JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
1. MATEMÁTICA BÁSICA
NÚMEROS PRIMOS
São aqueles que possuem exatamente 2 divisores distintos
Exemplo:
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
São aqueles que compõem uma FRAÇÃO IRREDUTÍVEL
Exemplo:
25 e 4 →
não dá pra simplificar
Um número A é múltiplo de um número B se o quociente for um número inteiro e o resto é ZERO.
Exemplo:
12 é múltiplo de 4?
Contra-exemplo:
9 é múltiplo de 4?
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
4, 6, 7, 9
MATEMÁTICA
MULTÍPLO
Exemplo:
Joãozinho visita Maria de 8 em 8 dias. Pedrinho visita Maria de 9 em 9 dias. Carlinhos
visita Maria de 12 em 12 dias. No dia 18 de julho fizeram uma FESTINHA, TODOS na casa de Maria.
Quando será a próxima data em que TODOS visitarão juntos Maria?
CETEC
1
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
MAXÍMO DIVISOR COMUM
Para reconhecermos um problema de MDC devemos observar que o mesmo fará referencia à:
TAMANHOS IGUAIS
PADRONIZAÇÃO
PACOTES IGUAIS, etc.
MAIOR TAMANHO POSSÍVEL
OU
MENOR NÚMERO DE “PEDAÇOS”
Não há sobras
MATEMÁTICA
Exemplo:
Dispomos de ROLOS DE ARAME de 180m, 252m e 324m. Desejamos fabricar rolinhos
de mesmo tamanho, e do MAIOR tamanho possível a partir dos três rolos citados. Se não há sobras,
qual o tamanho de cada rolinho e quantos rolinhos obtemos?
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURAIS N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
INTEIROS RELATIVOS
RACIONAIS
= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q São Aqueles que podem ser colocados na forma de
fração
Q = {..., -3, ..., -
com a ∈ e b ∈
, ..., 0,
e b ≠ 0.
, ..., 4, ..., 5,333, ....}
ATENÇÃO: Os seguintes números são RACIONAIS
0,333...
0,555...
0,777...
0,212121...
0,363636...
0,234234234...
0,32222...
0,4818181...
0,7242424...
0,34555...
0,7833333...
0,54636363...
0,9562222...
0,2345555...
0,234565656...
DICA:
2
CETEC
“DA DUPLA PERU E PERI, SAIU O PERU”.
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
IRRACIONAIS
II ={-
, ..., -
, ..., e , ..., π, ...}
e ≅ 2,7182... NÚMERO DE EULER
π ≅ 3,1415... PI
REAIS R= {Conjunto dos RACIONAIS E IRRACIONAIS}
COMPLEXOS
C
São Números da forma
a
+
b i , com a e b REAIS e i =
Parte Real
Imaginária
EIXO IMAGINARIO
Eixo Imaginário
EIXO IMAGINARIO
EIXO IMAGINARIO
2i
3
EIXO REAL
N
4
EIXO REAL
EIXO REAL
Q
MATEMÁTICA
4
R
COMPLEXOS
RECORDAÇÃO DAS 4 OPERAÇÕES
A) 4872 1600
B) 241 4
C) 3,68
x 2,7
D) 1,25 2,5
E) 2,71 + 305,4 + 1009,25 + 200,375 + 1234,098 =
F) 1 - 0,30103 =
G) 5,00600 - 2,30357
CETEC
3
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
3. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
MEDIDAS DE TEMPO
ANOTAÇÕES
8,30h =
6,40h =
7,20h =
8,90h =
9,50h =
3,2 meses =
2,7 meses =
MATEMÁTICA
2,6 anos =
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
dam2 m2
dm2
cm 2
mm2
dl
cl
ml
dm3
cm 3
mm3
DICA:
UNIDADES DE SUPERFÍCIE
km2
hm2
DICA:
UNIDADES DE VOLUME
DICA:
4
CETEC
hl
hl
dal
l
km3
hm3
dam3 m3
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
UNIDADES DE MASSA
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
DICA:
LEMBRETES
2 - 1L = 1000 cm3
1L 1dm3
1mL = 1cm3
MATEMÁTICA
1 - Não confundir 1Kg com 1 Litro.
Ex.: 1 Litro de Mercúrio(Hg) = 13,6 Kg
1 Litro de água destilada a 4°C, sob pressão de 1 ATM = 1Kg
1m3 = 1000L
3 - MEDIDAS AGRÁRIAS
10m
1 ARE
1 CENTIARE
É a centésima parte do ARE
1m
1 Ca
10m
→
100m2
1 HECTARE
Corresponde a 100 ARES
100m
1m
→ 1m 2
1 Ha
100m
→
10.000m2
CETEC
5
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
4. FUNDAMENTOS GERAIS
ORDEM DAS OPERAÇÕES
POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO
DIVISÃO
SOMA
SUBTRAÇÃO
Efetue:
A) 2 + 3 x 15 =
B) 12 ÷ 2 x 3 =
C) 2 + 3 x 5 +
MATEMÁTICA
REGRA DOS SINAIS
1) SOMA ALBÉBRICA
A) - 2 - 3 =
C) - 8 + 15 =
B) + 4 - 7 =
D) + 9 + 7 =
2) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
A) (-2) x (-3) =
B)
C) 63
9
D) (-9) x (8) =
3. SIMPLIFICAÇÃO
A) 2x + 4y + 6 z =
2
B)
C)
D)
E)
6
CETEC
=
=
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
ATENÇÃO: SINAL DE MENOS ANTES DO PARÊNTESES
-(-5) =
DICIONÁRIO DE MATEMATIQUÊS
MATEMÁTICA
UM NUMERO → X
O DOBRO DE UM N° →
A METADE UM N° →
O QUADRADO DE UM N° →
A METADE DO QUADRADO DE UM N° →
O QUADRADO DA METADE DE UM N° →
A TERÇA PARTE DE UM N° →
O CUBO DE UM N° →
O TRIPLO DA METADE DE UM N° →
METADE DO TRIPLO DA DE UM N° →
A QUINTA PARTE DE UM N° →
A RAIZ QUADRADA DE UM N° →
O OPOSTO DE UM N° →
O INVERSO DE UM N° →
CETEC
7
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
UM NÚMERO SOMADO COM SEU INVERSO É 12 →
A RAZÃO ENTRE A E B →
A RAZÃO ENTRE B E A →
A DIFERENÇA ENTRE A E B →
A DIFERENÇA ENTRE B E A →
A RAZÃO ENTRE O CUBO DE UM NÚMERO S SEU QUADRADO→
→
MATEMÁTICA
TRÊS NÚMEROS INTEIROS CONSECUTIVOS →
TRÊS NÚMEROS PARES CONSECUTIVOS →
TRÊS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS →
ATENÇÃO: Sendo X um inteiro qualquer, então um número:
PAR
IMPAR
A SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS CONSECUTIVOS →
O PRODUTO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS CONSECUTIVOS →
de
de
=
A excede B em 24 unidades
12345678901234567890123456789012
12345678901234567890123456789012
12345678901234567890123456789012
12345678901234567890123456789012
12345678901234567890123456789012
12345678901234567890123456789012
12345678901234567890123456789012
123456789012345678901234567890121234567890123456789012
123456789012345678901234567890121234567890123456789012
123456789012345678901234567890121234567890123456789012
123456789012345678901234567890121234567890123456789012
123456789012345678901234567890121234567890123456789012
8
CETEC
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
1 inteiro =
=
=
=
=
=
= ...
1=
DICA:
MATEMÁTICA
PARTE
TODO
A diferença entre o preço de venda e o preço de custo →
A diferença entre 2 quadrados →
O quadrado da diferença →
A soma dos inversos de dois números →
A diferença entre dois cubos →
O cubo da diferença entre dois números →
A metade do inverso do N° →
O inverso da metade do N° →
CETEC
9
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
5. RECORDANDO EQUAÇÕES
2 x
+
5
MATEMÁTICA
x
= 10
10
CETEC
=
18
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
6.FRAÇÕES
NUMERADOR
DENOMINADOR
MULTIPLICAÇÃO
MATEMÁTICA
SIMPLIFICAÇÃO
A - MESMO DENOMINADOR
DIVISÃO
=
=
=
=
B - DENOMINADORES DIFERENTES
=
C - DENOMINADORES COM INCÓGNITA
=
CETEC
11
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
OPERAÇÕES E PROBLEMAS
01) O resultado de
1+1
1+ 1
a b
A) a + b
02)
C)
a+b
ab
E)
a+b
2
x+y
1 1
x+ y
A) 1
é
15) Quando saí de casa já havia transcorrido 3/8 do dia.
Quando retornei, havia passado 5/6 do dia. Quanto
tempo estive fora?
1
a+b
D) ab
a+b
B)
16) Saí de casa quando 2/5 do dia já havia passado. Ao
retornar, observei que restava apenas 1/4 do dia. Quanto tempo estive fora?
é igual a
B) 2
C) x2 + y2
D) x y
x+y
MATEMÁTICA
E) xy
03) Qual o resultado da expressão?
2
1
3/4
4
+
+
2/3
3
2/5
04) Quantos nonos há na unidade?
05) Que fração do dia já transcorreu quando o relógio bate
8 horas?
06) Uma pessoa devia R$ 12, e pagou 3/5 da dívida. Quanto
ainda deve?
07) Quanto devo adicionar a 8/15 para obter a unidade?
08) Quanto é 2/5 de 3/4?
09) Uma agricultor podou 1/5 das suas árvores no 1º dia. No
2º dia podou 3/4 das árvores que restaram sem podar.
E no 3º dia podou a metade das que sobravam. Se o
número total de árvores é 80, quantas ficaram sem
podar?
10) Um fazendeiro vendeu 3/7 das ovelhas que possuía.
Depois vendeu a 4º parte das ovelhas que sobraram. E
finalmente 5/6 das ovelhas que restavam, morreram no
inverno. Se ao final ficaram 6 ovelhas quantas ovelhas
tinha inicialmente o fazendeiro?
17) Os 2/3 de 5/3 do preço de uma moto eqüivalem a 3/2 de
2/5dopreçodeumautomóvelavaliadoemR$9.600,00.
O preço da moto é
A)R$16.000,00
B)R$5.184,00
C)R$5.760,00
D)R$8.640,00
E)R$6.400,00
18) Um certo número de alunos á aprovado em um concurso. No exame psicotécnico 3/8 são reprovados. Do
restante, 2/5 rodam no teste físico. Se a metade dos
classificados é 45, determine o número inicial de aprovados.
19) Um certos números de árvores frutíferas deveria ser
colhida. No primeiro dia 5/12 das árvores foram colhidas. No segundo dia 4/7 das restantes foram colhidas
e no terceiro dia 2/5 das que ainda não haviam sido
tocadas, foram colhidas. Se sobraram 90 árvores sem
colher, qual o total inicial?
20) João gasta 2/5 do salário no aluguel. Do que sobra, gasta
3/7 no mercado. Se sobraram, no final, R$ 120, qual o
salário do João?
21) João gasta 2/5 do salário no aluguel e 3/7 do salário no
mercado. Se sobrou R$ 120, quanto ganha o João?
22) Um negociante recebeu 108 ovos que colocou em 2
cestas. A um freguês vendeu 1/3 dos ovos da 1º cesta
e a outro 1/6 dos ovos da 2º cesta. As duas cestas agora
tem o mesmo número de ovos. quantos ovos havia em
cada cesta?
GABARITO
11) Em um clube 2/3 dos sócios são mulheres. Se 3/5 das
mulheres são casadas e 80% das casadas tem filhos.
Qual o número de associados do clube, sabendo-se
que as mães casadas são 360?
01. D
02. E
03. 8/47
04. 9
05. 1/3
06. $4,80
07. 7/15
08. 3/10
09. 8
10. 84
11. 1125
12. 7h e 30min
12) Que horas são quando o tempo já transcorrido do dia
é igual a 5/11 do que resta do dia?
13. E
14. B
15. 11h
16. 8h e 24min
17. B
18. 240
19. 600
20. $350
21. $700
22. 1ª cesta - 60
13) Que hora são quando o tempo já transcorrido é igual a
4/11 do que resta do dia?
A) 6h e 40min
B) 6h
C) 6h e 4min
D) 8h e 8min
E) 6h e 24min
12
14) Que horas são quando o tempo que já transcorreu é
1/3 do que resta do dia?
