MATEMÁTICA
1ª QUESTÃO
A Prefeitura de certa cidade construiu, num parque, uma pista retangular ABCD para caminhadas, de forma
que AB = 100 m e AD = 250 m. Deseja, então, fazer uma trilha retilínea AP, com P pertencente a BC, tal
que o circuito ABPA seja exatamente a metade do comprimento total da pista retangular. Pede-se:
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule qual deve ser a distância BP para que o objetivo da Prefeitura seja alcançado.
Resolução:
O teorema de Pitágoras no triângulo ABP fornece AP =
10000
x2
Assim, 100 + x +
metros.
10000
x2 = 350 ou
x = 105
2ª QUESTÃO
O bar do Paulão é abastecido com chopp proveniente de 6 máquinas, cada uma possuindo uma produção
de 1.100 litros de chopp por mês. Paulão pretende aumentar o número de máquinas; porém, para cada
máquina adicional comprada e integrada à linha de produção, estima-se que a produção por máquina
diminui em 25 litros por mês, isso devido à disponibilidade de mão de obra e insumos utilizados. Por
exemplo, com uma máquina adicional integrada, a vazão de cada uma das 7 máquinas fica em 1075 litros
por mês.
a) Calcule o tempo que as 6 máquinas iniciais levam para fornecer um volume de 17.600 litros de chopp.
b) Dê a expressão da produção total mensal de chopp em função do número de máquinas adicionais
integradas à linha de produção.
c) Determine o número de máquinas adicionais a serem integradas de modo que a produção total seja a
maior possível e calcule essa produção máxima.
Resolução:
a) 17600/6600= 2,66 MESES
b) p(x)=(6+x)(1100-25x),
, em que x é o número de máquinas
adicionais inseridas na linha produção.
c) Basta calcular o xv da função p(x): xv=-950/2(-25)= 19 unidades adicionais. O valor máximo de P(x) é o
yv da função, yv=15625 litros
1
3ª QUESTÃO
9x
Considere as matrizes A
a
0
16 y
4
3x
,B
1
b
1
42y 1 2 1
1
e C
27
b
13
2y 1
2
6
10
c
.
Calcule:
a) 6B.
b) A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem a equação matricial A 6B
C é?
Resolução:
6 3
a) 6B
9x
b)
4
9x
x
6b
6
6
6 42y 1 3
a
0
16
y
6 3x
1
6b
6
6 3x
6 4
1
27
6
2
10
13
6
2y 1
b
4
13
2y 1
b
3
6
6 42y
27
6
2y 1
a 6b
16 y
2
,
2
10
c
c
.
Igualando os termos correspondentes, segue que:
b
2, c
4 e a 6b 13
a 1.
Além disso,
9x
6 3x
(3 x )2
27
(3 x
3
x
2 3 3x
3)2
x
27
36
6 3
2
e
16y
6 42y
1
22y
1
10
(22y )2
22y
22y
y
1
2
9
2
22y
2
20
81
4
1
2
1.
Portanto, a soma pedida é:
x2
y2
a2
b2
c2
22 12 12
( 2)2
( 4)2
26.
4ª QUESTÃO
Diogo precisa que sua mulher, Cristina, retire dinheiro no caixa eletrônico e manda entregar-lhe o cartão
magnético, acreditando que ela saiba qual é a senha. Cristina, entretanto, recorda que a senha, composta
de seis algarismos distintos, começa por 75 (os dois algarismos finais indicativos do ano em que se casou
com Diogo); lembra, ainda, que o último algarismo da senha é ímpar.
Determine o tempo máximo necessário (horas e minutos) para Cristina descobrir a senha da conta de
Diogo, caso ela gaste 20 segundos no teste de cada uma das possíveis senhas.
Resolução:
2
Considerando N a o número máximo de possíveis senhas correspondentes às condições do enunciado,
teremos:
Na
1
1
7
6
5
3
Na
630
Como em cada teste de uma possível senha são gastos 20 segundos, o tempo máximo (T) para que se
encontre a senha correta será:
T 20 630
T 12 600 segundos
12 600
T
T 3 , 5 horas
3 600
Resposta: a) 3,5 horas.
5ª QUESTÃO
Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e
retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B
ˆ
ˆ
e C, na margem na qual se encontra tais que os ângulos ABC
e ACB
medem 135° e 30°,
respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o
exposto:
Dado: 3 1,7.
a) Faça uma figura ilustrativa do problema
b) Calcule a largura do rio
Resolução:

a) Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.


180
b) Como ABC
135 , segue que ABH

ABC
isósceles. Logo, AH HB.
Do triângulo AHC, obtemos

tg ACB
AH
HB BC
AH
tg30
3
3
AH
AH 20
AH
AH 20
20 3
3
3
AH 10( 3 1)
AH
27 m.
3
45
e, portanto, o triângulo ABH é retângulo