CURSO TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO
12
MATEMÁTICA
Função: construção de gráficos
e tipos de funções.
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal
Ministério da Educação
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
EQUIPE SEDIS
|
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
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Diagramação
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– UFRN
Arte e ilustração
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Carolina Costa
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Revisão Tipográfica
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Design Instrucional
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Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
rá
e
v
ê
c
Vo
..
.
i
u
q
a
por
... um estudo sobre funções – com maior enfoque para a construção de gráficos e análise
destes, observando algumas características de cada tipo de função abordado – como
determinar a função inversa de uma função dada e como determinar a função composta
de duas funções e outras operações com funções.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e de algumas
atividades com questões subjetivas. Apresentamos também, ao final de todo o conteúdo,
uma lista de exercícios com questões objetivas. E, ao final da aula, na seção Autoavaliação, você encontrará mais uma oportunidade para verificar sua aprendizagem.
Sempre que for necessário, releia a aula e refaça algumas atividades.
Na seção Para consulta, você encontra um resumo do assunto estudado nesta aula,
que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões
da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.

Saber construir o gráfico de uma função, a partir da
determinação de alguns pontos notáveis nesse gráfico.
Objetivo

Saber classificar funções, dada a lei de formação ou o gráfico
dessa função.

Saber identificar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma
função através da análise de seu gráfico.

Saber utilizar adequadamente os procedimentos necessários para
determinar, quando houver, a função inversa de determinada função,
assim como efetuar a composição de funções ou outras operações como
a soma, a diferença, o produto ou o quociente entre funções.
1
Matemática A12
Para começo
de conversa
Em uma loja de tecidos, a remuneração dos vendedores é composta de duas partes:
um salário base de R$ 500,00 e uma comissão de 10% do valor total, em reais,
vendido por cada funcionário, no mês anterior.
A função que representa o valor (em R$) a ser recebido no início de cada mês
por um funcionário, segundo o valor total das vendas realizadas por ele, será
f (x) = 0, 10 · x + 500 ou f (x) =
x
+ 500 , em que x representa esse volume total de
10
vendas (em R$).
Representando essa função em um gráfico, teremos:
Remuneração mensal
(R$)
Remuneração, em R$, dos vendedores por volume mensal de vendas
y
1000
500
0
x
Vendas mensais
(R$)
5000
Gráfico 1 – Representação da função f (x)
=
x
+ 500
10
Para representar essa função nesse gráfico, foi necessário determinar, primeiramente,
alguns detalhes. E esses detalhes podem variar um pouco de uma função para outra.
Observe cada tipo de função aqui apresentada, suas características principais, como
representar graficamente cada uma delas e como identificar, em cada gráfico, qual
o tipo de função representada.
2
Matemática A12
Conhecendo funções
através de seus gráficos
ma função f de A em B é uma relação em A×B, que associa a cada variável
x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função
de A em B, é: f:
f A→B. Estas características nos informam que uma função
pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em A×B, que só
pode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.
U
Desafio
Agora você pode descobrir quais gráficos
representam funções. Passe uma régua
posicionada verticalmente em cada
uma das figuras e assinale as que
representam uma função.
y
y
x
(A)
x
(B)
y
y
x
x
(C)
(D)
Figura 1 – Representações em gráficos
Gráfico de funções no plano cartesiano
Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei que
associa elementos do domínio da função, a elementos do contradomínio da função.
Costuma-se denotar a imagem de um elemento x por f(
f x)
x ou por y, pois é o elemento
que a função f associa ao elemento x.
Lei de formação
 A lei de formação
também define o
formato do gráfico
de uma função.
Na construção de gráficos de funções no plano cartesiano, os valores de x são
representados no eixo horizontal (ou das abscissas) e f(
f x)
x (ou y) no eixo vertical (ou
das ordenadas). Em cada exemplo que veremos a seguir, marcaremos alguns pontos
no plano cartesiano e ligar esses pontos formando o gráfico da função.
3
Matemática A12
Na construção de um gráfico no plano cartesiano, devemos seguir alguns passos. Em
cada tipo de função, por causa de suas características particulares alguns detalhes
podem ser acrescentados em cada um desses passos. Fique atento.
Vejamos, agora, como é feita a construção dos gráficos de alguns desses tipos de
função.
Função do 10 grau ou função afim
Exemplo 1
A função f(
f xx) = x + 1 é a função que relaciona todo o valor de x do domínio
ao valor x + 1 no contradomínio.
Essa função é uma função polinomial de 1o grau, também chamada
de função afim, pois a função tem a forma f(
f xx) = ax + b, onde
a ∈ℜ* e b ∈ℜ.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico de f(
f x) com os
eixos.
•Ponto de interseção do gráfico de f(
f x)
x com o eixo dos x:
f xx) = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
f(
O valor de x para o qual f(
f xx) = 0 recebe o nome de raiz da função
ou zero da função.
Assim, a raiz de f(
f xx) = x + 1 é x = – 1.
Logo (– 1; 0) é o ponto de interseção do gráfico de f(
f xx) com eixo dos x.
•Ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos y:
ff(0) = 0 + 1 = 1
Logo (0; 1) é o ponto de interseção do gráfico da função com eixo dos y.
4
Matemática A12
2o passo: Construção da tabela de valores
x
y
(x; y)
–1
0
(– 1; 0)
0
1
(0; 1)
3o passo: Construir o plano cartesiano, representar os pontos encontrados
e completar o gráfico da função.
y
f(x) = x + 1
1
−1 0
x
Gráfico 2 – Função f(
f xx) = x + 1
Marcamos os dois pontos encontrados (-1;0) e (0; 1) e traçamos a reta que
passa por esses dois pontos.
Obser ve, no gráfico 2, que o domínio e o conjunto-imagem da
função são formados por todos os números reais. Ou seja,
D(f)
f = ℜ, CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ.
Agora, veremos outras características desse tipo de função que acabamos de ver.
Características importantes de uma função afim
•Forma geral: f(
f xx) = axx + b, a ∈ ℜ* e b ∈ ℜ.
•Domínio, contradomínio e conjunto-imagem:
D(f)
f = ℜ, CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ.
5
Matemática A12
•Coeficientes:
Coeficiente angular: o coeficiente a.
Coeficiente linear: o coeficiente b.
Quando a > 0, o gráfico de f: ℜ➝ℜ é uma reta crescente.