A) 8 h
B) 6 h C) 4 h
D) 3 h
E) 2 h
CETEC
2ª cesta - 48
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
1º GRUPO
10
2
x
B) 2 =
4
48
C) 16 =
x
x
D) 5 =
3
x
E) = 7
2
3
F) 6 =
y
36
G) = 12
t
x
H) 10 =
8
10
I) = 2
m
5
-2x + 1
5
1
H)
=
-3x + 4 4
G) 2 =
A) x =
A) x + 2 = 7
B) x - 2 = 7
C) 2x + 3 = 9
D) 2x - 3 = 9
x
E) + 5 =10
2
x
F) - 5 = 10
2
3x
G) + 2=14
2
5x
H) -3=12
2
3t
I) 6 =
2
3º GRUPO
A) -x + 2 = 6
B) -4x - 2 = 10
-3x
C)
- 2 = -17
4
-x + 2
D)
= -6
4
3
E)
=3
-x-5
2-x
F)
=2
3
A) 2 = a.10.20
B) 4 = 5.c.16
C) 6 = 10.12.t
c.4.15
D) 12 =
100
500.i.12
E) 20 =
100
5º GRUPO
x+2
= 10
2
3x - 3
B)
=6
4
10
C) 2 =
2+x
3x - 30
D)
= 15
2
2+t
E) 8 =
2
4x + 5
F)
=2
4
A)
MATEMÁTICA
2º GRUPO
4º GRUPO
6º GRUPO
A) 5x - 3 = 2x + 7
B) 2x + 3 = 3x - 4
C) -6x - 2= -2x - 2
x+2
D)
= 2x
2
E) -3x + 1 = 2x - 4
x-3
F)
=3+x
2
2x + 1
G)
=2-x
2
2x 3x
H) = -12
3
4
x x-1 1
I) =
4
3
12
3x
3
J) - 5 = x 7
7
3
5
K)
=
x+2 x-1
L) 5 = 4
x x+2
CETEC
13
13
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
x
x
x
M) 2 (5 - ) -6 ( - 1) = - 7
5
2
6
2x + 2
N)
= 2x + 2
2
1
1
1
O)
+
=
x+1 x+1 x
Testes
MATEMÁTICA
01) O valor de x em ax + b = a + bx é
A) 0
B) 1
C) 2
D) -1
E) 4
02) O valor de x na expressão x - 1 = x + 1 é
x
x
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
x-2
A
B
=
+ , o valor de A - B é
2
x +x x+1 x
A) 5
B) 3
C) -1
D) -3
E) 5
é
Problemas de 1º grau resolvidos
01) Um número somado ao seu triplo é igual a 36.
Determine o número.
x + 3x = 36
4x = 36
x = 36/4
x=9
14
14
CETEC
4x - x
= 48
2
3x = 2 . 48
3x = 96
96
x=
3
x = 32
03) Uma ripa de madeira de 5m de comprimento foi
cortada em 2 partes de tal forma que a parte que
sobrou é 2/3 da que foi aproveitada. Quanto
sobrou?
x
5-x
5m
03) Se
04) O valor de x em:
1
4
1
= 2
x+1 x -1 x-1
A) 0
B) 1
C) 2
D) -1
E) -2
02) O dobro de um número diminuído de sua
metade é igual a 48. Qual é o número?
2x x
- = 48
1 2
Tiramos o MMC do lado esquerdo
sobrou = x
(5 - x) = aproveitada
sobrou = 2/3 (aproveitada)
2
x = (5 - x)
3
3x = 2.5 - 2x
3x + 2x = 10
5x = 10
x = 10/5
x=2
04) Em um concurso de tiro, o atirador ganha 6
pontos por tiro acertado e perde 2 pontos por
tiro errado.
Se em um total de 30 tiros ele marca 132
pontos, quantos tiros ele acertou?
Acertos + Erros = 30
Acertou x tiros
Errou (30 - x) tiros
6 . (nº acertos) - 2 (nº erros) = Pontos
(6 . x) - 2 (30 - x) = 132
6x - (60 - 2x) = 132
6x - 60 + 2x = 132
8x = 132 + 60
8x = 192
192
x=
8
x = 24 acertos
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Problemas de primeiro grau
01. Determine o número que aumentado de 20 unidades totaliza 44.
Gastou + Sobrou = Total
salário = x
1
supermercado = x
3
2
farmácia = x
5
1x 2x
+ + 240 = x
3 5
Tiramos o MMC do lado esquerdo
02. A diferença entre um número e 8 é igual a 12.
Determine o número.
5x + 6x + 3600
=x
15
11x + 3600 = 15x
3600 = 4x
x = 900
06. Um número somado com o seu dobro é igual a 27.
Qual é o número?
Prova
1/3 de 900 → R$ 300
2/5 de 900 → R$ 360
Gastou (660) + (240) = Total (900)
06) João gasta 2/3 do seu salário no mercado e
3/4 do que sobrou no aluguel. Se ainda restou
R$ 100, qual o seu salário de João?
Salário →x
Após pagar o Mercado
2x
2x
Mercado→
sobrou (x )
3
3
3
2x
Aluguel . (x - )
4
3
Gastos + Sobras = Total
2x 3
2x
+ (x - ) + 100 = x
3 4
3
2x 3x 6x
+ + 100 = x
3
4 12
8x + 9x - 6x + 1200
=x
12
11x + 1200 = 12x
x = 1200
03. A razão entre um número x e 4 é igual a 9.
Determine o valor de x.
04. A diferença entre 50 e um número desconhecido
é 11. Qual é o número desconhecido?
05. A razão entre 80 e um determinado número é 5.
Qual é o número?
07. O triplo de um número diminuído de seu dobro é
igual a 15. Qual é o número?
08. O dobro de um número adicionado com o seu
triplo é igual a 85. Qual é o número?
09. Um número mais a sua metade é igual a 18. Qual
é o número?
10. Um número adicionado de sua terça parte totaliza
32. Determine o número.
11. O dobro de um número diminuído de 10 é igual ao
próprio número somado com 26.
MATEMÁTICA
05) Uma pessoa gasta 1/3 do seu salário no supermercado, 2/5 do seu salário na farmácia e ainda
lhe sobram R$ 240. Qual o seu salário?
12. O dobro de um número diminuído de 2 unidades
é igual ao triplo de sua metade adicionado com 6
unidades.
13. Gabriel tinha 8 anos quando Cristiano nasceu.
Atualmente a soma de suas idades é 62 anos.
Calcule a idade de cada um.
a) 30 e 32 anos.
c) 36 e 26 anos.
e) 30 e 38 anos.
b) 28 e 34 anos.
d) 35 e 27 anos.
14. Quando Paulinho tinha 5 anos, Sandra tinha 14
anos. Se hoje, a soma das suas idades é 57 anos,
a idade de Sandra é
A) 40 anos
D) 37 anos
B) 35 anos
C) 33 anos
E) 39 anos
15. Determine a área de um retângulo sabendo-se
que seu perímetro é 40cm e que a altura é o triplo
da base.
16. Quais as dimensões de um retângulo sabendo-se
que o perímetro mede 24cm e que a altura é a
metade da base?
CETEC
15
15
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
17. Sabendo-se que a área de um retângulo á base
multiplicada por altura, qual é a altura quando a
base é 4m e a área é 2m2?
A) 8m
B) 6m
C) 4m
D) 0,5m
E) 2m
18. A idade de um pai e um filho está na razão de 5/
2. Qual a idade de cada um sabendo-se que a
diferença entre eles é 18?
19. A soma dos ângulos internos de um triângulo
sempre soma 180º. Determine cada ângulo de
um triângulo cujos ângulos são x ; x + 20º e
x + 40º.
MATEMÁTICA
20. Determine dois números ímpares consecutivos
cuja soma é 56.
21. Em uma classe existem 40 alunos. O número de
rapazes excede o de moças em 12 unidades.
Qual o número de rapazes?
A) 14
B) 20
C) 26
D) 28
E) 23
22. A idade de João é o dobro da idade de Pedro e a
idade de Ana Maria é o triplo da idade de João.
Se juntos somam 36 anos, qual a idade de cada
um?
23. Um pai tem 65 anos e o filho 35 anos. Há quantos
anos atrás, a idade do pai era o quádruplo da
idade do filho?
24. Carlota tem 40 anos e Berlamino tem 24 anos. Há
quantos anos atrás, a idade de Carlota era o triplo
da idade de Berlamino?
25. O salário de Luís e João somam juntos R$ 80. Se
o salário de Luís é a quarta parte do salário de
João, qual o salário de cada um?
26. A soma de três números pares consecutivos é 60.
determine os números.
27. O perímetro de um triângulo soma 48cm. Se os
lados são 3 números pares consecutivos, determine cada lado.
28. Os lados de um triângulo são n vezes maior que
os números 5, 12 e 13. Se o perímetro mede 120,
qual o valor de cada lado?
29. Um operário ganha R$ 50 por dia de trabalho e
paga multa de R$ 20 por dia de falta (além de não
ganhar o dia). Depois de 22 dias úteis, ele
recebeu R$ 610. quantos dias trabalhou?
30. Cada questão acertada por um estudante vale 10
pontos e cada questão errada faz com que lhe
seja retirado 4 pontos. Se, em uma prova de 50
16
16
CETEC
questões, o aluno soma 332 pontos, quantas
questões errou?
31. Uma viga de ferro de 12m de comprimento é
cortada em duas partes de tal forma que a parte
menor é 3/5 da parte maior. Quanto mede a parte
maior?
A) 7,2m
B) 4,8m C) 7,5m
D) 8m
E) 6m
32. A soma da terça parte de um número com 4 é igual
a 10. Determine o número.
33. A diferença entre a quarta parte de um número e
2 é igual a 7. determine o número.
34. A diferença entre o triplo de um número e a sua
metade é 15. determine o número.
35. A diferença entre as idades de dois irmãos é 10
anos. Quantos anos tem cada um, sabendo que a
idade do mais velho é o triplo da idade do mais
jovem?
Gabarito
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
1º GRUPO B) 8 C) 3 F) 1/2 I) 5
2º GRUPO F) 30 H) 6 I) 4
3º GRUPO E) -6 F) -4 G) -3/4 H) -16/3
4º GRUPO A) a = 1/100
B) 1/20
C) 1/20 D) 20
E) 1/3
5º GRUPO C) 3
F) 3/4
6º GRUPO K) -13/2 L) -10 M) 690/107 O) 1
01. B
TESTES
02. E
03. E
04. C
PROBLEMAS DE 1º GRAU
01. 24
02. 20
03. 36
04. 39
05. 16
06. 9
07. 15
08. 17
09. 12
10. 24
11. 36
12. 16
13. D
14. C
15. 75cm2
16. h = 4cm
b = 8cm
17. D
18. 30 e 12 anos
19. 40º, 60º, 80º
20. 27 e 29
21. C
22. Pedro = 4 anos
João = 8 anos
Ana = 24 anos
23. 25 anos atrás
24. 16 anos atrás
25. Luiz $ 16
João $ 64
26. 18, 20, 22
27. 14, 16, 18
28. 20, 48, 52
29. 15 dias
30. 12 questões
31. C
32. 18
33. 36
34. 6
35. 5 anos e 15 anos
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
1º Caminho
2x – 3y = 11
x + 2y = 2
Podem ser resolvidos por substituição ou adição.
Método da substituição
Considere a equação
2x + y = 8
x–y=1
Isolamos uma das incógnitas em uma das
equações e substituimos o valor isolado na outra.
Assim, isolando o x na segunda equação, fica:
x=1+y
Substituimos x por (1 + y) na primeira equação:
2 . (1 + y) + y = 8
2 + 2y + y = 8
3y = 8 – 2
y = 6/3
y=2
E, como
x=1+y
x=1+2
x=3
Método da adição
Elimina-se uma das incógnitas somando
algebricamente a equação de cima com a equação
de baixo.
Exemplo 1
2x + y = 8
x–y=1
3x / = 9
x=3
Em seguida substituimos o valor de x em qualquer uma das equações para achar o valor de y.
Exemplo 2
2x – 3y = 11
x + 2y = 2
É necessário ajustar as equações para que
uma das incógnitas se anule.
Isto é possível porque
uma igualdade não se altera quando multiplicamos todos os seus termos pelo mesmo número.
Assim, temos 2 caminhos:
(1º) Multiplicar a de baixo por (–2) para que 2x
se anule com (–2x).
(2º) Multiplicar a de cima por (2) e a de baixo por
(3) para que (–6y) se anule com (6y).
Depois de anular uma das incógnitas, segue o
processo comum.
Multiplicamos a de baixo por (–2).
Então:
2x – 3y = 11
–2x – 4y = –4
/ – 7y = 7
y = –1
Em seguida substituimos y por (–1) em qualquer uma e achamos x.
2º Caminho
2x – 3y = 11
x + 2y = 2
Multiplicamos a de cima por 2
Multiplicamos a de baixo por 3
Então:
4x – 6y = 22
3x + 6y = 6
7x / = 28
x = 28/7
x=4
Substituindo x por 4 em qualquer uma, achamos o valor de y.
Por exemplo, na segunda:
3 (4) + 6y = 6
6y = 6 – 12
6y = –6
y=–1
Você mesmo pode tirar a prova real substituindo em cada equação oa valores de x e y e constando se a igualdade se confirma.
MATEMÁTICA
7. SISTEMAS LINEARES
RESOLVA
2x +3y = 14
3x +2y = 11
12x+7y = 3
4x-7y =29
- x+4y = 3
6x -2y = 26
2k - m=10
k +3m= -2
x+ y = 1
3/x + 2/y =12
x + 2y= 1
x/2 + 4/3=5/6
CETEC
17
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS
01. Pedro é 4 anos mais velho que Luís. Adicionando
9 anos à idade de Pedro, ela se torna o dobro da
idade de Luís. Determine essas idades.
02. Uma fração é equivalente a 7/6. descubra essa
fração, sabendo que o numerador excede o
denominador em 3 unidades.
MATEMÁTICA
03. A idade de um pai está para a de seu filho como
8 está para 3. Determine essas idades se a soma
das duas é igual a 44.
04. Dois barris A e B contém vinho. O volume, em
litros, de vinho do barril A, aumentado de 5, é
igual ao volume em litros, de vinho do barril B,
diminuido de 3. sabendo que o triplo do volume,
em litros, do barril A excede em 24 o dobro do
volume, em litros, do barril B, descubra quantos
litros de vinho contém cada barril.
05. Em uma chácara há galinhas e porcos em um total
de 120 cabeças e 396 pés. Qual o número de
porcos e de galinhas?
