Sumário e Objectivos
Sumário: Relações Tensões - Deformações. Energia de
Deformação. Critérios de Cedência.
Objectivos da Aula: Ser Capaz de estabelecer e utilizar
a lei de Hooke Generalizada. Fazer Controlo de
Resistência.
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1
Ponte
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2
Aeroplano
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3
Relações Tensões Deformações
Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre
provetes paralelepipédicos lineares de Mat. Isotrópicos
σ xx = E ε xx ou σ11 = E ε11
E representa o Módulo de
Elasticidade ou Módulo de
Young
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4
Relações Tensões Deformações
Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetes
paralelepipédicos lineares conduzem a modelos simplificados de
comportamento do material que numa perspectiva qualitativa podem
considerar-se nalguns casos com a geometria representada na figura
Linear Elástico
Elasto - Plástico
σ
ET
σ
E
1
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E
ε
1
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ε
5
Coeficiente de Poisson
Por efeito da tensão de tracção σ xx o elemento prismático sofre um alongamento ε (1)
xx
(1)
na direcção xx e sofre encurtamentos nas direcções de yy e de zz, ε (1)
yy e ε zz que são
proporcionais a ε (1)
xx sendo o coeficiente de proporcionalidade, ν, designado por
Coeficiente d Poisson.
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6
Tracção em três
Direcções Ortogonais
+
≡
+
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+
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7
Lei de Hooke Generalizada
σ xx
ε =
E
(1)
ε = −ν ε xx = −
(1)
yy
(1)
xx
(2)
(2)
ε xx = −ν ε yy = −
ν
σ yy
E
(3)
(3)
ε xx = −ν ε zz = −
ν
σ zz
E
ε
(2)
yy
=
σ yy
E
(3)
(3)
ε yy = −ν ε zz = −
(1)
(2)
(3)
ε xx = ε xx + ε xx + ε xx =
1
⎡⎣σ xx − ν ( σ yy + σ zz ) ⎤⎦
E
(1)
(2)
(3)
ε yy = ε yy + ε yy + ε yy =
1
⎡σ yy − ν ( σ xx + σ zz ) ⎤⎦
E⎣
(1)
(2)
(3)
ε zz = ε zz + ε zz + ε zz =
1
⎡σ zz − ν ( σ xx + σ yy ) ⎤⎦
E⎣
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ν
σ xx
E
(1)
(1)
ε zz = −νε xx = −
ν
σ xx
E
(2)
(2)
ε zz = −ν ε yy = −
ν
σ zz
E
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(3)
ε zz =
ν
σ yy
E
σ zz
E
8
Relações Tensões Deformações
E
⎡⎣(1 − ν ) ε xx + ν (ε yy + ε zz ) ⎤⎦
σ xx =
(1 + ν)(1 − 2ν )
E
⎡⎣(1 − ν ) ε yy + ν (ε xx + ε zz ) ⎤⎦
σ yy =
(1 + ν)(1 − 2ν )
E
⎡⎣(1 − ν ) ε zz + ν (ε yy + ε xx ) ⎤⎦
σzz =
(1 + ν)(1 − 2ν )
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9
Módulo de Distorção
As tensões tangenciais na ausência de tensões normais só produzem distorções no
plano em que actuam que lhe são proporcionais. A constante de proporcionalidade
entre a tensão tangencial ou de corte e a distorção designa-se por Módulo de
Distorção do Material e representa-se por G
1
γ xy = 2ε xy = τ xy
G
1
γ xz = 2ε xz = τ xz
G
1
γ yz = 2ε yz = τ yz
G
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γ xy =
τ xy
ou γ xy =
2(1 + ν)τ xy
G
E
τ
2(1 + ν )τ xz
γ xz = xz ou γ xz =
G
E
τ yz
2(1 + ν)τ yz
γ yz =
ou γ yz =
G
E
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10
Lei de
Hooke Generalizada em
termos das constantes de Lamé
Materiais
isotrópicos
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11
Obtenção duma Relação entre o Módulo de
Distorção e o Módulo de Young
Δl x
l
Δly
l
= ε xx =
= ε yy =
1
1+ ν
−
ν
=
σ
(
)
σ xx σ yy
E
E
Δlx
l
1
1+ ν
σ
(
σ yy − ν σ xx ) = −
E
E
l
1+ ν
σ
Δl x = l
E
σ
1+ ν
=
−
σ
l
Δl y
E
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Δly
τ
σ
τ
π
−γ