Quando a < 0, o gráfico de f: ℜ➝ℜ é uma reta decrescente.
Casos particulares de funções do primeiro grau:
Quando o coeficiente b é igual a zero (bb = 0) essa função recebe o nome particular
de função linear e sua forma geral se resume a f(
f x)
x = ax, a ∈ℜ*.
Quando a = 1 e b = 0, a função afim tem o formato f(
f xx) = x, que é chamada de função
identidade.
•Raiz da função ou zero da função: é o valor de x que tem imagem igual a zero. Ou seja,
f (x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = −
b
é o valor da raiz da função.
a
Atenção! Uma função do 1o grau só tem uma raiz.
•Gráfico da função afim:
A construção do gráfico de uma função do 1o grau, f(
f xx) = axx + b, pode ser feita como
vimos anteriormente no exemplo 1.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos.
2o passo: Construção da tabela de pares ordenados
3o passo: Construção do plano cartesiano, representação dos pontos e esboço do
gráfico.
•Estudo do sinal de uma função afim:
Como o gráfico de uma função afim corta em um ponto o eixo dos x, a função apresenta
três sinais. Quando a linha que representa o gráfico da função está abaixo do eixo
dos x, a função é negativa. Quando corta o eixo dos x, é nula (ou igual a zero). Quando
está acima do eixo dos x, a função é positiva.
6
Matemática A12
Se uma função f(
f x)
x é crescente, como a função afim representada no gráfico 3, o estudo
dos sinais de uma função afim é o seguinte:
f (x) < 0 ⇒ x < −
b
a
f (x) = 0 ⇒ x = −
b
a
f (x) > 0 ⇒ x > −
b
a
Observe, no gráfico 3, cada um desses sinais.
f(x) é crescente
y
f(x)=0
f(x)>0
x
x = −b
a
f(x)<0
Gráfico 3 – Sinais de uma função afim crescente
Se a função f(x) é decrescente, como a função afim representada no gráfico 4, o estudo
do sinal de uma função afim é o seguinte:
b
f (x) > 0 ⇒ x < −
a
f (x) = 0 ⇒ x = −
b
a
f (x) < 0 ⇒ x > −
b
a
Observe no gráfico 4, cada um desses sinais.
f(x) é decrescente
y
f(x)>0
f(x)=0
x = −b
a
x
f(x)<0
Gráfico 4 – Sinais de uma função afim decrescente
7
Matemática A12
Observe o exemplo a seguir.
Exemplo 2
O valor a ser cobrado pela corrida de um táxi é feita em duas partes:
•uma parte fixa, chamada de bandeirada, ao preço de R$ 3,50;
•uma parte proporcional à quilometragem do percurso, a cada quilômetro
R$ 1,70 (na bandeira 1, no horário comercial, em dias comuns).
Se um táxi faz um percurso, em um dia comum, no horário comercial, a
função que representa o valor a ser pago, em reais, é f(
f xx) = (1,70)x + 3,50,
ou f(
f x) = 1,7xx + 3,5, sendo x o número de quilômetros rodados nesse
percurso.
A função f(
f xx) = 1,7x + 3,5 é uma função afim.
Temos D(f)
f = ℜ, CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ. Na função f(
f xx) = (1,7)x + 3,5, o
coeficiente angular é 1,7 e o coeficiente linear é 3,5.
Observe os passos para a construção do gráfico de f(
f xx) = 1,7x + 3,5.
1º passo: Determinar alguns pontos do gráfico.
Interseção do gráfico da função com o eixo dos x: f(
f x)
x = 0 ⇒ 1,7x + 3,5 = 0
35
(raiz da função). O ponto de interseção da linha que representa
17
35
a função com o eixo horizontal é − ; 0 .
17
⇒x=−
Interseção do gráfico a função com o eixo dos y:
ff(0) = 1,70 ⋅ 0 + 3,50 ⇒ ff(0) = 3,50.
O ponto de interseção do gráfico de f(x) com o eixo vertical é (0; 3,50).
8
Matemática A12
2º passo: Construir a tabela dos pares ordenados a serem representados
no plano cartesiano.
x
y
(x; y)
35
−
17
0
35
− ; 0
17
0
3,5
(0; 3,50)
3º passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o
gráfico.
O gráfico 5 representa a função f(
f xx) = 1,7x + 3,5.
Para a função f(
f xx) = 1,7x + 3,5, podemos fazer o seguinte estudo de sinais:
f x)
f(
x <0⇒x<−
35
ou x < – 2,059
17
f x)
f(
x =0 ⇒x=−
f x)
f(
x >0 ⇒x>−
35
17
35
17
y
3
2
1
f(x)=0
−4
f(x)<0
−3
f(x)>0
−2
0
−1
x
−1
Gráfico 5 – Representação da função f(
f xx) = 1,7x + 3,5
9
Matemática A12
1
Praticando...
1. Considerando a função f(
f xx) = – 4x + 1, determine
(I) o coeficiente angular e o coeficiente linear;
(II) se a função é crescente ou decrescente;
(III) a imagem de x = – 2 e de x = 3.
2. Determine a função cujo gráfico é uma reta, definida pela função f(
f xx) =
axx + b e sabendo que ff(1) = 3 e ff(–2) = 0, determine a imagem de x = 5.
3. A comissão de um vendedor na Loja Venha Comprar é determinada por
duas partes. A primeira (que é fixa) é o salário de R$ 500,00. A segunda
é uma porcentagem de 20% do valor total, em reais, vendido por mês.
Responda:
(I) Qual é a função que representa o valor recebido por esse funcionário
ao final do mês?
(II) Quanto receberá no mês em que vendeu R$ 20.000,00 de mercadoria?
(III) Quanto é preciso vender, para receber R$ 3.200,00, em certo mês?
4. Em cada uma das funções do 1º grau a seguir, esboce o gráfico,
classifique-as em crescente ou decrescente e analise os sinais de
cada uma.
a) f(
f xx) = 1 – 3x.
b) f(
f xx) = – 1 + 2x.
10
Matemática A12
Responda aqui
11
Matemática A12
Exemplo 3
A função f(
f xx) = – 2 é uma função que relaciona todo valor x do domínio com
o valor do contradomínio y = – 2.
Essa é uma função constante, pois tem a forma f(
f xx) = b, onde b∈ℜ.
Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo horizontal.
1o passo: Nesse caso não há interseção do gráfico da função com o eixo
dos x, somente com o eixo dos y que é o ponto (0; – 2).
