Caderno
de
Atividades
ENSINO MÉDIO
LIVRO DO PROFESSOR
matemática
1 . série
a
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
F292
Fedalto, Dirceu Luiz.
Matemática : ensino médio, 1ª. série : caderno de atividades /
Dirceu Luiz Fedalto ; ilustrações Cesar Stati. – Curitiba : Positivo, 2012.
: il.
Sistema Positivo de Ensino
ISBN 978-85-385-5500-1 (Livro do aluno)
ISBN 978-85-385-5501-8 (Livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos I. Stati, Cesar. II. Título.
CDU 510
© Editora Positivo Ltda., 2012
Diretor-Superintendente
Diretor-Geral
Diretor Editorial
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Ilustração
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Ruben Formighieri
Emerson Walter dos Santos
Joseph Razouk Junior
Maria Elenice Costa Dantas
Cláudio Espósito Godoy
Dirceu Luiz Fedalto
Fernanda Rosário de Mello
Solange Gomes
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2012
Contato
[email protected]
Matemática
sumário
conjuntos.....................................................................5
funções.........................................................................9
sequências numéricas...............................................39
matemática financeira..............................................46
geometria analítica....................................................51
geometria plana.........................................................55
trigonometria............................................................59
exponenciais e logaritmos.......................................68
3
Matemática
Conjuntos
1.Sendo A = {1, 9, 8}, B = {1, 5, 0} e C = {2, 4, 5, 6, 8},
classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
( V ) 1 ∊ A ( V ) 1 ∊ B ( F ) 1 ∊ C ( V ) A = {x / x é algarismo do número 1989}
( F ) C = {x / x é número par menor que 10}
( F ) 8 ∊ B
( V ) 8 ∊ A
( V ) 0 ∊ B
2.Escreva todos os elementos de cada um dos seguintes conjuntos:
a) A = {x / x é número par positivo e menor que 10}
A = {2, 4, 6, 8}
b)B = {x / x é letra do alfabeto anterior à letra G}
B = {a, b, c, d, e, f }
c) C = {x / x é letra inicial do nome dos meses do
ano}
C = {J, F, M, A, S, O, N, D}
3.Escreva os elementos pertencentes a cada um dos
conjuntos abaixo:
a) A = {x / x é número natural e menor que 6}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b)B = {x / x é vogal}
B = {a, e, i, o, u}
c) C = {x / x é número natural, ímpar e menor que 9}
C = {1, 3, 5, 7}
4.Dado A = {1, 4, 8, 11}, escreva os subconjuntos
de A, tais que:
a) seus elementos sejam múltiplos de 4;
{4, 8}
b)seus elementos sejam divisores de 5;
{1}
c) seus elementos sejam menores que 10;
{1, 4, 8}
d)seus elementos sejam maiores que 11.
Ø
5.Sejam A = {x / x é número par entre 3 e 15},
B = {x / x é número par menor que 15} e
C = {x / x é número par diferente de 2}.
Usando os símbolos ⊂ ou ⊄, relacione entre si os
conjuntos:
a) A e B
A⊂B
b)A e C
A⊂C
c) B e C
B⊄C
6.Sendo o conjunto universo o conjunto dos estados do Brasil, considere:
A = {x / x é Estado onde a língua oficial é o alemão}
B = {x / x é Estado onde não existem praias}
C = {x / x é Estado banhado pelo Oceano Pacífico}
D = {x / x é Estado cujo nome começa pela letra T}
Classifique em V (verdadeira) e F (falsa) as afirmações:
( V ) A é vazio;
( F ) B é unitário;
( V ) C é vazio;
( V ) D é unitário.
5
Caderno de Atividades
7.Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e
B = {0, 1, 2, 3, 4}. Determine os elementos que
pertencem a cada conjunto, discriminando-os:
9.Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao
INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas de assistência médica, A e
B, conforme o quadro:
a) A ∪ B
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
CONVÊNIO A
b)A ∩ B
430
A ∩ B = {0, 2, 4}
c) B ∩ B
B ∩ B = {0, 1, 2, 3, 4}
d)A – B
A – B = {6, 8}
e) B – A
CONVÊNIO B
160
SOMENTE INSS
60
O número de filiados simultaneamente às duas empresas A e B é x. Determine o valor de x.
Só INSS
430 – x
x
160 – x
A
60
B
B – A = {1, 3}
f ) A ∪ A
A ∪ A = {0, 2, 4, 6, 8}
430 – x + x + 160 – x + 60 = 600
650 – x = 600
x = 50
8.Considere o diagrama a seguir:
10.Considere A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2} e
De acordo com o diagrama, escreva:
a) Todos os elementos do conjunto A.
A = {a, b, c, d, e, f }
b)Todos os elementos do conjunto B.
B = {e, f, g, h, i, j}
c) Todos os elementos do conjunto A ∪ B.
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h ,i, j}
d)Todos os elementos do conjunto A ∩ B.
A ∩ B = {e, f }
e) Aqueles elementos de A que não pertencem a B.
A – B = {a, b, c, d}
f ) Aqueles elementos de B que não pertencem a A.
B – A = {g, h, i, j}
6
B = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0}. Escreva todos os
elementos que pertencem a:
a) A ∪ B
A ∪ B = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}
b)A ∩ B
A ∩ B = {–3, –2, –1, 0}
c) (A ∪ B) – (A ∩ B)
(A ∪ B) – (A ∩ B) = {–6, –5, –4, 1, 2}
d)A – B
A – B = {1, 2}
e) B – A
B – A = {–6, –5, –4}
f ) (A ∪ B) – A
(A ∪ B) – A = {–6, –5, –4}
g)(A ∪ B) – B
(A ∪ B) – B = {1, 2}
Matemática
11.Enumere todos os elementos de cada conjunto:
a) A = {x ∊ Z / x > – 5 e x ⩽ 3}
A = {– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}
b)B =Z {x ∊ N / x ≠ 0 e x ⩽ 7}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) C = {x ∊ Z / – 6 ⩽ x < 2}
1
; – 3;
2
3
12
4
e, em seguida, repre2; 0; – ; – 1; − ; 5;
6
4
2
sente-os na reta real.
14.Escreva em ordem crescente os números
4
3 1 12
−3, − , −1, − , 0, , 2, , 5
2
6 2 4
C = {– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1}
12.Sendo x = 0,313131... e y = 0,696969..., então
x + y é igual a:
a) 1
b)1,1000...
c) 1,111...
d)1,001001001...
xe) 1,010101...
x=
31
x+y=
A B
31
99
presentando as relações indicadas entre os conjuntos.
a) A ∩ B
y=
99
15.Em cada item, desenhe um possível diagrama, re-
+
69
b)A ∩ B ∩ C
99
69
99
=
100
99
A B
= 1, 0101...
13.Os números que seguem, apesar de apresentarem
um número infinito de casas decimais, são racionais
p
(dízimas periódicas). Escreva-os na forma com p
q
e q inteiros e q ≠ 0:
c
c) A ∪ C
A C
a) 0,5555...
5
d)A – B
9
b)0,131313...
A B
13
99
c) 4,3333...
4+
3
9
=
39
e) A ∪ B ∪ C
9
A B
d)2,7777...
2+
7
9
=
25
9
c
7
Caderno de Atividades
16.Identifique quais números são racionais e quais são irracionais:
a) – 9/5
Q b)0,3333...
c) π
Q d)1,25
Q e) 2
I f ) 2,71828...
I g)2
h)
I 3
I ( 2)
i) 2p
2
Q I j)
(
2− 3
k) 0,001
)
2
Q l) 0,919191...
Q 17.Represente, na reta real, cada um dos números a seguir:
a) – 1/2 b) 3 c) 1,5 d)
2 e) 1/2 f ) –3 g) – 2,5 h) 1
1,5
1
1
2
2
– 3 – 2,5 0 1 3
−
2
18.O conjunto B = {x ∈ R / x2 + 1 = 0} é vazio ou unitário? Justifique.
O conjunto B é vazio pois não existe solução real para a equação x2 = –1.
19.Classifique as afirmações abaixo em V (verdadeiras) ou F (falsas):
( V ) 0 ∊ Q
( V ) 7 ∊ R – Q ( V ) 3,14159... ∊ R – Q
3
∊ Q – Z 4
20
( F )
∊Q–Z
5
( V )
Anotações
8
( F ) 0,777... ∊ R – Q
( F ) 9 ∊ R – Q
( V )
( V ) – 5 ∊ Z – IN
1
∊R–Q
3
I Matemática
funções
1.Determine:
{x ∊ R / 3x – 12 > 0} ∩ {x ∊ R / 5 – x ≥0}
3x – 12 > 0
4.São dados os intervalos A = [–2; 2] e B = [0; 4].
Represente na reta dos reais cada conjunto abaixo:
a) A ∩ B
3x > 12
– 2 4
X>4
4
5
– x ≥ –5 . (– 1)
x≤5
4 5
{x ∈ R / 4 < x ≤ 5} 2.Represente na reta real os seguintes intervalos:
a) [–5; 11]
b)[0; 3[
c) ]–3; 3[
d)] 2 ; 5 ]
1 3
e) [– ; [
2 2
b)A ∪ B
0 2
c) B – A
2 4
– 5 11
d)A – B
0 3
– 3 3
– 2 0
2 5
−
1
2
3
2
5.Determine A ∪ B, quando:
A = {x ∊ R / – 4 < x ⩽ 1} e B = {x ∊ R / 2 ⩽ x ⩽ 3}
3.Determine os seguintes subconjuntos da reta real,
escrevendo na forma de intervalos:
a) intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
de extremos 2 e 5;
]2; 5]
b)intervalo fechado de extremos 3 e 7;
[3; 7]
– 4 1
2 3
– 4 1 2 3
A ∪ B = { x R / – 4 < x ≤ 1 ou 2 ≤ x ≤ 3 }
c) intervalo aberto de extremos – 5 e 0;
]–5; 0[
d)intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
de extremos 5 e 8;
[5; 8[
e) o conjunto dos números inteiros pertencentes
ao intervalo do item d.
{5, 6, 7}
6.Classifique as afirmações abaixo em V (verdadeiras)
ou F (falsas):
( V ) ]– 4; 4[ ∩ [4; 5[ = ∅ ( f ) ]– 2; 1] ∪ [0;3[ = [1;3[ 7
( f ) A = {x ∈ N / x > 1 e x < } é unitário
2
( f ) [1; 3] ∪ ]0; 5] = [1;5]
9
Caderno de Atividades
7.Num triângulo equilátero a medida do lado é representada por x e a medida do perímetro é representada por
y. Responda:
a) Qual é a expressão matemática que expressa a relação entre x e y?
y = 3x
b)Nesta expressão, que é uma lei de associação de uma função, qual é a variável independente e qual é a variável dependente?
independente (x) e dependente (y)
c) Se x = 4,1, qual o valor de y?
y = 3 . 4,1 ∴ y = 12,3
d)Se y = 9 3 , qual o valor de x?
9 3 = 3x
9 3
3
= x∴x = 3 3
8.Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em B. Marque um X ao lado dos diagramas que
representam funções f: A → B.
( x )
A
B ( x )
A
B ( x )
A
B
( )
A
B
9.Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {0, 2, 4, 6}, obtenha a seguinte relação de A em B, com x ∈ A e y ∈ B.
Relação: {(x, y) / y = x – 1}
Você deverá escrever os pares ordenados que correspondem a essa relação.
10
x = 1
y=0
x = 2
y=1
x = 3
y=2
x = 4
y = 3
x = 5
y=4
x = 6
y=5
R = {(1,0) (3, 2) (5, 4)}
Matemática
10.O número y de unidades produzidas de um produto qualquer, durante um mês, é função do número x de
funcionários empregados de acordo com a lei de formação y = 50 x . Sabendo que 49 funcionários estão
empregados, determine o acréscimo de produção com a contratação de mais 32 funcionários.
Se x = 49 → y = 50
49 Se x = 49 + 23 = 81
81 y = 50 . 7
y = 50
y = 350
y = 50 . 9
y = 450
Acréscimo:
450 – 350 = 100 unidades
11.Um estacionamento cobra R$ 4,00 pela 1a. hora e R$ 2,00 a cada hora depois da 1a.
a) Estabeleça uma relação matemática entre o valor V a ser pago por deixar um carro estacionado x horas (x > 1).
V(x) = 4 + 2x (x > 1)
b)Qual o valor a ser pago por deixar no estacionamento um automóvel durante 12 horas?
V(12) = 4 + 2 . 12 = 4 + 24 = 28 R$ 28,00
c) Na função V = f(x), qual é a variável dependente?
V → Valor a ser pago. (dependente do número de horas)
12.Dada a função f: R → R definida por f(x) = x2 – 5x + 6, calcule os valores de:
a) f (0)
f (0) = 02 – 5 . 0 + 6 = 6
b)f (– 2)
f (– 2) = (– 2)2 – 5 . (– 2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20
c) f (1)
f (1) = 12 – 5 . 1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2
d)f (5)
f (5) = 52 – 5 . 5 + 6 = 25 – 25 + 6 = 6
e) f (2)
f (2) = 22 – 5 . 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
f ) f (3)
f (3) = 32 – 5 . 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0
g)f (–1)
f (–1) = (–1)2 – 5 . (–1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12
h)f (4)
f (4) = 42 – 5 . 4 + 6 = 16 – 20 + 6 = 2
13.Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine:
a) o conjunto imagem da função f: A → B definida
por f(x) = x2
x = –2 ∴ y = 4
x=–1∴y=1
x=0∴y=0
Im = {0, 1, 4}
b)o conjunto imagem da função f: A → B definida
por f(x) = 2x + 2
x = – 2 ∴ y = 2 . (– 2) + 2 ∴ y = – 2
x = – 1 ∴ y = 2 . (– 1) + 2 ∴ y = 0
x = 0 ∴ y = 2 . 0 + 2 ∴ y = 2
x = 1 ∴ y = 2 . 1 + 2 ∴ y = 4
Im = {–2, 0, 2, 4}
11
Caderno de Atividades
14.Dados os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2} e
B = {–1, 0, 1, 2, 3} e a função f: A → B, definida
por f(x) = x2 – 1, determine o domínio, o contradomínio e a imagem de f.
A f B
–1
–1
0
0
1
1
2
2
17.Assinale com um X somente os gráficos que representam uma função:
( X )
3
( ) f(x) = x2 – 1 Dom (f ) = {–1, 0, 1, 2} = A
f(– 1) = (– 1) – 1 = 0
DC (f ) = {–1, 0, 1, 2, 3} = B
f(0) = 02 – 1 = –1 Im (f ) = {–1, 0, 3}
2
f(1) = 1 – 1 = 0
2
f(2) = 22 – 1 = 3
15.Seja a função f: A → B definida por y = 2x, onde
( X )
A = {–3, –1, 1, 3} e B = {–6, –4, –2, 0, 2, 4, 6}.
a) Represente f: A → B por meio de diagrama.
A B
–6
–3
–4
–1
–2
1
0
3
2
( X ) 4
6
b)Escreva o conjunto correspondente a D(f ).
D(f ) = {– 3, – 1, 1, 3}
c) Escreva o conjunto correspondente a Im(f ).
Im(f ) = {–6, –2, 2, 6}
16.Marque V para as afirmações verdadeiras e F para
as falsas:
( F )Dada a função f: R → IR definida por f(x) = x2,
então f(–2) = –4.
( V )Se f(x) = x - 4 , a condição de existência da
função é x ≥ 4.
( F )Se g(x) = 2x2 + x, então g(–3) = –9.
( V )Considere a função f(x) = 3x – 6, então para
obtermos f(x) = 0, é preciso x = 2.
f(– 2) = (– 2)2 = 4
x – 4 ≥ 0
x ≥ 4
12
g(– 3) = 2 . (–3)2 + (– 3)
= 2 . 9 – 3
= 18 – 3
= 15
3x – 6 = 0
3x = 6
x=2
ATENÇÃO: Para que o gráfico num plano cartesiano ortogonal represente uma função, cada x do
domínio da função deve ter um único valor de y
correspondente.
18.Numa cidade, os táxis cobram uma quantia fixa
correspondente a R$ 3,00, chamada bandeirada, e
R$ 1,50 por km rodado.
a) Sendo y o valor pago em função da quilometragem x percorrida, escreva a lei de formação
dessa função.
y = 3 + 1,5 . x
Matemática
b)Qual o valor a ser pago por uma corrida de 8 km?
y = 3 + 1,5 . 8
y = 3 + 12
y = 15 ∴ R$15,00
c) Qual é o polígono que tem 9 diagonais?
x( x − 3)
2
18 = x 2 − 3x
9=
x 2 − 3x − 18 = 0
x = 6 e x = – 3
(não serve)
d)Qual o polígono em que o número de diagonais
é o dobro do número de lados?
c) Quantos km percorreu um táxi se o valor pago
pela corrida foi R$ 48,00.
d = 2x
2x =
4x = x2 – 3x
48 = 3 + 1,5 . x
x2 – 3x – 4x = 0
48 – 3 = 1,5x
45
=x
1, 5
x = 30 ∴ 30 km
x2 – 7x = 0
x( x − 3)
2
x(x – 7) = 0
x=0
x = 7 heptágono
20.A função y = x2, com domínio [–2, 2], está reprex( x − 3)
, a letra y representa o nú19.Na fórmula y =
2
mero de diagonais de um polígono convexo de x
sentada graficamente abaixo:
y
lados.
Sendo x um número inteiro maior que 3, responda:
a) Quantas diagonais tem o pentágono?
x=5
5(5 − 3)
2
5⋅ 2
y=
2
y = 5 diagonais
y=
–2
0
2
x
a) Obtenha o conjunto imagem.
[0; 4]
b)Resolva a equação x2 = 1.
b)E o decágono?
x2 = 1
x = 10
x=±
10(10 − 3)
2
10 ⋅7
y=
2
y = 35 diagonais
x=±1
y=
1
c) Qual o maior valor dessa função?
y=4
d)E o menor valor?
y=0
13
Caderno de Atividades
21.Considere o gráfico de uma função f:
22.Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções reais:
a) g(x) = x
y
y = g (x)
6
2
4
1
– 2 – 1
2
x
–1
–6
0
–2
2
4
6
7
8
x
–2
–2
b)f(x) =
x
3
y = f (x)
a) Obtenha o domínio da função f.
[–6; 8]
b)Indique o conjunto-imagem da função f.
x
– 3 – 1
1 3
[–2; 6]
c) Qual é o valor máximo de f(x)?
f(x) = 6
d)Qual é o valor mínimo de f(x)?
c) h(x) = 3x
y = h (x)
f(x) = –2
3
e) O ponto (6; 2) pertence ao gráfico da função?
Sim.
–1
1 x
f ) Para que valor de x tem-se y = 0?
y = 0 para x = 7
g)Em que intervalo a função decresce?
–3
[4;8]
h)Calcule f(–4) + f(3).
f(–4) + f(3)
d)t(x) = – x
y = t (x)
2+6=8
2
1
–2
14
–1
x
Matemática
23.Dadas as funções y = 2x – 1 e y = x + 1:
a) represente num mesmo sistema cartesiano seus
gráficos;
 y = 2x − 1
b)resolva o sistema de equações: 
y = x + 1
c) Quanto vale x, se f(x) = 2?
2 = 2x + 6
2 – 6 = 2x
2x = – 4
X=–2
(Observe que as soluções do sistema é o ponto de interseção das
duas retas).
d)Para que valor de x temos f(x) = 0?
y
f(x) = 0
2x + 6 = 0
3
2x = –6
2
−6
2
x=–3
x=
1
1 2
x
25.Sejam as funções f(x) = 2x, g(x) = 2x – 2 e
h(x) = 2x + 1, de domínio IR.
2x – 1 = x + 1
2x – x = 1 + 1
a) Construa os gráficos das três funções no mesmo
sistema de coordenadas.
x=2
y
y=2+1
2x = f (x)
g (x)
y=3
S = {(2, 3)}
2
24.Considere a função f(x) = 2x + 6.
–1
a) Dê o domínio e o conjunto-imagem da função.
1
D(f ) = R e Im(f ) = R
 1
b)Calcule f(0), f(1) e f   .
 2
f(0) = 2 . 0 + 6 = 6
f(1) = 2 . 1 + 6 = 8
1
 1
= 2⋅ + 6 = 7