2
12
Relação entre o Módulo de
Distorção e o Módulo de Young
γ
⎛ π γ ⎞ tan g π4 − tan g 2 l + Δl y
tan g ⎜ − ⎟ =
=
γ
π
⎝ 4 2 ⎠ 1 + tan g 4 tan g 2 l + Δl x
γ
1 − 1+ν τ
2=
E
γ 1 + 1+ν τ
1+
E
2
1−
γ 1+ ν
=
τ
2
E
ou seja tendo em conta que
τ =Gγ
E
G=
2 (1 + ν )
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1+ ν
σ
E
1+ ν
l
=
−
σ
Δl y
E
Δl x = l
Δl x
l
l
σ
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Δl y
τ
σ
τ
π
−γ
2
13
Módulo de Compressibilidade
Volumétrica
A deformação volumétrica pode relacionar-se com a
pressão hidrostática através de uma constante de
proporcionalidade que se designa por módulo de
compressibilidade volumétrica do material e que se
representa por K
1
ε v = ε xx + ε yy + ε zz = σ m
K
3 (1 − 2ν )
1 − 2ν
(
εv =
σ xx + σ yy + σ zz ) =
σm
E
E
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E
K=
3 (1 − 2ν )
14
Energia de Deformação
Problema Uniaxial
As energias de deformação Elástica, U e , num caso e noutro e a energia dissipada no
processo de deformação plástica , U d , estão representadas nas referidas figuras.
A densidade de energia de deformação elástica, ou energia armazenada por
unidade de volume pode ser calculada a partir da tensão e deformação e no caso da
barra traccionada é
1
1
1 2 E 2
d U e = σ xx ε xx = σε =
σ = ε
2
2
2E
2
σ
σ
Ud
σ = Eε
dU e
dUe
ε
ε
a)
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b)
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15
Energia de Deformação
Problema Uniaxial
A energia de deformação elástica total na barra traccionada
obtém-se integrando a densidade de energia de deformação
elástica e é
1
1
E
2
2
=
dV
=
dV
=
Ue
∫∫∫V σ xx ε xx
∫∫∫V σ xx
∫∫∫V ε xxdV
2
2E
2
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16
Energia de Deformação
No caso tridimensional a Densidade de Energia de
Deformação é
dUe =
1
(
σ xx ε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + 2τ xz ε xz + 2τ xyε xy + 2τ yzε yz )
2
A Energia de Deformação Elástica total no sólido de
volume V é
Ue =
1
∫∫∫V ( σ xx ε xx + σ yyε yy + σ zz ε zz + 2τ xyε xy + 2τ xzε xz + 2τ yzε yz )dV
2
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17
Critérios de Cedência-1
Alguns materiais, nomeadamente os materiais dúcteis, especialmente os
materiais plásticos, têm um comportamento quando traccionados que pode ser
designado por elástico perfeitamente plástico, este modelo de
comportamento caracteriza-se pela existência de uma Tensão de Cedência, , a
qual estabelece o início da deformação plástica.
σ
σ
σc
ε
a)
σc
ε
b)
Tensão de Cedência Uniaxial
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18
Critérios de Cedência-2
No caso tridimensional a caracterização do estado de
Tensão passa pela existência de seis componentes do
tensor das tensões independentes, obrigando à
consideração de funções que possam ser consideradas
para definir a cedência nessas condições de solicitação.
Desenvolveram-se várias teorias para quantificar a
cedência de Estados tridimensionais de tensão, algumas
dessas teorias são de uso mais frequente no caso dos
metais e por isso só essas vão ser referidas.
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19
Teoria da Tensão de Corte
Máxima - Caso Uniaxial
A teoria da Tensão de Corte Máxima, resulta da constatação
experimental de que os materiais dúcteis tendem a sofrer deslizamentos ao
longo de planos criticamente orientados durante a cedência plástica. No
caso da teoria da Tensão de Corte máxima esses planos são considerados
como correspondendo a tensões de corte máxima, tendo estas tensões
atingido um valor crítico nos referidos planos.
