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PARA QUEM CURSA O 8.O ANO EM 2015
Colégio
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
(ENEM) – Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pa cotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com
formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de
caixas para esse envio é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
e) 17
RESOLUÇÃO
Como se vê na figura abaixo cada caixa de 40 cm x 40 cm x 60 cm é capaz de armazenar
8 pacotes de livros.
30 cm
20 cm
20 cm
30 cm
4 pacotes
4 pacotes
Como 100
8
20 12,5
40
0
Assim, são necessárias, no mínimo, 13 caixas.
Resposta: C
OBJETIVO
1
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 17
(ENEM) – Visando adotar um sistema de reutilização de água, uma indústria testou cinco
sistemas com diferentes fluxos de entrada de água suja e fluxos de saída de água purificada.
Sistema I
Sistema II
Sistema III
Sistema IV
Sistema V
Fluxo de entrada
(água suja)
45 L/h
40 L/h
40 L/h
20 L/h
20 L/h
Fluxo de saída
(água purificada)
15 L/h
10 L/h
5 L/h
10 L/h
5 L/h
Supondo que o custo por litro de água purificada seja o mesmo, obtém-se maior eficiência na
purificação por meio do sistema:
a) I
b) II
c) III
d IV
e) V
RESOLUÇÃO
fluxo de saída
Definindo eficiência h = ––––––––––––––––– e calculando h, temos:
fluxo de entrada
15
hI = –––– = 0,333...
45
10
hII = –––– = 0,250
40
5
hIII = –––– = 0,125
40
10
hIV = –––– = 0,500
20
5
hV = –––– = 0,250
20
Assim, o sistema de maior eficiência é o IV.
Resposta: D
OBJETIVO
2
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO
QUESTÃO 18
(FUVEST – ADAPTADA) – Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas
com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2m e 5m.
Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente
lajotas inteiras. Os possíveis valores do lado das lajotas são:
a) 2, 4, 5, 10, 20, 25 e 50
b) 1, 4, 5, 10, 20, 50 e 100
c) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50 e 100
d) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100
e) 1, 2, 4, 10, 20, 25, 50 e 100
RESOLUÇÃO
Sendo a medida, em cm, do lado das lajotas, podemos concluir do enunciado que é um divisor comum de 200 e 500.
l cm
l cm
200 cm
500 cm
Como o máximo divisor comum de 200 e 500 é 100, os valores de deve ser um divisor
de 100.
O número 100 (= 22 . 52) possui 9 divisores positivos: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.
Esses são os possíveis valores de .
Resposta: D
QUESTÃO 19
(ENEM) – O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças
e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que 90% dos
casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80% dos casos diagnosticados de enfisema
pulmonar estão associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram mostrados os
resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2 000 pessoas com doenças de
pulmão, das quais 1 500 são casos diagnosticados de câncer e 500 são casos diagnosticados
de enfisema.
Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de fumantes desse grupo de
2 000 pessoas é, aproximadamente:
a) 740
b) 1 100
c) 1 310
d) 1 620
e) 1 750
OBJETIVO
3
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
RESOLUÇÃO
Sendo n o número pedido, temos:
90
80
n = –––– . 1 500 + –––– . 500 ⇔ n = 1 750
100
100
Resposta: E
QUESTÃO 20
(UNICAMP – ADAPTADA) – A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:
Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas
caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?
a) R$ 6,80
b) R$ 8,40
c) R$ 9,20
d) R$ 10,20
e) R$ 11,10
RESOLUÇÃO
Do enunciado, temos a figura:
x
__
5
x
x
__
5
x
__
5
2x
x
__
5
x
Sendo 50 = 50 dm3, temos que 2x . x . ––– = 50, ou seja, x = 5 dm. Logo, x = 50 cm.
5
2x
2x
. ––– + x , ou seja,
2x + –––
5
5
A área da folha retangular plana, em cm2, é dada por
84
––– x2.
25
1 m e sabendo que o custo do material utilizado é R$ 10,00 por
Sendo x = 50 cm = –––
2
84
metro quadrado, o custo pedido é R$ 10 . ––– .
25
Resposta: B
OBJETIVO
4
––12 2
, ou seja, R$ 8,40.
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO
QUESTÃO 21
(UNICAMP – ADAPTADA) – Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com
inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A, está um poste vertical de 5 metros
de altura, com uma lâmpada no ponto B.