 2
2
x
–2
h (x)
b)Como podemos obter o gráfico de g(x) a partir
do gráfico de f(x)?
descendo 2 unidades em y
f
c) Como podemos obter o gráfico de h(x) a partir
do gráfico de f(x)?
subindo 1 unidades em y
15
Caderno de Atividades
26.Obtenha, em cada caso, a lei de formação da função afim, cujo gráfico passa pelos pontos:
a) (–1; 2) e (2; –1)
b)(2; 3) e (1; –4)
y = ax + b
y = ax + b
2 = –a + b
3 = 2a + b
–1 = 2a + b
–4=a+b
−2a + 2b = 4

2a + b = −1
2a + b = 3

−2a − b = 8
/ 3b = 3
/ – b = 11
b=1
b = – 11
a = –1
a=7
y=–x+1
y = 7x – 11
c) (4; –1) e (1; 3)
y = ax + b
–1 = 4a + b
3=a+b
4a + b = −1

−a - b = −3
3a / = – 4
−4
a=
3
13
b=
3
y=
−4 x 13
+
3
3
d)(2; 2) e (–3;
1
)
2
y = ax + b
2=a.2+b
1
2
= a . (– 3) + b
2a + b = 2

−1
3a − b = 2
5a =
a=
3
2
3
10
b = 2 – 2a
b = 2 − 2⋅
b = 2−
16
3
10
3x 7
3 b = 7 y =
+
10 5
5
5
Matemática
27.Vamos considerar s(t) uma função de R+ → R+,
que descreve o espaço percorrido por um automóvel (em km) em relação ao tempo (em horas), conforme o gráfico abaixo:
b)(3; 7)
7 = 3a + 0
a=
y=
s (km)
100
50
7
3
7
x
3
c) (–1; –3)
– 3 = – 1a + 0
0
1 2 3 4
t (h)
a=3
y = 3x
a) Escreva a lei de formação da função s(t).
y = ax + b
100 = 2a + b
50 = a . 1 + b
100 = 2 . 50 + b
a + b = 50

−2a − b = −100
100 – 100 = b
b=0
– a = – 50
y = ax + b
a = 50
y = 50x
s(t) = 50t
d)(2; 5)
5 = 2a + 0
5
a=
2
y=
5
2
x
29.O gráfico de uma função afim definida por
y = f(x) = ax + b é a reta r:
y
b)Calcule s(7) e s(3).
4
s(7) = 50 . 7 = 350 km
s(3) = 50 . 3 = 150 km
3
r
c) Podemos considerá-la uma função linear?
Sim
28.Obter para cada item abaixo a função linear cujo
gráfico passa por:
a) (– 4; 2)
−
1
2
a) Obtenha a lei de formação dessa função.
(3, 0) → 0 = a . 3 + b
(0, 4) → 4 = a . 0 + b
{
3a + b = 0
b=4
2 = –4a + 0
a= −
x
1
2
1
y=− x
2
a= −
4
3
4
f (x) = − x + 4
3
17
Caderno de Atividades
b)Por que podemos considerá-la uma função decrescente?
a < 0, conforme x aumenta y diminui
c) Obtenha f(10).
f(10) = −
4
⋅ 10 + 4
3
40
+4
3
40
= − + 12
3
28
=−
3
=−
b)Quais são lineares?
III, VI e VIII
c) Quais são constantes?
II e V
31.Considere a função f(x) = ax + b, com a < 0 e b > 0.
Assinale a única representação gráfica correta para esta
função:
x a)
y
x
d)Obtenha x tal que y = – 10.
4
−10 = − x + 4
3
4
−10 − 4 = − x
3
3 ⋅ ( −14) = −4x
−42 = −4x
42 21
x=
=
4
2
b)
y
x
c)
y
x
30.Considere as funções reais definidas abaixo:
I. f(x) = x – 2
II. f(x) = 3 III. f(x) = 6x
d)
y
x
IV. f(x) = 1 – 3x
V. f(x) = –
2
VI. f(x) = x
VII. f(x) = –4 + 3x
x
VIII. f(x) = – − 1 x
3
a) Quais funções são denominadas de função afim?
I, IV, VII
18
e)
y
x
a < 0 decrescente
b > 0 (corta o eixo y)
Matemática
32.Determine os zeros de cada uma das seguintes
funções:
a) y = 2x – 4
b)f(x) =
y=
2x – 4 = 0
2x = 4
x=
x=2
b)y = –x + 3
1
–x
2
1
−x
2
y
1
2
–x + 3 = 0
x=3
f(x) > 0 se x <
c) y = 2x
f(x) < 0 se x <
2x = 0
x=0
d)y =
1
f(x) = 0 se x =
2
1
x
2
1
2
x
−1
3
x
− 1= 0
3
x
=1
3
x=3
y
c) f(x) = 4x – 1
y = 4x – 1
x=
33.Estudar o sinal de uma função significa determinar
para quais valores de x temos: f(x) = 0, f(x) > 0 e
f(x) <0.
Estude o sinal das funções abaixo:
1
4
1
f(x) = 0 se x =
4
1
f(x) > 0 se x > 4
1
f(x) < 0 se x<
4
1
4
x
–1
a) f(x) = 2x – 5
y = 2x – 5
y
2x = 5
x=
d)f(x) = 3 –
5
2
f(x) = 0 se x =
f(x) > 0 se x >
f(x) < 0 se x <
5
2
2
5
2
5
2
3
–1
x
1
x
6
y
1
y = 3− x
6
x = 18
f(x) = 0 se x = 18 f(x) > 0 se x < 18
f(x) < 0 se x > 18
2
6
x
19
Caderno de Atividades
34.Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, representada pela função
P(t) = 50 – 5t, onde P é o preço da máquina (em reais) e t é o tempo de uso (em anos).
Obtenha:
b)o custo dessa máquina ao sair da fábrica;
a) o gráfico dessa função;
P(0) = 50 – 5 . 0
P(0) = 50
y (P)
c) o custo dessa máquina após 5 anos de uso;
P(5) = 50 – 5 . 5
25
P(5) = 50 – 25
P(5) = 25
d)o tempo para que essa máquina se desvalorize
totalmente.
x
5 10
0 = 50 – 5t
5t = 50
t=
50
5
t = 10
35.Determine a lei de formação da função representada pelo gráfico abaixo. Observe que essa função é definida
por uma tripla sentença:
y
4
6
–4
0
–1
2
Primeira sentença (da esquerda para a direita): pares ordenados ⇒ (–4;0) e (0;4)
0 = − 4a + b 0 = − 4a + b
⇒
⇒ 4a = 4 ⇒ a = 1

4 = 0a + b
b = 4
f(x) = x + 4; –4 ≤ x ≤ 0
Segunda sentença (da esquerda para a direita): função constante.
f(x) = 4; 0 ≤ x ≤ 2
Terceira sentença (da esquerda para a direita): pares ordenados ⇒ (2;4) e (6;–1)
4 = 2a + b
−4 = −2a − b
5
⇒
⇒ −5 = 4a ⇒ a = −