± σ1
τ max =
2
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±σ1
≤ τcr
τ max =
2
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σ1 ≤ σ cp
20
Teoria da Tensão de Corte
Máxima - Caso Bidimensional
Os potenciais valores das tensões de corte máxima são
σ1
2
ou
σ2
2
ou
σ 2 − σ1
2
A aplicação da Teoria da tensão de corte máximo implica
que se verifique uma das desigualdades seguintes
σ1 ≤ σ cp
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ou
σ 2 ≤ σcp
ou
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σ 2 − σ1 ≤ σcp
21
Critério de Cedência de Tresca
A representação gráfica
destas condições está feita
na figura, no espaço de
tensões de Westergard, o
critério que resulta da
aplicação desta teoria é
muitas vezes designado
por Critério de Cedência
de Tresca, embora tenha
sido primeiro apresentado
por Coulomb.
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22
Critério de Cedência de TrescaCaso Tridimensional
No caso tridimensional, o Critério de Cedência de Tresca,
considerando as tensões principais, é
σ3 − σ 2 ≤ σ cp
σ 2 − σ1 ≤ σ cp
σ3 − σ1 ≤ σ cp
sendo no espaço de Westergard representado por um
prisma hexagonal.
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23
Teoria da Energia de
Distorção Máxima
A densidade de energia de deformação, como foi referido anteriormente pode
calcular-se a partir das tensões principais fazendo uso da expressão
1
dUe =
⎡⎣σ12 + σ 22 + σ 32 − 2ν ( σ1σ 2 + σ1σ 3 + σ 2σ3 ) ⎤⎦
2E
A parcela da energia de deformação por unidade de volume responsável pela
dilatação do sólido pode ser expressa em termos da pressão média e é
d U dil =
3 (1 − 2ν )
1 − 2ν
2
2
=
+
+
( σ1 σ 2 σ3 )
σm
2E
6E
Subtraindo a densidade de energia de dilatação à densidade de energia de
deformação obtém-se a densidade de energia distorcional ou de desvio
d U dis =
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1 ⎡
2
2
2
⎤
−
+
−
+
−
(
(
(
σ
σ
σ
1 σ2 )
1 σ3 )
3 σ2 )
⎦
12G ⎣
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24
Teoria da Energia de
Distorção Máxima
De acordo com a teoria básica da energia distorcional, o valor da
densidade de energia de desvio ou distorcional não deve exceder o valor
correspondente ao máximo admissível em tracção simples o qual é
2
⎡( σ1− σ 2 ) 2 + ( σ1−σ3 ) 2 + ( σ3− σ 2 ) 2 ⎤ ≤ 2σ cp
⎣
⎦
Critério de Cedência de von Mises e no espaço de
Westergard é representado por um cilindro.
( σ xx −σ yy ) + ( σ yy −σ zz ) + ( σ zz −σ xx )
2
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2
2
2
+ 6τ 2xy + 6τ 2yz + 6τ 2xz ≤ 2σ cp
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25
Teoria da Energia de Distorção
Máxima
Caso Bidimensional
No caso particular de se tratar de um Estado Plano de
Tensão este critério, Critério de Cedência de von Mises,
toma a forma
( σ1) − ( σ1σ 2 ) + ( σ 2 )
2
2
2
≤ σ cp
em termos das componentes do tensor das tensões no
sistema de eixos Oxy, toma a forma
σ xx
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2
2
2
+ σ yy − σ yyσ xx + 3τ 2xy ≤ σ cp
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26
Teoria da Energia de Distorção Máxima
Caso Bidimensional
O Critério de
Cedência de von
Mises no caso
Bidimensional
corresponde no
espaço de tensões a
uma elipse
O hexágono de Tresca fica
inscrito na elipse de von Mises
se forem representados na
mesma figura.
