Resolução das atividades complementares
Matemática
M13 — Determinantes
p. 20
1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5
verdade que AB 2 C2 é igual a:
a) 212
b) 211
1 2
2 1
,B 5
2 0
3 1
e C 5
c) 210
d) 1
1 3
0 2
. Nestas condições, é
e) 8
Resolução:
A 5 1 ? 1 2 2 ? 2  A 5 23
B52?123?0B52
C51?220?3C52
AB 2 C2 5 (23) ? 2 2 22  AB 2 C2 5 210
2, se i , j
2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (aij)2 3 2, tal que a ij 5 
3i 1 j, se i  j
matriz At. 18
Resolução:
a 12 
a
A 5  11

 a 21 a 22 
, encontre o determinante da
4 2
4 7
t
A 5 
 ⇒ A 5 

7 8
2 8
4 7
det A t 5 
 5 4 ? 8 2 7 ? 2 5 18
2 8
a 11 5 3 ? 1 1 1 5 4; a 12 5 2
a 21 5 3 ? 2 1 1 5 7; a 22 5 3 ? 2 1 2 5 8
1 3
 21 2 
3 (Vunesp-SP) Dadas as matrizes A 5 
 eB 5 
 , calcular o determinante da
2 4
 3 1
matriz A ? B. 14
Resolução:
 1 3   21 2 
 21 1 9 2 1 3 
 8 5
A ? B5 

 5 
 5 

 2 4   3 1
 22 1 12 4 1 4 
 10 8 
8 5
det (A ? B) 5
5 64 2 50 5 14
10 8
4 (Faap-SP) Resolva a inequação
x 3x
, 14. {x  IR | 21 , x , 7}
4 2x
Resolução:
2x2 2 12x , 14 ⇒ 2x2 2 12x 2 14 , 0
f(x) 5 2x2 2 12x 2 14
x9 5 21
2x2 2 12x 2 14 5 0
x0 5 7
5 (PUC-RS) A equação
a) sen (2x) 5 1
b) cos (2x) 5 1
�
�
�1
�
7
x
S � {x IR | �1 � x � 7}
cos (x) sen (x)
5 1 é equivalente a:
sen (x) cos (x)
c) sen2 (x) 1 cos2 (x) 5 1
d) tg2 (x) 1 1 5 sec2 (x)
e) cos2 (x) 5 1
Resolução:
cos (x) sen (x)
51
sen (x) cos (x)
cos 2 (x) 2 sen 2 (x) 5 1 ⇒ cos (2x) 5 1
3
4
5
y
6 (Fuvest-SP) O produto da matriz A 5  5

 x
4
3
sabendo que det A . 0. x 5 2 e y 5
5
5
Resolução:
3 x
 3 4  

1 0
 5 5  5
5 



 4
0 1
y
 x y  

5
 9 1 16 3 x 1 4 y 
 25
1 0
25 5
5 

 5 
 ⇒
3
4
0
1
2
2


 x 1 y
x 1 y 
5

5
3x 1 4y 5 0 ⇒ y 5 2 3 x
4

 pela sua transposta é a identidade. Determine x e y,


3 x 1 4 y 5 0

5
5
 x 2 1 y 2 5 1
x 1 y 5 1 ⇒ x 1 9 x 2 5 1 ⇒ x 2 5 16
16
25
2
2
2
x 524 ⇒ y 5 3
5
5
4
x 5
⇒ y 523
5
5
Como det A . 0, temos x 5 2 4 e y 5 3 .
5
5
x9 5 2 4
5
x0 5 4
5
4 2
1 0
7 (Fatec-SP) Sejam as matrizes A 5 
 e B5 
 . Resolver a equação det (A 2 x ? B) 5 0,
2 1
0 1
com x  IR. {0, 5}
Resolução:
2 
4 2
1 0
4 2 x
A 2 xB 5 
 2 x
 5 

1 2 x
2 1
0 1
 2
det (A 2 xB) 5 0  (4 2 x)(1 2 x) 2 4 5 0
x 2 2 5x 5 0
x9 5 0
x0 5 5
S 5 {0, 5}
 x 1 1, se i , j