1
6
1
6
−
=
a
+
b
−
=
a
+
b
4


5
13
⇒b =
2
2
5
13
−5x + 26
f (x) = − x + ⇒ f (x) =
;2 ≤ x ≤ 6
4
2
4
b = 4 − 2a ⇒ b = 4 +
20
x
Matemática
36.Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00,
independentemente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número
mínimo de unidades, a partir do qual a firma começa a ter lucro?
f(x) = 0,80x – 4000
0,80 – 4000 > 0
0,80x > 4000
x > 5000
37.Qual deve ser o valor de m para que a função f(x) = (2m – 2)x2 + x – 3 seja do 2.o grau?
2m – 2 ≠ 0
2m ≠ 2
m≠1
38.Para a função f(x) = x2 – 2x – 3, definida nos reais, calcule:
a) f(2)
c) f(– 1)
e) f(– 3)
a) f(2) = 2² – 2 . 2 – 3
f(– 1) = (– 1)² – 2 . (– 1) – 3
f(– 3) = (– 3)² – 2 . (– 3) – 3
f(2) = – 3
f(– 1) = 1 + 2 –3 ∴ f(– 1) = 0
f(– 3) = 12
b)f(0)
d)f(5)
f(0) = 0² – 2 . 0 – 3
f(5) = 5² – 2 . 5 – 3
f(0) = – 3
f(5) = 12
39.Represente graficamente as funções quadráticas definidas nos reais:
a) f(x) = x2 – 4x +3
b)f(x) = 1 – x2
y
x
–2
y
–3
0
–1
0
2
–1
0
1
3
0
1
0
4
3
2
–3
x
0
y
3
1
0
y
x
x
21
Caderno de Atividades
c) y = x2 + 2x
x
–3
d)f(x) = – x2
y
y
3
x
–2
y
–4
–2
0
–1
–1
–1
–1
0
0
0
0
1
–1
1
3
2
–4
y
x
x
40.A função do 2.o grau definida por f(x) = ax2 + bx + c está representada abaixo:
y
0
2
4
x
–4
Determine os valores de a, b e c.
c = 0
(4; 0) → a . 4² + b . 4 + 0 = 0
16a + 4b = 0 (÷4)
4a + b = 0

2a + b = −2 ⋅ ( −1)
4a + b = 0
4a + b = 0
2
.
.
− 2a − b = 2
(2, – 4) → a 2 + b 2 + 0 = – 4
2a = 2
4a + 2b = – 4 ( ÷ 2)
4.1+b=0
b=–4
2a + b = – 2 a = 1
41.Considere a função definida por f(x) = (m – 2)x2 + 2x – 4. Determine o valor de m para que:
a) a função seja do 2.o grau;
m–2≠0
m≠2
22
b)a função tenha como gráfico
uma parábola com concavidade voltada para cima;
c) a função tenha como gráfico
uma parábola com concavidade voltada para baixo.
m–2>0
m–2<0
m>2
m<2
Matemática
42.Determine as raízes (zeros) de cada uma das funções a seguir:
a) f(x) = x2 – 6x + 5
e) f(x) = 4x2 – 4x + 1
4x² – 4x + 1 = 0
4 ± 16 − 16
8
4±0
x=
8
4
x=
8
1
x=
2
x=
x² – 6x + 5 = 0
6 ± 36 − 20
2
6 ± 4 x = 5
x=

2 x = 1
x=
b)f(x) = 4 – 2x2
4 – 2x² = 0
2x² = 4
x² = 2
x=± 2
x= 2
x=–
2
c) f(x) = 3x2 + 6x
f ) f(x) = x2 – 4x + 5
x² – 4x + 5 = 0
4 ± 16 − 20
2
4 ± −4
x=
2
x=
A função não tem raízes reais
43.Considere a função quadrática definida por
f(x) = ax2 + bx + c, cujo gráfico é:
y
3x² + 6x = 0
3x . (x + 2) = 0
2
x=0
x=–2
d)f(x) = 3x2 – 10x + 3
3x² – 10x + 3 = 0
10 ± 100 - 36
6
10 ± 8
x=
6
x=3
1
x=
3
x=
0 3 6 x
Assinale (V) ou (F), conforme as afirmações sejam
verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( V ) o número real c é zero.
b)( F ) o número real a é positivo.
c) ( F ) o gráfico admite um eixo de simetria em y = 2.
d)( V ) b2 > 4ac.
e) ( F ) o menor valor da função é y = 2.
f ) ( V ) a função é crescente para x < 3.
23
Caderno de Atividades
44.Para que valores de k a função definida por f(x) = x2 – 3x + k + 1 admite:
a) duas raízes reais e iguais?
b)duas raízes reais e diferentes?
D=0
D>0
b² – 4 . a . c =0
(– 3)² – 4 . 1 . (k + 1) > 0
(– 3)² – 4 . 1 . (k + 1) = 0
9 – 4k – 4 = 0
– 4k + 5 > 0
– 4k > – 5. (– 1)
– 4k + 5 = 0
5
k= +
4
4k < 5
k < 5
4
45.Qual deve ser o valor de m para que o gráfico da função y = 2x2 + x + m passe pelo ponto P(3; – 1)?
y = 2x² + x + m
– 1 = 2 . 3² + 3 + m
– 1 = 18 + 3 + m
– 1 – 21 = m
m = – 22
46.Abaixo estão esboçados gráficos de funções quadráticas da forma f(x) = ax2 + bx + c e Δ = b² – 4ac. Para cada
gráfico determine o sinal de a, b, c e Δ, conforme o exemplo:
c)
a > 0; b < 0; c = 0 e
D>0
a)
24
a >0; b< 0; c >0 e D < 0
d)
a > 0; b > 0; c > 0 e D > 0
b)
a < 0; b > 0; c < 0 e D = 0
e)
a < 0; b = 0; c > 0 e D > 0
a > 0; b > 0; c < 0 e D >0
Matemática
47.Dada a função f(x) = x2 – 6x + 5:
a) Determine as raízes da função.
x’ = 5
x” = 1
b)Obtenha as coordenadas do vértice.
− b − ( − 6)
=
=3
2a
2 ⋅1
y v = f (3) = 32 − 6 ⋅ 3 + 5
yv = − 4
xv =
d)Faça um esboço do gráfico da função.
2 = a . 1² + b . 1 + 4
a+b+2=0
–a + 2 = 0
a = –2
b = –2 . (–2)
5
b=4
1
–4
5
V
48.Obtenha o valor de m de modo que a função
f(x) = 2x² + (m +1)x – 2 tenha valor mínimo para
x = 3.
−b
xv =
2a
− (m + 1)
3=
2. 2
− m −1
3=
4
12 = −m −1
m = − 1− 12
m = −13
49.Qual deve ser o valor de k para a função
f(x) = – x2 + (2k – 4)x = 1 admita valor máximo
para x = 6?
k=8
−b
2a
−b
1=
2a
− b = 2a
b = − 2a
xv =
a – 2a + 2 = 0
valor mínimo = yv = – 4
−b
2a
− (2k − 4)
6=
2 ⋅ ( − 1)
− 2k + 4
6=
−2
6=k −2
função y = ax2 + bx + 4 tenha o vértice no ponto
(1; 2).
y = ax² + bx + 4
c) Qual é o valor mínimo da função?
xv =
50.Determine os valores de a e b para que o gráfico da
51.Para cada uma das funções abaixo, determine as
coordenadas do vértice e o conjunto imagem:
a) f(x) = x2 – 4x + 5
− ( − 4)
2 ⋅1
xv = 2
xv =
yv = f(2) = 2² – 4 . 2 + 5
yv = 1
V = (2; 1)
Im =[1; +∞[
b)f(x) = 2x2 + 8x
−8
2⋅ 2
xv = − 2
xv =
yv = f(–2) = 2 . (–2)² +8 . (–2)
yv = –8
V = (–2; –8)
Im =[–8; +∞[
25
Caderno de Atividades
c) f(x) = – x2 + 4x – 4
−4
2 ⋅1( −1)
xv = 2
→ 2 ⋅ ( −1)
xv =
yv = f(2) = – 2² +4 .2 –4
yv = 0
V = (2; 0)
Im =]–∞; 0]
d)f(x) = – x2 + 1
−b
2⋅a
0
xv =
2 ⋅ ( − 1)
xv = 0
xv =
52.Dada a função f(x) = 3x2 + 6x + k, determine k
para que valor mínimo da função seja 4.
−6
2⋅3
xv = − 1
3 . ( − 1)2 + 6 . ( − 1) + k = 4
xv =
3−6+k = 4
−3+k = 4
k =7
53.Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = – 20t2 + 200t.
Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto
tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?
h (m)
500 m
yv = f(0) =0² + 1
yv = 1
V = (0; 1)
Im = ]–∞; 1]
e) f(x) = 2x2 – x – 1
− ( − 1)
2⋅2
1
xv =
4
0
xv =
2 1
 1
 1
yv = f   = 2⋅   − − 1
 4
 4
4
1 1
yv = 2⋅ − − 1
16 4
1 1
1− 2 − 8
y v = − − 1=
8 4
8
−9
yv =
8
 1 − 9
V= ; 
4 8 
9
Im = [ − ; ∞[
8
26
− 200
2 ⋅ ( − 20)
− 200
xv =
− 40
xv = 5
xv =
yv = –20 . 5² + 200 . 5
yv = –500 + 1000
yv = 500
altura máxima : 500 m
tempo: 5s
5 s 10 s
t (s)
Matemática
54.A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é
regulada em função do tempo t, de acordo com a
lei dada por f(t) = – 0,5t2 + 4t + 10. Determine a
temperatura máxima atingida por essa estufa.
− 36
4 ⋅ ( − 0,5)
− 36
y=
= 18
−2
−∆
4a
2
∆ = b − 4 ⋅ a⋅ c
y=
xv =
∆ = 42 − 4 ⋅ ( − 0,5) ⋅ 10
∆ = 16 + 20
∆ = 36
b)Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?
−b
2a
− ( − 80)
xv =
= 40 aparelhos
2 ⋅ (1)
xv =
2500
Resposta:18°C
55.Em uma fazenda, um trabalhador deve construir
um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 40 m de tela, o homem decide aproveitar
um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Qual será a área máxima desse cercado, sabendo
que o muro tem extensão suficiente para ser lateral
de qualquer galinheiro construído com essa tela?
MURO
Galinheiro
x
x
40 – 2x
A(x) = (40 – 2x) . x
A(x) = – 2x² + 40x
∆ = b² – 4 . a . c
∆ = 40² – 4 . (– 2) . 0 = 1600
Área máxima: yv
0 40
57.Para uma determinada viagem, foi fretado um
avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar
R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar
que ficar vago.
a) Qual a receita arrecadada, se comparecerem 150
pessoas para a viagem?
R(x) = ?
nº. de pessoas : x
nº. de lugares vagos: 200 – x
R(X) = 300 . x + 6 .x . (200 – x)
R(X) = 300x + 1200x – 6x²
R(X) = – 6x² + 1500x
R(150) = – 6 . 150² + 1500 . 150
yv
yv
− ∆ − 1600
=
=
4a
−8
= 200m2
56.O custo diário da produção de uma indústria
de aparelhos de telefone é dada pela função
C(x) = x2 – 80x + 2500, onde C(x) é o custo em
reais e x é o número de unidades fabricadas.
a) Qual será o custo se forem fabricadas 100 unidades?
C(100) = 100² – 80 . 100 + 2500
R(150) = 90.000
b)Qual a máxima receita que pode ser arrecadada
nas condições do problema?
xv =
− 1500
2 ⋅ ( − 6)
xv = 125
R(125)= –6 . 125² + 1500 . 125
R(125) = 93.750
C(100) = 10000 – 8000 + 2500
C(100) = 4.500
27
Caderno de Atividades
58.Escreva a função representada pelo gráfico abaixo:
y
c) f(x) = – x2 + 2x – 3
não tem raízes reais
∆<0
– – – – – – – – – – – x
3
2 4
x
–2
y = a . (x – 2) . (x – 4)
y = a . (x² – 6x + 8)
f(x) < 0 para qualquer valor de “x” real
(3; 2) ⇒ – 2 = a . (3² – 6 . 3 + 8)
d)f(x) = x2 – 1
– 2 = a . (– 1)
raízes: x’=–1 e x=1
a=2
y = 2x² – 12x + 16
59.Faça o estudo do sinal de cada uma das funções
+ + + + + +
quadráticas:
– 1 – – – 1
a) f(x) = – x2 + x + 2
razões: x’ = 2 x’’ = –1
f(x) = 0 se x = –1 ou x = –1
f(x) > 0
f(x) < 0 – 1
2
x
f(x) < 0
f(x) > 0 se x < –1 ou x > 1
f(x) = 0 se –1 < x < 1
60.Considere uma função quadrática cujo gráfico é:
y
f(x) = 0 → x = –1 e x = 2
f(x) > 0 → –1 < x < 2
2 3 4
f(x) < 0 → x < –1 ou x > 2
0
b)f(x) = x2 – 6x + 9
raiz: x=3
x
–2
a) Quais são as raízes da função?
x’ = 2 e x’’ = 4
+ + + + + + + +
x' = x" = 3
f(x) = 0 → x = 3
f(x) > 0 → x ≠ 3
28
x
b)A função admite um valor máximo ou mínimo?
Que valor é esse?
Mínimo e o valor é –2
c) Determine o conjunto-imagem da função.
Im = [–2; +∞[
Matemática
d)Obtenha os valores de x para os quais y > 0.
63.Resolva, nos reais, as inequações:
a) x2 – 4x + 3 < 0
y > 0 se x < 2 ou x > 4
e) Obtenha os valores de x para os quais y < 0.
raízes: 1 e 3
y < 0 se 2 < x < 4
61.Para que valores de x a função f(x) = – x2 + 7x – 12
é positiva?
+ + + + + +
raízes: x’ = 4 x’’ = 3
1 – – – 3
S= ]1; 3[
+ + +
b)– x2 + 3x + 4 > 0
– – – 3 4 – – –
raízes: 4 e –1
+ + + – – – – + + +
– 1 4
f(x) > 0 se 3 < x < 4
62.Construa, num mesmo sistema cartesiano, os grá-
ficos das funções definidas por f(x) = x2 – 2x e
g(x) = x + 4. Determine os pontos de intersecção
dos gráficos de f e g.
f (x) = x2 – 2x
g (x) = x + 4
x
–1
y
3
x
–1
y
3
0
0
0
4
1
–1
1
5
2
0
2
6
3
3
3
7
4
8
4
8
S= ]–1; 4[
c) x2 + 2x + 1 = 0
raíz: x = –1
+ + + + + +
– 1
S = {–1}
d)x2 + 2x + 2 < 0
Não tem raízes reais
+ + + + + +
Ponto de intersecção
(–1; 3 ) e (4; 8)
x
S=∅
29
Caderno de Atividades
2
64.Determine os valores reais de x para os quais x − 2 ≤ 1
x2 − 2
− 1≤ 0
x
x2 − 2 − x
≤0
x
x2 − x − 2
f (x)
≤0
x
g( x ) = x
f (x) = x2 – x – 2
x
+ + + – – – – – – + + + +
– 1 2
+ + + + + +
– 1 – – – 2
– – – – – – + + + + + + + +
0
– + – + g (x) = x
– 1 0 2
f (x)
g (x)
f (x) / g (x)
– – – – + + + +
0
S = {x ∈ R / x ≤ –1 ou 0 < x ≤ 2}
65.Sendo f(x) = x2 – 3, calcule x, de modo que – 2 ≤ f(x) ≤ 6.
– 2 ≤ x² – 3 ≤ 6
I x2 – 1 ≥ 0
– 2 ≤ x³ – 3 e x² – 3 ≤ 6
– 1 1
x² – 1 ≥ 0 e x² – 9 ≤ 0
I
+ + + + + +
– 1 – – – 1
II x2 – 9 ≤ 0
+ + + + + +
– 3 – – – 3
– 3 3
– 3 – 1 1 3
II
I e II
S = [–3; 1] U [1; 3]
66.Para que valores de x as duas inequações x2 + x – 6 > 0 e x2 + 3x – 4 < 0 se verificam simultaneamente?
x² + x– 6 > 0
x² + 3x – 4 < 0
raízes: – 3 e 2
raízes: – 4 e 1
– 3 2
+ + + + + +
+ + + + + +
– 3 – – – 2
– 4 – – – 1
– 4 1
– 4 – 3
{x ∈ R / – 4 < x <– 3}
30
Matemática
67.Resolva as inequações:
a) x2 + 3 < 4x
x² – 4x + 3 < 0
raízes: 1 e 3
+ + + + + +
1 – – – 3
2
b)x + 7x – 1 > 5x + 2
S = {x ∈ R / 1 < x < 3} = ] 1; 3 [
x² + 7x –1 – 5x +2 > 0
x² + 2x + 1 > 0
x’ = x’’ = –1
+ + + + + + + +
– 1
2
c) 5 ≤ x – 4 ≤ 3x
5 ≤ x² – 4 e x² – 4 ≤ 3x
S = R – {– 1} ou S = { x ∈ R / x ≠ – 1}
X2 – 9 ≥ 0
x² – 9 ≥ 0 e x² – 3x – 4 ≤ 0
– 3 3
+ + – 3 – 3
– 1 4
X2 – 3X – 4 ≤ 0
3 4
+ + – 1 – 4
S = [3; 4]
68.Resolva os sistemas de inequações:
a) x 2 + x − 2 ≤ 0