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27
Princípio da energia
Potencial mínima
A energia de Deformação Elástica é:
Trabalho Virtual
Energia potencial total
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28
Princípio da energia
Potencial mínima
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29
Teorema de Castigliano
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30
Teorema de Castigliano
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31
Teorema de Castigliano
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32
Teorema de Clapeyron
Enunciado do Teorama de Clapeyron
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33
Princípio de Saint Venant
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34
Coordenadas Cilíndricas
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35
Coordenadas Cilíndricas
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36
Coordenadas Cilíndricas
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37
Coordenadas Cilíndricas
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38
Coordenadas Cilíndricas
Se não houver dependência de θ as equações tomam a
forma:
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39
Coordenadas Cilíndricas
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40
Problemas Propostos
1. Mostre que os campos de deformações seguintes são compatíveis:
a) εxx = 3x 2 + 4xy − 4y2
2
2
ε yy = 3y + x + xy
εzz = 0
γ xy = −x 2 − 6xy − 4y
γ yz = 2x + y
γ xz = z + 3
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2
b) εxx = 12x 2 − 6y2 − 4z
2
2
ε yy = 12y − 6x + 4z
εzz = 12x + 4y − z + 5
γ xy = 4z − 24xy − 3
γ yz = y + z − 4
γ zx = 4x + 4y − 6
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41
Problemas Propostos
2. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como
se mostra na figura.As leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados:
εa = 500 × 10−6 ; εb = 150 × 10−6 ; εc = 350 × 10−6
a)Determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto da
máquina.
b)Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão.
O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 210000Mpa.
c
b
45
45
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a
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42
Problemas Propostos
3. Considere um prisma de dimensões 20×50×10 cm3 constituído por um material
linear elástico, homogéneo e isotrópico.
Sabendo que:
-
sob a acção de uma pressão uniforme p=200MPa, estado de tensão hidrostático,
o volume passa a ser 10030cm3
- sob a acção de uma tensão tangencial τ = 100MPa, a distorção γ = 0.1146º
Determine o tensor das deformações correspondente ao estado de tensão
caracterizado pelo tensor das tensões:
⎡300 200 0 ⎤
⎢200 400 100⎥ MPa
⎢
⎥
⎢⎣ 0 100 100⎥⎦
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43
Problemas Propostos
4 ) A p l a c a r e p r e s e n t a d a n a f i g u r a 1 é d e a ç o c o m E = 2 1 0 G P a e ν = 0 ,3 . A f i g u r a a
tra c e ja d o re p re s e n ta a d e fo rm a d a d a p la c a a p ó s a a p lic a ç ã o d e u m a d a d a c a r g a .
A d m itin d o q u e a s d im e n s õ e s n a d ire c ç ã o h o riz o n ta l n ã o s e a lte ra m d u ra n te a
d e fo rm a ç ã o , q u e a e s p e s s u ra é u n itá ria e q u e o e s ta d o d e d e fo rm a ç ã o é ig u a l p a ra to d o s
o s p o n to s , d e te rm in e :
y
2m m
3m m
250mm
B
B’
C
A
x
300m m
F ig u r a 1 : P la c a
a )A e x te n s ã o a o lo n g o d o la d o A B .
b ) A d i s t o r ç ã o n o p l a n o d o s e i x o s x e y ( l e m b r e q u e n o p l a n o ( 0 ,i ,j ) γ ij= π / 2 - θ ’ ) .
c ) A s te n s õ e s p rin c ip a is e re s p e c tiv a s d ire c ç õ e s p rin c ip a is d e te n s ã o e m c a d a
p o n to . R e p re s e n te g r a fic a m e n te o e s ta d o d e te n s ã o n u m p o n to e in d iq u e a s
d ire c ç õ e s p rin c ip a is .
d )A e n e r g ia d e d e fo rm a ç ã o a c u m u la d a n a p la c a s o b o e fe ito d e s ta s o lic ita ç ã o .
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44
Problemas Propostos
5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que:
- numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é
nula e a tensão normal é de 20MPa
- numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa
(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões.
(1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é
E=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30.
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45
Problemas Propostos
6. Considere o Tensor das Tensões seguinte
⎡ xy
x (1− y )
0 ⎤⎥
MPa
⎢
3 2
2
3
⎢
⎥
⎢ 2
⎥
1
3
4
x ( y − 4y) 0 ⎥
σij = ⎢ x (1− y )
⎢
⎥
2
⎢
⎥
0
0
2z 2 ⎥
⎢
⎢⎣
⎥⎦
a)
Determine o valor das forças de massa em equilíbrio com o campo de
tensões dado.
b) No ponto de coordenadas (1,2,1) considere um plano igualmente inclinado
em relação aos eixos coordenados e determine a tensão normal e a tensão
tangencial.
c) Considere que o material do sólido é tal que o módulo de Young é 200GPa
e o coeficiente de Poisson é 0.3 e determine o tensor das deformações.
d) Determine as extensões principais.