8 (UFAL) Seja D o determinante da matriz A 5 (aij)3 3 3, tal que: a ij 5 0, se i 5 j
1, se i . j

O menor número real x, de modo que D 5 0, é:
c) 2­2
e) 0
a) 2­4
d) 2­1
b)­ 23
Resolução:
0 x 1 1 x 1

A 5 1
0
x 1
 1
1
0
1

1

0 x 11 x 11
D 50 ⇒ 1
0
1
1
x 2 1 3x 1 2 5 0
x 1 1 5 0 ⇒ (x 1 1)2 1 x 1 1 5 0
0
x1 5 21
x2 5 2 2
 o menor x é 2 2.
 2 21 
 21 2 3 
9 (UFPR) Dadas as matrizes A 5  22 2  e B 5 
 , e sendo N 5 50 1 det (A ? B),
2 1 1

 0
1 
encontre o valor de N. 50
Resolução:
3
5
 2 21 
 24

  21 2 3 


A ? B 5  22
2 
 5  6 22 24 
 2 1 1
 0
 2
1 
1
1 
det A ? B 5 8 2 24 1 30 1 20 2 18 2 16 5 0
N 5 50 1 0 5 50
1
0
10 (UFOP-MG) Determinar o conjunto solução da equação 13 3
27
0
x
232x 5 10. {0, 2}
9
1
Resolução:
3 x 1 9 ? 32x 5 10 ⇒ 3 x 1 9x 5 10 ⇒ 32x 2 10 ? 3 x 1 9 5 0
3
Fazendo 3 x 5 y, temos:
y9 5 9
y 2 2 10y 1 9 5 0
y0 5 1
y9 5 9 ⇒ 3 5 3 ⇒ x9 5 2
x
2
S 5 {0, 2}
y 0 5 1 ⇒ 3 x 5 30 ⇒ x 0 5 0
2
23
0
11 (EEM-SP) Resolva a equação 0 cos x sen x 5 0 no intervalo 0 < x , 2p.
1
0
cos x
{
p , 5p
6 6
}
Resolução:
2 cos 2 x 2 3 sen x 5 0 ⇒ 2(1 2 sen 2 x) 2 3 sen x 5 0
22 sen 2 x 2 3 sen x 1 2 5 0
S 5
{
p , 5p
6
6
}
sen x9 5 2 2 (não tem solução)
sen x0 5 1 ⇒ x 5 p ou x 5 5p
2
6
6
2x
4x
8x
12 (Fatec-SP) Os valores reais de x que satisfazem a equação 1
1
1 5 0 são números:
0
2
21
a) pares
b) irracionais
c) inteiros consecutivos
d) inteiros negativos
Resolução:
2x
4x
8x
1
1
1 5 0 ⇒ 2 ? 2x 2 4 x 1 8 x 2 2 ? 4 x 5 0
21
0
2
2 ? 2x 2 3 ? (2x)2 1 (2x)3 5 0
Fazendo 2x 5 y, temos:
y 3 2 3y 2 1 2y 5 0
y1 5 0 ⇒ 2x 5 0 ( ∃/ x  IR)
y 2 5 1 ⇒ 2x 5 1 ⇒ x 5 0
y 3 5 2 ⇒ 2x 5 2 ⇒ x 5 1
Portanto, os valores de x são inteiros consecutivos.
e) racionais não-inteiros
x
2 log 3 9
13 (PUC-PR) O valor de x no determinante: log9 3 4
2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
1
21
5 5
3
e) 5
Resolução:
x
2 log 3 9
log 9 3
4
21
2
1
3
55
x
2
2
1
4
2
4 21 5 5 ⇒ 13x 2 11 2 31 5 5
2
2
1 3
13x 5 26 ⇒ x 5 2
cos 7p , se i 5 j

i
14 (PUC-SP) Seja a matriz A 5 (aij)3 3 3, tal que: a ij 5 
sen 7p , se i  j
j

O determinante da matriz A é igual a:
a) 2 3
2
b) 2 1
2
c) 21
d) 1
2
Resolução:
 cos 7p sen 7p

1
2

A 5  sen 7p cos 7p
1
2


7p sen 7p
 sen
1
2

3 
 211 21
2 


3 
A 5  0
0

2 


 0 21 1 

2 
det A 5 (21)5 ?
e)
sen 7p
3
seen 7p
3
cos 7p
3







3 ? 21 21 5 2 3
2
2
0 21
3
2
 0 21
 5
8
15 (UFSC) Dada a matriz A 5 
 21 23

 4
4
0 0
0 0
 , calcule det A. 70
7 0

2 2
Resolução:
Calculando pelos elementos da 1a linha:
5 0 0
det A 5 (21) ? (21)3 21 7 0 5 5 ? (21)2
4 2 2
1
16 Resolva a equação
7 0
2 2
5 70
1 5 1
x x2 0 1
1
2 0 1
1
1 0 1
5 0. {1}
Resolução:
x x2 1
Calculando pelos elementos da 3a coluna: 5 ? (21)4 1
2
1 50
1 1 1
(25) ? (2x 1 x 1 1 2 2 2 x 2 x) 5 0 ⇒ 25 ? (x 2 1) 5 0
x 5 1
S 5 {1}
2
2
x 0 0 0
17 (FGV-SP) Seja a raiz da equação
a) 16
b) 4
1 x 1 2
2 0 x 3
5 16; então, o valor x 2 é:
0 0 0 2
c) 0
d) 1
e) 64
Resolução:
Usando o teorema de Laplace, escolhendo a 1a linha, temos:
x 0 0 0
x 1 2
1 x 1 2
1 11
5 16 ⇒ x ? (21)
? 0 x 3 5 16 ⇒
2 0 x 3
0 0 2
0 0 0 2
⇒ x ? (2x 2) 5 16 ⇒ x 3 5 8  x 5 2 e x 2 5 4
p. 27
 2

18 (UFC) Dada a matriz P 5  2
 0
21
1
2
1 

21  , calcular o determinante de P2. 64
2 
Resolução:
det P 5 2 1 2 1 2 1 2 5 8
Pelo teorema de Binet: det P2 5 (det P)2 5 82 5 64
19 (MACK-SP) O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos
a primeira coluna por 3, qual será o valor do novo determinante? 18
Resolução:
Dividindo uma linha da matriz por 7, o determinante fica dividido por 7. Então, 42  7 5 6.
Multiplicando uma coluna da matriz por 3, o determinante fica multiplicado por 3; portanto,
det M 5 6 ? 3 5 18.
2 1
1

20 (FEI-SP) Seja a matriz A 5  0 21 0  e uma matriz B, também quadrada. Sabendo que
 2
0 3 
det (A ? B) 5 8, calcular o valor do determinante da matriz B. 28
Resolução:
det (A ? B) 5 det A ? det B
det A 5 23 1 2 5 21  8 5 21 ? det B ⇒ det B 5 28
21 (Umesp-SP) Sejam C e D matrizes quadradas de ordem 3 tais que C 5 3D. Nessas condições, é
correto afirmar que:
a) det C 5 3 det D
b) det C 5 6 det D
c) det C 5 9 det D
d) det C 5 18 det D
e) det C 5 27 det D
Resolução:
Como C e D são matrizes quadradas de ordem 3, preciso multiplicar as três linhas de D por 3 para
obter a matriz C. Logo, det C 5 3 ? 3 ? 3 ? det D  det C 5 27 det D.
22 (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1a linha por 6 e multiplicarmos a 3a coluna
por 4, o novo determinante valerá:
a) 8
b) 18
c) 24
d) 36
e) 48
Resolução:
det B 5 1 ? 4 ? det A ⇒ det B 5 4 ? 12
6
6
Logo, det B 5 8.
23 (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira:
a) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (M ? N) 5 det M ? det N.
b) Se A é uma matriz quadrada de 2a ordem e k  IR*, então det (kA) 5 k ? det A.
c) Se det A 5 0, então a matriz A é nula.
d) Se det A 5 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem de A, tem-se AX 5 0.
e) O determinante da matriz soma de duas matrizes de mesma ordem é igual à soma dos determinantes
dessas matrizes.
Resolução:
a) det (M ? N) 5 det M ? det N
b) Se a matriz é de ordem 2, det (kA) 5 k2 det A.
2 2
2 2
c)
5 0, embora a matriz 
 não seja nula.
2 2
2 2
1 1
2 2
0 0
d) Se A 5 X 5 
 , det A 5 0 e A ? X 5 
  

1 1
2 2
0 0
1 0
0 0
e) Se A 5 
 e B5 
 ⇒ det A 5 0, det B 5 0 e det (A 1 B) 5 2
0 0
0 2
21
24 (UFU-MG) Se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então det (A BA) é igual a:
det B
a) 1
b) 21
c) det A 1 det B d) det (AB)
Resolução:
A  M n; B  M n
det(A 21 ? B ? A)
det A 21 ? det B ? det A
5
5 det A 21 ? det A 5 det (A 21 ? A) 5 det In 5 1
det B
det B
25 (PUC-RS) Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n e det (A) 5 a, det (B) 5 b, a  0 e b  0,
então det (4A ? B1) é igual a:
4n ? a
a)
b
4 ?n ? a
b)
b
c)
4 ? n2 ? a
b
e)
d) 4 ? a ? b
Resolução:
A  M n; B  M n
det (4A ? B21) 5 det (4A) ? det(B21) 5 4 n ? det A ?
n
1 5 4 ? a
det B
b
4 ? a
b
1 22
0

26 Dada a matriz A 5 3 0 24 , calcule:
5 26
0
a) det At 1 det A21 257
b) det (At ? A21) 1
16
Resolução:
a) det A 5 220 1 36 5 16 ⇒ det At 5 det A 5 16 ⇒ det A 21 5 1 5 1 ⇒
det A
16
⇒ det A t 1 det A 21 5 16 1 1 5 257
16
16
b) det (At ? A21) 5 det At ? det A21 5 16 ? 1 5 1
16
27 (ITA-SP) Sendo A, B, C matrizes reais n 3 n, considere as seguintes afirmações:
1. A(BC) 5 (AB)C
2. AB 5 BA
Então, podemos afirmar que:
a) 1 e 2 são corretas
b) 2 e 3 são corretas
3. A 1 B 5 B 1 A
4. det (AB) 5 det (A) ? det (B)
5. det (A 1 B) 5 det (A) 1 det (B)
c) 3 e 4 são corretas
d) 4 e 5 são corretas
e) 5 e 1 são corretas
Resolução:
A afirmação 1 está correta: propriedade associativa da multiplicação de matrizes.
A afirmação 2 é incorreta: a comutatividade da multiplicação de matrizes nem sempre é válida.
2
 21
1 0 
Exemplo: A 5 
; B 5 

 3 21 
1 1 
2
1
 21 2 
Temos: A ? B 5 
 e B? A 5 

 2 21 
 2 1
Logo, AB  BA. Esse fato nos leva a concluir que as alternativas a e b são falsas.
As afirmações 3 e 4 estão corretas: propriedade comutativa da adição e teorema de Binet,
respectivamente.
A afirmação 5 nem sempre é válida.
 3 1
0 2
Exemplo: A 5 
; B 5 

 1 1
3 5
Temos: det (A) 5 2, det (B) 5 26.
3 3
Mas A 1 B 5 
 ⇒ det (A 1 B) 5 6
4 6
Logo, det (A 1 B)  det (A) 1 det (B) e as alternativas d e e são falsas.
3 0 0


28 (UFLA-MG) Os valores de x para os quais a matriz A 5  0 x x  admite inversa são:
 0 2x 1 
c) x . 1
e) x  0 e x  1
a) x 5 0 e x 5 1
2
b) x  0
d) x  0 e x  1
Resolução:
Para a matriz A admitir inversa, temos necessariamente det A  0.
3
0
0
det A 5 0
x
x ⇒ det A 5 3x 2 6x 2
0 2x 1
2
3x 2 6x  0
x 0
 x 0 e x  1
1
2
x 
2
 3 4
 8 7
29 (MACK-SP) Dadas as matrizes A 5 
eB 5 
, se M ? A 2­2B = 0, det M­21 vale:
 1 2 
 1 1 
a) 2
b) 1
2
c) 4
d) 1
4
e) 1
Resolução:
M ? A 5 2B
det (M ? A) 5 det (2B)
det (2B)
det A
16 14
3 4
det (2B) 5
5 4; det A 5
52
2 2
1 2
det M 5 4 5 2
2
det M21 5 1 5 1
det M
2
det M ? det A 5 det (2B) ⇒ det M 5
1
1
 0 22
30 (FURRN) Sejam as matrizes: A 5 
0
0