2x + 2 > 0
x² + x – 2 ≤ 0
2x + 2 > 0
+
+ +
– 2 – 1
Solução do sistema
S = ] – 1; 1 [
– 2 1
– – 1
– 1
– 1 1
31
Caderno de Atividades
b) x 2 + 3x − 10 > 0
 2
x − 1≤ 0
x² + 3x – 10 > 0
x² – 1 ≤ 0
+ +
+ +
– 5 – 2
– 1 – 1
– 5 2
– 1 1
S=∅
c) x 2 − 5x + 4 ≤ 0

2x − 6 > 0
x² – 5x + 4 ≤ 0
2x – 6 > 0
1 4
+
+ +
– 3
1 – 4
3 3 4
S = ] 3; 4 ]
69.Determine o conjunto-solução das inequações abaixo:
a)  2x + 4 ⋅  x2 + 2x - 3 < 0
f(x)
f(x) = 2x + 4
g(x)
g(x) = x² + 2x – 3
– – – – – – + + + + + + + +
+
– – 2
– 2
+ +
– 3 – + 1
+ + – – – – – – – – – + + + g (x)
– 3 1
– + – + – 3 – 2 1
S = ] – ∞ ; – 3 [U] – 2; 1[
32
f (x)
f (x) . g (x)
Matemática
b)  x2 − 4 ⋅  -x2 + x - 6 ≤ 0
f(x)
g(x)
f(x) =x² – 4
g(x) = – x² + x – 6
– – – – – – – – – – – – – – –
+ +
– 2 – 2
+ + + + + – – – – – – + + + f (x)
– 2 2
– – – – – – – – – – – – – – – –
– + – – 2 2
g (x)
f (x) . g (x)
S = {x ∈ R / x ≤ – 2 ou x ≥ 2}
f(x)
2
c) x +2x -8 ≥ 0
x+3
g(x)
f(x) = x² + 2x – 8
+ +
– 4 – 2
g(x) = x + 3
– – – – – – – – – – – – – – –
+
– – 3
+ + – – – – – – – – + + + – 4 2
f (x)
– – – – – – + + + + + + + – 3 g (x)
– + – + – 4 – 3 2
f (x) . g (x)
S = [– 4; – 3 { U { 2; + ∞ [
f(x)
d) x +2x < 0
2 4
-x
+
g(x)
2
f(x) = x² + 2x
+ +
– 2 – 0
g(x) = – x² + 4
– – – – – – – – – – – – – – –
+
– – 2 2 –
+ + – – – + + + + + +
– 2 0
f (x)
– + + – – 2 2
g (x)
– – + – – 2 0 2
f (x) / g (x)
S = [– ∞; – 2 [ U [ – 2; 0 [ U } 2; + ∞ [
33
Caderno de Atividades
70.Quantos são os valores de x inteiros que satisfazem a desigualdade: (2x +1) . (x2 + 2x – 15) < 0?
f(x) = 2x + 1
g(x) = x² + 2x – 15
+
– – 0,5
+ +
– 5 – 3 – – – – – – + + + + + +
– 0,5
f (x)
+ + – – – – – – – + + +
– 5 3
g (x)
– + – + – 5 – 0,5 3
Resposta: infinitos
71.Resolva a inequação nos reais:
( 2x + 2 ) . ( x 2 + 2x − 8 )
x2 + x − 2
≥0
f(x) = 2x + 2
+
– – 1
+ +
– 2 – 1 + +
– 4 – 2 – – – – – – + + + + + +
– 1
+ + – – – – – – – + + +
– 4 2
+ + – – + + – 2 1
– + – + – + – 4 – 2 – 1 1 2
S = [– 4; – 2 [ U [ – 1; 1 [ U [ 2; + ∞ [
34
h(x) = x² + x – 2
g(x) = x² + 2x – 8
f (x)
g (x)
h (x)
Solução
Matemática
72.Observe os gráficos abaixo, que representam funções de A em B, sendo A e B subconjuntos de R. Então f, g e
h são, respectivamente:
y y y
B B B
f g b
x x x
A A A
a) injetora, sobrejetora e bijetora; d) injetora, bijetora e bijetora;
x b) sobrejetora, injetora e bijetora; e) bijetora, sobrejetora e bijetora.
c) bijetora, bijetora e bijetora;
73.Seja D = {1, 2, 3, 4, 5} e f: D → R a função definida por f(x) = (x – 2) . (x – 5). Então:
x – 5x – 2x + 10
a) f é sobrejetora;
f(x) = x2 – 7x + 10
b)f é injetora;
c) f é bijetora;
x d) O conjunto-imagem de f possui somente 3 elementos;
e) Im(f ) = {0, 4, – 4, 2}.
2
74.Sendo as funções f(x) = 3x + 4 e g(x) = x2 – 1. Calcule:
a) f (g(2))
g(2) = 4 – 1 = 3
f(g(2) = 3 . 3 + 4 = 13
1→4
2→0
3 → –2
4 → –2
5→0
f(1) = x2 – 7x + 10 = 4
f(2) = x2 – 7x + 10 = 0
f(3) = x2 – 7x + 10 = – 2
f(4) = x2 – 7x + 10 = – 2
f(5) = x2 – 7x + 10 = 0
Im(f ) = {– 2, 0, 4}
75.Sendo as funções de R em R, tais que f(x) = 3x – 1
e g(x) = x + 3, calcule:
a) (f o g)(x)
(g 0 f ) (x) = 3 (x +3) – 1 = 3x + 8
b)(g o f )(x)
(f 0 g) (x) = 3x – 1 + 3 = 3x + 2
b)g (f(3))
f(3) = 3 . 3 + 4 = 13
g (f(3)) = 132 – 1 = 168
c) (g o g)(x)
(g 0 g) (x) = x +3 + 3 = x + 6
76.As funções f e g, de IR em IR, são tais que
f(x) = 2x – 3 e (fog)(x) = 2x – 7. Determine g(x).
(fog) (x) = 2x – 7
2 g(x) – 3 = 2x – 7
c) f (f(– 1))
f(–1) = 3 (– 1) + 4 = 1
g( x ) =
2x − 4
2
g(x) = x – 2
f (f(–1)) = 3 . 1 + 4 = 7
35
Caderno de Atividades
77.Sendo as funções f(x) = 3x – 1 e g(x) = – x + 3,
determine:
a) f – 1 (x)
78.Sendo f(x) =
a) g – 1(x)
2x − 1
3
2y − 1
x=
3
y=
y = 3x – 1
x = 3y – 1
f–1 (x) = y =
2x − 1
, determine:
3
x +1
3
2y = 3x + 1
f −1( x ) = y =
b)g – 1 (x)
3x + 1
2
b)g – 1(2)
y = –x + 3
x = –y + 3
3 ⋅ 2 +1
2
7
f −1(2) =
2
f −1(2) =
y = –x + 3 → g–1 (x) = –x + 3
79.Observe o gráfico de f e calcule f – 1:
y
10
f(2) = 10x 10 = 2a + b 2a = 6 ∴ a = 3
f(0) = 4 4 = 0 . a + b ∴ b = 4
y = 3x + 4
(0, 4)
x = 3y + 4
Calcular f–1.
0
f(x) = 3x + 4
2 x
y = 3x + 4
x = 3y + 4
x
x+2
y
x=
y+2
xy + 2x − y = 0
xy − y = −2x
y( x − 1) = −2x
−2x
y=
( x − 1)
y=
x
80.Dada a função f(x) = x + 2 , determine f – 1 (x).
x
x+2
y
x=
y+2
xy + 2x − y = 0
xy − y = −2x
y( x − 1) = −2x
−2x
y=
( x − 1)
y=
36
x−4
3
x
−4
f(−x1) =
3
y=
Matemática
81.Dada a função f(x) = x − 1 , determine f – 1(x).
2x + 4
x −1
2x + 4
y −1
x=
2y + 4
y=
a) f ( x ) = | 2x + 3 |
3
x ≥ − → 2x + 3 ≥ 0 → f(x) = 2x + 3
2
x < 0 → 2x + 3 < 0 → f(x) = – (2x + 3 )
f(x) = – 2x – 3
−3
f(x) = 2x + 3, x ≥
2
−3
–2x – 3, x <
2
y
2 xy + 4x = y – 1
2 xy – y = –4x – 1
y(2x – 1) = – 4x – 1
y=
85.Construa os gráficos das funções:
−4x − 1
2x − 1
3
82.Calcule:
a) | 4 | = 4
−
x
3
2
b)g ( x ) = | – x +1 |
b)| 7 | = 7
g(x) = – x + 1
c) |– 4| = 4
d)|– 7| = 7
y
e) | 0 | = 0
f ) |
3 – 1| =
3 –1
1
x
g)|1 – p| = – 1 + p
1
83.Coloque V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa:
a) ( V ) | 5 | = |– 5|
b)( F ) | 7 – 2 | = 7 + 2
c) ( V ) | – 5+ | 3 – 1|| . = 3
d)( V ) | 2 – 7 | = – 2 + 7
c) h ( x ) = | x2 – 6x + 8 |
xI = 2
xII = 4
84.Calcule:
y
a)
( −5)2
= |– 5| = 5
b)
( −3)2
= |– 3| = 3
8
c) x 2 = | x |
d)
( x − 3)2
= |x – 3|
2
4
37
Caderno de Atividades
86.Resolva, em R:
a) | x + 2 | = 4
x+2=4
87.Resolva, em R:
a) | x | < 10
*|x| < a → – a < x < a
*|x| > a → x < – a ou x > a
– 10 < x < 10
x=2
b)| x | > 10
x + 2 = –4
x < – 10
x = –6
ou
x > 10
b)| x – 6 | = 10
x – 6 = 10
x = 16
x – 6 = –10
x = –4
c) | – 2x + 4 | = 5
88.Resolva, em R: | 2x +1 | ≤ 5
– 5 ≤ 2x + 1 ≤ 5
– 6 ≤ 2x ≤ 4
–3≤x≤2
89.Resolva, em R: | – x + 3| > 4
–x+3<–4
– 2x + 4 = 5
x<+7
– 2x = 1
1
x=−
2
ou
– 2x + 4 = –5
– 2x = –9
9
x=
2
d)| 3x – 8 | = 0
x=
8
3
–x+3>4
– x > 1 → x < –1
90.Resolva, em R:
|x – 3| = 5 → x – 3 = – 5 91.Resolva, em R:
– 8 < 2x – 5 < 8
– 4x + 8 = – 2
– 4x = – 10
10 5
=
4 2
– 4x + 8 = 2
x=
– 4x = – 6
6 3
x= =
4 2
38
ou x = – 2 |2x – 5| < 8
e) | – 4x +8 | = – 2
( x − 3)2 = 5
– 2 < 2x < 13
3
13
− <x<
2
2
(2x − 5)2
<8
x–3=5
x=8
Matemática
sequências numéricas
1.Uma sequência numérica é uma progressão aritmética (PA) se a diferença entre dois termos sucessivos é sempre a mesma. Verifique, em cada caso, se
a seqüência é uma PA:
3.Os números 2, x e 18, nessa ordem, são três termos
consecutivos de uma PA.
a) Obtenha x.
x=
a) (– 2, 0, 2, 4, 6)
P.A. r = 2
x=
b)(16, 16, 16, ...)
2 + 18
2
20
2
x = 10
P.A. constante r = 0
c) (1000, 1001, 1010, 1100)
b)Qual a razão dessa PA?
Não é P.A.
(2; 10; 8)
r = 10 – 2 = 18 – 10 = 2
d)(– 12, – 9, – 6, – 3, 0)
P.A. r = 3
c) Qual o 4º. termo dessa PA?
7
4 5
2
e)  , 1 , , , 2 , 
3
3
3 3
P.A. r =
a4 = a3 + r = 18 + 2 = 20
4.Escreva:
1
a) uma PA de 5 termos onde o 1.o termo (a1) é 10 e
a razão (r) é 3;
3
f ) (– 12, – 14, – 16, – 18, ...)
P.A. r = –2
(10; 13; 16; 19; 22) PA r = 3
b)uma PA de 8 termos onde a1 = 6 e r = – 4;
g)(201, 205, 215, 218)
(6; 2; –2; –6; –10; –14; –18; –22) PA r = – 4
Não é P.A.
c) uma PA de 6 termos onde a1 = – 3 e r = 5;
2.Escreva o 6.o e o 7.o termo da PA (5, 16, 27, ...).
(–3; 2; 7; 12; 17; 22) PA r = 5
r = 11
 +11 +11 +11 +11 +11 +11 +11
a6 = 60  5 , 16 , 27, 38, 49, 60, 71
a6 a7 