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46
Problemas Propostos
7. As extensões, medidas numa roseta de extensómetros
instalada numa peça linear de alumínio de acordo com a
figura 1,são: ε a = 200μm / m, ε b = 300μm / m e ε c = −300μm / m
a)Determine as Extensões Principais e Direcções Principais
de Extensão
b)Determine as Tensões Principais e Direcções Principais
de Tensão.
c)Determine a Tensão Normal e de Corte numa faceta
igualmente inclinada em relação ao eixo dos xx e dos yy .
d) Determine a tensão de corte máxima fazendo uso do
circulo de Mohr.
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47
Problemas Propostos
Considere que o material do sólido tem as propriedades
seguintes:
Módulo de Young E=70GPa ; Coeficiente de Poisson n =
0.25
y
ε
60º
c
ε
b
60º
ε
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x
a
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48
Problemas Propostos
8. O sólido do qual se extraiu o tetraedro da figura é
construído por um material que pode ser considerado
isotrópico e homogéneo e com comportamento linear
elástico. Durante o processo de deformação pura e
homogénea a que está sujeito o tetraedro deforma-se de
tal modo que:
o volume do sólido não se altera
o novo comprimento de OB é de 2.001 cm
o ângulo BOC não se altera
as novas coordenadas do ponto D são
{1.0005,0.0005,1.0025) cm
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49
Problemas Propostos
a)Determine o Tensor das deformações,
b) Determine o Tensor das Tensões, sabendo que:
o Módulo de Young é E=200Gpa
um cubo de lado 10 cm construído do material do tetraedro
está sujeito a uma tensão de compressão segundo x de
20MPa e sofre um alongamento por unidade de
−5
10
comprimento segundo y e z de 2× .
c) Determine o versor da normal á faceta que está sujeita à
tensão resultante {82,478;82,478;206,362}MPa
d)Determine as Tensões e as Direcções Principais de Tensão.
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Problemas Propostos
z
C
D
2cm
O
2cm
2cm
B
A
y
x
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Problemas Propostos
9.Considere o tensor das tensões
y ⎤
⎡0 x
⎢ x 0 200 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ y 200 0 ⎥⎦ MPa
cuja normal é 2 (1 1 0 )
2
para o qual a faceta
tem tensão
tangencial nula.
a) Determine o Tensor das Tensões.
b) Determine as Tensões Principais e Direcções Principais
de Tensão.
c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o
Módulo de Young é E=150GPa e o Coeficiente de
Poisson é n = 0.30.
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Resolução Problema 1)
As deformações têm de verificar as equações de
compatibilidade que são:
2
2
2
∂ ε xy
∂ ε xx ∂ ε yy
+
=2
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
2
2
∂ ε xx ∂ 2ε zz
∂ ε xz
+
=2
2
2
∂z
∂x
∂x∂z
2
2
∂ ε yy ∂ 2ε zz
∂ ε yz
+
=
2
2
∂z2
∂y∂z
∂y
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∂ ⎛ ∂ ε xy ∂ ε xz ∂ ε yz ⎞ ∂ 2ε xx
+
−
⎜
⎟=
∂x ⎝ ∂z
∂y
∂x ⎠ ∂y∂z
∂ ⎛ ∂ ε xy ∂ ε xz ∂ ε yz ⎞ ∂ 2ε yy
−
+
⎜
⎟=
∂y ⎝ ∂z
∂y
∂x ⎠ ∂x∂z
∂ ⎛ ∂ ε xy ∂ ε xz ∂ ε yz ⎞ ∂ 2 ε zz
+
+
⎜−
⎟=
∂z ⎝ ∂z
∂y
∂x ⎠ ∂x ∂y
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Resolução 2a)
2. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como
se mostra na figura.As leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados:
εa = 500 × 10−6 ; εb = 150 × 10−6 ; εc = 350 × 10−6
a)Determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto da
máquina.
b)Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão.
O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 210000Mpa.
ε θ a = ε xx cos θa + ε yysen θa + γ xysen θ a cos θ a
2
2
2
2
ε θ b = ε xx cos θ b + ε yysen θ b + γ xysen θ b cos θ b
2
2
ε θ c = ε xx cos θc + ε yysen θc + γ xysen θ c cos θ c
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εa = 5 × 10−4 = ε xx
1
1
1
ε b = 1.5 × 10−4 = ε xx + ε yy + γ xy
2
2
2
εa = 3.5 × 10−4 = ε yy
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Resolução 2a)cont.