06. A idade de um pai é hoje o quádruplo da idade de
um filho. Quatro anos atrás, a idade do pai era o
sextuplo da idade do filho. Para que a idade do pai
seja igual ao dobro da idade do filho, o tempo de
corrido deverá ser
a) 30 anos.
b) 25 anos.
c) 20 anos
d) 15 anos.
e) 10 anos.
07. em uma garagem com automóveis e bicicletas, o
número de pneus é 480 e o número de veículos é
192. O número de bicicletas existentes na garagem é
a) ímpar.
b) maior que
c) menor que 100. d) divisor de 300.
e) múltiplo de 12.
08. Os preços de duas peças de tecidos estão entre
si como 7 está para 8. Sabendo-se que o triplo do
preço de uma menos o dobro do preço da outra
vale $50, os preços dessas peças são
a) $60 e $70
b) $70 e $80
c) $50 e $60
d) $80 e $90
e) $7 e $8
Gabarito
01. 13 e 17 anos
05. 42 galinhas ; 78 porcos
10. $252
14. D
18
CETEC
02. 21/18
06. C
11. galhos = 3
15. E
09. Em um compartimento existem bicicletas e triciclos,
num total de 38 rodas e 14 assentos. O número
de bicicletas e triciclos é rspectivamente
a) 4 e 10
b) 5 e 9
c) 3 e 11
d) 10 e 6
e) 24 e 52
10. Com o que tenho no bolso, faltam $24 para pagar
5/7 da minha dívida. Se me dessem $200, pagaria
toda a dívida e sobrariam $104. Quanto devo?
11. Em uma árvore existem galhos e pássaros. Se
pousar um pássaro em cada galho, fica um
pássaro sem galho. Se pousarem 2 pássaros em
cada galho, sobra um galho. Qual o número de
pássaros e galhos?
12. Certa quantidade de sacos precisam ser transportados e para isso dispõe-se de jumentos. Se
colocarmos 2 sacos em cada jumento, sobram 13
sacos, se colocarmos 3 sacos, em cada jumento,
sobram 3 jumentos. Quantos sacos precisam ser
carregados?
13. Comprou-se vinho a $4,85 o litro e chope a $2,50
o litro. O número de litros de chope ultrapassa o
de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de
$19,75 a mais do que a paga pelo chope. A
quantidade de litros de vinho comprada foi de
a) 60
b) 40
c) 65
d) 35
e) 25
14. Uma pessoa ao fazer um cheque inverteu o
algarismo das dezenas com o das centenas. Por
isso, pagou a mais a importância de $270. Sabese que os dois algarismos estão entre si como 1
está para 2. O algarismo, no cheque, que está na
casa das dezenas é o
a) 6
b) 2
c) 1
d) 3
e) 4
15. Um número real N é formado por 2 algarismos.
A soma desses algarismos é 9. Se a ordem for
invertida, o número obtido é 81 unidades menor
do que N. Então:
a) 1 < N < 40
b) 40 < N < 60
c) 60 < N < 70
d) 70 < N < 60
e) 90 < N < 99
16. Determinar quantos passageiros viajam em certo
ônibus, sabendo que, se dois passageiros ocupassem cada banco, 26 ficariam de pé, e que se três
passageiros se sentassem em cada banco, dois
bancos ficariam vazios.
03. 32 e 12
07. E
pássaros = 4
16. 90
04. A = 40 l B = 48 l
08. B
09. A
12. 57 sacos
13. D
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Discussão de Sistemas Lineares
06. (PUC) - Para que o sistema
2x - ny = 0
x + 5y = 0
tenha soluções diferentes da solução trivial, n
deve ser igual a
a) -10
b) -5
c) -2
d) 5
e) 2
ax + by = c
dx + ey = f
a
b
≠
d
e
INDETERMINADO
a
b
c
=
=
d
e
f
SOLUÇÃO
ÚNICA
IMPOSSÍVEL
a
b
c
=
≠
d
e
f
INFINITAS
SOLUÇÕES
07. (UFRGS) - Se o sistema
não tem solução, então,
a) a = 2 e b ≠ 8
c) a ≠ 2 e b = 8
e) a = 1 e b ≠ 4
NENHUMA
SOLUÇÃO
6x + ay = 18
4x + 6y = b
é indeterminado se os valores de a e b forem,
respectivamente:
a) 4 e 10
b) 4 e 12
c) 4 e 18
d) 9 e 10
e) 9 e 12
01. - O sistema
02. - A condição necessária e suficiente para que o
sistema linear sobre R
3x - y = 16
ax - 3y = 24
não tenha solução é que seja:
a) a ≥ 9
b) a ≤ 9
c) a > 9
d) a ≠ 9
e) a = 9
03 . O valor de k para que o sistema:
x + y = 3
2x + 2y = k
possua infinitas soluções é
a) 3
b) 6
c) -3
e) não existe nenhum valor.
d) 8
04. (PUC) - O sistema
ax - 2y = 1
bx - 4y = 2
é indeterminado se os valores de a e b forem, tais
que
a) a = b
d) a = b + 2
b) a = 2b
e) a = kb, k e N
c) a = b/2
x + y = 7
x + ay = b
os valores de a e b, respectivamente, para os
quais o sistema é possível e indeterminado, são
a) 0 e 1
b) 0 e 7
c) 0 e 0
d) 1 e 7
e) 1 e 0
x + ay = 4
2x + 4y = b
b) a = 2 e b = 8
d) a ≠ 2 e b ≠ 8
x + ky = 1
,
4x + 5y = 2
seja impossível o valor de k deve ser
(A) 1/5.
(B) 1/4.
(C) 1/3.
(D) 4/5.
(E) 5/4.
08. (PUC/RS) - Para que o sistema
09. (UFSM) - O sistema
x-y=2
2x + my = 4
terá uma
única solução
(A) Somente para m ≠ -2.
(B) Somente para m = 4.
(C) Para qualquer número real.
(D) Somente para m = 0.
(E) Para qualquer m ≠ 2.
10. (UFSM) - Considere o sistema de variáveis x e y
2x + y = m
. Pode-se afirmar que
m2x + 2y = 4
(A) se m ≠ 2, o sistema é possível e indeterminado.
(B) se m = 2, o sistema é impossível.
(C) se m ≠ 2 e m ≠ -2, o sistema é possível e
determinado.
(D)se m ≠ -2, o sistema é impossível.
(E) se m = -2, o sistema é possível e indeterminado.
MATEMÁTICA
DETERMINADO
x - y=1
4x + my = 2
é possível e determinado se e somente se
(A) m = 2.
(B) m = 4.
(C) m ≠ -4.
(D) m ≠ 1.
(E) 4m = 1.
11. (UFRGS 97) - O sistema linear
05. (UFRGS) - Dado o sistema
12. (UFRGS) - O conjunto das soluções (x, y, z) do
2x + 4 - z = 0
sistema
é
x -y+z =0
(A) ∅.
(B) {(0; 0; 0)}.
(C) {(0; 2; 2)}.
(D) {(0; t; t) / t ∈ R}.
(E) {(t; 0; t) / t ∈ R}.
Gabarito
01.E
09.A
02.E
10. C
03.B
11. C
04.C
12. D
05.D
06.A
07.A
08.E
CETEC
19
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
8. RAZÃO E PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade entre 2 razões
Calcule P, Q e R
Grandezas
x
y
ou A : B :: C : D
240
48
P
16
25
Q
R
2
Lemos A está para B assim como C está para D.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS
PROPORÇÕES
O PRODUTO DOS EXTREMOS É IGUAL
AO PRODUTO DOS MEIOS
PROBLEMA PROPOSTO:
Uma engrenagem da 950 voltas em 15 minutos.
Quantas voltas dará em 1h e 24 min?
MATEMÁTICA
(EXTREMOS) A . D = B . C (MEIOS)
PROPORÇÃO DIRETA
GRANDEZAS
DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
PROPORÇÃO INVERSA
GRANDEZAS
INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
5 Laranjas custam R$ 35
9 laranjas custarão X
DICA: A regra de três DIreta
Multiplica em DIagonal
12 operários constroem uma casa em 6 semanas.
8 operários, nas mesmas condições, fariam a
mesma casa em:
GRAFICAMENTE
DICA:
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS TÊM
RAZÃO CONSTANTE
....
k
COMPLETE:
N° de operários
2
N° semanas
36
18
6
8
6
EXEMPLO:
As grandezas X e Y são diretamente proporcionais.
20
CETEC
72
Produto
72
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
MATEMÁTICA
GRANZEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS TÊM O SEU
PRODUTO CONSTANTE
x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ... ... ... xn yn = k
EXEMPLO:
As grandezas X e Y são INVERSAMENTE proporcionais. Calcule A e B:
GRANDEZA
GRANDEZA
x
y
24
5
15
A
B
60
PROBLEMAS PROPOSTOS:
1. Um grupo de operários faz uma obra em 9 dias, trabalhando 4 horas dia. Em quanto tempo, o mesmo
grupo faria a mesma obra, trabalhando
5h/dia?
A) 7 dias e meio
B) 7 dias e 2h
C) 7 dias 4h e 48min
D) 7 dias e 1h
E) 7 dias e 12 min
2. Antonio e Gino têm os pesos inversamente proporcionais às idades. Antonio tem 6 anos e 36 kg. Se Gino
tem 9 anos, então seu peso é 54 kg.
( ) certo
( ) errado
( ) Não sei
CETEC
21
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
20 operários constroem 80 metros de muro em 12 dias, trabalhando 10h/dia. Em quanto tempo 30 operários
constroem 90 metros de muro trabalhando 6h/dia?
SOLUÇÃO:
MATEMÁTICA
PROBLEMAS
1. Um carro com tanque cheio pode rodar 8h. Certo
dia, o dono do carro encheu o tanque e partiu em
viagem sem perceber que havia um furo na base
do tanque. Em razão disso, rodou apenas 5h.
Estando o carro parado com o tanque cheio e
supondo que a vazão seja constante, em quanto
tempo o tanque esvazia?
2. 12 pessoas dispõe de viveres para 40 dias. Para
quantos dias dariam os suprimentos se recebessem 4 novos companheiros?
3 Uma viagem de navio foi organizada para que 50
pessoas permanecessem 36 dias no mar. No
entanto, nodia do embarque X novas pessoas se
apresentaram de tal forma que a viagem teve de
ser feita em apenas 20 dias. Qual o número X de
companheiros?
a) 90
b) 72
c) 22
d) 40
e) 122
4.Havia em um acampamento 400 soldados, com
alimentação prevista para 8 meses. Ao partirem
desse acampamento 100 soldados, para quantos
meses a mais durará a alimentação, se cada
soldado restante passar a consumir 2/3 de sua
ração inicial?
a) 16
b) 4
c) 10
d) 8
e) 2
Gabarito
1. 13h e 20min
22
CETEC
5.Uma expedição científica, acampada em um lugar
isolado e composta de um determinado número
de pessoas tinha viveres para 70 dias,que era o
tempo de duração da expedição. Após 38 dias, a
expedição recolheu 20 homens que se encontravam perdidos e, por conseguinte, em virtude dos
alimentos, a expedição foi obrigada a retornar 8
dias de antecedência. De quantos homens se
compunha a expedição primitiva?
6.32 homens constroem 50m de calçada em 28 dias,
trabalhando 7h/dia. Em quanto tempo 48 homens
construirão 90m de calçada trabalhando 8h/dia?
a) 29 dias, 3h e 12 min.
b) 29 dias, e 4h.
c) 29 dias, 9h e 36 min.
d) 29 dias.
7. 20 operários constroem 12m de muro em 8 dias
trabalhando 6h/dia. Em quanto tempo 18 operários construirão 60m de muro trabalhando 10h/
dia sabendo que a capacidade destes operários
é o dobro da capacidade dos anteriores, mas o
grau de dificuldade deste serviço é 20% a mais
que o anterior.
8. e 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8
operarios, trabalhando 6h/dia, o restante da obra
será feito, agora com 6 operarios, trabalhando
10h/dia. Em
A) 7 dias
B) 6 dias
C) 2 dias
D) 4 dias
E) 3 dias
2. 30 dias
3. D 4. D 5. 60 6. A 7. 16 8. C
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
DIVISÃO PROPORCIONAL
Vamos imaginar que temos 120 bombons para distribuir em partes diretamente proporcionais a 3, 4, e 5,
entre 3 pessoas A, B e C, respectivamente.
Portanto:
1a Pessoa - Recebe proporcional a 3 → A = 3 K
MATEMÁTICA
2a Pessoa - Recebe proporcional a 4 → B = 4 K
3a Pessoa - Recebe proporcional a 5 → C = 5 K
Logo:
A + B + C = 120
3 K + 4K + 5K = 120
Achar a constante de proporcionalidade
K=
Logo:
IDÉIA
CENTRAL
K=10
A = 30.
B = 40.
C = 50.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.
2. Dividir o número 810 em parte inversamente proporcionais a
,
e
3. Dividir o número 48 em partes inversamente proporcionais a
,
e
.
DICA:
CETEC
23
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
4. Dividir o número 305 em partes inversamente proporcionais a
,5e
.
DICA:
5. Dividir o número 118 em partes simultaneamente proporcionais a 2, 5, 9 e 6, 4, 3.
MATEMÁTICA
DICA:
6. Dividir o número 148 em partes diretamente proporcionais a 2 6 8 e inversamente
proporcionais a
,
e 0,4.