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfico.
x
y
(x; y)
–1
–2
(– 1; – 2)
0
–2
(0; – 2)
4
–2
(4; – 2)
O gráfico é uma reta que corta o eixo vertical em y = – 2. Acrescentaremos mais
dois pares ordenados na tabela de pontos que serão representados no gráfico.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o
gráfico.
Esse gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
A lei de formação da função é f(
f xx) = – 2, ou seja, na forma f(
f x)
x = b, sendo
b um número real.
Se b > 0 ⇒ o gráfico de f(
f x)
x passa acima do eixo dos x.
Se b = 0 ⇒ o gráfico de f(
f x)
x coincide com
o eixo dos x.
y5
4
Se b < 0 ⇒ o gráfico de f(
f x)
x passa abaixo
do eixo dos x, como ocorre com o gráfico
da função f(
f x)
x = – 2, no exemplo 3.
−5
3
2
1
−4
−3
−2
0
−1
1
2
3
4
5x
−1
−2
−3
Gráfico 6 – Função f(
f xx) = – 2
12
Matemática A12
Exemplo 4
A função f(
f x)
x = x2 é a função que relaciona todo o valor de x do conjunto
domínio ao valor de seu quadrado (xx2) no contradomínio.
Essa é uma função do 2º grau ou função quadrática, cujo gráfico é
uma parábola. Toda função com a forma f(
f x)
x = axx2 + bx + c, em que
a ∈ℜ∗, b ∈ℜ e c ∈ℜ é uma função quadrática.
1o passo: Pontos nas interseções do gráfico def(
f x)
x com os eixos.
f x)
x com o eixo dos x: f(
f x)
x = 0 ⇒xx2 = 0 ⇒ x = 0  O ponto
Interseção de f(
será (0; 0).
Interseção de f(
f x)
x com o eixo dos y: ff(0) = 02 = 0  O ponto será (0; 0).
Observe que o ponto de interseção da função f(
f x) com o eixo dos x é o
mesmo que o ponto da interseção da função f(
f x) com o eixo dos y. Isso
ocorre quando a função quadrática tem os coeficientes b e c iguais a zero.
Devemos, nesse caso, determinar outros pontos com x menores e maiores que
o x do ponto da interseção do gráfico da função com os eixos dos x e dos y.
2o passo: Construir tabela dos pontos a serem marcados no gráfico.
Foram inseridos outros valores de x, além dos encontrados para os pontos
de interseção do gráfico da função com os eixos no passo anterior e
calculados os valores de y correspondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, e representar os pontos encontrados
no passo anterior e completar o gráfico da função.
x
y
(x; y)
4
(– 2; 4)
–1
1
(– 1; 1)
0
0
(0; 0)
1
1
(1; 1)
2
4
(2; 4)
13
Matemática A12
y
4
3
2
1
−3
−2
0
−1
1
2
x
−1
Gráfico 7 – Função f(
f xx) = x2
Observe que, no gráfico, o conjunto domínio é formado por todos os números reais,
mas o conjunto-imagem é formado pelos números reais não negativos. Ou seja,
D(f)
f = ℜ, CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ+.
Agora, vamos conhecer as características principais de uma função quadrática.
Função quadrática
Uma função quadrática tem a forma f(
f xx) = axx2 + bx + c, onde a ∈ℜ*, b ∈ℜ e c ∈ℜ
são chamados de coeficientes.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada de parábola, que tem
concavidade voltada para cima, quando a > 0, ou tem sua concavidade voltada para
baixo, quando a < 0.
Na função f(
f xx) = x2 – 4xx + 3, a parábola tem sua concavidade voltada para cima, pois
a > 0. Na função g(x)
x = – x2 + 4x + 3, a parábola tem sua concavidade voltada para
baixo, pois a < 0.
Pontos notáveis do gráfico
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
14
Matemática A12
Já vimos que raiz ou zero de uma função é o valor de x para o qual f(
f x) = 0. Assim,
√
√
−b + Δ
−b − Δ
são as raízes da
e x =
f (x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒ x =
2a
2a
função, sendo Δ = b2 – 4ac chamado de discriminante.
Se Δ > 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfico da função corta o
eixo horizontal em dois pontos.
Se Δ = 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfico da função toca o eixo em
apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola).
Se Δ > 0 ⇒ A função não tem raízes reais. O gráfico da função não corta o eixo horizontal.
II. Vértice da parábola
O vértice V da parábola é mais um ponto notável do gráfico, pois é em torno dele que
ocorre a simetria dessa curva.
As coordenadas do vértice são:
(xV ; yV ) =
−
b
Δ
; −
2a
4a
III. Ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos y
É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0))
f
.
Vejamos mais um exemplo com gráfico de função quadrática.
Exemplo 5
Esboce o gráfico da função f(
f xx) = 2x2 – 3xx + 1, determinando também: (I)
as raízes; (II) as coordenadas do vértice; (III) se a ordenada do vértice é
valor mínimo ou valor máximo da função; (IV) a interseção da curva que
representa f(
f x)
x com o eixo vertical.
1o passo: Pontos notáveis do gráfico
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
É o valor de x para o qual f(
f xx) = 0. Assim, f(
f xx) = 0 ⇒ 2xx2 – 3xx + 1 = 0.
15
Matemática A12
√
√
3+ Δ
3− Δ
e x =
⇒x =
são as raízes da função, onde o
4
4
discriminante é Δ = (–3)2 –4⋅2⋅1 = 9 – 8 = 1. Ou seja, as raízes são:
√
3+ 1
3+1
4
⇒ x =
⇒ x =
⇒ x = 1. Ponto A: (1; 0).
x =
4
4
4
√
1
3− 1
3−1
2
1
x =
⇒ x =
⇒ x =
⇒ x = . Ponto B: ; 0 .
2
4
4
4
2
Veja que Δ > 0. Significa dizer que a função tem duas raízes reais e diferentes,
que são x'= 1 e x = 1 . O gráfico da função corta o eixo horizontal nos
2
pontos A e B.
y
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,55
1
0,5
0
−1
1
2
x
−0,5
Gráfico 8 – Representação da função f(
f xx) = 2x2 – 3xx + 1
II. Vértice da parábola
As coordenadas do vértice são: (xV ; yV ) =
3
1
; −
4
8
III. Ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos y
16
Matemática A12
É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0))
f
.
f 0) = 2⋅02 – 3⋅0 +1⇒f(0)
f(
f
= 1. Ponto de interseção: (0; 1).
