Provas Comentadas – OBF/2011
PROFESSORES:
Daniel Paixão, Deric Simão, Edney Melo, Ivan Peixoto, Leonardo Bruno, Rodrigo Lins e Rômulo Mendes
COORDENADOR DE ÁREA:
Prof. Edney Melo
1. Considere um plano inclinado (uma cunha) de massa M e ângulo de inclinação θ que pode deslizar sem atrito sobre
o chão. Um pequeno bloco de massa m também pode deslizar sem atrito sobre a superfície do plano inclinado.
Além disso, o bloco está preso por uma corda, que passa por uma polia no vértice superior da cunha, e que está
amarrada a uma parede, conforme ilustra a seguinte figura.
O trecho de corda entre a polia e a parede é horizontal.
O bloco é então solto, a partir do repouso, de uma altura h em relação ao solo. Calcule a velocidade da cunha
quando o bloco chegar ao chão em função de m, M, h, θ e g (a gravidade local).
COMENTÁRIO:
A aceleração do bloquinho na direção do plano é igual a da cunha,
Agora, vamos isolar os corpos:
.
Bloco:
Cunha:
Façamos:
(III) + (I) (1 – cos θ) + (II) (–senθ)
Terceira Fase – 3º Ano
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O problema exige a velocidade do bloco ao chegar ao final da rampa, assim:
2. Um pêndulo é formado por uma haste rígida (de massa desprezível e comprimento L) e uma massa m presa em
sua extremidade inferior. Ele pode oscilar livremente em torno do seu ponto de suspensão e a gravidade local é g.
Prende-se uma mola de constante elástica k a uma distância h abaixo do ponto de suspensão.
Suponha que a mola mantenha-se sempre horizontal (isto é, podemos imaginar que a mola seja muito longa e que
ela se encontre relaxada quando o pêndulo estiver vertical.
a) Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo, em torno de sua posição de equilíbrio. Assuma que o
movimento esteja restrito ao plano da mola-haste.
b) E se a haste também tivesse uma massa m' homogeneamente distribuída, como isso entraria na expressão para
o período?
COMENTÁRIO:
a)
I. Esquema:
II. Em relação ao ponto O, temos:
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Terceira Fase – 3º Ano
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III. Para θ muito pequeno, temos:
IV. Como
, temos:
b)
I. Em relação ao ponto O, temos:
II. Para θ muito pequeno, temos:
III. Como
, temos:
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3. Um cilindro de paredes condutoras térmicas possui um êmbolo de massa m bem ajustado (mas sem atritos), cuja
secção de área transversal é S. O cilindro contém água e vapor à temperatura T = 100°C, ou seja, estão na temperatura de condensação
Observa-se que o êmbolo cai vagarosamente à velocidade constante v, porque alguma quantidade de calor flui
através das paredes do cilindro, fazendo com que um pouco de vapor se condense continuamente. A densidade
de vapor no interior do recipiente é ρ.
a) Calcule a taxa de condensação do vapor e a variação de massa de vapor por unidade de tempo, em termos dos
parâmetros dados no problema.
b) A que taxa o calor flui para fora do cilindro? Dê o resultado em função do calor de condensação L da água e
dos outros dados do problema.
c) Qual a taxa de variação da energia interna do vapor? O calor específico molar a volume constante da água é CV
e sua massa molar é M.
d) Qual a taxa de variação da energia interna da água líquida?
COMENTÁRIO:
Patm
Pistão
m
x
Vapor
Água
a) a velocidade do pistão é dada por:
Reescrevendo como:
mas,
O sinal negativo implica no decréscimo da massa de vapor no cilindro. Note que a densidade e a pressão do
vapor se mantém constante durante o processo, pois são funções apenas da temperatura.
b) O calor que flui para fora do cilindro se deve a condensação do vapor.
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Terceira Fase – 3º Ano
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c) A variação da energia interna do vapor pode ser determinada considerando-o como um gás ideal.