DICA:
7. Dividir o número 670 em partes inversamente proporcionais simultaneamente a
DICA:
24
CETEC
, 4, 0,3 e 6,
,
.
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
8. Uma herança foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais às suas idades que são
32,38 e 45.
Se o mais novo recebeu R$ 96000, quanto recebeu o mais velho?
DICA:
9. Uma empresa dividiu os lucros entre seus sócios, proporcionalmente a 7 e 11.
Se o 2° sócio recebeu R$ 20.000,00 a mais que o 1° sócio, quanto recebeu cada um?
10. Três sócios formam uma empresa. O sócio A entrou com R$ 2000 e trabalha 8h/dia. O sócio B entrou
com R$ 3000 e trabalha 6h/dia. O sócio C entrou com R$ 5000 e trabalha 4h/dia.
Se, na divisão dos lucros o sócio B recebe R$ 90.000, quanto recebem os demais sócios?
DICA:
MATEMÁTICA
DICA:
PROBLEMAS DE CONCURSOS
1. (Carlos Chagas) Certo mês o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma gratificação
no valor de R$ 500. Essa quantia foi dividida entre eles em partes que eram diretamente proporcionais aos
respectivos números de horas de plantões que cumpriam no mês e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcionais à suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de
plantões e, outro, de 45 anos cumpriu 18 horas, coube ao mais foram receber.
a) R$ 302,50 b) R$ 310,00
c) R$ 312,50
d) 325,00
e) 342,50
2. (Carlos Chagas) Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos elétricos a serem
reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois técnicos dividirem o total de aparelhos entre si, na razão
inversa de seus respectivos tempos de serviço na empresa: 8 anos e 12 anos.
Assim, se a um deles coube 9 aparelhos o total reparados foi:
a) 21 b) 20 c) 18
d) 15 e) 12
CETEC
25
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
EXEMPLO 4
Qual o percentual do bolo que corresponde a x ?
PORCENTAGEM
É a razão entre um determinado número e
Bolo 1
100.
EXEMPLO 1
Bolo 2
1/4
1/3
25% significa 25 em cada 100.
Na forma fracionária : 25/100 que simplificando dá 1/4 e 1/4 na forma decimal
é 0,25.
Assim, saiba que:
1/8
21%
35%
20%
x
1/6
x
Problemas a serem resolvidos mentalmente
MATEMÁTICA
PERCENTAGEM FRACIONARIA DECIMAL
50%
25%
75%
50/100 = 1/2
25/100 = 1/4
75/100 = 3/4
0,5
0,25
0,75
20%
10%
20/100 = 1/5
10/100 = 1/10
0,2
0,1
EXEMPLO 2
A) Passe para a forma decimal e fracionária:
1) 30%
2) 80%
3) 45%
4) 5%
B) Passe para a forma percentual e fracionária:
1) 0,4
2) 0,65
3) 0,125
4) 0,02
5) 0,015
6) 0,75
EXEMPLO 3
Em uma mistura, colocamos 4 partes de areia
e 1 parte de cimento. Podemos dizer que a proporção de cimento da mistura á de:
Uma parte sobre um total de cinco partes da
mistura ou seja, 1/5.
E na forma PERCENTUAL, a percentagem
de cimento na mistura é 1/5 = 20/100 ou 20%.
Podemos também afirmar que a porcentagem da areia é ......................................... .
26
CETEC
São aqueles que envolvem 10%, 25%, 50%,
etc...
Determine:
A) Os 10% de 850 47 12,5 (tira um zero ou
corre a virgula e casa para a esquerda).
B) Os 50% de 500 2 (metade).
C) Os 25% de 200 (quarta parte)
D) Os 5% de 540 (calculamos os 10% e dividimos por 2)
E) Os 75% de 240 (calculamos a 1/4 parte e
multiplicamos por 3)
PORCENTAGEM QUALQUER
Fazemos uma regra de três direta ou passamos da forma fracionária para a forma decimal e
daí para a porcentagem e vice-versa.
EXEMPLO 1
De 70 tiros dados por um caçador , 42 atingiram o alvo. Qual a porcentagem do acerto?
SOLUÇÃO:
42 = 0,6 = 60%
70
ou
______
70
100%
42 ______ x
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
EXEMPLO 2
Determinar 7% de 250.
250 ______100%
x = 7 x 250 = 17,5
______
x
7%
100
Exemplo 1
Um círculo A tem área 1,25 vezes maior que
um círculo B. Podemos dizer que o círculo A é 25%
maior que o círculo B.
REGRA DO BALCONISTA
CUIDADO: o círculo B não é 25% menor que
o círculo A !
(Todo o bom vendedor SABE!)
É aquela que com uma única conta chega
diretamente ao novo número.
Veja: A proporção é
CÍRCULO A = 125 = 1,25
CÍRCULO B 100
ACRÉSCIMO (Direto)
it = percentagem de acréscimo
ou desconto
20% sobre X 100% sobre P 5% sobre X
100 + 20 = 1,2 100 + 100 = 2 100 + 5 = 1,05
100
100
100
1,2 X
2P
1,05 X
Número que multiplica X é maior que 1 =
Acréscimo sobre X
DESCONTO (Direto)
100 - it 10% sobre X
100
100 - 10 = 0,9
100
Multiplicar por 0,9 equivale a um desconto de
10%
40% sobre N
100 - 40 = 0,6
100
0,6 N
92% sobre K
100 - 92 = 0,08
100
0,08 K
Número que multiplica X é menor que 1 = Desconto sobre X
Mas CÍRCULO B = 100 = 0,8
CÍRCULO A 125
O círculo B é 0,8 vezes o círculo A. Portanto
o tamanho do círculo B é o tamanho do círculo A
descontado de 20%. B é 20% menor do que A.
Exemplo 2
Um preço P sofre um desconto de 22%. Podemos dizer que o novo preço é:
a) 78P
b) 122P
c) P - 22
d) 0,22P
e) 0,78P
MATEMÁTICA
100 + it
100
Círculo A é 1,25 vezes B, o acréscimo é de
25% sobre B ou 25% maior que B.
Exemplo 3
Se um número x é multiplicado por 1,3 e um
número y é multiplicado por 0,6 podemos afirmar
que:
x sofreu um acréscimo de 30%
y sofreu um desconto de 40%
Confira pela Regra do Balconista.
Atenção
Acréscimo de 100% Þ o valor fica 2 vezes
maior.
Acréscimo de 200% Þ o valor fica 3 vezes
maior.
Acréscimo de 300% Þ o valor fica 4 vezes
maior.
CETEC
27
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
PORCENTAGEM
01. Identifique a porcentagem de acréscimo ou desconto sobre x:
a) 1,12.x =
b) 0,74.x =
c) 1,08.x =
d) 0,08.x =
e) 1,005.x =
f) 0,85.x =
g) 1,4.x =
h) 0,6.x =
02. 20% elevado ao quadrado é igual a:
MATEMÁTICA
a) 40%
c) 4%
b) 400%
d) 0,4%
03. Um quadrado de lado l , tem área A. Se aumentarmos de 20% o comprimento do lado l, sua área
passará a ser:
a) 20A
b) 1,2A
c) 400A
d) 4A
e) 1,44A
04. Um quadrado de lado l tem área A. Se aumentarmos 10% o comprimento de cada lado, a nova
área aumentará:
a) 40%
b) 20%
c) 21%
d) 10%
e) 100%
05.Qual o número que diminuído de seus 40% vale
720?
06. Qual a quantia que aumentada de 20% produz
480?
07. Aproveitando uma promoção que concedia 27%
de desconto para o pagamento à vista de um
produto, paguei $ 5986. Qual o preço original?
08.Sobre uma fatura de $ 5800, se concede o abatimento de $ 145. Qual a porcentagem do abatimento?
09.Uma fatura sofreu um abatimento de 5% e produziu o líquido de $ 25.555. De quanto era a fatura?
10. Em uma firma 25% são contratados e os 180
funcionários restantes são efetivos. Qual o total
de funcionários da firma?
11. Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de
gasolina. Qual a porcentagem de gasolina na
mistura?
12. De um total de 60 questões, Carlos acertou 42.
Qual a porcentagem de erro?
28
CETEC
13. Um operário A reboca 12m2 e seu serviço é 1/4 maior
do que seu colega B. Quanto reboca B?
a) 16 m2
b) 15 m2
c) 8 m2
2
d) 9 m
e) 9,6 m2
14. Um operário A constrói 12 m2 de muro e seu
colega B constrói 1/4 a menos do que A. Quanto
constrói B?
a) 3/4 m2
b) 9 m2
c) 8 m2 d) 9,6 m2
15. Se o salário de Pedro é 3/4 do salário de João,
podemos afirmar que:
a) O salário de João é 25% maior que o de Pedro.
b) O salário de João é 75% maior que o de Pedro.
c) O salário de Pedro é 75% maior que o de João.
1
d) O salário de João é 33 % maior que o de
3
Pedro.
e) O salário de João é 1/4 maior que o de Pedro.
16. Se a razão entre o valor bruto e líquido de certo
salário é de 6/5. O valor descontado representa
que fração do salário líquido?
a) 1/5
b) 1/6 c) 2/5
d) 2/6 e) 5/6
17. A razão entre o salário líquido e bruto do Dr.
Carlos é 5/8. O valor descontado representa que
fração do salário líquido?
a) 3/8
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/5 e) 1/3
18. Três operários tem seus salários relacionados da
seguinte forma:
A ganha 20% a mais que B e C ganha 30% a
mais do que A. Se juntos ganham $ 13.912, o
salário de A, B e C é respectivamente:
a) $3760 , $4512 , $5865,60
b) $4512 , $3760 , $5865,60
c) $3700 , $4440 , $5772
d) $4440 , $3700 , $5772
e) $3600 , $3000 , $4680
19. Quatro operários tem seus salários relacionados
da seguinte forma: Carlos ganha 12% a mais que
João. Antônio ganha 20% a mais que Carlos e
Paulo ganha 10% a menos que Carlos. Se juntos
ganham $ 22.360, qual o salário de cada um?
20. Ao afirmarmos que um produto A é 25% mais
caro que um produto B, podemos afirmar:
a) B é 25% mais barato que A.
b) B é 1/4 mais barato que A.
c) A é 1/5 mais caro que B.
d) B é 20% mais barato que A.
e) A é 20% mais caro que B.
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
22. A razão entre o valor previsto e o valor arrecadado em um evento é 1,25. Podemos afirmar que:
a) A arrecadação ultrapassou a previsão e 25%.
b) A arrecadação ultrapassou a previsão e 2,5%.
c) A arrecadação foi 25% inferior a previsão.
d) A arrecadação foi 20% a menos que o previsto.
e) A arrecadação foi 0,25% menor que a previsão.
23. A razão entre despesa e receita de um evento
é 0,8. Podemos afirmar que:
a) Houve lucro de 25% em relação à despesa.
b) Houve prejuízo de 20% em relação à receita.
c) Houve lucro de 20% em relação a despesa.
d) Houve prejuízo de 25% em relação a receita.
e) Houve lucro de 80%.
24. O salário de João é 40% do salário de Margarida.
Podemos afirmar que:
a) O salário de Margarida é 60% maior que o de
João.
b) O salário de Margarida é 2/3 maior que o de
João.
c) O salário de Margarida é 150% maior que o de
João.
d) O salário do João é 2/3 do salário de Margarida.
e) O salário de Margarida é 3/2 do salário de
João.
29. Em abril, um produto custa X. Em maio sofre um
acréscimo de 25%. No entanto, no “Dia das
Mães”, sofre uma promoção especial com desconto de 10%. Se uma pessoa paga no “Dia das
Mães”, $ 23.625, podemos afirmar que o preço
em abril era de :
a) $ 19.490
d) $ 20.000
b) $ 20.790
e) $ 21.000
c) $ 17.180
30. Um preço é majorado de $ 1200 para $ 1416. Qual
a porcentagem de acréscimo?
31. Uma mercadoria tem seu preço P, aumentado em
60%. Para que a mercadoria volte a custar P,
deve-se descontar do novo preço:
a) 30%
b) 37,5%
c) 40%
d) 60%
e) 62,5%
32. O disco abaixo está dividido em cinco setores
circulares. Os números no interior dos setores
indicam a medida da área em cm2 de cada um
deles.
27. Cristina comprou um produto e obteve desconto
de 30%, pagando $ 588. Qual era o preço
original?
28. Teresa compra um produto ganhando um desconto de 20% e mais 5% sobre o preço já descontado. Se pagou $ 1216, qual o preço original?
6
3
4
1
Em relação à área total do disco, as áreas do
maior e do menor setor circular correspon-dem,
respectivamente a:
a) 60% e 10%
b) 37,5% e 6,25%
c) 62,5% e 3,75% d) 60% e 6%
e) 66% e 10%
GABARITO
01.
25. A quanto correspondem 2 acréscimos sucessivos
de 10% e 20%?
26. A quanto correspondem 2 descontos sucessivos
de 20% e 30%?
2
MATEMÁTICA
21. Uma mercadoria é majorada em 40%. Um
cliente, alegando ter vindo no dia anterior, é
beneficiado com um desconto de 30% sobre o
novo preço. Então, em relação ao preço do dia
anterior, o comerciante ainda obteve:
a) lucro de 10%
b) prejuízo de 30%
c) lucro de 40%
d) lucro de 8%
e) prejuízo de 2%
02.
06.
10.
14.
18.