2o passo: Construção do gráfico (v. Gráfico 8).
3o passo: Conjunto-imagem de f(
f x)
x:
Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o Conjunto-imagem
é formado por todos os valores de y maiores ou iguais ao yv, ou seja,
1
lm(f ) = y ∈ | y ≥ −
8
4o passo: Estudo dos sinais da função quadrática f(
f xx) = 2x2 – 3xx + 1
f x)
f(
x > 0 ⇒ x < 0,5 ou x > 1
f x)
f(
x = 0 ⇒ x = 0,5 ou x = 1
f x)
f(
x < 0 ⇒ 0,5 < x < 1
Observe o gráfico da função para compreender o estudo dos sinais
dessa função.
Exemplo 6
Módulo
A função f(
f xx) = |x+1
x | é a função que relaciona cada valor x do domínio com
o valor do módulo de x + 1 no contradomínio.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os
eixos dos x e dos y
Interseção do gráfico da função com o eixo dos x:
 Essa é uma
função modular,
pois é uma função
que associa cada
x do domínio
com o módulo
uma expressão
algébrica.
f xx) = 0 ⇒ |x+1
f(
x | = 0 ⇒x + 1 = 0 ou – (x+1)
x
=0
x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 ou – (x+1)
x
= 0 ⇒ – x – 1 = 0 ⇒ – x = 1⇒ x = –1
17
Matemática A12
O ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos x será (– 1; 0).
Interseção do gráfico da função com o eixo dos y:
ff(0) = |0 + 1| ⇒f(0)
f
= |1| ⇒ f(0)
f
= |1| ⇒f(0)
f
= 1.
O ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos y será (0; 1).
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfico.
x
y
(x; y)
–2
1
(– 2; 1)
–1
0
(– 1; 1)
0
1
(0; 1)
1
2
(1; 2)
Foram acrescentados dois outros valores de x, um menor e outro maior
que os determinados no passo anterior, e calculados os valores de y
correspondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabela
construída no passo anterior e completar o gráfico.
Como a expressão que está em módulo é uma função do 1º grau, o gráfico
dessa função modular é um conjunto de segmentos de retas.
Observe o gráfico 9 e verá que a função tem os seguintes sinais:
f xx) = 0 ⇒ x = –1
f(
f x)
f(
x > 0 ⇒ x ≠ –1
y
2
1
−4
−3
−2
0
−1
1
2
x
−1
Gráfico 9 – Função f(
f xx) = |xx + 1|
18
Matemática A12
Exemplo 7
Esboce o gráfico de g(x)
x = |2xx2 – 3xx +1| e faça o estudo do sinal da função.
Para fazer o gráfico da função modular g(x)
x = |2xx2 – 3xx +1|, é preciso calcular
as raízes da função que está em módulo.
Nesta aula, já calculamos estas raízes, no exemplo 5.
√
3+ 1
4
x =
⇒ x =
⇒ x = 1 .
4
4
√
3− 1
2
1
x =
⇒ x =
⇒ x = .
4
4
2
Pontos de interseção do gráfico da função com o eixo dos x: A (1; 0) e
B
1
; 0 .
2
y
3
2,5
2
1,5
1
0,5
−1
0
1
2
x
Gráfico 10 – Representação da função g(x)
x = |2xx2 – 3xx + 1|
Como se trata do módulo de uma função quadrática, o gráfico é derivado de
uma parábola, porém a função apresenta somente valores positivos ou nulos.
Compare o gráfico 10 com gráfico 8 e observe as diferenças entre eles. Veja
que os sinais das imagens entre as raízes na função g(x)
x são positivos.
O estudo de sinais da função, representada no gráfico 10, é o seguinte:
f (x) = 0 ⇒ x =
1
ou x = 1
2
f (x) > 0 ⇒ x =
1
ou x = 1
2
19
Matemática A12
Para saber mais sobre os assuntos tratados nesta aula, você pode
consultar os livros indicados na seção Referências ou na seção Leituras
complementares.
Outras características das funções modulares
Uma função f(
f xx) = |x| pode ser apresentada sob a forma
x, se x ≥ 0
é chamada de função modular.
f (x) =
−x, se x ≤ 0
Note que D(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ+*.
Uma função f(
f xx) = |g(x)
x |, terá também D(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ+, porém uma
função h(x)
x = – | g(x)
x |, terá D(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ–.
Exemplo 8
A função f(
f xx) = 2x é a função que relaciona cada valor x do domínio com o
valor de 2x no contradomínio. Essa é uma função exponencial.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os
eixos dos x e dos y.
Interseção do gráfico da função com o eixo dos x:
ff(xx) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ ∄ × ∈ℜ| 2x = 0 ⇒ Não há ponto de interseção do gráfico
da função com o eixo dos x.
Interseção do gráfico da função com o eixo dos y:
ff(0) = 20 = 1. O ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos
y será (0; 1).
20
Matemática A12
x
y
(x; y)
1
4
−2;
1
2
−1;
1
4
1
2
1
(0; – 2)
1
2
(1; – 2)
2
4
(2; 4)
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem representados no gráfico.
Foram incluídos outros valores de x e calculados os valores de y
correspondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabela
construída no passo anterior e completar o gráfico.
O gráfico dessa função é uma curva que não toca o eixo dos x.
Quanto menor o valor de x, menor será a imagem encontrada, ou seja, mais
próximo o gráfico da função se encontra do eixo horizontal, sem nunca tocálo, entretanto.
y
4
3
2
1
−3
−2
0
−1
1
2
x
−1
Gráfico 11 – Função f(
f xx) = 2x
21
Matemática A12
Características de uma função exponencial
Chama-se de função exponencial a toda função do tipo f(
f x) = ax, definida para todo
x ∈ℜ, com a > 0 e a ≠ 1.
A curva de uma função f(
f x)
x = ax passa pelo ponto (0; 1).
D(f)
f = ℜ; CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ+*.
A função é crescente para a > 1.
A função é decrescente para 0 < a <1.
Exemplo 9
As funções f(
f xx) = 2x + 1 e g(x)
x =
x
1 são exemplos de funções exponenciais.
2
A função f(
f x)
x é uma função crescente e g(x)
x é uma função decrescente.
Praticando...