0
0
Então, det (A ? B) é igual a:
c) 6
a) 236
d) 12
b) 26
3
0
 1
 21 22
1 22 
 eB 5 
 2
1
0
1


 23
0
3
5
0
0 0
0 0

1 0

4 3
e) 36
Resolução:
det (A ? B) 5 det A ? det B
det A 5 26 e det B 5 26  det (A ? B) 5 36
10
p. 28
31 Ache o maior valor real de x, tal que
0 0
2
0
x 0
2
0
x
1 x log x 8
0 8
1
5 0. 8
x
Resolução:
Calculando pelos elementos da 1a linha:
x 0 0
2 ? (21)4 1 x 8 5 0 ⇒ 2 ? (x 3 2 64x) 5 0 ⇒ 2x(x 2 2 64) 5 0,, x . 0
0 8 x
x9 5 0 (não serve)
x0 5 28 (não serve)
x 5 8
Logo, o maior valor real de x é 8.
1 a a 0
a 1 0 a
32 Determine os valores de a para os quais
a 0 1 a
. 0.
{
a  IR | 2 1 , a , 1
2
2
0 a a 1
Resolução:
1 a a 0
a 1 0 a
a 0 1 a
1
. 0 ⇒
0 a a 1
(1 2 a )
2 2
a
0 1 2 a2
0
2a
0
4
a
4
2a 2
2
12 a
a
2
0
a
2
a
2
a
. 0
1
2
2 a 2 a 2 a (1 2 a ) 2 a (1 2 a 2) 2 a 4 . 0
4a 2 2 1 , 0
a9 5 2 1
2
a0 5 1
2
f(a) 5 4a 2 2 1 ⇒ 4a 2 2 1 5 0
�
�
�1
2
�
1
2
x
{
a � IR | � 1 � a � 1
2
2
11
}
}
1 1 1 1
33 (Fuvest-SP) Calcule
1 2 2 2
1 2 3 3
. 1
1 2 3 4
Resolução:
1 1 1 1
0 1 1 1
0 1 2 2
0 1 2 3
1 1 1
5 0 1 1 51
0 1 2
34 (MACK-SP) Dada a matriz A 5 (aij)2 3 2, tal que aij 5 3i 2 j, o valor do determinante da matriz A2 é:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 9
e) 16
Resolução:
A 2 3 2, a ij 5 3i 2 j
a 12 
a
 3 ? 1 2 1 3 ? 1 2 2
 2 1
A 5  11
5
5


 3 ? 2 2 1 3 ? 2 2 2
 5 4 
 a 21 a 22 
 2 1  2 1
 9 6
A2 5 A ? A 5 
? 
5


 5 4  5 4
 30 21 
det A 2 5
9
6
30 21
5 189 2 180 5 9
12
35 (Fatec-SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os
 2 1 0
números inteiros x e y são tais que a matriz  3 x 4  tem traço igual a 4 e determinante igual a 219,


 1 1 y
então o produto xy é igual a:
c) 21 e) 3
a) 24
d) 1
b) 23
Resolução:
Traço: 2 1 x 1 y 5 4 ⇒ x 1 y 5 2
2 1 0
I
Determinante: 3 x 4 5 219 ⇒ 2xy 1 4 2 8 2 3y 5 219 ⇒ 2xy 2 3y 5 215
1 1
y
x 1 y 5 2
De I e II : 
⇒ y 5 3 e x 5 21
2xy 2 3y 5 215
Portanto, o produto x ? y 5 (21) ? 3 5 23.
36 (FGV-SP) Considere as matrizes:
4 a m
m a 3