A) Acréscimo de 12%
B) Desconto de 26%
C) Acréscimo de 8%
D) Desconto de 92%
E) Acréscimo de 0,5%
C
400
240
B
D
03. E
04. C
05. 1200
07. $ 8200 08. 2,5% 09. $ 26900
11. 40%
12. 30%
13. E
15. D
16. A
17. D
19. João = $ 5000
Carlos = $ 5600
Antonio = $ 6720 Paulo = $ 5040
20. D
21. E
22. D
23. A
24. C
25. 32%
26. 44%
27. $ 840
28. $ 1600 29. E ( $ 21000)
30. 18%
31. B
32. B
CETEC
29
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
LUCRO E PREJUÍZO
PV > PC
Lucro (Exemplo 20%)
1. LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
PC = 100%
PV = 120%
2. LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
MATEMÁTICA
PV = 100%
PC = 80%
PV < PC
Prejuízo (Exemplo 15%)
1. PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
PC = 100%
PV = 85%
2. PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
PV = 100%
PC = 115%
EXEMPLOS BÁSICOS
1A. Uma mercadoria foi vendida por $ 52, com
lucro de 30%, sobre o PC. Qual o preço do
custo?
1B. Uma mercadoria foi vendida com lucro de
20% sobre o PV. Se foi comprada por $ 40,
qual o PV?
2A. Uma mercadoria foi vendida por $ 54, com
prejuízo de 10% sobre o PC. Qual o PC?
Problemas de Lucro, Prejuízo e Impostos
01. Uma mercadoria foi vendida por $432 com lucro
de 20% sobre o preço de custo. Qual o preço de
custo?
02. Uma mercadoria foi vendida com lucro de 30%
sobre o preço de venda. Se foi comprada por $56,
qual o PV?
03. Uma mercadoria foi vendido por $480 com o
prejuízo de 25% sobre o PC. Qual o preço de
custo?
04. Um produto foi vendo com prejuízo de 12% sobre
o preço de venda. Se o PC é $1344, qual é o PV?
05. Um comerciante compra uma mercadoria por X.
Se ele a vende com um lucro de 25% sobre o PC,
podemos afirmar que o preço de venda é:
a) 25X
d) 1,25X
b) 125X
e) 2,5X
c) 0,25X
06. O preço de venda de uma mercadoria é PV.
Porém na promoção, há um desconto de 15%. O
comprador pagará:
a) 15PV
d) 85PV
b) 1,15PV
e) 0,85PV
c) 0,15PV
07. Uma mercadoria foi vendida por $ 83.776 com um
lucro de 12% sobre o preço de custo. Qual o PC?
08. Uma mercadoria foi vendida com o prejuízo de
9% sobre o PV. Se o preço de custo é $4905, qual
o PV?
09. Um produto foi vendido com lucro de 40% sobre
o PV. Se foi comprado por $840, qual o preço de
venda?
10. Um produto foi vendido por $ 68.875 com prejuízo
de 5% sobre o PC. Qual o PC?
2B. Uma mercadoria foi vendida com prejuízo de
20% sobre o PV. Se o PC é $ 60, qual o PV?
GABARITO
30
CETEC
01. $ 360
02. $ 80
03. $ 640
04. $ 1200
07. $ 74800
10. $ 72500
05. D
08. $ 4500
06. E
09. $ 1400
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
MATEMÁTICA FINACEIRA
Existe uma relação entre a forma PERCENTUAL e as formas DECIMAL ou FRACIONÁRIA. Veja:
Quando dizemos
Também, podemos dizer
Ou ainda
3/5
0,6
60%
do CAPITAL.
do CAPITAL.
do CAPITAL.
Observe ainda que “do” em português é “vezes” (multiplicação) em “matematiquês”.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
CONCEITOS BÁSICOS
ou
Veja que 0,6 = 0,60
CETEC
31
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Com base nessas informações, complete o quadro abaixo:
“Regra do Balconista”
Vamos imaginar que um produto custa P.
Se eu pagar 100% do preço P estou pagando o preço pleno.
Se pagar 80% do preço P, estou pagando 20% MENOS que o preço normal P.
Se pagar 130% do preço PM estou pagando com acréscimo ou com ÁGIO de 30%.
Como fazemos um acréscimo de 23%?
Pagando 100% do P e MAIS 23% do P.
Portanto pagarei 123% do PREÇO.
F Traduzindo para “matematiquês”
123%
1,23
32
CETEC
DO
.
PREÇO
P
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Assim, quando temos 1, 36 . P a TRADUÇÃO é 136% do PREÇO e concluímos que há um ACRÉSCIMO de 36% (porque o ACRÉSCIMO É O QUE PASSA DE 100%)
Tradução
108% do Preço
Tradução
1,08 P
104,5% do Preço
Conclusão
Conclusão
8% de Acréscimo
4,5% de Acréscimo
Tradução
Tradução
120% do Preço
110% do Preço
1,2 P
1,1 P
Conclusão
Conclusão
20% de Acréscimo
10% de Acréscimo
Tradução
Tradução
458% do Preço
300% do Preço
4,58 P
3P
ATENÇÃO!!!
Conclusão
Conclusão
358% de Acréscimo
200% de Acréscimo
Tradução
Tradução
1500% do Preço
200% do Preço
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1,045 P
2P
15 P
Conclusão
Conclusão
100% de Acréscimo
1400% de Acréscimo
Se um produto custa P e ganhei um desconto de 15%, pagarei apenas 85% do PREÇO.
Assim, 0,85.P significa que estou pagando 85% do PREÇO e DEIXANDO DE PAGAR os 15% que
FALTAM PARA COMPLETAR 100%.
Tradução
pago 70% do Preço
Tradução
pago 94% do Preço
0,7 P
0,94 P
Conclusão
Conclusão
6% de Desconto (não pago)
não pago 30% = Desconto 30%
CETEC
33
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Tradução
pago 80% do Preço
Tradução
pago 90% do Preço
0,8 P
0,9 P
Conclusão
20% de Desconto (não pago)
Conclusão
10% de Desconto (não pago)
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tradução
pago 87,5% do Preço
0,875 P
Conclusão
12,5% de Desconto (não pago)
Uma fatura é paga com 8% de acréscimo devido ao atraso. Se o valor pago foi R$ 3.510, qual o preço
normal?
Paguei 108% de Preço ou seja R$ 3.510. Assim
108% do PREÇO = 3510
1,08
.
P
= 3510
P = 3510
1,08
Um produto custa P. A vista, há um desconto de 27%. Um cliente que compra a vista, paga R$ 5.986.
Qual o preço P?
Se há um desconto de 27% o cliente paga 73% do PREÇO.
Assim, 73% do PREÇO É R$ 5.986
0,73 .
P
=
P = 5986/0,73
34
CETEC
5.986
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Em janeiro, um produto custa X. Em fevereiro, há um acréscimo de 30%.
Em março há novo aumento, desta vez de 40% sobre o preço vigente.
JANEIRO
FEVEREIRO
MARÇO
X
1,3 . X
1,4 . (1,3X) = 1,82 .X
Tradução: 182% de X
Conclusão: 82% de Acréscimo.
Um produto custa P. Concede-se um desconto de 20% sobre o preço P e em seguida novo desconto. Se o
novo desconto é de 10% sobre o preço já descontado, qual o DESCONTO TOTAL em relação ao preço P?
PREÇO NORMAL
P
PREÇO APÓS DESCONTO DE 20%
0,8 . P
PREÇO APÓS NOVO DESCONTO
0,9 . (0,8 . P) = 0,72 P
Tradução: 72% de P
Conclusão: 28% de Desconto.
Se um produto custa R$ 2.536 e passa a custar R$ 3.170, qual o ACRÉSCIMO ocorrido?
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Podemos afirmar que esses dois ACRÉSCIMOS correspondem a um ACRÉSCIMO acumulado de____
Basta dividir o NOVO PREÇO pelo PREÇO ANTIGO e INTERPRETAR o resultado.
NOVO PREÇO (Grande)
=
ANTIGO PREÇO (Pequeno)
3170 = 1,25
2536
Tradução: 125%
Conclusão: 25% de Acréscimo.
(Lembre que o Acréscimo é
o que passa de 100%)
Um produto custa R$ 1.200 e é vendido por R$ 900. Qual o percentual de DESCONTO ocorrido?
Basta fazer PREÇO COM DESCONTO (Pequeno) e interpretar o resultado.
PREÇO NORMAL (Grande)
PEQUENO = 900 = 0,75
GRANDE
1200
Tradução: pagou 75% do PREÇO
Conclusão: 25% de Desconto.
CETEC
35
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
JUROS SIMPLES
Um capital aplicado a 10% ao mês rende em 3 meses:
10% a m x 3 meses = 30%
Os juros produzidos corresponderão a 30% do capital. Assim:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
J = C x 30
100
. .
J=C i t
100
ou
J = Juros
C = Capital ($)
i = taxa (% ao ano, ao mês, ao dia)
t = tempo ( anos, meses, dias)
EXEMPLO:
A) i = 4% a.a. e t = 2 anos
B) i = 5% a.m. e t = 3 meses
C) 1,2% a.d.
e t = 45 dias
MONTANTE = CAPITAL + JUROS
ou seja,
M=C+J
A idéia central é achar o it, colocando ambos em unidades de tempo iguais.
EXEMPLO:
Determine os juros e o montante no final de 60 dias de um capital de $ 2000 que foi aplicada uma
taxa de 36% a.a.
SOLUÇÃO:
A primeira preocupação é colocar i e t em unidades de tempo iguais:
60 dias = 2 meses (dividindo pelo número de dias de um mês)
36% a.a. = 3% a.m. (dividindo por 12 meses)
i . t = 2 meses x 3% a.m. = 6%
ACHAMOS o it
Isto significa que os juros corresponderão a 6% do total e pode ser resolvido por regra de três ou
direto pela fórmula.
CAPITAL ———→ 100%
JUROS ————→ 6%
ou
. .
.
J = C i t = 2000 6%
100
100
e o MONTANTE: M = 2000 + 120 = $ 2120
JUROS: j = $120
O montante também pode ser alcançado diretamente dando um acréscimo de it% sobre o capital.
Assim:
36
CETEC
+
C . (100 it) = M
100
“a expressão no parênteses é a regra do balconista”
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Mas, se há dificuldade em deixar o i e t na mesma unidade de tempo, podemos usar as seguintes
fórmulas:
→ A UNIDADE DE TEMPO
→ A UNIDADE DE TEMPO
NA TAXA É MAIOR
NA TAXA É MENOR
. .
J=C i t
1200
i = % a.a.
t = meses
. . .
J = C i t 12
100
. .
J=C i t
36000
i = % a.a.
t = dias
. . .
J = C i t 360 i = % a.d.
100
t = anos
. .
J=C i t
3000
i = a.m.
t = dias
. . .
J = C i t 30
100
i = % a.d.
t = meses
OBSERVE QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA:
1 MÊS = 30 DIAS
1 ANO = 360 DIAS
EXEMPLOS:
1. Quais os juros produzidos por um capital de $ 5000 aplicado a uma taxa de 6% ao ano durante 3,6
meses?
. .
. .
Solução:
J=C i t
J = 5000 6 3,6 = $ 90
1200
1200
2. Quais os juros produzidos por um capital de % 1800 aplicado à taxa de 9% a.a. durante 50 dias?
Solução:
. .
J=C i t
36000
. .
J = 1800 9 50 = $ 22,50
36000
3. Determine o capital aplicado à taxa de 7% a.m., que em doze dias rende $ 252 de juros.
Solução: Usando a fórmula J = C . i . t , e colocando cada informação no seu devido lugar:
3000
J = $ 252
. .
t = 12 dias
assim: 252 = C 7 12
3000
i = 7% ao ano
MATEMÁTICA FINANCEIRA
i = % a.m.
t = anos
252 . 3000 = C . 7 . 12
.
C = 252 . 3000 = $ 9000
7 12
4. Determine os juros produzidos por um capital de $ 10000 aplicado a 5% ao mês durante 2,4 ano,
sobre juros simples.
Solução por FÓRMULA:
. . .
J = C i t 12
100
. .
.
J = 10000 5 2,4 12 = $ 14400
100
Solução RACIOCINADA:
Vamos tentar padronizar o it:
5% ao mês = 60% ao ano (5 × 12meses)
it = 60% a.a. × 2,4 anos = 144% (utilizando unidades de tempo iguais)
.
J = 10000 144 = $ 14400
100
CETEC
37
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
5. Determine o capital que aplicado a 2% ao dia, produz $ 72000 em 0,2 anos.
Solução:
. . .
J = C i t 360
100
MATEMÁTICA FINANCEIRA
. .
.
72000 = C 2 0,2 360 ;
100
. 100
C = 7200
= $ 50000
.
2 0,2 . 360
6. Quais os juros produzidos por um capital de $ 4000 aplicado durante 6,2 meses a uma taxa de 0,5%
ao dia?
.
.
.
Solução: J = C . i . t . 30
J = 4000 6,2 0,5 30 = $ 3720
100
100
DETERMINAÇÃO DA TAXA OU DO TEMPO
Usando a Fórmula:
J = C . i . t e a unidade de tempo da taxa surgirá na mesma unidade de
100
tempo e vice-versa.
EXEMPLO 1:
Determine a taxa de aplicação de um capital de $ 6000 que rendeu $ 3000 em 6,25 anos.
. .