ε xx = 5 × 10−4
ε yy = 3.5 × 10−4
ε xy = −2.75 × 10−4
Deformações Principais
−4
5 − ε −2.75
⎧
ε
=
7.1
×
10
×10−4 = 0 ⇒ ⎨ 1
−4
−2.75 3.5 − ε
ε
=
1.4
×
10
⎩ 2
Direcções Principais
l =1
⎡5 − 7.1 −2.75 ⎤ ⎧l = 1⎫
⎧
−4
×
10
=
0
⇒
⎨
⎢ −2.75 3.5 − 7.1⎥ ⎨ m ⎬
⎣
⎦⎩
⎭
⎩m = −0.764
Normalizando, obtém-se: l=0.795,m=-0.607, (Direcção 1)
⎡5 − 1.4 −2.75 ⎤ ⎧l = 1⎫
⎧ l =1
−4
×
10
=
0
⇒
⎨
⎢ −2.75 3.5 − 1.4 ⎥ ⎨ m ⎬
⎣
⎦⎩
⎭
⎩m = 1.309
Normalizando, obtém-se: l=0.607, m=0.795, (Direcção 2)
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Resolução 2b)
Por Aplicação da Lei de Hooke Generalizada obtém-se as
tensões Principais tendo em conta que εzz=0
E
⎡⎣(1 − ν ) ε xx + ν (ε yy + ε zz ) ⎤⎦
(1 + ν)(1 − 2ν )
E
⎡⎣(1 − ν ) ε yy + ν (ε xx + ε zz ) ⎤⎦
σ yy =
(1 + ν)(1 − 2ν )
E
⎡⎣(1 − ν ) ε zz + ν (ε yy + ε xx ) ⎤⎦
σ zz =
(1 + ν)(1 − 2ν )
σ xx =
⎧ ε1 = 7.1× 10−4
⎨
−4
1.4
10
ε
=
×
⎩ 2
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Resolução 2b)
210 ×109
⎡(1 − 0.3) × 7.1× 10−4 + 0.3 (1.4 × 10−4 ) ⎤ = 2.18 × 109 Pa
σ1 =
⎦
(1 + 0.3)(1 − 0.6 ) ⎣
210 ×109
⎡(1 − 0.3) × 1.4 × 10−4 + 0.3 ( 7.1× 10−4 ) ⎤ = 1.256 × 109 Pa
σ2 =
⎦
(1 + 0.3)(1 − 0.6 ) ⎣
210 ×109
⎡0.3 (1.4 × 10−4 + 7.1× 10−4 ) ⎤ = 1.03 × 109 Pa
σ3 =
⎦
(1 + 0.3)(1 − 0.6 ) ⎣
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Resolução do Problema 3)
Deformação Volumétrica ΔV/V=(10030-10000)/10000=0.003
Distorção γ=(0.1146×π)/180=0.002
⎧
P σm 200 × 106
E
⎪K = ε = ε = 0.003 = 3(1 − 2ν )
12
⎧
E
1.33
10
,
=
⎪
v
v
⇒⎨
⎨
6
⎩ ν =0.25
⎪G = τ = 100 ×10 = E
⎪⎩
0.002
2(1 + ν)
γ
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Resolução do Problema 3)cont.