2
1. Esboce o gráfico, faça o estudo do sinal e descreva o domínio e o
conjunto-imagem de cada uma das funções:
a) f(
f xx) = 3,5.
e) f(
f xx) = |2xx – 5|.
b) f(
f xx) = – 1,25.
f) f(
f xx) = – |x – 4|.
c) f(
f xx) = 3x 2 – 6xx + 3.
g) f(
f xx) = 3x – 1.
d) f(
f xx) = 2 – 5x .
2
x
1
h) f (x) =
3 .
22
Matemática A12
Responda aqui
23
Matemática A12
Outras características
das funções
Outras características e propriedades das funções são importantes. Vejamos algumas.
Funções injetoras, bijetoras e sobrejetoras
Uma função f:
f AB
B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A (xx1 e x2)
sempre possuam imagens distintas em B (respectivamente, f(
f x1) e f(
f x2)). Isto é:
se x1 ≠ x2 ⇒ f(
f x1) ≠ f(
f x2).
No gráfico de uma função, para verificar se ela é injetora, basta que passe linhas
horizontais (que podem ser imaginárias) sobre a linha que representa a função. Se cada
uma dessas linhas só cortar o gráfico da função em um ponto de cada vez, significa que
a função é injetora. Veja alguns exemplos.
Exemplo 10
Olhe o gráfico 12, que representa a função f:
f ℜ➝ℜ definida por f(
f xx) = 3x + 5.
Essa função é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para
x, obtemos dois valores diferentes para f(
f x)
x.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
−3
−2
0
−1
1
2
x
−1
Gráfico 12 – Representação da função f(
f xx) = 3x + 5
24
Matemática A12
x
y
(x; y)
–2
–1
(– 2; – 1)
5
− ;0
3
5
3
0
–1
2
(– 1; 2)
0
5
(0; 5)
−
Se você passar linhas horizontais, cada uma dessas linhas cortará o gráfico
da função em apenas um ponto de cada vez. Logo, essa função é injetora.
Exemplo 11
A função f:
f ℜ➝ℜ definida por f(
f xx) = x2 – 2 não é injetora, pois:
ff(1) = – 1 e ff(–1) = – 1.
Ou seja, para valores diferentes do domínio apresentam a mesma imagem.
No gráfico dessa função, ao passar linhas paralelas ao eixo dos x, você verá
que algumas dessas linhas cortarão o gráfico em mais de um ponto de cada
vez. Logo, essa função não é injetora.
y
2
1
−4
0
−2
2
x
−1
−2
−3
Gráfico 13 – Representação da função quadrática f(
f xx) = x2 – 2
25
Matemática A12
Uma função f:
f AB
B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos
um elemento de A, ou seja, para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que y = f(
f x)
x . Isto equivale
a afirmar que o conjunto-imagem da função deve ser exatamente igual ao contradomínio
dessa função, ou seja, Im(f)
f = CD(f).
f
Exemplo 12
A função f:
f ℜ→ℜ, f(
f xx) = 3x + 2 é sobrejetora, pois CD(f)
f = Im(f)
f = ℜ.
A função f:
f ℜ→ℜ+, f(
f x)
x = x2 é sobrejetora, pois seu CD(f)
f = Im(f)
f = ℜ+.
A função f:
f ℜ→ℜ definida por f(
f x) = 2x não é sobrejetora, pois existem
elementos do contradomínio ℜ que não fazem parte do conjunto-imagem.
Ou seja, Im(f)
f ≠ CD(f)
f.
Bijetora
 Quando uma
função é ao
mesmo tempo
injetora e
sobrejetora,
dizemos que ela é
bijetora.
Exemplo 13
A função f:
f ℜ→ℜ dada por f(
f x) = 2x é injetora e sobrejetora. Logo, é
bijetora.
Função crescente ou função decrescente
Uma função f(
f x)
x é crescente se quaisquer que sejam x1 e x2 do Domínio de ff, com x1
< x2, tivermos f(
f x1) < f(
f x2). Isto é, conforme o valor de x aumenta, os valores dos f(
f x)
x
correspondentes também aumentam.
Uma função f é decrescente se, para quaisquer x1 e x2 do Domínio de ff, com x1 < x2,
tivermos f(
f x1) > f(
f x2). Isto é, conforme os valores de x aumentam, os valores dos f(
f x)
x
correspondentes diminuem.
Uma função pode ser apenas crescente ou ser apenas decrescente para todo valor
do domínio, mas você pode ter observado que existem funções, como as funções
quadráticas ou as funções modulares, que são crescentes para uma parte do domínio
e decrescente para outra parte. E, ainda, existem funções que nem são classificadas
como crescentes nem como decrescentes, como as funções constantes.
26
Matemática A12
Exemplo 14
Seja a função f:
f ℜ→ℜ definida por f(
f x)
x = 8x + 2. Para os valores: x1 = 1 e x2
= 2, obtemos f(
f x1) = 10 e f(
f x2) = 18. Como, para quaisquer dois elementos
do domínio da função x1 < x2 implica que f(
f x1) < f(
f x2), a função f é crescente.
Seja a função g:ℜ→ℜ definida por g(x) = – 8x + 2. Para x1 = 1 e x2 = 2,
obtemos g(xx1) = – 6 e g(xx2) = – 14. Como, para quaisquer dois elementos
do domínio x1 < x2 implica que g(xx1) > g(xx2), a função g é decrescente.
Praticando...
3
1. Classifique cada uma das funções a seguir em injetora, sobrejetora ou
bijetora. (Você pode optar em esboçar o gráfico ou verificar algebricamente
cada função).
a) f(
f xx) = 2x2 – 5x
b) f(
f xx) = 3x + 5
c) f(
f xx) = 5 – 2x
d) f(
f xx) = 4x – 5xx2
2. Indique, em cada uma das funções, para quais valores de x cada uma
delas é uma função crescente e função decrescente.
a) f(
f xx) = 5 – 2x
b) f(
f xx) = 3xx + 5
c) f(
f xx) = 2xx2 – 5x
d) f(
f xx) = 4x – 5xx2
27
Matemática A12
Função composta
Considerando os conjuntos A, B e C
C, onde existem f:
f A→B
B e g:B→C,
C a função composta
é uma lei que relaciona diretamente os elementos do conjunto A com os do conjunto C.