3000 = 6000 i 6,25
100
.
i = 3000 . 100
6000 6,25
i = 8% ao ano
EXEMPLO 2:
Determine o tempo da aplicação de uma capital de $21000 que rende $2520 a uma taxa de 3% ao
mês sob forma de juros simples.
. .
2520 = 21000 3 t
100
.
t = 2520 100
21000 . 3
t = 4 ao mês
MONTANTE
EXEMPLO 1:
Determine o montante após 6 meses de aplicação de um capital de $4000, aplicado a 3% ao mês,
sob forma de juros simples.
Achamos it: 6 meses × 3% ao mês = 18%, logo:
BASTA DAR UM ACRÉSCIMO DE 18% SOBRE O CAPITAL
M = 4000 . 1,18 →
M = $4720
EXEMPLO 2:
Qual o capital que aplicado a 5% ao ano, sob juros simples, atinge o montante de $65000 em 6
anos?
Basta armar uma equação de 1º grau, com acréscimo de it = 30% (5% a.a. em 6 anos sobre o
capital)
MONTANTE = 1,3 × CAPITAL
1,3 . C = 65000
C = 65000 = $50000
1,3
38
CETEC
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
EXEMPLO 3:
Determine o capital que aplicado a 5% ao ano, durante 10 meses, produz o montante de $5000.
Quando o “it” for fracionário, é preferível substituir na fórmula geral. VEJA:
.
Pela regra do balconista,
M = C (100 + it)
100
ficaria complicado, assim é mais fácil usar a fórmula dos juros, substituindo juros por (M – C).
M = $5000
t = 10 meses
i = 5% a.a.
. .
. .
J = C i t = M - C = C i t , então:
1200
1200
. .
5000 - C = C 5 10
1200
6000000 - 1200C = 50C
6000000 = 1250C
C = $4800
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
1. UNIDADES DE TEMPO
1.1 - Passe para meses:
a) 120 dias:
e) 100 dias:
i) 63 dias:
b) 2 anos:
f) 2,4 anos:
j) 0,2 anos:
c) 135 dias:
g) 72 dias:
k) 80 dias:
d) 2,5 anos:
h) 1,8 anos:
l) 1,6 anos:
1.2 - Passe para anos:
a) 180 dias:
e) 36 dias:
i) 72 dias:
b) 3 meses:
f) 4 meses:
j) 3,6 meses:
c) 900 dias:
g) 200 dias:
k) 60 dias:
d) 18 meses:
h) 5 meses:
l) 1,5 meses:
1.3 - Passe para dias:
a) 6 meses:
e) 3,6 meses:
b) 1,2 anos:
f) 3,6 anos:
c) 4,8 meses:
g) 1,4 meses:
d) 2,4 anos:
h) 1,5 anos:
2.1 - Passe para % ao ano:
a) 2% ao dia:
b) 20% ao mês:
e) 5/6 % ao mês:
f) 1/24% ao dia:
c) 1/4% ao dia:
g) 0,666... % ao mês:
d) 0,5% ao mês:
2.2 - Passe para % ao mês:
a) 24% a.. a.:
b) 3% ao dia:
e) 0,333... % ao dia:
f) 2/3% ao dia:
c) 4,8% a.a.:
g) 6% a.. a.:
d) 1,5% ao dia:
h) 1,2% a.a.:
2.3 - Passe para % ao dia:
a) 36% ao mês:
b) 6% ao mês:
c) 8% ao mês:
d) 60% a.a.:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
DADOS:
2. UNIDADES DE TAXA
CETEC
39
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
PROBLEMAS DE JUROS
01. Determine os juros e o montante de um capital
de $8000 aplicado sob forma de juros simples a
um taxa de 6% ao mês, durante 4 meses:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
02. Determine o capital que aplicado a 4,5% a.a.
rende em 6 meses $5400 de juros.
03. Qual a taxa de aplicação a juros simples de um
capital de $12000 que em 5 meses rendeu $2100
de juros?
04. Achar o tempo que permaneceu aplicado um
capital de $15000, sabendo que rendeu $3000 de
juros a uma taxa de 6% ao mês.
(A) 3 meses e 10 dias
(B) 3 meses e 3 dias
(C) 20 meses
(D) 2 meses
(E) 3,2 meses
05. Qual o capital que aplicado a 5% a.a. durante 6
meses, produz o montante de $6970?
06. Qual o capital que aplicado a taxa de 7% ao mês
produz o montante de $5070 em 8 meses de juros
simples?
07. Determine o capital que aplicado a taxa de 7%
a.a. produz o montante de $3070 após 4 meses:
08. Determine o montante produzido por um capital
de $5000 aplicado a 8% a.a. durante 3 meses.
09. Qual o capital que aplicado a 10% a.a. durante 2
anos produz o montante de $3096?
10. Qual a taxa de aplicação de um de um capital de
$36000 que rende $1620, em 18 meses?
11. O capital que investido hoje a juros simples de
12% a.a., se elevará a $1296 no fim de 8 meses,
é de:
(A) $ 1100
(B) $1000
(C) $1392
(D) $1200
(E) $1399,68
12. Quanto se deve aplicar a 12% ao mês para que
obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por $400 000 emprestados a 15% ao mês,
durante o mesmo período?
(A) $420 000
(B) $450 000
(C) $480 000
(D) $520 000
(E) $500 000
13. Um capital C foi aplicado a 5% a.a. durante 4
anos. Qual a taxa que deve ter um capital de 2C
para render os mesmos juros simples em 6 anos
e 3 meses?
40
CETEC
14. Dispomos de um capital de %500000 aplicados a
uma taxa de 20% ao mês sob a forma de juros
simples. Imaginemos 3 situações independentes:
(A) Após n meses o titular da conta retirou a
quantia de (n x $120000) e observou que o
saldo que ficou atingiu a 80% do capital inicial. Podemos afirmar que o valor de n é:
(B) Após k meses o titular retirou (k x $80000)
e verificou que o saldo deixado atingiu a 120%
do capital inicial. Qual o valor de k?
(C) Após m meses o titular retirou (m x $40000)
e verificou que o saldo que ficou atingiu 220%
do capital inicial. Calcule m?
15. Em quanto tempo um capital aplicado a taxa de
1,25% ao mês rende 3/8 de si mesmo?
16. Há 4 anos atrás, um capital de $200000 foi aplicado a taxa de 20%a.a. Se aplicarmos hoje um
capital de $240000 à taxa de 25% a.a. após
quantos anos, a contar de agora, os dois capitais
terão produzido juros iguais? E após quantos anos
os dois montantes serão iguais?
17. Um capital com juros correspondentes a 3 meses eleva-se ao montante de $24780. O mesmo
capital com juros correspondentes a 7 meses eleva-se a $29820. Determine o capital e a taxa anual.
18. Um capital de $50000 é aplicado a uma taxa de
10% ao mês durante 3 meses. Então, retira-se
tudo e reaplica-se o montante em outro banco a
uma taxa de 12% ao mês durante 4 meses. Qual
o montante no final da operação? De quanto deveria ser a taxa para que o capital atingisse o
mesmo montante rendendo juros simples durante
os 7 meses no mesmo banco?
19. Um certo capital foi aplicado a juros simples.
Depois de 10 meses, o extrato de conta revela
um montante X. 6 meses depois de observar o
extrato pela primeira vez, tira-se novo extrato e
verifica-se que o montante aumentou 10% em
relação ao primeiro extrato. Se o segundo extrato, após 16 meses do depósito inicial, revela um
montante de $66000, determine:
(A) o montante X:
(B) o capital inicial:
(C) a taxa de aplicação:
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
21. Um certo capital é aplicado a uma taxa de juros
simples de 8% a.a. durante 3 anos. Depois disso
pega-se o capital e os juros e aplica-se tudo em
outro banco durante 2 anos a uma taxa simples
de 12,5% a.a. Se no final dos 5 anos o montante
ascende a $31000, determine:
(A) o capital inicial:
(B) qual teria sido a taxa de juros simples para
que esse mesmo capital rendesse a mesma
coisa nesses 5 anos estando sempre no mesmo banco?
22. Um capital é aplicado durante 6 meses a uma
taxa de 10% a.m. e a partir daí recebe 20% ao
mês durante 2 meses, sobre o mesmo capital inicial. A taxa média mensal de aplicação durante
os 8 meses é de:
(A) 15%
(B) 12,5%
(C) 10%
(D) 8%
(E) 16%
23. (TTN/85) Um capital de Cr$ 14.400 aplicado a
22% ao ano rendeu CR$ 880 de juros. Durante
quanto tempo esteve empregado?
(A) 3 meses e 3 dias
(B) 3 meses e 8 dias
(C) 2 meses e 28 dias
(D) 3 meses e 10 dias
(E) 27 dias
24. (TTN/92) Quanto de deve aplicar a 12% ao mês,
para que se obtenha os mesmos juros simples que
os produzidos por Cr$ 400.000,00 emprestados a
15% ao mês, durante o mesmo período?
(A) Cr$ 420.000,00
(B) Cr$ 450.000,00
(C) Cr$ 480.000,00
(D) Cr$ 520.000,00
(E) Cr$ 500.000,00
26. (TTN/94) Mário aplicou suas economias, a juros
simples comerciais, em um banco, a juros de 15%
ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou o
montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20% ao ano,
sob mesmo regime de capitalização. Admitindose que os juros das 3 aplicações somaram R$
18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação
era de R$?
(A) 11.200,00
(B) 13.200,00 (C) 13.500,00
(D) 12.700,00
(E) 12.400,00
27. (AFTN/85) João colocou metade de seu capital
a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicações, os
montantes eram de Cr$ 147.000 e Cr$ 108.000,
respectivamente, o capital inicial do capitalista era
de:
(A) Cr$ 50.000
(B) Cr$ 60.000
(C) Cr$ 70.000
(D) Cr$ 80.000
(E) Cr$ 200.000
Gabarito
01. J = 1.920 M = 9.920
02. $240.000
03.3,5% ao mês
04. A
05. $6.800
06. $3.250
07. $ 3.000 08. $5.100
09. $2.580
10. 0,25% ao mês
11. D
12. E
MATEMÁTICA FINANCEIRA
20. Um certo capital é aplicado a uma taxa de 5%
ao mês durante 6 meses, rendendo juros simples.
Então, retira-se tudo e aplica-se todo o montante
em outro banco a uma taxa de 6% ao mês durante 6 meses. Se, no final desses 12 meses o montante obtido foi de $76908, determine o capital
inicial.
13. 1,6% a.a.
14. A) n=5 meses B) k=5 meses C) m=10 meses
15. 30 meses
16.Juros iguais em 8 anos; Montantes= em 6 anos
17. C = 21.000 i = 6% a.mês
25. (TTN/92) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25%a.a., durante 4 anos; o segundo a 24%a.a., durante 3 anos e 6 meses e o
terceiro a 20%a.a., durante 2 anos e 4 meses.
Juntos renderam um juro de Cr$ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor
do terceiro capital é de:
(A) Cr$ 30.210,00
(B) Cr$ 10.070,00
(C) Cr$ 15.105,00
(D) Cr$ 20.140,00
(E) Cr$ 5.035,00
18. M = 96.200 i = 13,2% a.m.
19. A) M X = 60.000
C) i = 2% a.mês
B) C = 50.000
20. $43.500
21. A) C = 20.000
B) i = 11%a.a.
22. B
23. D
24. E
25. A
26. E
27. D
CETEC
41
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
Testes – Capitalização Composta
MATEMÁTICA FINANCEIRA
01. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o
montante de:
a) R$ 10.358,00
b) R$ 10.368,00
c) R$ 10.378,00
d) R$ 10.388,00
02. (Metro-Técnico em Contabilidade -2°G
-IDR-94) - Um investidor aplicou a quantia de
R$ 20.000,00 a taxa de juros compostos de
10% a.m. Que montante este capital ire gerar
após 3 meses?
a) R$ 26.420,00
b) R$ 26.520,00
c) R$ 26.620,00
d) R$ 26.720,00
03. (Metro-Assistente Administrativo- 2°G- IDR94)
- Um capital de US$ 2.000,00, aplicado a taxa
racional composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de quantos dólares? Dado:
(1,05)12= 1,79586.
a) US$ 3.291,72
b) US$ 3.391,72
c) US$ 3.491,72
d) US$ 3.591,72
04. (ESAF) - A aplicação de um capital de Cz$
10.000,00, no regime de juros compostos, pelo
período de três meses, a uma taxa de 10% ao
mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
a) de Cz$ 3.000,00;
b) de Cz$ 13.000,00;
c) inferior a Cz$ 13.000,00;
d) superior a Cz$ 13.000,00;
e) menor do que aquele que seria obtido pelo
regime de juros simples.
42
CETEC
05. (ESAF) - Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10%
ao ano, seu montante final e:
a) 30% superior ao capital inicial;
b) 130% do valor do capital inicial;
c) aproximadamente 150% do capital ini-cial;
d) aproximadamente 133% do capital inicial.
06. (TCDF-Analista de Finanças e Controle
Externo-Superior-IDR/94) - Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 a taxa de
juros compostos de 10% a.m. Que montante
este capital ire gerar após 4 meses?
a) CR$ 140.410,00
b) CR$ 142.410,00
c) CR$ 144.410,00
d) CR$ 146.410,00
07. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A caderneta de poupança remunera seus aplicadores a
taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual e o
valor do juro obtido pelo capital de R$
80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
08. (TCDF-Analista de Finanças e Controle
Externo-Superior-IDR/94) - No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, alem da correção monetária, juros compostos a taxa nominal
de 6% a.a., com capitalização mensal. A taxa
efetiva bimestral e então de:
a) 1,00025% a.b.
b) 1,0025 % a.b.
c) 1,025% a.b.
d) 1,25 % a.b.