A 5 4 b n  e B 5  n b 3
 4 c p 
 p c 3 
Se o determinante da matriz A é igual a 2, então o determinante da matriz B é igual a:
a) 3
c) 2 3
e) 2 2
2
3
b) 2
d) 2 3
3
2
Resolução:
4 a m
det A 5 4 b
4 c
1 a m
m a 1
n 54 ? 1 b
n 5 24 ? n
b 1
p
p
c 1
1 c
p
Como o determinante de A é igual a 2, temos:
m a 1
m a 1
24 ? n b 1 5 2 ⇒ n b 1 5 2 1
2
p c 1
p c 1
Calculando o determinante de B:
m a 3
m a 1
det B 5 n
p
b 3 53 ? n
c
3
p
( )
b 1 5 3 ? 21 5 2 3
2
2
c 1
13
II
6
2
 1


37 (FGV-SP) É dada a matriz A 5  21 4 23  .
 0 21 22 
 y
 x

a) Se B 5 A t 2 3 A, em que At é a matriz transposta de A, e B 5  15
2
 2

 2

número real w, tal que w 5 |x ? y|. 2
210 5x 1 7y 

x
7
 , determine o
y
2


3y
3x 1 7y 

x
227
b) Considere a matriz C, tal que C 5 2 3 A t.
8
2
Encontre o valor do número real p, sendo p o determinante da matriz C ? A21, isto é, p 5 det (C ? A21) e A21 a
matriz inversa da matriz A.
Resolução:
a) Sendo B 5 A t 2 3 A, temos:
2
1
B 5 6


2
21
 2

5  15
 2

 2
 3
9
3
2


21
0
1
6
2
1
2
1
0




 3

3
9
4 21  2
?  21
4 23  5  6
4 21  2  2
6 2  5




2 
2
 2



 0 21 22 
23 22 
2 23 22 


 0 2 3 23 
2
210 23 


7
22

2 

23
1 
2



Como B 5 



210 5x 1 7y 

x
7  , podemos afirmar que:
y
2

3y
2
3x 1 7y 
x
5
x
1
7
y
5
2
3

⇒ x 5 2 2, y 5 1

3x 1 7y 5 1
Portanto: w 5 | x ? y | 5 | ( 2 2) ? 1 | 5 | 22 | 5 2
y
x
15
2
b) Sabendo que det A 5 det A t , det A 21 5
(
) ( )
det C 5 det 23 ? A t 5 23
2
2
3
1 , det(C ? A 21) 5 det C ? det A 21 e ainda que
det A
? det A t , pois C é quadrada de ordem 3, temos:
( )
p 5 det(C ? A 21) 5 det C ? det A 21 5 23
2
14
3
? det A t ? det A 21 5 227 ? det A ? 1 5 227
8
8
det A
 1
38 (MACK-SP) Dada a matriz A 5  2
 0
0

, considere a seqüência formada por todas as potências
1 
3
inteiras e positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se todas as matrizes dessa seqüência, obtemos
uma matriz, cujo determinante é:
a) 1
c) 1
e) 1
3
6
2
1
1
b)
d)
4
5
Resolução:
 1
 2
Sendo A 5 
 0
2
A 5
A3 5
A4 5
An 5
0

, temos:
1 
3
 1 0  1
 2
  2
A ? A 5
 ? 
1
 0
  0
3 
 1 0  1
 4
  2
2
A ? A 5
 ? 
1
 0
  0
9 
 1
0   1
 8
  2
A3 ? A 5 
 ? 
1
 0
  0
27  
 1 n

0 
 2

n 
1 
 0

3 
()
 1 0
0

 4

5

,
1
1
 0

9
3
 1
0
0 

 8

5

,
1
1
 0

3
27 
 1
0
0 

 16

5 

 , e assim por diante. Assim, conccluímos que:
1
1
 0

3
81 
()
A soma dessa seqüência de matrizes será:
 1
 2
S 5
 0
 1
0

 4
1

1
 0
3
 1 1 1 1 1 1 ...
4
8
 2
5

0
()
 1
0 
 2

1 ... 1 

1 
 0

27 
1

2


1

0
12 2

5
1 1 1 1 1 

3
9
27 

0

1

n
 1
0
 8

1 

1
 0
9
O determin
nante dessa matriz é:
1
0
0
1
1
1 5 2 20 5 2
2
15

0 
1 ... 5
n 
1 
3 
()