Dadas as funções f:
f A→B
B e g:B→C,
C a composta de f com g, denotada por gof,
f é a função
definida por (gof)
f (x)
x = g(f(
f x))
x . A expressão goff pode ser lida como “g composta com f ”.
Veja a representação dessa função composta na figura 2.
A
B
x
C
f(x)
g(x)
g(f(x))
gof
Figura 2 – Representação da composição de funções
Ou seja, as operações que seriam feitas com x na função g(x)
x serão feitas com f(
f x)
x na
função composta de g(f(
f x).
x
Observe o exemplo a seguir.
Exemplo 15
Considere as funções f(
f x) = 2x + 3 e g(x) = x – 1 e determine a função
composta g(f(
f x))
x .
g(f(
f xx)) = f(
f xx) – 1 = (2x + 3) – 1 = 2x + 3 – 1 = 2x + 2.
Ou seja, (g(f(
f xx)) = 2x + 2.
28
Matemática A12
Exemplo 16
Considere as funções f(
f x) = 2xx + 3 e g(x) = x – 1 e determine a função
f g(x)).
f(
x
f g(x))
f(
x = 2g(x)
x + 3 = 2(x – 1) + 3 = 2x – 2 + 3 = 2x + 1.
Exemplo 17
Considere as funções reais definidas por f(
f x) = 4xx + 2 e g(x) =
7xx – 4. As composições fogg e goff são possíveis e, neste caso, serão
definidas por:
(fog)(x)
x = f(
f g(x))
x = f(7
f x – 4) = 4(7x – 4) + 2 = 28x – 16 + 2 = 7x – 14.
(gof)(
f xx) = g(f(
f xx)) = g(4x+2)
x
= 7(4x + 2) – 4 = 28x + 14 – 4 = 28x + 10
Observe que, em geral, f(
f g(x)) ≠ g(f(
f x)) e que existem várias maneiras de se criar
funções compostas. Podemos fazer f(
f g(x)),
x f(
f f(
f x))
x etc.
Exemplo 18
Consideremos as funções reais definidas por f(
f xx) = x2 + 1 e g(x)
x = 2x – 4.
Observe que:
A função f é a função que associa um valor x a um valor x2 + 1. Logo, a
função f(
f g(x))
x associa g(x)
x com [g(x)]
x 2 + 1. Ou seja:
29
Matemática A12
(fog) (x)
x = f(
f g(x))
x = ff(2x – 4) = (2x – 4)2 + 1 = (4xx2 – 6xx + 16) + 1 = 4x2
– 6xx + 17
A função g é a função que associa um valor x a um valor 2xx – 4. Logo, a
função g(f(
f x))
x associa f(
f x)
x com 2 ⋅ [f
[f(xx)] – 4. Ou seja:
(gof)
f (xx) = g(f(
f xx)) = g(xx2 + 1) = 2(xx2 + 1) – 4 = 2xx2 + 2 – 4 = 2xx2 – 2.
A função f é a função que associa um valor x a um valor x2 + 1. Logo, a
função f(
f f(
f x))
x associa f(
f x)
x com [f
[f(x)]
x 2 + 1. Ou seja:
(fof)(
f xx) = f(
f f(
f xx)) = (f(
f x))
x 2 + 1 = (xx2 + 1)2 + 1 = (xx4 + 2xx2 + 1) + 1 = x4
2
+ 2xx + 2
A função g é a função que associa um valor x a um valor 2x – 4. Logo, a
função g(g(x))
x associa g(x)
x com 2 ⋅ [g(x)]
x – 4. Ou seja:
(gog)(x)
x = g(g(x))
x = 2(g(x))
x – 4 = 2(2x – 4) – 4 = 4x – 8 – 4 = 4x – 12.
Funções inversas
Dada uma função bijetora f:
f AB, a função inversa de f é a função f –1: BA tal que se
–1
f a) = b, então f (b) = a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função
f(
inversa de f(
f x)
x por f –1(x).
x
Observação:
Se g = f –1(x)
x é a inversa de f(
f x)
x e f(
f x)
x é a inversa de g = f –1(x)
x , valem as relações: gof
= IA e fog = IB, sendo IA e IB, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos
A e B.
30
Matemática A12
Exemplo 19
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10} e a função f:
f AB
B definida
por f(
f x)
x = x + 3 e g: BA definida por g(x)
x = x – 3.
Cálculo da função inversa:
Seja f:
f ℜ→ℜ, f(
f x) = x + 3. Tomando y no lugar de f(
f x), teremos
y = x + 3.
Trocando x por y (e vice-versa), temos x = y + 3.
Isolando y, obtemos: y = x – 3.
Assim, g(x)
x = x – 3 é a função inversa de f (x)
x = x + 3.
Exemplo 20
Observe o cálculo da função inversa:
f xx) = x + 1
f(
y = x + 1, substituindo x por y (e vice-versa), temos: x = y + 1
Isolando o valor de y, temos: y = x – 1
Portanto, f
–1
(x)
x =x–1
Praticando...
4
1. Considerando as funções do exemplo 21, determine
a) f(
f f(
f xx)) =
c) g(f(
f x)) =
b) f(
f g(x)) =
x =
d) g(g(x))
2. Encontre o valor de f
(3), para a função f (x) =
–1
x
+ 5.
3
31
Matemática A12
Responda aqui
Operações
com funções
f e g, podemos realizar algumas operações entre elas, entre as quais:
•Adição de funções: (ff + g) (x)
x = f(
f xx) + g(x)
x
•Diferença de funções: (ff – g) (x)
x = f(
f xx) – g(x)
x
•Produto de funções: (f ⋅ g) (x)
x = f(
f x)
x ⋅ g(x)
x
•Quociente entre funções: f (x) = f (x), se g(x)
x ≠ 0.