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
a) 20%
b) 21 %
c) 22%
d) 23%
e) 24%
10. (ESAF) - Se, para um mesmo capital, aplicado
durante qualquer período de tempo major do
que zero e a uma certa taxa, chamarmos:
M 1 -Montante calculado no regime de juros
simples;
M2 - Montante calculado no regime de juros
compostos pela convenção exponencial;
M3 -Montante calculado no regime de juros
compostos pela convenção linear.
Teremos:
a) M3 > M1 pare qualquer t > 0;
b) M3 = M1 pare qualquer 0 < t < 1;
c) M3 < M2 pare qualquer t > 0, desde que
não seja inteiro;
d) M3 < M2 quando t e inteiro;
e)M2 > M1 para qualquer t > 0.
11. (AFTN/85) - Uma pessoa aplicou Cr$ 10.000
a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de
3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção
linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de:
a) Cr$ 16.590
d) Cr$ 16.705
b) Cr$ 16.602
e) Cr$ .16.730
c) Cr$ 16.698
Obs.: (1,15)3 = 1,5209
12. (AFTN/91) - Uma aplicação e realizada no dia
primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1 %
ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis,
no fim do mês o montante será o capital inicial
aplicado mais:
a) 20,324%
b) 19,6147%
c) 19,196%
d) 18,174%
e) 18%
13. (AFC-ESAF/93) - Um título de valor inicial CR$
1.000,00 vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês,
devera ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples a
mesma taxa de 10% ao mês?
a) CR$ 313,84
b) CR$ 285,31
c) CR$ 281,26
d) CR$ 259,37
e) CR$ 251,81
14. (AFTN/85) - Um capital de Cr$ 100.000 foi
depositado por um prazo de 4 trimestres a taxa
de juros de 10% ao trimestre, com correção
monetária trimestral igual a inflação. Admitamos
que as taxes de inflação trimestrais observadas
foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A disponibilidade do depositante ao final
do terceiro trimestre e de, aproximadamente:
a) Cr$ 123.065
b) Cr$ 153.065
c) Cr$ 202.045
MATEMÁTICA FINANCEIRA
09. (Banco Central/94-Superior) - A taxa de 30%
ao trimestre, com capitalização mensal,
corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:
d) Cr$ 212.045
e) Cr$ 222.045
15. (AFC-TCU/92) - Um certo tipo de aplicação
duplica o valor da aplicação a cada dois meses.
Essa aplicação renderá 700% de juros em:
a) 5 meses e meio;
b) 6 meses;
c) 3 meses e meio;
d) 5 meses;
e) 3 meses.
CETEC
43
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
16. (AFTN/96) - A taxa de 40% ao bimestre, com
capitalização mensal, é equivalente a uma taxa
trimestral de:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
a) 60,0%
b) 66,6%
c) 68,9%
17. (AFTN/96) - Uma empresa aplica $ 300 a taxa
de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é:
a) 4,60%
b) 4,40%
c) 5,00%
d) 5,20%
e) 4,80%
18. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Para que
se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a
uma taxa de juros de 40% a. a., capitalizados
trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de:
a) R$ 171,43
b) R$ 172,86
c) R$ 190,00
d) R$ 200,00
e) R$ 220,00
19. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Determinada quantia e investida a taxa de juros compostos de 20% a.a., capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se
esperar:
a) log5 trimestres;
log 1,05
b) log2 trimestres;
log 1,05
c) log 5 trimestres;
log 1,2
d) log trimestres;
log 1,2
e) log20 trimestres.
log 1,2
44
d) 72,8%
e) 84,4%
CETEC
20. (CESPE/UnB-TCDF/FCE/95) - A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em
termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa
de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de:
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 105%
e) 110%
21. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) - Acerca das
taxas utilizadas em juros compostos, julgue os
itens a seguir.
(1) Capitalização composta é aquela em que a
taxa de juros incide sempre sobre o valor
obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior.
(2) Duas taxas referentes a períodos distintos
de capitalização são equivalentes, quando
produzem o mesmo montante no final de
determinado período de tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.
(3) Quanto maior o numero de capitalizações,
maior e a taxa efetiva.
(4) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos
de menor periodicidade implicam uma taxa
efetiva mais elevada.
(5) A taxa efetiva de 21 % ao ano corresponde
a taxa nominal anual de 20%, capitalizadas
semestralmente.
22. (TCU-AFCE/92) - Deseja-se comprar um bem
que custa X cruzeiros, mas dispõe-se apenas
de 1/3 desse valor. A quantia disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras, a taxa mensal de 26 % , enquanto
que o bem sofre mensalmente um reajuste de
20%. Considere as aproximações: log 3 = 0,48;
log 105 = 2,021 ; log 0,54 = -0,27.
Assinale a opção correta.
a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bem
poderá ser adquirido com o montante obtido.
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
b) O numero n de meses necessários pare o investimento alcançar o valor do bem é dado
pela formula:
X/3 + n 0,26 X/3 = X + n 0,2X.
c) O número mínimo de meses de aplicação
necessários a aquisição do bem será 23.
d) Decorridos 10 meses, o montante da aplicação será 40% do valor do bem naquele
momento.
e) O bem jamais poderá ser adquirido com o
montante obtido.
23. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) - Acerca
de uma aplicação realizada na mesma data e
referente a dois capitais (C1 e C2) de valores
iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente, a taxa nominal de 42% ao ano,
para o capital C1, e à taxa efetiva de 21% ao
ano, para o capital C2, julgue os itens abaixo.
(1) A taxa nominal, pare a aplicação do capital
C2, é igual a 20% ao ano.
(2) A taxa de capitalização semestral do capital
C1 e igual a 20%.
(3) A taxa de capitalização semestral do capital
C1 e exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do capital C2.
(4) O montante do capital C1 é 21% maior que
o montante do capital C 2, no prazo
estabelecido para a aplicação.
(5) Se apenas o capital C2 for reaplicado por
mais um ano, a mesma taxa estabelecida, o
montante de C2 (ao final do 2º ano de aplicação) será igual ao montante de C1 (ao final do 1º ano de aplicação).
Gabarito
01. b
09. b
17. e
02. c
10. b
18. d
03. d
11. e
19. b
04. d
12. b
20. a
05. d
13. a
21. cceec
06. d
14. c
22. c
07. b
15. b
23. ceecc
08. b
16. d
CETEC
45
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
JUROS COMPOSTOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Os juros compostos se caracterizam pelo fato destes renderem sobre o MONTANTE e não
apenas sobre o CAPITAL INICIAL.
A CAPITALIZAÇÃO, isto é, a anexação dos juros para formar o MONTANTE, pode ser
diária, semanal, mensal, trimestral, etc.
No quadro abaixo, comparamos a evolução de um capital de $100.000 aplicado a mesma taxa de
10% a.m. porém de três maneiras: Juros Simples, Juros Compostos com capitalização mensal e Juros
Compostos com capitalização bimestral.
46
CAPITAL
MONTANTE MONTANTE MONTANTE MONTANTE
1º Mês
2º Mês
3º Mês
4º Mês
A
100.000
110.000
120.000
130.000
140.000
B
100.000
110.000
121.000
133.100
146.410
C
100.000
M=C(
)n
120.000
144.000
M = Montante
n = Número de Períodos
( ) = Acréscimo em cada Período = (100 + it)
100
C = Capital
tt = Tempo Total
t = Tempo duração do Período
EXEMPLO
CETEC
Período de
Capitalização
tt
n
i
it
MONTANTE
Mensal
1 ano
12
5%am
5.1
M = C (1,05)12
Bimestral
1 ano
6
20%am
20.2
M = C ( 1,40)6
Trimestral
1 ano
4
8%am
8.3
M = C (1,24)4
Semestral
1 ano
2
15%am
15.6
M = C (1,9)2
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
PROBLEMAS DE JUROS COMPOSTOS
(A) capitalização mensal durante 3 meses
(B) capitalização bimestral durante 8 meses
(C) capitalização quadrimestral durante 1 ano
(D) capitalização semestral durante 3 anos
Determine o MONTANTE no final de cada
aplicação e os respectivos JUROS:
02. Um capital de $60.000 é aplicado a uma taxa
de 20% a. m. das seguintes formas:
05. Qual a taxa de aplicação de um capital de
$50.000 que foi aplicado durante 8 meses com
capitalização quadrimestral e atingiu o montante
de $72.000?
06. Qual o tempo que esteve aplicado um capital
de $12.000 aplicado a 50% a. m., com capitalização bimestral sabendo-se que atinge o montante de $96.000?
07. Qual o número de anos necessários para que
um capital colocado a juros compostos à taxa
de 50% a.a. atinja 225% de seu valor inicial?
(A) capitalização mensal durante 2 meses
(B) capitalização trimestral durante 1 semestre
Determine o montante no final de cada aplicação:
03. Qual o capital que aplicado a uma taxa de 40%
a.a. durante 18 meses, com capitalização semestral, atinge o montante de $51.840?
04. Quanto tempo permaneceu aplicado um capital
de $25.000 a taxa de 2% a.m. com capitalização quadri-mestral para ter atingido o montante
de $29.160? Obs.: Como não há tabela financeira, faça teste das opções.
08. Qual o tempo necessário para que um capital
colocado a juros compostos de 100% a.a. sofra um acréscimo de 700%? (Capitalização anual)
09. Um capital de $2.000 é aplicado a uma taxa de
50% a. m. durante certo tempo e atinge o montante de $162.000. Sabendo-se que a capitalização é quadrimestral, determine o tempo da
aplicação.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
01. Um capital de $200.000 é aplicado a uma taxa
de 2% ao mês da seguinte forma:
10. Qual a taxa de aplicação de um capital de
$3.000 que aplicado durante 18 meses com
capitalização semestral, atinge o montante de
$81.000?
Gabarito
01.
MONTANTE
02.
A) $212.241,60
A) $86.400
06.
6 meses
B) 153.600
07.
2 anos
B) $233.971,71
03.
C = $30.000
08.
3 anos
C) $251.942,40
04.
8 meses
09.
16 meses
D) $394.764,54
05.
5% ao mês
10.
400% a.a. (nominal)
800% a.a. (efetiva)
CETEC
47
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prova Banco do Brasil
Jan/2013
48
CETEC
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
CETEC
49
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
50
CETEC
A) 1 e 4
4) Um professor dá aulas para 3 turmas do período
da manhã, cada uma com X alunos, e 2 turmas do
período da tarde, cada uma com 2X/3 alunos. Até
o momento, ele corrigiu apenas as provas finais de
todos os alunos de uma turma da manhã e de uma
turma da tarde. Uma vez que todos os seus alunos
fizeram a prova final, a quantidade de provas que
ainda falta ser corrigida por esse professor,
representa, em relação ao total,
B) 5 e 8
A) 8/13
C) 9 e 12
B) 10/13
D) 13 e 16
C) 3/5
E) 17 e 20
D) 5/8
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
FCC 2013
1) Somando-se um mesmo número ao numerador
e ao denominador da fração 3/5, obtém-se uma
nova fração, cujo valor é 50% maior do que o valor
da fração original. Esse número está entre
E) 7/8
2) Em uma escola privada, 22% dos alunos têm
bolsa de estudo, sendo os demais pagantes. Se 2
em cada 13 alunos pagantes ganharem bolsa de
estudo, a escola passará a contar com 2.210 alunos
bolsistas. Dessa forma, o número atual de alunos
bolsistas é igual a
A) 1430
B) 340
5) Um site da internet que auxilia usuários a
calcularem a quantidade de carne que deve ser
comprada para um churrasco considera que quatro
homens consomem a mesma quantidade de carne
que cinco mulheres. Se esse site aconselha que,
para 11 homens, devem ser comprados 4.400
gramas de carnes, a quantidade de carne, em
gramas, que ele deve indicar para um churrasco
realizado apenas para 7 mulheres é igual a
C) 910
A) 2.100
D) 1.210
B) 2.240
E) 315
C) 2.800
D) 2.520
3) Em um planeta fictício X, um ano possui 133
dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de
mesma duração. No mesmo período em que um
ano terrestre não bissexto é completado, terão sido
transcorridos no planeta X, exatamente
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
E) 2.450
A) 1 ano, 6 meses e 4 dias.
B) 2 anos e 4 dias
C) 2 anos e 14 dias
D) 2 anos, 5 meses e 14 dias
E) 2 anos, 5 meses e 4 dias
CETEC
51
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
6) No mês de dezembro de certo ano, cada
funcionário de uma certa empresa recebeu um
prêmio de R$ 320,00 para cada mês do ano em
que tivesse acumulado mais de uma função, além
de um abono de Natal no valor de R$ 1.250,00.
Sobre o valor do prêmio e do abono, foram
descontados 15% referentes a impostos. Paula,
funcionária da empresa, acumulou durante 4 meses
daquele ano, as funções de secretária e telefonista.