B
C
1,80m
5m
sombra
30°
A
Calculando o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira
acima, obteremos:
a) 2,20 m
b) 2,25 m
c) 2,75 m
d) 3,25 m
e) 3,50 m
RESOLUÇÃO
Do enunciado, temos a figura:
B
E
C
60°
x
1,80m
D
4
5m
60°
30°
A
Sendo x o comprimento da sombra, da semelhança dos triângulos CDE e CAB, temos:
1,80
x
–––––– = ––––– ⇔ x = 2,25
5
x+4
Resposta: B
QUESTÃO 22
A média bimestral de matemática de Zezinho é numericamente igual a média geométrica
entre o resultado da expressão:
1
––
3
1
––
4
2
4
––
3
8 + 16 – (–2) + 8
expresso no intervalo:
a) 5 < x < 8
d) 2 ≤ x ≤ 7
OBJETIVO
e a idade de Luizinho, que tem 4 anos. Esse aproveitamento x está
b) 3 ≤ x < 8
e) 1 < x < 8
c) 4 ≤ x ≤ 8
5
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
RESOLUÇÃO
Aplicando as propriedades das potências de expoente fracionário na expressão, teremos:
1
––
3
3
8=2
= 8
1
––
4
16
4
––
3
8
4
16 = 2
=
3
=
3
4
––
3
= 8 8 = 8 . 2 = 16 ou 8
84
3
3
=
1
––
3
Logo, a expressão dada é tal que: 8
3
84 = (23)4 = 212 = 24 = 16
1
––
4
+ 16
–
(–2)2
+8
4
––
3
= 2 + 2 – (–2)2 + 16 =
= 2 + 2 – 4 + 16 = 2 + 2 – 4 + 16 = 16
Assim, a média geométrica entre este resultado (16) e a idade de Luizinho é
16 . 4 = 64 = 8
x = Resposta: C
QUESTÃO 23
(ENEM) – Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos
produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de
produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja
comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles.
O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado.
Produto
Tipo A
Tipo B
Arroz
2,00
1,70
Feijão
4,50
4,10
Soja
3,80
3,50
Milho
6,00
5,30
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são,
respectivamente,
a) A, A, A, A.
b) A, B, A, B.
c) A, B, B, A.
d) B, A, A, B.
e) B, B, B, B.
OBJETIVO
6
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO
RESOLUÇÃO
Como apenas 90% dos produtos adquiridos dos tipo B são aproveitados os preços dos
produtos do tipo B não são por 1 kg, mas por 900 g. Comparando os preços de 900 g
de cada produto do tipo A com os preços de 1 kg dos respectivos produtos do tipo B,
teremos:
Arroz: 90% de 2,00 = 1,80 > 1,70
Feijão: 90% de 4,50 = 4,05 < 4,10
Soja: 90% de 3,80 = 3,42 < 3,50
Milho: 90% de 6,00 = 5,40 > 5,30
Pode-se concluir que os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos
pelo comerciante são, respectivamente; B, A, A e B.
Resposta: D
QUESTÃO 24
(ENEM) – Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados
de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será
comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é
a) 6
b) 7
c) 8
d) 11
e) 12
RESOLUÇÃO
Para cercar completamente, com tela, os lados do terreno, exceto o lado margeado
pelo rio, o número de rolos necessários é (81 + 190 + 81) m ÷ 48 m = 352 ÷ 48 7,3.
Assim, a quantidade mínima de rolos de tela que deverão ser adquiridos é 8.
Resposta: C
OBJETIVO
7
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 25
(ENEM) – O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa
Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é
garantia de nota acima da média.
*Considerando as médias de cada país no exame de matemática.
(Nova Escola, São Paulo, dez. 2010. Adaptado.)
Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade
de horas de estudo é
a) Finlândia.
b) Holanda.
c) Israel.
d) México.
e) Rússia.
RESOLUÇÃO
Dos países com notas abaixo da média (Rússia, Portugal, Itália, Israel e México), de
acordo com o gráfico pode-se notar que Israel é o que apresenta maior quantidade de
horas de estudo (esta mais a direira), aproximadamente 8 500 horas.
Resposta: C
OBJETIVO
8
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO
QUESTÃO 26
(ENEM) – As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca
avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada
membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos
específicos da área de atuação e outra aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final
do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca
avaliadora.
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas
atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior,
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 pontos menor.
RESOLUÇÃO
I) Média anterior:
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 1 + 19 + 14 + 16 + 12
140 = 14
ma = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––
10
10
II) Nova média, com o descarte da maior e da menor notas atribuídas:
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12 = 120 = 15
mb = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
––––
8
8
III) Assim, mb – ma = 15 – 14 = 1,00
Resposta: B
OBJETIVO
9
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 27
3
(OBMEP) – A região cinza na figura é um quadrado de área 36 cm2 que corresponde a –––
8
da área do retângulo ABCD.