g
g(x)
32
Matemática A12
Exemplo 21
Considerando f(
f x) = x2 + 2xx + 1 e g(x) = x + 1, observe as operações
efetuadas a seguir:
a) (ff + g) (x)
x = (x2 + 2xx + 1) + (x + 1) = x2 + 2xx + 1 + x + 1 = x2 + 3xx + 2
b) (ff – g) (x)
x = (x2 + 2xx + 1) – (x + 1) = x2 + 2xx + 1 – x – 1 = x2 + x
c) (f ⋅g) (x)
x = (x2 + 2xx + 1) ⋅ (xx + 1) = (x2 + 2xx + 1) ⋅ (x)
x + (x2 + 2xx + 1) ⋅ 1=
= (xx3 + 2xx2 + xx) + (x2 + 2xx + 1) = x3 + 2xx2 + x + x2 + 2xx + 1 =
= x3 + 3xx2 + 3xx + 1
x2 + 2x + 1
x + 1)
1
(x + 1)2
(x + 1) · (x
d) f
(x) =
=
=
=x+1
g
x+1
x+1
(x
x + 1)
Exemplo 22
Com as funções apresentadas no exemplo 21, observe as operações
efetuadas:
a) (ff + ff) (xx) = (x2 + 2xx + 1) + (x2 + 2xx + 1) = 2x2 + 4xx + 2
b) 2 ⋅ [g(x)]
x – f(
f xx) = 2 ⋅ [x+1]
x
– (x2 + 2xx + 1) = 2x + 2 – x2 – 2xx – 1= – x2 + 1.
c) [g(x)]
x 2 – f(
f xx) = [x + 1]2 – (xx2 + 2xx + 1) = x2 + 2xx + 1 – x2 – 2xx – 1 = 0.
33
Matemática A12
Praticando...
5
1. Considerando as funções apresentadas no exemplo 21, efetue as
seguintes operações:
a) 2 ⋅ f(
f x) – [g(x)]2 =
b)
3·f
g
(x) =
2. Determine a inversa da função f(
f xx) = 3x – 2.
Responda aqui
Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais dúvida, resolva a lista de
exercícios a seguir.
34
Matemática A12
a) f(
f x) = – 2.
b) f(
f x) = 16 – 3x.
c) f(
f x) = |5xx + 3|
f x) = 4x
d) f(
2. O gráfico da função afim f(
f x) = 5 – 4xx passa pelo ponto A (2; m). O valor
de m é
a) – 3.
b) – 1.
Exercícios
1. Assinale a opção que apresenta uma função afim:
c) 0.
d) 2.
3. A função que apresenta como gráfico uma reta paralela ao eixo dos x é
a) f(
f xx) = 3x2 – 2xx + 4
b) f(
f xx) = | – 4xx + 3|
c) f(
f xx) = 5x
d) f(
f xx) = – 3
4. A função quadrática cujo gráfico toca o eixo dos x em apenas um ponto e
é representado por uma parábola com concavidade voltada para baixo é
a) f(
f xx) = 3x2 – 2xx + 4
b) f(
f x) = 5 – 4xx2
c) f(
f x) = – 2xx2
d) f(
f x) = 5xx2
5. A função f: ℜ→ℜ, que pode ser classificada como bijetora é
f xx) = 3x2 – 2xx + 4
a) f(
b) f(
f xx) = | – 4xx + 3|
d) f(
f xx) = 5x
f) f(
f xx) = – 3
6. A função f(
f xx) = axx2 intersecta o gráfico da função g(x)
x = 3x em um ponto
de abscissa igual a 1. O valor de a é
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.
35
35
Matemática
Mat
mát a A12
Resposta
36
Matemática A12
A12
Nesta aula, você estudou sobre a construção de gráficos, a partir de alguns
pontos notáveis; a classificação de funções, dada a lei de formação ou
o gráfico dessa função; viu como identificar o domínio, o contradomínio
e o conjunto-imagem de uma função através da análise de seu gráfico;
determinar, quando existir, a função inversa de dada função; assim como
efetuar a composição de funções ou outras operações como a soma, a
diferença, o produto ou o quociente entre funções.
Leitura complementar
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo:
Atual Editora, 2004. (Conjuntos e Funções, v 1).
Aborda de forma detalhada alguns tópicos de Matemática. No volume 1, as funções
polinomiais do 1º grau e as do 2º grau são o tema da obra. No volume 2, você encontra
um estudo sobre as funções exponenciais.
Para consulta
Gráfico de uma função no plano cartesiano
A representação gráfica de uma função é uma linha no plano cartesiano
que só pode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical qualquer.
Gráfico de funções
Na construção de gráficos de funções no plano cartesiano, os valores de x
são representados no eixo das abscissas e f(
f x)
x ou y no eixo vertical (ou das
ordenadas). Em cada função, marque alguns pontos no plano cartesiano e
37
Matemática A12
ligue esses pontos formando o gráfico da função. A lei de formação também
define o formato do gráfico de uma função.
Função do 10 grau ou função afim
Forma geral: f(
f xx) = ax + b, a ∈ ℜ* e b ∈ ℜ.
b
Raiz (ou zero) da função: é o valor de x para o qual f(
f xx) = 0, ou seja, x = − .
a
b
Pontos de interseção com os eixos: − ; 0 e (0; b), sendo a e b os
a
coeficientes da função. Coeficiente angular: a. Coeficiente linear: b.
Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f)
f = ℜ, CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ.
Construção do gráfico: Em um plano cartesiano, marque os pontos de
interseção da função com os eixos e ligue-os passando uma reta por eles.
Casos particulares de funções do primeiro grau:
Função linear: Quando o coeficiente b = 0 ⇒ f(
f xx) = ax, a ∈ ℜ*.
Função identidade: Quando a = 1 e b = 0 ⇒ f(
f xx) = x.
Estudo do sinal de uma função afim:
Se f(
f x)
x é crescente, o estudo dos sinais é o seguinte:
b
b
b
(I) f (x) < 0 ⇒ x < − ; (II) f (x) = 0 ⇒ x = − ; e (III) f (x) > 0 ⇒ x > −
a
a
a
Se f(x) é decrescente, o estudo dos sinais é o seguinte:
b
b
b
(I) f (x) > 0 ⇒ x < − ; (II) f (x) = 0 ⇒ x = − ; e (III) f (x) < 0 ⇒ x > −
a
a
a
Função constante
Forma geral: Toda função com a forma f(
f x)
x = b, onde b ∈ ℜ.
Pontos de interseção do gráfico da função com os eixos cartesianos: Só há
interseção do gráfico da função com o eixo dos y que é o ponto (0; b), onde
b é o coeficiente da função.
38
Matemática A12
Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f)
f = ℜ, CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = {b}.
Construção do gráfico: em um plano cartesiano, marque os pontos de
interseção do gráfico da função com o eixo vertical e trace uma reta paralela
ao eixo horizontal que passe por ele. Quando b > 0, o gráfico de f:
f ℜ→ℜ é uma
reta acima do eixo dos x. Quando b < 0, o gráfico de f:
f ℜ→ℜ é uma reta abaixo
do eixo dos x.