a7 = 71
d)uma PA de 5 termos onde a1 = 1 e r = 2π.
(1; 1 + 2π, 1 + 4π, 1 + 6π, 1 + 8π) PA r = 2π
5.A população de um país cresce anualmente como uma PA de razão 120 000. Sabendo que em 2004 a população do país era de 6 800 000 habitantes, qual deverá ser o número de habitantes em 2010?
+r

→
6.800.000,6.920.000,7.040.000,7.160.000,7.280.000,7.400.000,7.520.00)PA r = 120000
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Em 2010 → 7.520.000 habitantes
39
Caderno de Atividades
6.Numa PA, determinar a20, sabendo que a1 = – 3 e
r = 5.
an = a1 + (n – 1) . r
an = a1 + (n – 1) . r
184 = 100 + (8 – 1). r
a20 = – 3 + (20 – 1) . 5
184 – 100 = 7r
a20 = 92
7r = 84
7.A sequência de números ímpares positivos forma a
PA (1, 3, 5, 7, ...). Verifique qual é o 100o. número
ímpar positivo.
an = a1 + (n – 1) . r
8.Classifique cada sentença abaixo em verdadeira (V)
ou falsa (F):
( V ) A sequência (5, 9, 13, 17, 21) é uma PA.
( F ) A razão da PA ( 2 , 2 2 , 4 2 , 6 2 ) é 2.
( F ) Na PA (1, 7, 13, 19, ...), a1 = 1 e r = 5.
1
1
( V ) Se numa PA a1 = e r = , então a4 = 2.
2
2
( V ) A PA (5, 4, 3, 2, ...) é decrescente.
( V )Na PA (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23), temos que
a 1 + a 7 = a 2 + a 6.
( F ) A PA (– 38, – 34, – 30, – 26) é decrescente.
9.Sabendo que (1, 3 + x, 17 – 4x) são termos consecutivos de uma PA, ache o valor de x.
a) a soma dos 50 números naturais pares;
 0 + 98 
.50
 2 
Sn = 
Sn = 49 ⋅ 50 = 2450
b)a soma dos 50 números naturais ímpares.
 1+ 99 
⋅ 50
 2 
Sn = 
Sn = 50 ⋅ 50 = 2500
13.A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada
por n2 – 4n, n ∈ N*. Obtenha o termo geral desta
PA.
a) o 1.o termo da PA;
(1)² – 4(1) = 1 – 4 = –3
a+ c
a1 = –3
2
3+ x =
12.Calcule:
Sn = 
a100 = 199
b=
r = 12
 a1 + an 
.n
 2 
a100 = 1 + (100 – 1) . 2
1+ 17 − 4x
b)o 2.o termo da PA;
2
(2)² – 4 (2) = 4 – 8 = – 4
6 + 2x = 18 − 4x
– 4 = a1 + a2
2x + 4x = 18 − 6
a2 = –4 – (–3) = – 1
6x = 12
c) a razão da PA;
r = a2 – a1
x=2
10.Os múltiplos de 4 compreendidos entre 10 e 130
formam a PA (12, 16, 20, ..., 124, 128). Determine o número de termos desta PA.
r = – 1 – (– 3) = – 1 + 3 = 2
d)o termo geral dessa PA.
an = a1 + (n – 1). r
128 = 12 + (n – 1) . 4
an = a1 + (n – 1) . r
a = – 3 + (n – 1) . 2
128 – 12 = 4n – 4
an = – 3 + 2n – 2
116 + 4 = 4n
an = 5 + 2n
4n = 120
40
11.Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184.
n
n = 30
Matemática
14.Calcular a soma dos termos da PA finita com:
a) 50 termos, se a15 + a36 = 100
a1 + 14r + a1 + 35r = 100
2a1 + 49r = 100
 a1 + an 
 2 
S50 = 
 a1 + a1 + 49r 


2
S50 =
S50 =
2a1 + 49r
2
 a1 + a31 
⋅n
 2 
S31 = 
S31 = a16 ⋅ 31
⋅n
S50 = 
b) 31 termos, se a16 = 50
S31 = 50 ⋅ 31
⋅ 50
531 = 1550
⋅ 50
100 ⋅ 50
2
S50 = 2500
15.No desenho, os segmentos representam palitos de fósforo:
1a. fila
2a. fila
3a. fila
4a. fila
Na 1.a fila existem 3 palitos, na 2.a fila há 7 palitos, e assim por diante.
a) Quantos palitos existirão na 20.a fila?
b)Quantos palitos ao todo existirão nas 20 filas?
an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 3 + (20 – 1) . 4
a20 = 3 + 76
a20 = 79
 a1 + an 
 2 
⋅n
 3 + 79 
 2 
⋅ 20
Sn = 
Sn = 
Sn =
82
2
⋅ 20
Sn = 820
41
Caderno de Atividades
16.Observe cada PG, calcule a razão e classifique-a:
Exemplo: PG (1, 2, 4, 8, ...) q = 2 – crescente
a) PG (3, 6, 12, 24, ...)
q=
(– 2, 6, – 18, ...).
a1 = – 2
6
= 2 crescente
3
q=–3
a10 = a1 . q9
a10 = (–2) . (–3)9
b)PG (– 64, – 32, – 16, ...)
q=
a10 = (–2) . (–19.683)
−32 1
= crescente
−64 2
a10 = 39.366
19.Calcular a razão das progressões geométricas abai-
c) PG (4, 1, 1 , 1 ...)
4 16
q=
18.Calcular o décimo termo da progressão geométrica
xo:
a) PG (243, a2, a3, a4, a5, 32, ...)
1
decrescente
4
a6 = a1 . q5
32 = 243 . q5
d)PG (6, 6, 6, 6, ...)
q5 =
6
q = = 1 constante
6
 2
q5 =  
 3
e) PG (5, – 10, 20, – 40, ...)
q=
32
243
5
 2
q= 5  
 3
−10
= −2 oscilante
5
q=
f ) PG (0, 0, 0, 0, 0, ...)
0
Com
é indeterminado, a razão pode ser qualquer valor
real. 0
17.Dado as progressões geométricas abaixo, calcule o
5
2
3
b)PG (a1, 12, a3, a4, a5, 972, ...)
a6 = a2 . q4
a6 = 972
a2 = 12
9o. termo de cada uma delas:
972 = 12 . q4
a) PG (– 18, – 9, −9 , ...)
2
−9 1
q=
= −18 2
a9 = −18 ⋅
a9 = a1 . q 8
8
a1 = −18
 1
a9 = −18 ⋅  
 2 b)PG (1, 1 , 1 , ...)
2 4
1
2
a9 = a1 . q8
 1
a9 = 1⋅  
 2
a9 =
q=
42
1
256
8
a9 =
1
256
−18 −9
=
256 128
972
= q4
12
q4 = 81
q = ± 4 81
q = 3 ou q = – 3
20.Inserindo cinco meios positivos entre 5 e 320, nesta
ordem, obtém-se uma progressão geométrica de
razão:
(5, __, __, __, __, __, 320)
a) 4
a1 = 5 a7 = a1 . q6 320 = q6
b) 3
5
a7 = 320 320 = 5 . q6
2
64 = q6
c) 2
q = ± 6 64
d)– 4
q = 2 ou q = –2
e) – 2
Matemática
21.Sendo a seqüência (4x, 2x + 1, x – 1) uma PG, então
o valor de x é:
a) − 1 8
b)– 8
x
c) − 1
3
d)4
e) 3
5
b =a.c
2
(2x + 1)2 = 4x . (x – 1)
4x2 + 4x + 1 = 4x2 – 4x
4x + 4x = –1
8x = –1
x=
−1
8
24.Se os números 2, x, y, 54 estão formando, nesta ordem, uma progressão geométrica, então, o valor de
x + y é:
a) 6
q = 3 27
a4 = a1 . q3
3
54 = 2 . q
q=3
b)12
54
c) 18
= q3 x y
2
(2, 6, 18, 54)
d)24
3
x + y = 24
27 = q
e) 30
25.Calcule a razão e o 10o. termo da
22.Calcule o valor de x + y, sabendo que uma PG é
(2; x; 32) e a outra PG é (3, y, 27).
a) – 4
b)8
c) 15
d)17
e) – 6
b2 = a . c
 x
( x + 1) = (2x + 5)⋅  
 2
2
x2 = 2 . 32
y2 = 3 . 27
x + y = 17
x = 64
y = 81
x + y = –17
x = ± 64
y = ± 81
x+y=1
x = 8 ou x = –8
y = 9 ou y = –9
x + y = –1
2
2
23.O valor da razão da PG cujos elementos verificam
as relações:
a1 + a3 + a5 = 21

a2 + a4 + a6 = 42
a) 2
b)3
c) 4
d)5
e) 6
a1 . q (1 + q2 + q4) = 42 2x 2 5x
+
x 2 + 2x + 1=
2
2
x
5
x 2 + 2x + 1= x 2 +
2
5x
− 2x = 1
2
5x − 4x
=1
2
x
=1
2
x=2
q=
(9; 3; 1;...)
1
3
a10 = a1 . q9
 1
a10 = 9 ⋅  
 3
a10 = 32 ⋅
9
1
1
1
=
=
39 37 2187
26.Calcular a soma dos dez primeiros termos da
PG (1, 2, 4, 8, ...).
a1 + a1 ⋅ q2 + a1 ⋅ q4 = 21

1
3
5
a1 ⋅ q + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q = 42
a1 . (1 + q2 + q4) = 21 PG (2x + 5; x + 1; x ; ...), sabendo que seus termos
2
são valores positivos.
I
dividindo II por I
a1.q(1+ q2 + q4 ) 42
=
2
4
II a1.(1+ q + q ) 21
q=2
Sn =
a1⋅(qn − 1)
q −1
1⋅(210 − 1)
2 −1
S10 = 1024 − 1
S10 =
S10 = 1023
43
1− 1024
S10 = 1024
1
−
2
  1  10 
1023
1⋅    − 1
−
  2

S10 = 1024
S10 =
1
1
−
−1
2
27.Calcular a soma dos dez1 2primeiros termos
1023 da
−1
1
1
PG (1, , , ...). S10 = 1024
S10 = 1024
1
1
2 4
−
2
2
1023 1
1− 1024
  1  10 
S10 =
⋅
1⋅    − 1
1024
2
S10 = 1024
  2

