4.6 Sombras de sólidos
geométricos
Geometria Descritiva
2006/2007
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos


Os corpos opacos produzem sombras
quando expostos a uma fonte luminosa
Fonte luminosa


A posição da fonte luminosa pode ser qualquer
ponto do espaço
A fonte luminosa pode ser:

uma fonte de raios divergentes


Situada a uma distância finita
uma fonte de raios paralelos

Situada a uma distância infinita
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos

Fonte luminosa convencional

Situada a uma distância infinita


Fonte de raios paralelos
Direcção convencional dos raios
luminosos:



Paralela à diagonal de um cubo com duas
faces de nível e duas faces de frente,
orientada da esquerda para a direita, de cima
para baixo e do primeiro para o terceiro
quadrante
A sua projecção horizontal faz um ângulo de
45º com o eixo X com abertura para a
esquerda
A sua projecção frontal faz um ângulo de 45º
com o eixo X com abertura para a esquerda
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
45º
X
45º
Sombras de sólidos geométricos

A sombra pode ser:

Sombra própria


Sombra produzida


Sombra dos sólidos sobre si
próprios (zonas não iluminadas
dos sólidos)
Zona espacial privada de luz
pelo sólido
Sombra projectada

Sombra dos sólidos sobre outros
corpos ou superfícies
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos

A identificação das sombras provocadas por
sólidos é feita a partir da identificação dos
contornos aparentes, substituindo o observador
por uma fonte luminosa


O contorno aparente corresponde à linha que separa a parte
iluminada da parte não iluminada e designa-se por linha de
separação da sombra e luz ou linha separatriz
A linha separatriz


Limita a sombra própria do sólido
Limita a sombra projectada pelo sólido sobre outro
sólido ou superfície
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um ponto


Sombra real de um ponto
corresponde ao traço do raio
luminoso que passa pelo ponto
no plano de projecção que
encontrar primeiro
Sombra virtual de um ponto
corresponde ao traço do raio
luminoso que passa pelo ponto
no plano de projecção que
encontrar em último lugar

Corresponde à sombra do ponto
se o primeiro plano de projecção
fosse retirado
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
P2
X
Ps2
Ps1
P1
Pv1
Pv2
Sombra de um segmento

Determinar a sombra do segmento
AB





A sombra real do ponto A está no plano
horizontal de projecção
A sombra real do ponto B está no plano frontal
de projecção
Como as sombras reais de A e B estão em
planos de projecção diferentes é necessário
mais um ponto que determine a direcção das
sombras em ambos os planos de projecção
Determina-se a sombra virtual por exemplo do
ponto B (ou do ponto A), que determina sobre o
eixo X um ponto a que se chama ponto de
quebra (P)
É neste ponto que a sombra flecte do plano
horizontal de projecção para o plano frontal de
projecção
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
B2
A2
X
Bs2
As2
Bv1
Ps1
Bs1 Bv2
As1
A1
B1
Sombra de um polígono

Determinar a sombra do
polígono ABCD



As sombras reais dos pontos A, B e D
estão no plano frontal de projecção
A sombra real do ponto C está no plano
horizontal de projecção
Como as sombras reais de dos pontos que
definem os segmentos BC e CD estão em
planos de projecção diferentes é
necessário determinar os pontos de quebra
sobre o eixo X
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
B2
A2
Bs2
D2
C2
As2
As1 Ds2
Ds1 Bs1
X
Cs2 Cv1
Cs1 Cv2
A1
D1
B1
C1
Sombra de um círculo

Determinar a sombra do
círculo de nível


A sombra do círculo no plano horizontal de
projecção é circular
A sombra do circulo no plano frontal de
projecção é uma elipse e pode ser obtida
identificando a sombra de vários pontos do
círculo
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Sombra de um círculo

Determinar a sombra do
círculo de nível


A sombra do circulo no plano horizontal de
projecção é circular
A sombra do circulo no plano frontal de
projecção é uma elipse e pode ser obtida
identificando a sombra de vários pontos do
círculo
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Sombra de um círculo

Determinar a sombra do
círculo de nível


A sombra do circulo no plano horizontal de
projecção é circular
A sombra do circulo no plano frontal de
projecção é uma elipse e pode ser obtida
identificando a sombra de vários pontos do
círculo
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Sombra de um prisma

Determinar a sombra de um
prisma hexagonal com
bases de nível






AA’B’B
BB’C’C
FF’A’A
A base superior (A’B’C’D’E’F’)
C’1 E’1 D’1
F’v1
F’s2
As faces iluminadas são:


A’1 B’1 F’1
A1
B1 F1 C1 E1
E’s2
E’v1
D1
X
A sombra própria é constituída pela
base inferior e pelas faces não
iluminadas
A linha separatriz é ABCC’D’E’F’FA
A sombra projectada é limitada pela
sombra da linha separatriz
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
D’s1
Fs1
F1F’1
As1
E1E’1
A1A’1
Bs1
B1B’1
C1C’1
D1D’1
Cs1
C’s1
Sombra de um cilindro

Determinar a sombra de um
cilindro com bases de frente



A sombra própria do cilindro é
constituída pela base posterior e pela
face lateral delimitada pelas geratrizes
AA’ e EE’ e pelo arco de círculo
A’B’C’D’E’ pertencente à base anterior
A sombra projectada do cilindro é
limitada pela sombra da linha separatriz
As geratrizes do cilindro são de topo
logo não é necessário determinar
sombras virtuais de quaisquer pontos
pois:


E2E’2
O2O’2
Os2
A2 A’2
X
as sombras de segmentos de topo no plano
horizontal de projecção fazem ângulos de 90º
com o eixo X
As sombras de segmentos de topo no plano
frontal de projecção fazem ângulos de 45º com
o eixo X.
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
As2
Es2
D’2
C’2
B’2
E’s1
A1
O1
E1
D1
O’s1
A’s2
C’s1
B’s1
A’1
D’1
1
O’1 B’1 E’C’
1
D’s1
Sombra de uma pirâmide

Determinar a sombra de
uma pirâmide com base
de nível



No caso de pirâmides nem sempre é
fácil determinar quais são as faces
iluminadas
As faces iluminadas são
determinadas analisando qual a
sombra produzida
Como a sombra do vértice está no
plano frontal e a sombra de todos os
vértices da base da pirâmide estão
no plano horizontal é necessário
determinar pontos de quebra sobre
o eixo X
X
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um cone

Determinar a sombra
de um cone com base
de nível


A linha separatriz determina-se
analisando a sombra produzida
Como a sombra do vértice está
no plano frontal e a sombra da
maioria dos pontos da base do
cone estão no plano horizontal é
necessário determinar pontos de
quebra sobre o eixo X
V2
Vs2
X
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
B2
A2
O2
Bs1
B1
Os1
As1
O1V1
A1
Vv1
Bibliografia






[1] Vaz, Manuel (1983/1984) Geometria Descritiva.
Textos de apoio da FCTUC
[2] Castro, Luís; Soares, Óscar,Geometria Descritiva B.
Texto Editora.
[3] Ricca, Guilherme (1992) Geometria Descritiva.
Fundação Calouste Gulbenkian.
[4] Ribeiro, Carlos (1991) Geometria projectiva.
Conceitos, Metodologias, Aplicações. Europress.
[5] Standiford, Kevin; Standiford, Debbie (2000).
Descriptive Geometry. Delmar Learning.
[6] Albuquerque, Luís (1969) Elementos de Geometria
Projectiva e Geometria Descritiva. Livraria Almedina.
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra