Geometria Simplética 2015, Lista 8
Prof. H. Bursztyn
Entrega dia 21/05
Problema 1: Sejam L(t) e A(t) famı́lias suaves de matrizes em Mn (R) tal que a equação
L0 (t) = [A(t), L(t)] = (AL − LA)(t),
(1)
chamada equação de Lax, seja satisfeita.
(a) Seja U (t) a solução da equação
U 0 (t) = A(t)U (t),
U (0) = Id.
Usando a teoria de eqs diferenciais, verifique que a solução desta equação existe, é
única, e U (t) é invertı́vel. Se V = U −1 , mostre que V (t) satisfaz V 0 (t) = −V (t)A(t).
(b) Mostre que (V (t)L(t)U (t))0 = 0, e conclua que L(t), solução de (1), é dada por
L(t) = U (t)L(0)U (t)−1 .
A conclusão é que L segue uma evolução isospectral; portanto funções de L invariantes
por conjugação são quantidades conservadas, por exemplo tr(Lk ), k = 1, . . . , n
Veremos, a seguir, como obter integrais primeiras de sistemas hamiltonianos usando a eq.
de Lax.
Problema 2: Consideramos o mais simples dos exemplos: o oscilador harmônico. Seu
espaço de fase é R2 = {(q, p)}, com a forma canônica dq ∧ dp, e hamiltoniano H(q, p) =
1
(λ2 q 2 + p2 ). Considere as matrizes
2
p λq
0 −λ/2
L=
, A=
λq −p
λ/2
0
Mostre que, neste exemplo, o sistema hamiltoniano é equivalente a eq. de Lax. Verifique,
ainda, que H = 14 Tr(L2 ).
Os dois próximos problemas descrevem importantes exemplos de sistemas integraveis em
R2n , que podem ser descritos através da equação de Lax. Por simplicidade, assumiremos
que n = 2.
Problema 3: Considere em T ∗ R2 = R4 , com coordenadas (q1 , q2 , p1 , p2 ), o hamiltoniano
1
H(q, p) := (p21 + p22 ) + e2(q1 −q2 ) .
2
(a) Calcule o sistema hamiltoniano correspondente (esse sistema é chamado de Toda
lattice, e modela uma molécula linear com 2 átomos com uma interação exponencial).
(b) Mostre que o momento total f = p1 + p2 é uma quantidade conservada (i.e.,
{H, f }=0).
(c) Mostre que H e f são independentes num subconjunto denso de R4 .
Considere as matrizes 2 × 2, L e A, dadas por
L11 = p1 , L22 = p2 , L12 = L21 = eq1 −q2 ,
A11 = A22 = 0, A12 = −A21 = −eq1 −q2 .
Mostre que resolver o sistema hamiltoniano é equivalente a resolver a equação de Lax (1).
Verifique que f = tr(Lk ) and H = 21 tr(L2 ).
Problema 4: Considera agora o hamiltoniano (definido para q1 6= q2 )
1
1
H(q, p) := (p21 + p22 ) +
.
2
(q1 − q2 )2
O sistema correspondente, chamado Calogero-Moser, é
q̇j = pj ,
ṗj = 2(qj − qk )−3 , k 6= j, j = 1, 2.
(2)
Considere as matrizes 2 × 2, L e A, definidas por
Ljj = pj , Lkj = i(qk − qj )−1 , Ajj = −i(qj − qk )−2 , Ajk = i(qj − qk )−2 .
√
para j = 1, 2 e k 6= j (aqui i = −1). Como no problema anterior, mostre que resolver
(2) é equivalente a resolver a equação matricial (1). Ache outra quantidade conservada
do sistema (diferente de H).
Problema 4: Considere um movimento quase-periódico no toro Tn = Rn /Zn = {θ =
(θ1 , . . . , θn )} com frequência α = (α1 , . . . , αn ), θ(t) = θ(0)+αt. Suponha que o movimento
admita r relações independentes entre as frequências (gerando o subgrupo de relações),
k1 , . . . , kr ∈ Zn , hki , αi = 0. Mostre que a trajetória θ(t) está restrita a um subtoro de
dimensão (n−r) e que, neste subtoro Tn−r , o movimento é quase-periódico com frequências
independentes [em particular, como discutimos em sala, o fecho da trajetória θ(t) é um
toro de dimensão n − r].
Se necessário, dicas: Podemos assumir que θ(0) = 0. O movimento θ(t) no recobrimento
Rn de Tn está restrito ao plano P ortogonal aos vetores k1 , . . . , kr . Mostre que existe
uma base do plano P , v1 , . . . , vr , tal que vi ∈ Zn (por exemplo, complete k1 , . . . , kn a uma
base de Rn com vetores da base canônica e aplique o método de ortogonalização da base
(sem normalização)). ComP
isso P se projeta por Rn → Tn num subtoro Tn−r . Escreva a
frequência na base vi , α = i ai vi . Mostre que (a1 , . . . , an−r ) não admite relações.