Estudo do sinal de uma função afim:
Quando b > 0: f(
f x)
x > 0, ∀x ∈ℜ. (Lê-se ‘para todo X real’.)
Quando b < 0: f(
f x)
x < 0, ∀x ∈ℜ.
Função quadrática
Forma geral: Toda função com a forma f(
f x)
x = axx2 + bx + c, onde a ∈ℜ*, b ∈ℜ
e c ∈ℜ são seus coeficientes. Seu gráfico é uma curva chamada de parábola,
de concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0).
Pontos notáveis do gráfico
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
√
√
−b + Δ
−b − Δ
É o valor de x para o qual f (x) = 0 ⇒ x =
são
e x =
2a
2a
as raízes da função, onde Δ = b2 – 4ac é chamado de discriminante.
Se Δ > 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfico da função
corta o eixo horizontal em dois pontos.
Se Δ = 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfico da função toca
o eixo em apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola).
Se Δ > 0 ⇒ A função não tem raízes reais. O gráfico da função não corta o
eixo horizontal.
b
Δ
II. Vértice da parábola: V = (xV ; yV ) = − ; −
2a
4a
III. Ponto de interseção do gráfico da função com o eixo dos y: (0; f(0)).
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Matemática A12
Estudo dos sinais:
Observe o gráfico de cada função representada de forma genérica
na figura 4 e elabore o estudo dos sinais da função quadrática
que está estudando.
y
x'
f(x) < 0 ⇒ x' < x < x"
f(x) = 0 ⇒ x = x' ou
x = x"
f(x) > 0 ⇒ x < x' ou
x > onde x' e x" são
as raízes de f(x).
x"
x
y
y
x''
f(x) < 0 ⇒ x' < x < x"
f(x) = 0 ⇒ x = x' ou
x = x"
f(x) > 0 ⇒ x < x' ou
x > x", onde x' e x" são
as raízes de f(x).
x"
x
y
x'
f(x) = 0, x = x'(raiz).
f(x) > 0, x & x'
f(x) = 0, x = x'(raiz).
f(x) < 0, x & x'
x
x'
x
x
f(x) < 0, ™x
™ ∈ , ou
seja, a função é negativa
para todo x real.
f(x) > 0, ™x
™ ∈ , ou
seja, a função é positiva
para todo x real.
x
Figura 3 – Sinais de funções quadráticas
Função modular
Forma geral: É qualquer f(
f x)
x que associa cada valor x do domínio com uma
expressão algébrica em x que apresenta um módulo.
Pontos notáveis: Não há uma fórmula geral para os pontos notáveis, pois
a determinação dos pontos de interseção com os eixos vai depender da
expressão envolvida na lei de formação da função.
Função exponencial
Forma geral: Chama-se de função exponencial a toda função do tipo f(
f xx) =
x
a , definida para todo x ∈ℜ, com a > 0 e a ≠ 1. A curva de uma função f(
f x)
x
= ax passa pelo ponto (0; 1). A função é crescente para a > 1. A função é
decrescente para 0 < a <1.
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Matemática A12
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem: D(f)
f = ℜ; CD(f)
f = ℜ e Im(f)
f = ℜ+*.
Outras características das funções
Função injetora: f:
f AB
B é injetora, se x1 ≠ x2 (elementos de A) ⇒f(
f x1) ≠ f(
f x2).
Se no gráfico de uma função f passamos linhas horizontais, e essa linha que
representa f é ‘cortada’ somente em um ponto por vez, podemos afirmar que
a função f é injetora.
Função sobrejetora: f:
f AB
B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem
de pelo menos um elemento de A, ou seja, para todo y ∈B
B existe x ∈A tal que
y = f(
f x).
x Ou seja, Im(f)
f = CD(f).
f
Função bijetora: É toda função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Função crescente: os valores de x (do Domínio de ff) aumentam e os valores
dos f(
f x)
x correspondentes também aumentam.
Função decrescente: os valores de x (do Domínio de ff) aumentam e os valores
dos f(
f x)
x correspondentes diminuem.
Função composta:
A
B
x
C
f(x)
g(x)
g(f(x))
gof
Figura 4 – Diagrama com representação de função composta
As imagens da função f(
f x)
x servem de elementos do domínio para a função
g(x)
x . Observe que, em geral, f(
f g(x))
x ≠ g(f(
f x)).
x
Função inversa: Dada uma função bijetora f:
f A→B, a função inversa de f
é a função f –1: BA tal que se f(
f a) = b, então f –1(b) = a, quaisquer que
sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f(
f x)
x por f –1(x).
x
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Matemática A12
Operações com funções
Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações entre elas:
Adição de funções: (f + g) (x)
x = f(
f x)
x + g(x)
x
Diferença de funções: (ff – g) (x)
x = f(
f xx) – g(x)
x
Produto de funções: (f ⋅ g) (x)
x = f(
f x)
x ⋅ g(x)
x
f (x)
f
Quociente entre funções:
(x) =
, se g(x) = 0.
g
g(x)
Resposta do desafio
São representações gráficas de funções as representações dos itens A e B.
Os itens C e D não representam funções, pois cada uma das linhas verticais
traçadas cortam o gráfico em mais de um ponto. Podem ser representações
de relações entre conjuntos, mas não de funções.
y
y
x
x
A
B
y
y
x
C
x
D
Figura 5 – Gráficos
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Matemática A12
Autoavaliação
1. Associe os itens da coluna da direita com os da esquerda:
a) Função afim
(
) f(
f xx) = 3x2 – 2xx + 4
b) Função exponencial
(
) f(
f xx) = 5x
c) Função modular
(
) f(
f xx) = 4x
d) Função quadrática
(
) f(
f xx) = – 4xx + 3
e) Função constante
(
) f(
f xx) = |– 4xx + 3|
2. O que é uma função sobrejetora? Exemplifique com duas funções.
3. Dê exemplo de duas funções que para uma parte do seu domínio é
crescente e para outra decrescente.
4. Determine a função inversa de f (x) =
3 − 5x
.
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Referências
BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: aula por aula: ensino
médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 51 - 187.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações: ensino médio. São Paulo:
Ática, 2003. p. 30 - 107.
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2003. p. 56 - 117.
PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. Ensino médio: relações e funções.
2005. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/
funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008.
WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/
Fun%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008.
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Anotações
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