Substituindo
:
d) A variação da energia interna total do sistema e a soma das variações da energia interna do vapor e da água
líquida para o sistema água-vapor:
Substituindo os valores encontrados nos itens anteriores:
Daí,
Terceira Fase – 3º Ano
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4. Há um copo de água em contato com o ambiente, e ambos se encontram a uma temperatura T0.
a) Mostre, usando o conceito de entropia (e a segunda lei da termodinâmica), que não é natural ver a água do
copo variar sua temperatura e resolver se manter em equilíbrio a uma temperatura diferente de T0.
Dicas: A variação de entropia associada à variação de temperatura de uma massa m de um corpo com calor específico c, que vai de uma temperatura T0 até T é:
Onde ln é o logaritmo natural.
Você pode usar também a desigualdade ln(1 + x) < x, para todo x > 1 e diferente de 0.
b) Dois corpos em contato térmico se encontram isolados do resto do universo. Eles possuem massas e calores
específicos m1, c1 e m2, c2, com os índices (1, 2) se referindo a cada corpo. Se ambos estão na mesma temperatura T0, mostre que não é esperado que eles troquem calor e se equilibrem (termicamente) em temperaturas
diferentes.
Dica: use que (1 + x)n ≈ 1 + nx, se x << 1
COMENTÁRIO:
a) De acordo com a 2ª Lei da Termodinâmica, a entropia de um sistema mais vizinhança aumenta ou se mantém
constante, aumenta para processos irreversíveis e se mantém constante para processos reversíveis, ou seja:
T0
T0
sistema
Vizinhança
∆ Su ≥ 0
Note que ∆Su < 0 ocorreria para um processo que não ocorre espontaneamente na natureza.
Suponha que a vizinhança cedesse calor ao sistema, mesmo estando os dois em equilíbrio, teremos:
Pois In(1 + x) < x
b) Suponha agora que m1 cedesse calor a m2, teríamos:
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mas
Daí,
In x
1
x
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5. Uma mesa, com sua superfície a uma altura H do chão, tem um orifício em seu centro. Uma partícula de massa m
é presa a um corpo suspenso de massa M por uma corda de comprimento I > H que passa pelo orifício.
A partícula pode se mover sem atrito pela superfície da mesa (e também não há atritos entre a corda e o orifício). É
dada à partícula uma velocidade angular ω em torno do orifício (sem nenhuma componente radial de velocidade).
a) Sendo r a distância da partícula até o orifício, calcule o raio de equilíbrio r = r0 para o qual o corpo de massa M
fica parado. Expresse o r0 em termos M, m, ω e g, a gravidade local.
b) Calcule a frequência de pequenas oscilações radiais da partícula em torno de r0. Imagine que inicialmente a
partícula se encontrava em movimento circular em r0 e com velocidade angular ω0 quando uma pequena perturbação radial fez com que ela começasse a oscilar.
Você pode precisar usar que
.
c) Considere que a partícula esteja inicialmente a uma distância r do orifício, com uma velocidade angular ω. O
sistema é então solto de modo que o corpo M desça naturalmente até o chão, isto é, suponha que l – H > r0.
Qual será a nova velocidade angular ω da partícula nessa nova situação? Expresse o resultado em função dos
parâmetros básicos do problema.
COMENTÁRIO:
a) Na situação de equilíbrio, temos que:
T = PM = M.g
Como a massa m executa um movimento circular, temos que:
b) Ao sofrer um pequeno deslocamento x a massa m começa a oscilar radialmente, e como M está vinculado por
um fio ideal, ele também oscila (verticalmente) com a mesma frequência. De acordo com a 2ª Lei de Newton,
temos que:
Note que podemos imaginar o sistema como sendo um corpo único, de massa M + m oscilante. Adotando um
referencial na partícula de massa m, temos:
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Terceira Fase – 3º Ano
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Obs.: É necessário que encontremos uma relação entre ω e ω0. Para isso, precisamos conhecer a definição de momento angular , o qual é definida como:
em que:
Em módulo, como
, temos que:
Como se trata de um sistema isolado, o momento angular
mento rotacional de um sistema), de modo que:
é conservado (essa grandeza está associada ao movi-
Substituindo (II) em (I), temos que:
Como x << r0, podemos afirmar que:
Logo, temos que:
Como se trata de um M.H.S, temos que:
Terceira Fase – 3º Ano
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c) Conservando o momento angular do sistema, pois na há torque na direção radial, temos que:
6. Vamos determinar a posição da imagem formada por um espelho esférico (gaussiano) quando o objeto não se
encontra sobre seu eixo principal, isto é, a linha normal ao espelho em seu centro.
objeto
p
foco
p’
imagem
Sendo p a distância do objeto ao centro do espelho e θ o ângulo com relação ao eixo principal, e este suficientemente
pequeno, para que as aproximações do espelho gaussiano continuem válidas. Considerando os raios ilustrados na
figura acima vemos que se uma imagem bem definida se formar, ela deve estar no plano da figura e seu ângulo
com relação ao eixo principal deve ser o mesmo θ.
a) Sendo f a distância focal do espelho, prove usando os dois raios ilustrados (um que passa pelo centro e outro
paralelo ao eixo principal) que p’, a distância da imagem até o centro do espelho, deve obedecer a relação:
b) Vamos considerar agora outros raios que saem do corpo, para verificar se a imagem será bem definida, isto é,
se todos os raios convergem para ela. No entanto, limitemo-nos ao plano da figura acima, pois fica mais complicado mostrar isso para raios fora do plano. Há um raio que sai do corpo e atinge o espelho, a uma distância l
acima de seu centro, e se encontra com o raio que passava pelo centro a uma distância p* do centro do espelho,
conforme a figura a seguir
p*
Mostre que p* = p’, isto é, todos os raios, independentemente de l, convergem para o mesmo ponto.
c) Quando há um corpo extenso sobre o eixo principal, tal como uma vela, costuma-se considerar que a imagem
de um ponto superior forma-se justamente acima da imagem de um ponto na base, isto é, uma vela posta verticalmente com a base sobre o eixo principal forma uma imagem também vertical.
Prove, a partir da relação obtida no item a, que esta consideração é verdadeira, isto é, a posição horizontal (paralela
ao eixo principal) da imagem pode ser tratada como se o objeto estivesse sobre o eixo. Consequentemente ter-se-ia
que a imagem de uma vela vertical seria, de fato, vertical.
d) Se um feixe de raios paralelos incide no espelho paralelamente ao eixo principal, então o feixe converge para
um ponto sobre o eixo, chamado foco. Caso o feixe forme um ângulo θ, suficientemente pequeno, com o eixo,
mostre que os raios convergem para um ponto contido no plano perpendicular ao eixo e que passa pelo foco
e calcule a distância entre este ponto F' e o foco F. Este plano é chamado de plano focal. Dê o resultado em
termos de θ e f.
COMENTÁRIO:
a) Primeira solução:
O
A
V
Objeto
I’
f
O’
I
10 Terceira Fase – 3º Ano
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Podemos observar que o triângulo ∆VOO’ é semelhante ao ∆VII’, logo:
Também podemos ver que ∆AVf ~ ∆II’f, então:
Como
, da equação temos:
De (I) e (III), vem que:
Agora,
Substituindo em (IV), temos:
Segunda solução:
Considere o ângulo α e os pontos I, V, B e F definidos na figura a seguir.
B
p
V
F
180º– p’
–
I
Aplicando-se a lei dos senos sobre o triângulo VFI, temos:
Terceira Fase – 3º Ano
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b)
O
C
A
V
I’
B
F
O’
p*
I
I. ∆VBC ~ ∆BII’, logo:
II. ∆AVC ~ AO’O, logo:
III. ∆VOO’ ~ ∆VII’, logo:
De (I) e (II), temos:
De (III) e (IV):
Agora, lembremos que o objetivo do problema é estudar imagem quando esta e o objeto não estão no eixo principal. Dessa forma, já podemos assumir como válida a equação de Gauss quando o objeto e a imagem estão sobre
esse eixo.
Assim, podemos assumir que o ponto A é um ponto objeto virtual e que sua imagem seria o ponto B. Sendo B um
ponto imagem real. Logo, salta aos olhos que:
Por fim, comparando (V) e (VI), temos que:
Comparando com a equação do item “a”, concluímos que ρ’ = ρ*.
