função do tempo como
um polinômio, uma exponencial ou outra função suave de t. Em seguida, aplica-se a
primeira (ou segunda) diferença nos dados originais e analisam-se os valores da função
de autocorrelação.
Para verificar sazonalidade da série pluviométrica, de acordo com Morettin &
Toloi (2006), a componente sazonal ocorre regularmente em período de no máximo 12
meses. Como a série é anual não estuda a sazonalidade, pois só poderá ter ciclos.
2
Na determinação de qual o melhor modelo que se ajusta aos dados, utilizou-se os
modelos propostos por Box & Jenkins (1970), auto-regressivos integrados de médias
móveis - ARIMA (p,d,q), dados por:
1   B   B
1
2
2
 ....   p B p  1  B  Zt  1  1B  2 B 2  ....  q B q  at ,
d
(2)
Para testar qual melhor modelo se ajustou a série, Akaike (1973) sugere escolher
o modelo cujas ordens p e q minimizem o critério.
O critério de Akaike, na comparação de diversos modelos, com N fixo, pode ser
expresso por: AIC (k , l )  N log ˆ a2  2(k  l  2),
(3)
em que ˆ a2 é o estimador de máxima verossimilhança de  a2 , 0  k  p e 0  l  q . O
melhor modelo será aquele que apresentar menor AIC.
Para testar a autocorrelação dos resíduos estimados foi utilizado o Teste de BoxPierce (1970), que tem como estatística
,
com uma distribuição aproximada da qui-quadrado
 
2
(4)
com K – p – q graus de
liberdade. Tem-se as seguintes hipóteses:
H 0 : os resíduos estimados são ruídos brancos versus H1 : os resíduos estimados não são
, então rejeita-se H 0 , ou seja, os resíduos
ruídos brancos. Se
estimados não são ruídos brancos para algum nível de significância  considerado.
Todas as análises foram feitas no software Gretl.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A Figura 1 mostra o gráfico da série anual de precipitação pluviométrica. Nota-se
aparentemente que a série apresenta um comportamento estável ao longo dos anos
evidenciando que a série é estacionária. Porém, deve-se verificar se a mesma possui
tendência.
4000
Precipitação Pluviométrica
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
Ano
Figura 1: Gráfico da série anual de precipitação pluviométrica em Natal – RN, no
período compreendido entre 1911 a 1977.
3
Aplicou-se o teste do sinal (Cox-Stuart) para verificar se a série possui tendência.
Considerando-se o nível de
tem-se que:
de significância e tomando-se as 67 observações,
e
. O fato de
obtém t
. O número de sinais positivos
, aproxima-se a distribuição binomial pela normal e
22,71 . Como T2  13  11, 29  34  22,71  n  t , então rejeita-se H 0 ao nível
de 5% de probabilidade, isto é, a série apresenta tendência, que mostrou-se ser
determinística (polinomial de 1º grau). Para tornar a série estacionária foi necessária uma
diferença.
Da série estacionária aplicou-se a metodologia de Box & Jenkins.
Observa-se na Figura 2, que a série diferenciada livre de tendência. Com base nas
funções de autocorrelação (fac) e autocorrelação parcial (facp), foram propostos os
seguinte modelos:
modelo 1 ARIMA(1,1,0): (1  B) Zt    1Zt 1
modelo 2 ARIMA(0,1,1): (1  B) Zt  at  1at 1
modelo 3 ARIMA(1,1,1) (1  B)Zt    1Zt 1at  1at 1
1500
1000
Precipitacao
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
Anos
Figura 2: Gráfico da série diferenciada da precipitação pluviométrica pelo
polinômio de 1º grau.
Dos três modelos, o melhor pelo critério de Akaike foi o modelo ARIMA(1,1,1)
sem constante (modelo 3) que apresentou menor Akaike. Sendo que os parâmetros do
modelo ajustado pelo método da máxima verossimilhança são: ˆ1 =0,80 e ˆ1 =-0,60, ao
nível de significância de 5%.
O teste de Box & Pierce foi realizado e verificou-se que os resíduos são um ruído
2
 33, 23 , ao nível de significância de 5%.
branco, já que Q(24)  15,02  (22)
4
Na Figura 3, tem-se os valores reais de 1911 a 1977 da série de precipitação
pluviométrica, bem como as previsões de 1978 a 1982, com o intervalo de confiança de
95% de probabilidade.
4000
Precipitacao
previsão
Intervalo a 95 por cento
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
1945
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
Figura 3: Série de precipitação pluviométrica da cidade de Rio Grande do Norte
com valores reais e previsões.
CONCLUSÕES
A precipitação pluviométrica na cidade de Natal – RN, apresenta uma tendência
crescente e linear. Tendo se ajustado melhor ao modelo ARIMA(1,1,1), com boas
previsões da precipitação pluviométrica.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AKAIKE, H. Maximum likelihood identification of Gaussian autoregressive moving
average models. Biometrika, 1973. v. 60, p. 255-265.
BAIOCCHI, G.; DISTASO, W. GRETL: Econometric software for the GNU
generation disponível em: http://gretl.sourceforge.net/win32/index_pt.html.
BOX. G. E. P.; PIERCE, D. A. Distribution of residuals autocorrelations in
autoregressive-integrated moving average time series models. Journal of the America
Statistical Association, Washington, 1970. v. 65, p. 1509- 1526.
BOX, G.; JENKINS, G. Time series analysis: forecasting and control. San Francisco:
Holden-Day, 1970. 575 p.
MORETTIN, P; TOLOI, C. Análise de series temporais. 2.ed. São Paulo: Edgard
Blücher, 2004. 546p.
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