1
1023
S10 =
−
S10 =
1
2
512
−1
2
1023
−
1
−1
S10 = 1024
1
S10 = 1024
−
1
2
−
2
1023
1− 1024
S10 = 1024
1
S10 = 1024
1
2
−
2
1023 1
S10 =
⋅
1023 dos n primeiros
28.Se a soma
termos
da PG (1, 3, 9, ...)
1024
2
−
1024
1023
éS101 =093, 1então o número
n de termos dessa PG é:
S10 =
−
512
a) 6
2
a ⋅ (qn − 1)
2186 = 3n – 1
Sn = 1
1023
q −1
b)7
2186 + 1 = 3n
n
S10 = 1024
⋅
−
1
3
1
(
)
c) 8 1
1093 =
2187 = 3n
3 −1
2
d)9
37 = 3n
3n − 1
1023 1
S10 10
=
⋅ 1093 =
n=7
e)
2
1024 2
1023
S10 =
512
Caderno de Atividades
29.Numa PG, tem-se a3 = 4 e a6 = – 320. Calcular a
soma dos nove primeiros termos dessa PG.
a6 = a3 . q3 – 32 = 4 . q3
– 8 = q3
q = 3 −8
30.Calcular o limite da soma dos infinitos termos da PG
(1, 1 , 1 , ...).
2 4
a1
1− q
1
1
S∞ =
= =2
1 1
1−
2 2
S∞ =
31.Sendo S = 1 +
de S.
S∞ =
1 1
+ ..., então calcule o valor
+
4 16
1
1 4
a1
=
= =
1 − q 1− 1 3 3
4 4
32.Resolva a equação 3x + 2x +
4
x + ... = 288.
3
3
8
3x + 2x + x + s + ... = 288
4
9 a1
1− q
2x
2x
= 6x
S∞ =
=
2
1
1−
3 3
S∞ =
3x + 6x = 288
9x = 288
q=–2
x = 32
a3 = a1 . q2
a3 = a1 . q12
4 = a1 . (–2)2
a1 = 1
3 9
a ⋅ (q9 − 1)
S9 = 1
q −1
1⋅ (( −2) − 1)
9
S9 =
−2 − 1
−513
S9 =
−3
S9 = 171
44
33.Resolva a equação x + x + x + ... = 60.
a1
1− q
x
60 =
1
1−
3
x
2
∴ x = 60 ⋅ ∴ x = 40
60 =
2
3
3
S∞ =
Matemática
34.A soma de todos os infinitos termos de uma progressão geométrica estritamente decrescente é
512
. Se o primeiro termo dessa progressão
igual a
3
for 128, então o sexto termo é:
1
a) a
S∞ = 1
8
a1 = 128
1− q
1
a
= a1 . q5
512 128
6
b)
=
5
3
1− q
2
 1
512 ⋅ (1− q) = 128 ⋅ 3 a6 = 128 ⋅  
4
1
128.3
c)
1
1
1− q =
4
a6 = 128 ⋅
=
512
1024 8
3
1
1− q =
d) −
4
8
3
q = 1−
1
4
e) −
1
32
q=
35.Calcule a soma 10– 1 + 10– 2 + 10– 3 + ... .
1
10
1
q=
10
a1 =
a1
1− q
1
10
S∞ =
1
1−
10
1
1
10
S∞ =
= = 0,1111...
9 9
10
S∞ =
4
Anotações
45
Caderno de Atividades
matemática financeira
1.Numa classe de 42 alunos, há 18 moças e 24 rapazes.
a) Encontre a razão entre o número de moças e o
número de rapazes.
18
24
=
18
42
=
7
x
2
=
=
5
y
2+5
5
21
=
x y
= e
2 5
por 3 cm de altura (3 x 4). Se ela deve ser ampliada
para 20 cm de largura, obtenha a altura correspondente.
3
5
x y z , sendo x + y + z = 81.
= =
2 3 4
x
2
x
2
3
mos “o produto dos meios igual ao produto dos extremos”. Aplicando esta propriedade, escreva quatro proporções, utilizando os números 3, 4, 6 e 8.
=
=
=
y
3
=
81
9
x = 18
8
y
4
20
7.Calcule os valores de x, y e z na série de razões
24 – 15 = 9 maçãs
1)
x
x = 15 cm
7
x = 24
3
=
7
y = 15
4.Na propriedade fundamental das proporções te-
46
x=3
4
Quantas são as maçãs, se há 15 laranjas e a razão
3
entre o número de maçãs e o de frutas é ?
8
=
5x = 15
4x = 60
3.Num cesto de frutas há somente maçãs e laranjas.
x
6
8
15
15x − 10x = 30 − 15
21
x=6
15
2x + 6
6.Uma determinada fotografia tem 4 cm de largura
3
x + y = 21.
x y x + y =
5
=
15x + 15 = 10x + 30
4
2.Calcule os valores de x e y, sabendo que
2
x +1
x + 1 2x + 6
=
5
15
15(x + 1) = 5(2x + 6)
3
b)Encontre a razão entre o número de moças e o
total de alunos.
5.Determine o valor de x:
2)
3
6
=
4
8
3)
8
4
=
6
3
4)
8
6
=
4
3
=
81
9
y = 27
z
4
=
81
9
z = 36
z
4
=
x+y+z
9
Matemática
8.Em uma pequena escola verificou-se que, de cada
12.Dez máquinas iguais produziram 150 peças em 4
cinco crianças, duas praticam natação.
a) Qual a razão entre o número de crianças que não
praticam natação e o número total de crianças?
2 3
dias. Em quanto tempo 8 máquinas iguais às primeiras produzirão 300 peças?
1−
=
5
5
b)Sabendo que na escola há 60 crianças, quantas
praticam natação?
2 x
5
=
60
x = 24
9.Víctor viaja no seu carro a uma velocidade constante de 100 km/h e leva 3 horas para percorrer uma
certa distância. Se a velocidade fosse de 80 km/h,
qual seria o tempo gasto para percorrer a mesma
distância?
80
100
=
3
10.Um operário ganha R$ 800,00 por 16 dias de trabalho.
a) Quanto receberá por 30 dias de trabalho?
=
x
=
8
300
x
↑d
P↑
10
150
4
x 10 300
= ⋅
4 8 150
x = 10
13.Um carro, com velocidade constante, percorre
2 500 km em seis dias, viajando 10 horas por dia.
Quantos km percorrerá com a mesma velocidade
em oito dias, viajando 15 horas por dia?
h/d
km
d
↑ km
d↑
15
x
8
↑ km
h/p ↑
10
2500
6
x
8 15
= ⋅
2500 6 10
x = 5000 km
10
= 500cm
1:50, uma sala retangularxtem
10 cm por 8 cm.
x = 5m
a) Quais as medidas reais, em metros, dessa sala?
1 10
=
50
x
x = 500cm
x = 5m
=
8
1
=
50 x
x = 400cm
x = 4m
8
50 dessa
x
b)Qual é a área
sala em metros quadrados?
b)Qual é o valor recebido por hora, se ele trabalha
8 horas por dia?
16
M↓
1
30
x = 1500
800
↑d
1
x = 3,75 ou 3 horas e 45 minutos.
16
d
=
14.Na planta de um edifício50com
x escala utilizada de
x
800
M P
x
50
1
8
= 6, 25
x = 50 / DIA
11.Em 10 minutos, uma torneira despeja em um tanque 28 litros de água. Quantos litros despejará em 3
horas e 20 minutos?
↑ MIN LITROS ↑
200
x
10
28
x 200
=
28 10
x = 560L
x = 400cm
A = 5 . 4 = 20m²
x = 4m
15.Carlos paga um aluguel mensal de R$ 820,00 por
uma loja. O proprietário do imóvel quer aumentar o
aluguel em 9% no próximo mês.
a) Quanto é 9% de R$ 820,00?
9
⋅ 820 = 73,80
100
b)Qual será o novo valor do aluguel?
R$ = (820 + 73,80) → R$ 893,80
47
Caderno de Atividades
16.João tinha um saldo devedor de R$ 2.000,00 e pa-
a) determine o valor da venda após o acréscimo de
20%.
gou R$ 740,00 ao banco. Calcule o percentual da
dívida que foi paga.
1,20 . 348 = 417,6
x . 2000 = 740
b)determine o valor de venda atual, com o desconto de 20%.
x = 37%
17.Sabendo que uma mistura foi feita com 24 litros de
0,80 . 417,6 = 334,08
água e 4 litros de álcool, determine a porcentagem
de álcool contida na mistura.
20.Você já deve ter observado que alguns gráficos são
feitos a partir do círculo. Sabendo que a soma dos
ângulos indicados ( a^ + b^ + c^ + d^ ) é igual a 360o,
descubra a medida de cada um dos ângulos, de
acordo com a porcentagem que cada um apresenta:
TOTAL = 28L
x . 28 = 4
x = 14,28%
18.Calcule:
a) 5% de 360o 1800
b)20% de 360o 720
c) 30% de 360 1080
d)75% de 360o 2700
e) 60% de 360o 2160
o
50%
^
a
f ) 110% de 360o 25%
^
d
^
b
^
c
3960
10%
50
. 360 = 180o
100
25
b=
. 360 = 90o
100
15
. 360 = 44o
c=
100
10
d=
. 360 = 36o
100
a=
19.Uma loja de artigos esportivos estava vendendo
um par de tênis por R$ 348,00. Por ocasião do Dia
das Crianças houve um aumento de 20% sobre o
preço de venda. Passada essa data, o gerente da
loja resolveu dar um desconto de 20% sobre o valor
que estava sendo vendido. Dessa forma:
50
. 360 = 180o
100
25
b=
. 360 = 90o
100
15
c=
. 360 = 44o
100
10
d=
. 360 = 36o
100
a=
21.Complete a tabela:
48
15%
Porcentagem
1%
5%
15%
25%
50%
70%
120%
Fração centesimal
1
100
5
100
15
100
25
100
50
100
70
100
120
100
Número decimal
0,01
0,05
0,15
0,25
0,50
0,70
1,20
Matemática
22.Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições:
CAPITAL
TAXA
PRAZO
R$ 350,00
5% a.m.
2 meses
35
R$ 260,00
10% a.m.
6 meses
156
R$ 4.300,00
16% a.m.
1 ano
R$ 10.000,00
12% a.a.
2 anos
23.Clara contraiu uma dívida de R$2.000,00 a ser paga
em regime de juros simples, após 2 anos e meio.
Ao quitar a dívida, efetuou um pagamento de
R$3.440,00. Qual foi a taxa de juros mensal?
J = 3.440 – 2.000 = 1440
J=c.i.t
1440 = 2000 . i . 18
i = 4% a.m
24.Calcule o montante obtido de uma aplicação de
R$15.000,00 durante 2 anos, à taxa de 1,4% ao mês,
na modalidade de juros simples.
J=c.i.t
1,4
. 24
100
J = 15 000 .
J = 5040
M = 15000 + 5040
M = 20040
JUROS
8.256
2.400
b)3 meses?
M = 1550 . 1,2³
M = 2678,40
c) 6 meses?
M = 1550 . 1,26
M = 4028,28
d) 1 ano?
M = 1550 . 1,212
M = 16583,95
27.Em um certo país, a população cresce à taxa de 8%
ao ano. Considerando a população atual de 25 milhões de habitantes, qual será a população daqui a
2 anos?
M = 25000000 . 1,08²
M = 29160000
25.Carlos contraiu uma dívida de R$ 250,00, a ser paga
em regime de juros compostos, à taxa de 10% a.m..
Qual será o valor da dívida daqui a meio ano?
t
M = C ⋅ (1+ i)
6
M=250 ⋅ (1+ 0,10)
M = 442,90
26.Aplicando R$1.550,00 em uma caderneta de poupança cujo rendimento é 1,2% ao mês, qual será o
saldo final, se o período de investimento for de:
a) 1 mês?
M = 1550 . 1,2
M = 1860
28.Um pequeno poupador abriu uma caderneta de
poupança com R$150,00. Supondo rendimento
constante de 1% a.m., determine:
a) quanto ele terá após um ano de aplicação;
150 . 1,01¹² = 169,02
b)qual o tempo necessário para que ele possa resgatar R$300,00.
M = C (1 + i)t
300 = 150 . (1,01) t
150 = 1,01 t
t ≅ 502 meses
49
Caderno de Atividades
29.Você dispõe de R$ 1.600,00 para investir. Se a taxa
31.Por um empréstimo de R$ 80.000,00 paga-se, de uma
de rendimento for de 7% a.m. e o prazo for de 6
meses, qual o montante a ser recebido em regime
de:
a) juros simples?
única vez, após 2 meses, o total de R$ 115.200,00.
Considerando juros compostos, qual é a taxa mensal
de juros?
J=c.i.t
7
J = 1600 .
⋅6
100
J = 672
b)juros compostos?
M = C . (1 + i)t
M = 1600 . (1,07)6
M = 2401,17
30.Um investidor possui R$ 50.000,00. Ele aplica 50%
desse dinheiro em um investimento que rende juros simples de 3% a.m., durante 2 meses, e aplica
o restante em outro investimento que rende juros
compostos de 3% a.m., durante 2 meses também.
Quanto ele possui ao fim desse período?
J = c . i. t
J = 25000 .
3
.2
100
50
(1 + i) = 1,2
I = 0,2 = 20%
32.Paulo quer comprar um carro que custa R$ 25.000,00.
O vendedor propõe as seguintes condições de pagamento:
• Pagamento à vista com 15% de desconto.
• Pagamento em 30 dias com 10% de desconto.
Qual das duas alternativas é mais vantajosa para
o comprador, considerando-se que ele consegue,
com aplicação de 30 dias, um rendimento de 7%?
À vista = 21250
22500
30 dias =
980
Aplicação = 26 + 50
M2 = C . (1+ i)y
Em 30 dias é mais vantajosa
Anotações
1,44 = (1 + i)²
J = 1500
M1 = 26500
M2 = 25000 (1,03)2
M2 = 26522,50
Mt = 53022,50
M = C (1 + i)t
115 . 200 = 80000 . (1 + i)²
J = 1750
Matemática
Geometria analítica
1.Obtenha o coeficiente angular das retas definidas
pelos pontos A e B, em cada um dos itens:
a) A(2; 3) e B(3; 5)
(x1y1) (x2y2)
y 2 − y1
5−3
∴m =
x 2 − x1
3−2
m=2
m=
b)A(3; 4) e B(7; 8)
− y que passa pelos pon2.Determine a equação
day reta
m= 2 1
x1
tos P(2; 5) e Q(–1; –1)xe2 −esboce
seu gráfico.
− 1− 5 − 6
=
=2
−1− 2 − 3
y − y1
m= 2
x 2 − x1
y −5
2=
x −2
2x − 4 = y − 5
m=
y 2 − y1
x 2 − x1
− 1− 5 − 6
m=
=
=2
−1− 2 − 3
y − y1
m= 2
x 2 − x1
y −5
2=
x −2
2x − 4 = y − 5
y = 2x + 1
m=
y = 2x + 1
y
m=
P
5
(x1y1) (x2y2)
8−4
∴m = 1
7−3
–1
c) A(0; 3) e B(–1; –3)
− 3 −3 − 6
=
=6
− 1−0 −1
m= 6
0
–1
2
x
m=
3.Verifique se os pontos A(1; 2), B(2; 1), C(0; 4) e
D(3; – 1) pertencem à reta de equação 3x + 2y – 8 = 0.
d)A(3; 3) e B( 1; 3)
A (1; 2) ⇒ 3 . 1 + 2 . 2 – 8 = –1
A não pertence
(x1y1) (x2y2)
y −y
3−3 0
m= 2 1 =m=
=
=0
x 2 − x1
1− 3 − 2
B (2; 1) ⇒ 3 . 2 + 2 . 1 – 8 = 0
B pertence
C (0; 4) ⇒ 3 . 0 + 2 . 4 – 8 = 8 – 8 = 0
C pertence
e) A(2; –1) e B(2; 4)
D (3; –1) ⇒ 3 . 3 + 2 . (–1) – 8 = 9 – 10 = –1
4 − ( − 1) 5
m=
= = ∃ não existe
2−2
0
m=2
D não pertence
51
Caderno de Atividades
4.Determine os pontos de intersecção da reta 3x – 4y + 12 = 0 com os eixos cartesianos.
eixo x: (y=0)
3 . x – 4 . 0 + 12 = 0
y
3x = – 12
x=–4
3
(– 4; 0)
eixo y: (x=0)
3 . 0 – 4y + 12 = 0
–4
x
– 4y + 12 = 0
y=3
(0; 3)
5.Obtenha as coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s, sendo:
(r)a reta que passa pelos pontos A(2; 3) e B(5; 6);
(s)a reta que passa pelos pontos P(–1; 3) e Q(0; 2).
x1 y1 x2 y2 x3 y3
reta r: (2, 3) , (5, 6) , (x, y)
y 2 − y1 y 3 − y1
=
x 2 − x1 x 3 − x1
6−3 y −3
=
5 − 2 x− 2
y −3
1=
x −2
x − 2= y − 3
x − y = −1
x1 y1 x2 y2 x3 y3
reta s: (– 1, 3) , (0, 2) , (x, y)
y 2 − y1 y 3 − y1
=
x 2 − x1 x 3 − x1
2−3
y −3
=
0 − ( − 1) x − ( − 1)
−1 y − 3
=
1 x +1
x + y = +2
Ponto de intersecção
y
x − y = − 1