12 Terceira Fase – 3º Ano
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c)
Podemos perceber que para qualquer ponto do objeto, a projeção de p sobre o eixo principal é sempre a mesma
. Sendo a equação
. Como
, podemos reescrever:
, em que
é igual para todos os pontos de objeto, temos que
,
também será igual
para cada imagem. Assim, a imagem será vertical.
d)
Como os raios incidentes são paralelos,
.
Logo,
cos θ. Assim, é fácil ver que F será a projeção de F' sobre o eixo principal.
Sendo,
7. Considere uma carga puntiforme q separada de uma distância d do centro de uma esfera metálica de raio R, conforme a figura abaixo.
Para, por exemplo, encontrar os campos elétricos em cada ponto, gerados pela configuração acima, poder-se-ia
determinar a distribuição de cargas na superfície do condutor (devido à presença de q) e considerar que o campo
em cada ponto é a soma do campo de q com as contribuições de cada elemento de carga sobre a superfície da
esfera. Mas isso parece ser um tanto complicado! Um método muito poderoso, chamado método das imagens, pode
ser muito eficiente para resolver problemas como esse. De acordo com este método, dado um objeto condutor
carregado com uma carga Q, podemos remover essa carga de sua superfície e deixar de considerar a existência do
condutor, redistribuindo tal carga dentro do espaço contido por sua superfície, desde que essa superfície continue
equipotencial. Neste caso, o campo elétrico em qualquer ponto externo ao condutor, gerado pela distribuição de
cargas na sua superfície é idêntico ao gerado por essa nova distribuição de cargas imagens. O caminho inverso
também é válido, ou seja, tendo uma distribuição de cargas dentro de uma superfície (imaginária) equipotencial,
podemos dizer que, se no lugar dessa superfície fosse colocado uma casca condutora (ou mesmo um condutor
maciço) e essa carga interna fosse "injetada" na casca, então os campos externos (à superfície) permaneceriam
inalterados. Assuma que o meio seja o vácuo (ε = ε0).
Terceira Fase – 3º Ano
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a) Suponha que a esfera condutora esteja aterrada, isto é, seu potencial seja nulo. Neste caso apenas uma carga
imagem q' será necessário e, pela simetria, pode-se ver que ela deve estar contida na reta que liga a carga q
com o centro da esfera.
Calcule então q' (o seu valor) e sua posição (distância a até o centro da esfera). Expresse os resultados em termo
dos parâmetros básicos deste problema, isto é, q, R e d.
b) Considere agora que a esfera esteja neutra e isolada. Com que força a carga q atrai a esfera? Expresse-a em
termos dos mesmos parâmetros.
COMENTÁRIO:
I. Esquema:
II. Fazendo VA = VB = 0, temos:
b) Para a esfera neutra, temos:
14 Terceira Fase – 3º Ano
Provas Comentadas – OBF/2011
O potencial da esfera será o potencial gerado pela carga q em seu centro, uma vez que ela está neutra e a carga
induzida não irá contribuir para o potencial, daí:
, então:
em que
8. Segundo a teoria da Relatividade de Einstein, um elétron relativístico tem uma massa de repouso m0 e uma massa
inercial m definida pela seguinte equação:
onde v é a velocidade do elétron relativa a um referencial inercial e c a velocidade da luz no vácuo. Esta equação
implica que o elétron em movimento tem uma massa que depende da sua velocidade!
a) Escreva a energia cinética newtoniana para o elétron usando o momento relativístico da teoria de Einstein em
função de m0, v e c.
b) Segundo a teoria da Relatividade de Einstein, a energia total de um elétron é dada por:
onde p é o momento relativístico da partícula. Qual a diferença entre a energia do elétron na teoria de Newton
e a relativística?
COMENTÁRIO:
a) De acordo com a teoria da relatividade, a energia cinética é dada pela diferença entre a energia total e a energia
do repouso.
mas,
em que,
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Reescrevendo (1):
Fazendo
Por fim:
b) A energia total do elétron é dada por
ainda sim possui energia,
. Note que mesmo o elétron estando em repouso
∴
a chamada energia do repouso. Por outro lado,
de acordo com a teoria newtoniana, um elétron em repouso não possui energia associada nesse estado.
Obs.: Estamos desconsiderando energia potencial elétrica envolvida.
OSG.: 7176/11 Pat/ Rev.: Vânia
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