Aplicação da Lei de Hooke
1
1
⎡⎣ σ xx − ν ( σ yy + σ zz ) ⎤⎦ =
[300 − 0.25(400 + 100)] = 0.00032
E
1.33 × 106
1
1
[ 400 − 0.25(300 + 100)] = 0.00038
ε yy = ⎡⎣ σ yy − ν ( σ xx + σ zz ) ⎤⎦ =
E
1.33 × 106
1
1
100 − 0.25(400 + 300) ] = 0.00021
ε zz = ⎡⎣ σ zz − ν ( σ yy + σ xx ) ⎤⎦ =
6 [
E
1.33 × 10
τ xy 200 × 106
γ xy =
=
= 0.0004
G
5 × 1011
τ
0
γ xz = xz =
= 0.0
G 5 × 1011
τ yz 100 × 106
γ yz =
=
= 0.0002
G
5 × 1011
ε xx =
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Resolução Problema
4a) e 4b)
y
2mm
3mm
A extensão segundo AB é:
250mm
B
B’
C
A
x
u = a1x + b1 y + c1
x=0 y=0 é u=v=0 ⇒ c1 = c2 = 0
v = a 2 x + b2 y + c2
x=300 × 10-3 y = 0 é u=v=0 ⇒ a1 = 0
300mm
3
2
e b2 = −
250
250
x=300 ×10-3 y=250 ×10-3 é u=3 × 10-3 v=-2 × 10-3 ⇒ a 2 = 0
x=0 y=250 × 10-3 é u=3 × 10-3 v=-2 × 10-3 ⇒ b1 =
ε yy = −2 / 250
γ xy = 3 / 250
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Resolução Problema 4c)
Tensor das Deformações e Extensões Principais
1.5 / 250 ⎤ ⎡ 0 − ε
1.5 / 250 ⎤ ⎧ l ⎫
⎡ 0
ε=⎢
⇒
×⎨ ⎬ = 0
⎥
⎢
⎥
⎣1.5 / 250 −2 / 250 ⎦ ⎣1.5 / 250 −2 / 250 − ε ⎦ ⎩ m ⎭
0−ε
1.5 / 250
⎧ ε = 0.00321
=0⇒⎨ 1
1.5 / 250 −2 / 250 − ε
⎩ε 2 = −0.0112
Tensões Principais por Aplicação da Lei de Hooke
Generalizada
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Resolução Problema 4c)
210 × 109
σ1 =
⎡⎣(1 − 0.3) × 0.00321 + 0.3 ( −0.0112 ) ⎤⎦ = −4.5 × 108 Pa
(1 + 0.3)(1 − 0.6 )
210 × 109
σ2 =
⎡⎣(1 − 0.3) × (−0.0112) + 0.3 ( 0.00321) ⎤⎦ = −2.78 × 109 Pa
(1 + 0.3)(1 − 0.6 )
210 × 109
σ3 =
⎡⎣0.3 ( 0.00321 − 0.0112 ) ⎤⎦ = −9.7 × 108 Pa
(1 + 0.3)(1 − 0.6 )
As direcções Principais de Tensão são coincidentes com as
direcções principais de deformação e são:
⎧ l1 ⎫ ⎧0.882 ⎫
⎧ l2 ⎫ ⎧−0.472 ⎫
⎨ ⎬=⎨
⎬ e ⎨ ⎬=⎨
⎬
m
m
0.472
0.882
⎭
⎭
⎩ 1⎭ ⎩
⎩ 2⎭ ⎩
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Resolução Problema 4c)
Ue =
=
1
∫∫∫V ( σ xx ε xx + σ yyε yy + σ zz ε zz + 2τ xyε xy + 2τ xzε xz + 2τ yzε yz )dV =
2
1
∫∫∫V ( σ xx ε xx + σ yyε yy + 2τ xyε xy )dV
2
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Resolução Problema 5a)
5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que:
- numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é
nula e a tensão normal é de 20MPa
- numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa
(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões.
(1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é
E=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30.