D
C
36cm2
B
A
Qual é o perímetro desse retângulo?
a) 44 cm
b) 46 cm
c) 48 cm
d) 50 cm
e) 52 cm
RESOLUÇÃO
D
C
36cm2
B
A
Como a área de um quadrado de lado a é a 2 e o quadrado tem área 36 cm2, segue que
seu lado mede 6 cm. Temos que:
3
–– área Æ 36 cm2
8
1
–– área Æ 36 ÷ 3 = 12 cm2
8
8
–– área Æ 12 x 8 = 96 cm2
8
Logo, o retângulo tem 96 cm2 de área e sua largura AD mede 6 cm , portanto 6 x CD = 96
e segue que CD = 96 ÷ 6 = 16 cm . Logo, o perímetro do retângulo é 2 x (6 + 16) = 44 cm.
Outra solução: como a área de um quadrado de lado a é a2 e o quadrado tem área
3
36 cm2, segue que seu lado mede 6 cm, que deve ser igual a –– do lado AB. Logo, AB
8
8 x 6 = 16 cm. Segue que as dimensões do retângulo são 16 cm e 6 cm, e seu
mede ––
3
perímetro é 2 x (6 + 16) = 44 cm.
Resposta: A
OBJETIVO
10
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO
QUESTÃO 28
(OBMEP) – As duas figuras a seguir são formadas por cinco quadrados iguais.
Observe que elas possuem eixos de simetria, conforme assinalado a seguir.
As figuras a seguir também são formadas por cinco quadrados iguais.
OBJETIVO
11
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
Quantas delas possuem pelo menos um eixo de simetria?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
RESOLUÇÃO
Abaixo estão indicadas as 4 figuras que possuem um ou mais eixos de simetria.
Resposta: B
QUESTÃO 29
(OBMEP) – Dois triângulos equiláteros de perímetro 36 cm cada, são sobrepostos de modo
que a região comum dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos,
conforme a figura abaixo.
Qual é o perímetro desse hexágono?
a) 12 cm
b) 16 cm
c) 18 m
d) 24 cm
e) 36 cm
RESOLUÇÃO
Primeiro, observe que, como o hexágono tem lados opostos paralelos, os seis triângulos menores da figura do problema também são equiláteros, devido ao paralelismo,
que mantém os ângulos entre retas iguais a 60° (já que, inicialmente, as retas
formavam ângulos de 60°, devido aos dois triângulos equiláteros). Logo, podemos
escrever as medidas dos lados como na figura:
OBJETIVO
12
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO
a
f
f
a
b
a
f
b
e
b
e
e
d
c
c
d
c
d
A soma dos perímetros dos dois triângulos equiláteros é igual a 3(a + b + c + d + e + f),
e como cada triângulo equilátero tem perímetro 36 cm, temos 3(a + b + c + d + e + f) = 72,
isto é, a + b + c + d + f = 24. Como esse também é o perímetro do hexágono, temos
que o perímetro procurado é 24 cm.
Resposta: D
QUESTÃO 30
(OBMEP) – Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma
caixa fechada. Eles já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem
as seguintes afirmações:
• Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 bolas.
• Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas.
• Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 bolas.
Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta. Quantos são os possíveis valores para
o número de bolas dentro da caixa?
a) 1
b) 5
c) 11
d) 13
e) 16
RESOLUÇÃO
Acompanhe a solução com a ajuda da figura a seguir, que ilustra as afirmativas de
Regina, Paulo e Iracema.
Regina
100 101
106
Iracema
119 120 121
129
139 140
Paulo
OBJETIVO
13
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8.o ANO
(i) Se Regina está certa, então Paulo e Iracema estão errados. Os números que
satisfazem a afirmação de Regina, mas não satisfazem a afirmação de Paulo são
101, 102, 103, 104 e 105; note que estes números também não satisfazem a
afirmação de Iracema. Neste caso, temos 5 possibilidades para o número de bolas
na caixa.
(ii) Se Paulo está certo, então Regina e Iracema estão erradas. O único número que
satisfaz as opções de Paulo e não satisfaz as de Regina e Iracema é 120. Neste caso,
temos apenas uma possibilidade para o número de bolas na caixa.
(iii) Se Iracema, está certa, então Paulo e Regina estão errados. Os números que
satisfazem a afirmação de Iracema, mas não satisfazem a afirmação de Paulo são
130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139; note que estes números também
não satisfazem a afirmação de Regina. Neste caso, temos 10 possibilidades para o
número de bolas na caixa. Finalmente, o número total de possibilidades é a soma
do número de possibilidades nos casos (i), (ii) e (iii), que é 5 + 1 + 10 = 16.
Resposta: E
OBJETIVO
14
PORTUGUÊS – DESAFIO – 8o ANO