x + y = + 2
B
2x = + 1
1
x=+
2
x+y=+2
1
+y=+2
2
1
y=2−
2
3
y=+
2
 1 3
 ; 
2 2
P
Q
A
x
6.Determine as equações das retas representadas abaixo:
x1 y1 x2 y2 x3 y3
(0, 1) , (4, 5) , (x, y)
y 2 − y1 y 3 − y1
=
x 2 − x1 x − x
y
3
5
1
4 x
52
5 − 1 y −1
=
4−0 x −0
4 y −1
=
4
x
y −1
1=
x
x = y −1
x − y +1= 0
1
(0,6)(8,0)(x, y)
0−6 y−6
=
8 −0 x − 0
−6 y−6
=
8
x
− 6x = 8y − 48
6x + 8y − 48 = 0 ( ÷2)
3x + 4y − 24 = 0
y
6
8 x
Matemática
9.Calcule o coeficiente angular de cada uma das retas
7.Considere a reta de equação y = 3x + 2.
e classifique-as em crescentes ou decrescentes:
r: 3x + 2y – 4 = 0
a) Determine a forma geral da equação.
3x – y + 2 = 0
b)Quais são os coeficientes angular e linear dessa
reta?
coeficiente angular : 3
coeficiente linear : 2
y = 3x + 2
(angular) (linear)
c) Obtenha os pontos de intersecção da reta com
os eixos cartesianos.
y
eixo x: (y = 0)
3x – 0 + 2 = 0
2
-2
3
 -2 
 ; 0
3
x=
− 3x 4
+
2
2
− 3x
y=
+2
2
−3
m=
(decrescente)
2
y=
s: 2x – 2y + 1 = 0
2y = 2x + 1
2x 1
y= +
2 2
1
y=x+
2
m = 1 (crescente)
t: 4x + y + 5 = 0
1
y = – 4x – 5
m = – 4 (decrescente)
eixo y: (x = 0)
x
–1
3.0–y+2=0
y=2
u: 3x – 2y = 0
(0 , 2)
8.A reta r passa pelo ponto A(3; 4) e forma um ângulo de 45° com o eixo x, como mostra a figura abaixo.
Obtenha a equação da reta r:
y
v: x – y + 2 = 0
r
y=x+2
A
3
2y = 3x
3x
y=
2
3
m=
(crescente)
2
m = 1 (crescente)
45o
4
10.A soma dos coeficientes angular e linear da reta
x
que passa pelos pontos A(0; 3) e B(3; 0) é igual a:
x y x y x y
a) 1
A (0, 3) , B (3, 0) , C (x, y)
y 2 − y1 y 3 − y1
x b)2
=
x 2 − x1 x 3 − x1
c) 3
0−3 y −3
=
d)4
3−0 x −0
y −3
e) 5
− 1=
1 1
x1 y1 x2 y2 x3 y3
(– 1, 0) , (3, 4) , (x, y)
y 2 − y1 y 3 − y1
=
x 2 − x1 x 3 − x1
4−0
y −1
=
3 − ( −1) x − ( −1)
4 y −1
=
4 x +1
y −1
1=
x +1
x + 1= y − 1
x−y+2=0
2 2
3 3
x
−x=y −3
y= − x+3
m= −1
e
q= 3
m+ q= 2
53
Caderno de Atividades
11.O ponto A(a; a + 3) pertence à reta de equação
3x – 2y + 3 = 0. Determine as coordenadas do
ponto A.
–7+6+c=0
–1+c=0
a–3=0
c=1
12.Obtenha a equação da reta que passa pelo P(– 1; 2)
54
14.Os coeficientes angular e linear de uma reta crescente são as raízes da equação x2 – 2x – 3 = 0. Escreva a equação dessa reta na forma reduzida.
e tem coeficiente angular igual a 3.
x² – 2x – 3 = 0
y −y
m= 2 1
x 2 − x1
y −2
3=
x − ( − 1)
y −2
3=
x +1
3x + 3 = y − 2
y = 3x + 5
2 ± 4 + 12
2
2± 4
x=
2
x’ = 3
x’’ = − 1
y = 3x − 1
Anotações
7 . (– 1) + 2 . 3 + c = 0
3a – 2a – 6 + 3 = 0
A (3; 6)
7x + 2 y + c = 0. Determine o valor de c.
3 . a – 2 . (a + 3) + 3 = 0
a=3
13.O ponto Q (– 1; 3) pertence à reta de equação
x=
Matemática
geometria plana
1.Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo:
a)
d)
A
5
12
5
x+1
x
B
(x + 1)² = x² + 5²
C
x
x² = 12² + 5²
x² + 2x + 1 = x² + 25
x² = 144 + 25
2x = 25 – 1
x² = 169 ∴ x = 13
2x = 24
x = 12
b)
6
3
e)
6² = x² + 3²
x
36 – 9 = x²
x
27 = x²
x=
29
x+1
29² = (x + 1)² + x²
x=3 3
27 841 = x² + 2x + 1 + x²
c)
2x² + 2x + 1 – 841 = 0
13
5
2x² + 2x – 840 = 0 (÷ 2)
13² = 5² + x²
x² + x – 420 = 0
x
169 – 25 = x²
− 1± 1+ 1680
2
− 1± 1681
x=
2
x = – 21
− 1± 41
x=
2
x = 20
x=
144 = x²
x=
144 x = 12
2.Nas figuras abaixo, as medidas estão expressas em cm. Obtenha, em cada uma, a medida x:
a)
b)
E
B
13
D
y
8
x
A
x 30
=
12 20
2x = 36
x = 18
12
C
20
B
30
C
8² = y² + 4²
A
x
D
4
13² = y² + (x+4)²
64 = y² + 16
169 = ( 48 )² + (x + 4)²
y² = 64 – 16
169 – 48 = (x + 4)²
y² = 48
(x + 4)²= 121
y=
48
x + 4 = ± 121
x + 4 = 11
x + 4 = – 11
x = 7
x = – 15
55
Caderno de Atividades
3.Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 3 cm
a mais que o maior cateto e este mede 3 cm a mais
que o cateto menor. Quanto mede cada um dos lados do triângulo?
5.Obtenha o valor de x nas figuras abaixo:
a)
x
z
y
6
2 5
x+6
x
3
4
x+3
y² = 4² + 6²
z² = 3² + y²
y² = 52
z² = 9 + 52
x² = z² + (2 5 )²
z² = 61
x² = 61 + 20
(x +6)² = (x + 3)² + x²
x² = 81 ∴ x = 9
x² + 12x + 36 = x² + 6x + 9 + x²
x² + 6x – 12x + 9 – 36 = 0
b)
x² – 6x – 27 = 0
x’ = 9 ou x'' = – 3
8
6
15cm, 12cm e 9cm
4.Um observador está a 120 m de distância do topo
de uma torre. Quando ele anda 42 m em direção ao
pé da torre, sua distância ao topo passa a ser 90 m.
Qual a altura da torre?
x
6² = x² + 2²
12
36 = x² + 4
x² = 32
x=
32 x=4 2
6.Nas figuras abaixo, as retas r, s e t são paralelas. De-
42 m
x
h
90 m
12
0m
termine o valor de x:
a)
r
4
s
6
8
x
x 6
=
4 8
8x = 24∴ x = 3
t
90² = h² + x²
h2 = 8100 – x²
b)
r
9
6
120² = (42 + x²) + h²
14400 = 1764 + 84x + x² + 8100 – x²
x
8
14400 = 9864 + 84x
s
6 8
=
9 x
6x = 72
x = 12
t
4536 = 84x
x = 54
r
c)
h² = 8100 – 54²
h² = 5184
h=
5184
h = 72m
56
4
6
x
9
s
t
6+4 6
=
x
9
10 6
=
x 9
6x = 90
x = 15
Matemática
7.A figura abaixo mostra uma parte de um loteamen-
8.(ENEM) – A sombra de uma pessoa que tem 1,80m
to. As ruas interiores têm 10 metros de largura. Ao
adquirir o lote E, o proprietário mandou fazer um
muro na divisa com a estrada. Determine o comprimento desse muro:
de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu
lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m.
Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a
sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm
180 cm
h
=
60 cm 200
b)45 cm
h= 6m
c) 50 cm
180 600
=
d)80 cm
x
150
180
e) 90 cm
=4
70 m
A F
80 m
B E
100 m
C D
Estrada
120 m
100 m 120 m
80
x
=
100 120
4
x
=
5 120
5x = 480
x = 96m
x
4x = 180
x = 45ccm
9.(ENEM)
30 cm
90 cm
corrimão
30 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
90 cm
24 cm
• Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento
total do corrimão é igual a:
a) 1,8 m
b)1,9 m
c) 2,0 m
d)2,1 m
e) 2,2 m
x² = 120² + 90²
Comprimento total
x² = 14400 + 8100
30 + 150 + 30 = 210cm
x² = 22500
= 2,1m
x = 150cm
57
Caderno de Atividades
10.Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele
atraque no ponto B da outra margem, 240 m abaixo do ponto A. Se ele percorreu 300 m, qual a largura do rio?
A B
300² = x² + 240²
90000 = x² + 57600
largura
do rio
correnteza
90000 – 57600 = x²
x² = 32400
x = 32400
C
Anotações
58
x = 180m
Matemática
trigonometria
1.Nos casos abaixo, as medidas dadas são dos catetos
de um triângulo retângulo. Determine o seno, o coseno e a tangente de cada um dos ângulos agudos
desse triângulo:
a) 5 cm e 3 cm
2.Determine o valor de x nos casos abaixo:
a)
20
x
30o
sen 30° =
34
3 cm
5 cm
x² = 5² + 3²
x² = 34
x = sen α =
3
3 34
=
34
34
cos α =
5
5 34
=
34
34
3
5
5 34
senβ =
34
3 34
cos β =
34
b)6 cm e 8 cm 5
tgβ =
3
tgα =
6 cm
x² = 6² + 8²
x = 10cm
sen α =
3
3 34
=
34
34
cos α =
5
5 34
=
34
34
3
5
5 34
senβ =
34
3 34
cos β =
34
5
tgβ =
3
C.O.
H.
1 x
=
2 20
2x = 20
x = 10
tgα =
x = 10 cm
6
sen α =
= 0, 6
10
8
cos α =
= 0, 8
10
8 cm
6
tgα = = 0, 75
8
8
6
senβ =
= 0, 8
sen α =
= 0, 6
10
10
6
8
cos β =
= 0, 6
cos α =
= 0, 8
10
10
8
6
tgβ = = 1, 333...
tgα = = 0, 75
6
8
8
senβ =
= 0, 8
10
6
cos β =
= 0, 6
10
8
tgβ = = 1, 333...
6
b)
6
45o
x
cos 45° =
C.A.
H.
2 x
=
2
6
2x = 6 2
x=3 2
c)
10 3
x
60o
C.O.
C.A
10 3
3=
X
3x = 10 3
x = 10
tg60° =
59
Caderno de Atividades
3.Calcule a tangente do ângulo a:
122 = ( 6 3 )2 + x 2
12
144 = 108 + x 2
6 3
122 = ( 6 3 )2 + x 2
144 = 108 + x
2
144 − 108 = x 2
144 − 108 = x 2
x 2 = 36
x=6
C.O.
tgα =
C.A.
6 3
tgα =
6
tgα = 3
x 2 = 36
x=6
C.O.
tgα =
C.A.
4.Ao empinar6 uma
pipa, João percebeu que estava
3
α=
a umatgdistância
de
6 m do poste onde a pipa en6
galhou.
tgαRenata
= 3 notou que ângulo a formado entre
a linha da pipa e a rua era de 60o, como mostra a
figura. Calcule a altura do poste:
• Se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C
do prédio, sob um ângulo de 60o. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando
em linha reta no sentido de A para B, para que
possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo
de 30o?
C
h
60o
30o
B
x=?
h
120
h
3=
120
h = 120 3m
tg60° =
120 m
F
A
h
x
h
3
=
x − 120
3
tg300 =
3 120 3
=
x − 120
3
α
5.Uma
C.O
C.A
6m
h
tg60° =
6
h
3=
6
h = 6 3m
x = 480 m
tgα =
C.O
tgα =
C.A
h
tg60° =
6
h
3=
6
pessoa
6 3m
h = encontra-se
6.Um avião está a 600 m de altura quando se vê a
cabeceira da pista sob um ângulo de declive de
30o. A que distância o avião está da cabeceira da
pista?
30o
num ponto A, localizado
na base de um prédio, conforme mostra a figura
abaixo:
pista
C
600
600 sen30° =
x
x
600 1 = 600
1sen30
600° =
=
x
x 2
x
2
x = 1200m
1 600
x ==1200m
x
2
x = 1200m
sen30° =
60o
B 120 m A
60
Matemática
7.Um observador de 1,70 m de altura, a 100 m de dis-
9.Calcule o valor de x no triângulo:
tância da base de um prédio, vê o topo desse prédio
sob um ângulo de 30o com a horizontal, conforme
mostra a figura:
x
30o
120 cm
60o
h
30o
30o
1,70 m
x
100 m
120 cm
60o
Qual é aproximadamente a altura h do prédio?
(Dados: sen 30o = 0,5; cos 30o = 0,87 e tg 30o = 0,58)
120o
30o
120 cm
sen60° =
h = x + 1,70m
x
120
3
x
=
2 120
2x = 120 3
x
100
x
0, 58 =
100
x = 58m
tg30° =
x = 60 3cm
10.Esta figura é formada por três triângulos retângulos
h = 58 + 1,70
que têm ângulos agudos de 30o. Sabendo que BC
mede 3 cm, calcule a medida de DE:
h = 59,70m
E
8.Um cabo de aço prende uma torre de 15 m de altura formando com o chão um ângulo de 30o. Qual é
o comprimento do cabo de aço?
cabo (x)
D
torre
(15m)
C
30o
30o
30o
30o
A
sen30° =
1 15
=
2 x
x = 30m
B
15
x
sen30° =
1 3
=
2 a
a = 6cm
3
a
cos 30° =
a
b
3 6
=
b
2
3b = 12∴b =
b=4 3
x
b
3
x
=
3
4 3
tg30° =
12 3
.
4 3⋅ 3
3 3
x=
∴ x = 4cm
3
61
Caderno de Atividades
11.Determine a medida do lado AB do triângulo ABC,
13.Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 10 cm,
e formam entre si um ângulo de 60º. Determine a
medida do terceiro lado do triângulo.
sabendo que BC = 8 2 cm, Â = 30 e Ĉ = 45 .
o
o
B
6 cm
8 2
30o
x
60o
100 cm
45o
A
C
x² = 10² + 6² –2 . 6 . 10 . cos60º
1
x² = 100 + 36 – 120 .
2
x² = 136 – 60
x
8 2
=
sen 45° sen 30°
x
8 2
=
⇒ x = 8 2. 2
1
2
2
2
x = 16cm
x² = 76
x = 76cm
ou 2 19cm
12.Num triângulo ABC são dados  = 60o, B = 75o e
14.Um triângulo tem lados iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm.
Calcule o co-seno do maior ângulo interno desse
triângulo.
AB = 4 2 cm. Determine a medida do lado BC.
450
4 cm
x
4 cm
60
5 cm
75
0
0
4 2 cm
6 cm
o maior ângulo opõe-se ao maior lado
x
4 2
=
sen 60° sen 45°
x
4 2
=
⇒ x = 4 3cm
3
2
2
2
6² = 4² + 5² – 2 ∙ 4 ∙ 5 ∙ cos α
36 = 16 + 25 – 40 ∙ cos α
36 – 41 = – 40 cos α
– 5 = – 40 ∙ cos α
5 1
cosα =
= = 0,125
40 8
15.Obtenha o valor de x nos triângulos:
a)
b)
B
B
2 2
A
45o
2 2
x
=
sen 30° sen 45°
2 2
x
=
⇒ x = 2 2. 2
1
2
2
2
x = 4cm
62
3
X
30o
A
C
X
60o
30o
3
x
=
sen 30° sen 60°
3
x
=
⇒ x = 3. 3
1
3
2
2
x = 3m
C
Matemática
16.Determine a largura do rio:
Rio
ℓ
25 m
30o
50 m
252 = 502 + x 2 − 2 ⋅ 50 ⋅ x ⋅ cos 30°
3
2
x 2 − 50 3x + 2500 − 625 = 0
625 = 2500 + x 2 − 100x ⋅
50 3 ± 7500 − 7500
2
50 3 ± 0
= 25 3
2
l
sen 30° =
x
l
1
=
2 25 3
x=
x 2 − 50 3x + 1875 = 0
x=
x=
50 3 ± (50 3 )2 − 4 ⋅1⋅1875
2
l=
25 3
m
2
17.Um menino, sentado num muro, observa o topo e o “pé” de um prédio, conforme a figura abaixo. Determine a
altura do prédio:
65 m
60o
25 m
h² = 65² + 25² – 2 . 65 . 25 .
h² = 4225 + 625 – 1625
1
2
h² = 3225
h=
3225 ≅ 56, 8m
63
Caderno de Atividades
18.(CESGRANRIO–RJ) – Deseja-se medir a distância en-
tre duas cidades, B e C, sobre um mapa, sem escala.
Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120 km, em que A
é uma cidade conhecida, como mostra a figura:
20.Calcule a área dos triângulos representados abaixo:
a)
8 cm
B
60o
8.12.sen 60ϒ
2
3
AD = 48 .
2
2
AD = 24 3cm
AD =
C
12 cm
b)
60o
7 cm
A
4 cm
• Logo, a distância entre B e C, em km, é
a) menor que 90;
b)maior que 90 e menor que 100;
x c) maior que 100 e menor que 110;
d)maior que 110 e menor que 120;
e) maior que 120.
x² = 120² + 80² – 2 . 80 . 120 .
x² = 14400 + 6400 – 9600
p=
1
2
x² = 11200
x=
8 cm
7 + 4 + 8 19
=
= 9, 5
2
2
AD =
p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c )
AD =
9, 5 ⋅ ( 9, 5 − 8 ) ⋅ ( 9, 5 − 7) ⋅ ( 9, 5 − 4 )
AD =
9, 5 ⋅1, 5 ⋅ 2, 5 ⋅ 5, 5
AD =
195, 9375
AD ≅ 14 cm²
11200
c)
10.000 < 11.200 < 12.100
100 < 11.200 < 110
12 cm
19.(UNICAMP – SP) – A água utilizada na casa de um
sítio é captada e bombeada do rio para uma caixad’água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de
distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas
direções caixa-d’água/bomba e caixa-d’água/casa
é de 60o. Se pretendermos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros
de encanamento serão necessários?
caixa
60o
rio (bomba)
1
.
x² = 50² + 80² – 2 50 . 80 .
2
x² = 2500 + 6400 – 4000
x² = 4900 x = 70m
64
d)
casa
80
50 m
20 cm
b ⋅h
2
20 ⋅12
= 120 cm²
AD =
2
AD =
x
20 cm
20 ⋅ 24
2
AD = 240 cm²
AD =
24 cm
Matemática
21.Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 8 m e 10 m e formam um ângulo agudo que
mede x. Determine a medida do ângulo x, sabendo
que a área do triângulo é de 20 m2.
a ⋅ b ⋅sen x
2
8 ⋅10 ⋅ sen x
20 =
2
20 = 40 ⋅ sen x
20
sen x =
40
1
sen x = ∴ x = 30°
2
b)
5 ⋅180o
= 150o
6
AD =
c)
150o =
150π 5π
=
rad
180
6
d)
270o =
270π 3π
=
rad
180
2
c) 225o
225π 5π
225o =
=
rad
180
4
3π
rad
10
3.180o
= 54o
10
e)
b)270o
7π
rad
4
7.180o
= 315o
4
22.Transforme para radianos:
a) 150o
5π
rad
6
π
rad
12
180o
= 15o
12
24.Obtenha a medida do maior ângulo formado pelos
ponteiros das horas e dos minutos de um relógio
quanto este marca 10h40min.
α = 60º + x
o
d)75
75o =
75π 5π
=
rad
180 12
60 min
30º
40 min
x
x = 20º
α = 80º
25.Dê a localização dos arcos nos quadrantes escrevene) 330o
330o =
330π 11π
=
rad
180
6
23.Transforme para graus:
a)
7π
rad
3
7π
7.180o
rad =
= 420o
3
3
do: (I) primeiro quadrante, (II) segundo quadrante,
(III) terceiro quadrante e (IV) quarto quadrante:
a) ( ) 271o
b)( ) 179o
c) ( ) 3 rad
d)( ) 1,5 rad
e) ( ) 1,2p rad
f ) ( ) 200o
g)( ) 89,5o
65
Caderno de Atividades
26.Represente, na circunferência trigonométrica, os arcos com medidas 225o,
5π
rad, 330o e 1,5p rad.
3
y
x
27.Complete a tabela abaixo, escrevendo a menor determinação positiva e a expressão geral dos arcos côngruos
de cada arco indicado na 1a. coluna:
Arcos
Menor determinação positiva
1 350o
270º
270º + 360º . K
870o
150º
150º + 360º . K
– 400o
320º
320º + 360º . K
25π
rad
3
π
rad
3
28.Calcule o valor da expressão
π
+ 2K π
3
30.Se x é a medida de um arco cuja extremidade per-
E = sen 90 + cos p – cos 240 .
o
o
 −1
E = 1+ ( −1) −  
 2
E=
Expressão geral
1
2
tence ao intervalo [0; 360o], quais são os valores de
x, tais que:
a) cos x = – 1
x = 180º
b)sen x = 0,5
29.Determine para quais valores de k existe o arco de
–
150
o
medida x tal que cos x = 2m + 3.
– 1 ≤ 2m + 3 ≤ 1
– 4 ≤ 2m ≤ – 2
–2≤m≤–1
x = 30º
x = 150º
66
1
2
30o
Matemática
31.Construa o gráfico (um dos períodos) da função f(x) = 2 + senx:
y
x
32.Quais são o período e a imagem da função
g(x) = 3 + cos(2x)?
2π
= πrad
2
Im = [2; 4]
p=
3
lor de cos(x). 5
x
0
y
2
≠
2
3
π
2
3≠
2
1
2π
2
1
2
35.Se cos x = − e 0,5p < x < p, determine os valores
de:
a) sen x
sen x =
3
2
33.Se sen(x) = − e 180o < x < 270o, determine o vasen2 x + cos2 x = 1
b)tg x
tg x = − 3
2
 3
2
 −  +cos x = 1
5
9
cos2 x = 1 −
25
25
−
9
cos2 x =
25
16
cos2 x =
25
16
cos x = ±
25
4
cos x = −
5
c) cotg x
cotg x = −
1
3
3
.
=−
3
3 3
d)sec x
sec x = –2
34.Qual é o domínio da função f(x) = tg(3x – 60o)?
3x – 60º ≠ 90º + 180º . K
3x ≠ 150º + 180º . K
x ≠ 50º + 60º K
e) cossec x
cossec x =
2
3 2 3
.
=
3
3 3
67
Caderno de Atividades
exponenciais e logaritmos
1.Utilizando as definições de potência de expoente
inteiro, calcular:
a) 23 =
8
o)10 – 2
1
= 0, 01
100
p)10 – 7
b)(– 2)3 =
– 8
1
= 0, 0000001
107
2.Calcule as seguintes potências:
c) – 23 =
– 8
a) a = 33, b = – 23, c = 3–3 e d = (– 2)–2
a = 33 = 3 . 3 . 3 = 27
d)24 =
16
b = –23 = –(2 . 2 . 2) = –8
1
1
1
=
=
3 3.3.3 27
1
1
1
d = ( −2)−2 =
=
=
2
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
4
( −2)
c = 3−3 =
e) (– 2)4 =
4
f ) – 2 =
16
– 16
0
g)(– 7) =
1
b)Escreva os números a, b, c e d em ordem decrescente.
1 1
27, , , −8
4 27
3.Efetue as operações indicadas, utilizando as pro15
h)1 =
1
i) (– 1)203 =
– 1
j) (– 2) – 2 =
b)22 . 28 . 2– 5
= 25 = 32
278
275
= 23 = 8
−3
=
d)(– 0, 04)2 . (50)2
2
2 =8
100
e) (23)2
m) 104 =
10.000
26 = 64
2
f ) 23
n)10 – 1
=
68
1
= 0, 1
10
2
( −2)2
 4 
 2
= −
⋅ (50)2 =  −  ⋅ 502 =
⋅ 502 = ( −2)2 = 4