A Tensão σxx=20MPa e a Tensão τxy=0MPa
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Resolução 5a
2
2
2
m = cos(n, y ) = cos 45º =
2
l = cos(n, x) = cos135º = −
n
y
⎧ 2⎫
⎧ −10 2 ⎫
−
⎧Tx ⎫ ⎡ 20 0 ⎤ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎪
⎪
⎨ ⎬=⎢
⎨
⎬=⎨ 2
⎬
⎥
σ yy ⎪
⎩Ty ⎭ ⎣ 0 σ yy ⎦ ⎪ 2 ⎪ ⎪
2
⎩
⎭
⎪⎩ 2 ⎪⎭
Faceta
45º
x
⎧ 2⎫
⎪−
⎪
2
1
⎪⎫ ⎪ 2 ⎪
σ yy ⎬ ⎨
⎬ = 10 + σ yy
2
2
⎭⎪ ⎪ 2 ⎪
⎪⎩ 2 ⎪⎭
⎪⎧
σ n = ⎨−10 2
⎩⎪
2
T = Tx2 + Ty2
τt =
1
2
T − σ n 2 = 100 + σ 2 yy − 10σ yy = 20MPa
4
⎧ 60 MPa
σ yy = ⎨
⎩−20 MPa
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Resolução do Problema
8
a) Tendo em conta as condições em que se processa a
deformação de acordo com a informação conclui-se que:
ε xx + ε yy + ε zz = 0 a)
ε yy =
0.001
= 0.0005
2
γ yz = 0.0
⎡ε xx ε xy ε xz ⎤ ⎧1⎫ ⎧0.0005⎫
⎪
⎢
⎥⎪ ⎪ ⎪
D − D = ⎢ε xy ε yy ε yz ⎥ ⎨0⎬ = ⎨0.0005⎬
⎢⎣ε xz ε yz ε zz ⎥⎦ ⎪⎩1⎪⎭ ⎪⎩0.0025⎪⎭
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donde:
ε xx + ε xz = 0.0005
ε xz + ε zz = 0.0025
66
Resolução do Problema 8
ε xx + ε xz = 0.0005
ε xz + ε zz = 0.0025
ε xx + ε xz = 0.0005
ε xz + ε zz = 0.0025
ε xx + ε zz = −0.0005
Juntando a estas duas equações a
equação (a)
ε xz = 0.00175; ε xx = −0.00125; ε zz = 0.00075
⎡− 0.00125 0.0005 0.00175⎤
ε = ⎢⎢ 0.0005
0.0005
0 ⎥⎥
⎢⎣ 0.00175
0
0.00075⎥⎦
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Resolução do Problema 8
b) O coeficiente de Poisson é tal que:
ε yy
ν=
ε xx
Tendo em conta que:
σ xx 10 × 106
=
= 0.5 × 10−4 e ε yy = 2 × 10 −5
ε xx =
9
E
200 × 10
obtém-se
E
0. 5 × 10−4
⎡⎣(1 − ν ) ε xx + ν (ε yy + ε zz ) ⎤⎦
σ
=
xx
ν=
=
0
.
4
+
ν
−
ν
(1
)(1
2
)
2 × 10−5
E
⎡⎣(1 − ν ) ε yy + ν (ε xx + ε zz ) ⎤⎦
σ yy =
(1 + ν)(1 − 2ν)
E
⎡(1 − ν ) ε zz + ν (ε yy + ε xx ) ⎤⎦
σzz =
(1 + ν)(1 − 2ν) ⎣
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Resolução do Problema 8
200 × 109
200 × 109
× 0.0005 = 71.4286
× 0.00125 = −178.57143 σ xy = 2G ε xy = 2 ×
σ xx = −
2 × 1.4
1.4
200 × 109
200 × 109
× 0.00175 = 250
σ xz = 2G ε xz = 2 ×
× 0.0005 = 71.4286
σ yy =
×
2
1
.
4
1.4
200 × 109
200 × 109
× 0.0 = 0
σ yz = 2G ε yz =
× 0.00075 = 107.14286
σ xx =
1
.
4
1.4
G=
E
2(1 + ν )
O tensor das tensões é portanto:
250 ⎤
⎡− 178.571 71.429
σ = ⎢⎢ 71.429 71.429
0 ⎥⎥ MPa
⎢⎣ 250
0
107.143⎥⎦
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Resolução do Problema 8
c)Por resolução do sistema de equações seguinte :
250 ⎤ ⎧x ⎫ ⎧ 82.478 ⎫
⎡− 178.571 71.429
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢ 71.429 71.429
⎥
0 ⎥ ⎨ y ⎬ = ⎨ 82.478 ⎬
⎢
⎢⎣ 250
0
107.143⎥⎦ ⎪⎩ z ⎪⎭ ⎪⎩206.362⎪⎭
os cossenos directores da normal à faceta, que são:
⎧0.57735⎫
⎪
⎪
⎨0.57735⎬
⎪0.57735⎪
⎩
⎭
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Problema 9
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Problema 9
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Resolução Problema 9
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Resolução Problema 9
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Resolução Problema 9
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Resolução Problema 9
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Resolução Problema 9
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Resolução Problema 9
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Problema 10
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Resolução Problema 10
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80
Resolução Problema 10
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Resolução Problema 10
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82
Resolução Problema 10
Pelo Circulo de Mohr
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Resolução Problema 10
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