0

1

 5
1
 0

3

1

2
3 
0
1 
2
39 (PUC-SP) Indica-se por det A o determinante de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A 5 (aij), de
sen  p ? (i 1 j) , se i 5 j

 4

ordem 2, em que a ij 5 
.
sen [ x ? (i 2 j)] , se i  j
Quantos números reais x, tais que 22p , x , 2p, satisfazem a sentença det A 5 1 ?
4
a) 10
c) 6
e) 2
b) 8
d) 4
Resolução:
sen  p ? (i 1 j) , se i 5 j

 4

Sendo A 5 (a ij) de ordem 2, com a ij 5 
.
sen [ x ? (i 2 j)] , se i  j
2p
Então: a 11 5 sen  p ? (1 1 1) 5 sen
5 sen p 5 1
4

4
2
a 12 5 sen [ x ? (1 2 2)] 5 sen (2x) 5 2 sen x
a 21 5 sen [ x ? (2 2 1)] 5 sen x
4p
a 22 5 sen  p ? (2 1 2) 5 sen
5 sen p 5 0
4

4
Como det A 5 1 , temos:
4
1
2sen x
5 1 ⇔ sen 2 x 5 1 ⇔ sen x 5  1
4
4
2
sen x
0
5 p 27p
211p
Logo, se sen x 5 1 , temos p ,
,
e
como valores possíveis para x; se sen x 5 21 ,
2
6 6
6
6
2
7 p 11p 2p
25 p
temos
,
,
e
como valores possíveis para x, ou seja, no intervalo 2 2p , x , 2p,
6
6
6
6
existem 8 valores para x.
16
x
x 1


40 (Vunesp-SP) Considere a matriz A 5  0 x 1 2 x  .
2

 2 0
x 
O determinante de A é um polinômio p(x).
a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x). 2 é raiz de p(x).
b) Determine todas as raízes de p(x). 21, 1 e 2
Resolução:
x
x 1


Se A 5  0 x 1 2 x  , o determinante de A será:
2

 2 0
x 
det A 5 p(x) 5 x3 1 2 2 x 1 0 2 2x2 2 0 2 0 ⇒
⇒ p(x) 5 x3 2 2x2 2 x 1 2
a) p(2) 5 23 2 2 ? 22 2 2 1 2 5 8 2 8 2 2 1 2 5 0
Portanto, 2 é raiz de p(x).
b) Fatorando o polinômio p(x), teremos:
p(x) 5 x3 2 2x2 2 x 1 2 5 x2(x 2 2) 2 1(x 2 2) 5 (x 2 2)(x2 2 1)
Os valores que anulam p(x) são tais que:
x 2 2 5 0 ⇒ x 5 2 ou x2 2 1 5 0 ⇒ x 5 1
As raízes de p(x) são 21, 1 e 2.
a b c


41 (ITA-SP) Se det  p q r  5 21, então o valor do det
 x y z 
a) 0
c) 8
b) 4
d) 12
22b
22c 
 22a


 2p 1 x 2q 1 y 2r 1 z  é igual a:
 3x
3y
3z 
e) 16
Resolução:
22b
22c 
a
b
c
 22a






 2p 1 x 2q 1 y 2r 1 z  5 2 2 ?  2p 1 x 2q 1 y 2r 1 z  5
 3x
 3x
3y
3z 
3y
3z 
a
b
c
b c
a b c 
 a
5 2 2 ? 3 ? 2p 1 x 2q 1 y 2r 1 z 5 2 2 ? 3 ?  2p 2q 2r 1 x y z  5


 x
x
y
z
y z
x y z 
a b c
a b c


5 22 ? 3 ?  2 ? p q r 1 0  5 22 ? 3 ? 2 ? p q r 5




x y z
x y z
5 2 2 ? 3 ? 2 ? (21) 5 12
17