Nos demais meses, ela não acumulou funções. Dessa
forma, uma expressão numérica que representa
corretamente o valor, em reais, que Paula recebeu
naquele mês de dezembro, referente ao prêmios e
ao abono ,é
A) 48%
B) 44%
C) 40%
A) 0,85 x [ ( 1250 + 4 ) x 320]
D) 50%
B) ( 0,85 x 1250 ) + ( 4 x 320 )
E) 56%
C) ( 4 x 320 + 1250 ) – 0,15
D) ( 0,15 x 1250 ) + ( 4 x 320 )
E) 0,85 x ( 1250 + 4 x 320 )
7) Em um tribunal trabalham 17 juízes, divididos
em três níveis, de acordo com sua experiência: dois
são do nível I, cinco do nível II e os demais do nível
III . Trabalhando individualmente, os juízes dos níveis
I, II e III conseguem analisar integralmente um
processo em 1 hora, 2 horas e 4 horas,
respectivamente. Se os 17 juízes desse tribunal
trabalharem individualmente por 8 horas, então o
total de processos que será analisado integralmente
pelo grupo é igual a
9) Certa manhã de um domingo ensolarado, Cléo
combinou encontrar-se com seu namorado às 11
horas, no Parque do Ibirapuera.
Ela calculou
que, se percorresse de bicicleta o trajeto de sua
casa ao Parque, rodando à velocidade media de
10 Km/h, chegaria ao local do encontro exatamente
30 minutos após o horário combinado; entretanto ,
se a velocidade média da bicicleta fosse de 15 Km/
h, ela chegaria ao local do encontro exatamente 30
minutos antes das 11 horas. Diante do exposto, a
que velocidade média Cléo deverá rodar em sua
bicicleta para que possa encontrar com seu
namorado às 11 horas?
A) 12Km/h
A) 28
B) 12,25 Km/h
B) 34
C) 12,5 Km/h
C) 51
D) 13 Km/h
D) 56
E) 13,25 Km/h
E) 68
52
8) Em uma repartição pública em que 64% dos
funcionários têm salário superior a R$ 7.000,00,
60% dos funcionários têm curso superior e 40%
possuem apenas formação de ensino médio. Dentre
os servidores com nível superior, 80% ganham mais
do que R$ 7.000,00. Dessa forma, dentre os
funcionários que têm somente formação de Ensino
Médio, aqueles que recebem salário maior do que
R$ 7.000,00, correspondem a
CETEC
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
- 3/8 do total de laudas a serem digitadas devem
ser divididas entre Amália e Zenon, na razão inversa
de seus respectivos tempos de serviço no BB que
são 4 e 2 anos;
- Bia e Hamilton devem digitar as laudas restantes,
que deverão ser divididas entre eles na razão direta
de suas respectivas idades: 32 e 28 anos.
Se a execução da tarefa for cumprida de acordo
com o critério estabelecido, as digitações da maior
e da menor quantidade de laudas terão sido feitas,
respectivamente, pelos funcionários
E) A diferença entre o tempo de serviço de Xisto e
o de Yule é de 5 anos
12) Alguns funcionários do BB participaram de um
seminário sobre INFLAÇÃO, pelo qual pagaram
o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se
X reais era o valor unitário da inscrição e X é um
número inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos
funcionários do BB participaram de tal seminário?
A) 11
B) 13
C) 37
D) 55
E) 59
A) Amália e Hamilton
B) Amália e Zenon
C) Bia e Amália
D) Bia e Zenon
E) Hamilton e Zenon
11) Dois funcionários do Banco do Brasil, Xisto
e Yule têm seus tempos de serviço no banco
relacionados da seguinte forma:
- há 1 ano, o tempo de serviço de Xisto era o
quíntuplo de Yule;
13) Quatro números inteiros e positivos são tais que:
adicionando-se 3 ao primeiro, subtraindo-se 3 do
segundo, multiplicando-se o terceiro por 3 e
dividindo-se o quarto por 3 obteremos, para as
quatro operações efetuadas, sempre o mesmo
resultado. Se a soma dos quatro números originais
é igual a 64, é correto afirmar que, relativamente à
ordem considerada, o
A) segundo é um número par
MATEMÁTICA FINANCEIRA
10) Quatro funcionários do Banco do Brasil –
Amália, Bia, Hamilton e Zenon- foram incumbidos
de digitar 192 laudas de um relatório. Para a
execução dessa tarefa, os quatro dividiram todas
as laudas entre si, de acordo com o seguinte critério:
B) terceiro número é divisivel por 3
- daqui a 2 anos, o tempo de serviço de Xisto será
o dobro do de Yule.
C) quarto número é menor do que 30.
Com base nessas afirmações, é correto afirmar que,
atualmente,
D) segundo e o primeiro números diferem de 8
unidades
A) o tempo de serviço de Xisto é igual ao triplo de
Yule.
E) quarto número é um múltiplo do primeiro
B) O tempo de serviço de Xisto exceed o de yule
em 3 anos
C) Os tempos de serviço de Xisto e de Yule somam
9 anos
D) Os tempos de serviço de Xisto e Yule somam
11 anos
CETEC
53
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
14) Certo dia, Alfeu e Janaína foram incumbidos
de arquivar 113 processos de um lote. Sabendo
que, ao dividirem o total de processos entre si, tanto
a quantidade A, de processos que coube a Alfeu,
como a quantidade J, de processos que coube a
Janaína, eram números quadrados perfeitos; então,
se Alfeu arquivou mais processos que Janaína, então
a diferença A – J é igual a
16) O número de novas cadernetas de poupança
abertas em 2010, no BB, foi 20% menor que o
número de novas cadernetas abertas em 2011 .
Mas o número de cadernetas de poupança abertas
em 2012 foi 10% maior que o número de
cadernetas abertas em 2011. Em quando por cento,
o número de novas cadernetas de poupança abertas
em 2012 supera o número de 2010?
A) 12
A) 30%
B) 15
B) 32%
C) 16
C) 28%
D) 18
D) 37,5%
E) 19
E) 15%
15) Suponha que , ao fazer o levantamento da
quantidade de processos protocolados no jurídico
ao longo de 3 meses, um funcionário constatou que
o número de processos protocolados em dezembro
de 2012 diminuíra de 75% , em relação à
quantidade daqueles que haviam sido protocolados
no mês anterior. Se em janeiro de 2013 a
quantidade de processos protocolados voltou a ser
a mesma observada em novembro de 2012, então,
relativamente ao mês de dezembro de 2012, o
número de processos protocolados em janeiro de
2013 sofreu um aumento de
17) Em uma montadora, são pintados, a partir do
início de um turno de produção, 68 carros a cada
hora, de acordo com a seguinte sequência de cores:
os 33 primeiros são pintados de prata, os 20
seguintes são pintados de preto, os próximos 8 de
branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos de
vermelho. A cada hora de funcionamento, essa
sequêcia se repete. Dessa forma, o 493* carro
pintado em um turno de produção terá cor
A) prata
B) preta
A) 75%
C) branca
B) 150%
D) azul
C) 200%
E) vermelha
D) 300%
E) 360%
54
CETEC
18) Após quanto tempo do início do turno de
produção será pintado o carro do problema
anterior?
A) 7h25min
B) 7h15min
C) 7h30min
D) 7h45 min
21) Na primeira fase de um campeonato, o
percentual médio de acerto de um jogador de
basquete nos lances livres foi de 80%. Até o final
do terceiro quarto da primeira partida da segunda
fase, esse jogador acertou 10 dos 14 lances livres
que executou, resultando em aproximadamente 71%
de acerto. No ultimo quarto, porém, o jogador se
recuperou de modo que, ao final da partida, seu
percentual de acerto de lances livres foi igual ao da
primeira fase. Sabendo-se que ele não errou lances
livres no ultimo quarto, pode-se concluir que, nesse
período do jogo, ele executou e acertou exatamente
E) 7 h 17min
A) 6 lances livres
19)Para produzir 60% de uma encomenda, os oito
funcionários de uma empresa gastaram um total de
63 horas. Como dois ficaram doentes, os outros
seis funcionários terão de produzir sozinhos os 40%
restantes da encomenda. Considerando que todos
eles trabalham no mesmo rítmo e executam as
mesmas tarefas, pode-se estimar que o restante da
encomenda será produzido em
B) 7 lances livres
C) 5 lances livres
D) 9 lances livres
E) 8 lances livres
A) 42 h
B) 60 h
C) 56 h
D) 70 h
E) 84 h
20) Para produzir 60% de uma encomenda , Apolo
e Mercúrio , juntos, demoram 6 dias, trabalhando
6 horas/dia, cada um. Se Apolo, sozinho, faz 20%
da encomenda em 5 dias, Mercúrio faria todo o
serviço sozinho em
22) Atendendo o pedido de um cliente , um
perfumista preparou 200mL da fragância X. Para
isso ele misturou 20% da essência A, 25% da
essência B e 55% de veículo. Ao conferir a formula
da fragância X que fora encomendada, porém, o
perfumista verificou que havia se enganado, pois ela
deveria conter 36% da essência A, 20% da essência
B e 44% de veículo. A quantidade de essência A,
em mL, que o perfumista deve acrescentar aos
200mL já preparados, para que o perfume fique
conforme a especificação da fórmula é igual a
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
A) 32
B) 36
A) 10 dias
C) 40
B) 16 dias e 16h
D) 45
C) 7 dias e 3h
E) 50
D) 7 dias e 12h
E) 16 dias e 4h
CETEC
55
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
23) Em uma disciplina de nível superior, 7/9 dos
alunos matriculados foram aprovados em novembro,
logo após as provas finais. Todos os demais alunos
fizeram em dezembro uma prova de recuperação.
Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovação
após a prova de recuperação, o total de aprovados
na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos
matriculados nessa disciplina é igual a
25) Artur pretende investir R$ 10.000 por um
período de um ano. Por isso, está avaliando dois
investimentos oferecidos pelo gerente de seu banco
INVESTIMENTO 1: Regime de juros simples, com
taxa de 1% ao mês.
INVESTIMENTO 2: Regime de juros compostos,
com taxa de 6% ao semestre
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A) 136
B) 127
C) 130
D) 135
E) 126
Ao comparar os dois investimentos, Artur concluiu
que
A) O investimento 1 é mais vantajoso, pois terá
rendido R$ 36,00 a mais do que o investimento 2
após um ano
B) O investimento 1 é mais vantajoso, pois terá
rendido R$ 18,00 a mais do que o 2 após um ano.
24) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são
homens e 3/5 dos funcionários falam inglês. Sabendo
que 1/12 dos funcionários são mulheres que não
falam inglês, pode-se concluir que os homens que
falam inglês representam, em relação ao total de
funcionários, uma fração equivalente a
C) Eles são indiferentes, pois ambos terão rendido
R$ 1.200,00 após um ano.
D) O investimento 2 é mais vantajoso pois terá
rendido R$ 18,00 a mais após um ano.
E) O investimento 2 é mais vantajoso, pois terá
rendido R$ 36,00 a mais do que o investimento 1
após um ano.
A) 3/10
B) 7/20
C) 2/5
D) 9/20
E) ½
26) Zaqueu dispõe de R$ 10.000,00 para investir
e o faz da seguinte forma: Parte do dinheiro investe
em um FUNDO que rende 6% sobre o capital
investido após um ano de aplicação. O restante ele
investe em AÇÕES e ganha 8% sobre o capital
investido após um ano de aplicação. Determine o
valor que Zaqueu aplicou respectivamente em
FUNDOS e AÇÕES, sabendo que os rendimentos
das duas aplicações somam juntos R$ 672,00.
A) R$ 6000 e R$ 4000
B) R$ 7000 e R$ 3000
C) R$ 4800 e R$ 5200
D) R$ 3600 e R$ 6400
E) R$ 6400 e R$ 3600
56
CETEC
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
27) Um comerciante comprou um produto por R$
350,00. Para estabelecer o preço de venda o
comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente
para dar 30% de desconto sobre o preço de venda
e ainda assim garantir um lucro de 20% sobre o
preço de compra. Nessas condições, o preço que
o comerciante deve vender essa mercadoria é igual
a
29) Para que um capital aplicado a juros compostos
de 20% a.ano e capitalização trimestral, duplique
de valor, devemos esperar
A) log 20/log 5 trimestres
B) log 5/log20 trimestres
C) log 1,05 / log 2 trimestres
D) log 2/ log (1,05) trimestres)
B) R$ 580,00
E) log 20/ log ( 1,05) trimestres
C) R$ 600,00
D) R$ 590,00
E) R$ 610,00
28) Altemar aplica R$ 29.000,00 a juros compostos
e deseja comprar um carro cujo preço à vista é R$
30.000,00. Se nos próximos meses essa aplicação
render 1% ao mês e o preco do carro se mantiver,
o número mínimo de meses necessário para que
Altemar tenha em sua aplicação uma quantia
suficiente para comprar o carro é
30) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de
72% a.ano, sob regime de juros simples. O primeiro
pelo prazo de 4 meses e o segundo por 5 meses.
Sabendo-se que a soma dos juros totalizaram R$
39.540,00 e que os juros do segundo capital
excederam os juros do primeiro em R$ 12.660,00,
a soma dos dois capitais iniciais era de:
A) R$ 140.000,00
B) R$ 143.000,00
C) R$ 145.000,00
A) 7
D) R$ 147.000,00
B) 4
E) R$ 115.000,00
C) 5
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A) R$ 620,00
D) 6
GABARITO
E) 3
1) D
2) A
3) E
4) A
5) B
6) E
7) D
8) C
9) A
10) C
11) A
12) B
13) E
14) B
15) D
16) D
17) A
18) B
19) C
20) E
21) A
22) E
23) D
24) B
25) E
26) E
27) C
28) B
29) D
30) B
CETEC
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA
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CETEC