 100 
 50 
502
3
l) 102 =
= 28 = 256
c)
1
1
=
=
2
4
( −2)
1
k)  
 2
priedades das potências:
a) 23 . 25
29 = 512
Matemática
4.Calcule o valor da expressão:
2−1 − ( −2) + ( −2)
2
a)
a) 215
b)818
x c) 218 d)415
e) 212
−1
22 + 2−2
1
1
−4−
2
2 = −4 = −4. 4 = −16
1
17
17 17
4+
4
4
5.Coloque V para as sentenças verdadeiras e F para
as falsas:
a) ( F ) (p + 2)– 2 = p– 2 + 2– 2
b)( V ) (53)– 2 = 5– 6
c) ( F ) (3– 4)– 2 . (33)– 3 =
x
−1
3
d)( V ) 32 . 3– 2 = 1
−2
−3
.10 −4
6.O valor de 10 .10
é:
−1 −5
10
.
10
a) 1
b)0,1
c) 0,01
x d) 0,001
e) 0,0001
10 −9
= 10 −3 = 0, 001
10 −6
21 . 23 . 26 . 28 = 18
2n + 2n+1
, com n natural é:
2n+ 3
a) 22n
b)2n+1
2n + 2n ⋅ 21 2n ⋅ (1+ 2) 3
= n 3 =
8
2n ⋅ 23
2 ⋅2
c) 2
3
d)
8
3
e)
5
11.Construa o gráfico de cada função abaixo:
a) f(x) = 2x, com f: → R+*
x
y
–1
1/2
0
1
1
2
2
4
y
6
4
3
2
1
– 1 1 2 x
7.O valor da expressão:
x
3
6
 1 4
1 
1
 −  ÷  −   .  −  + 2−7 é:
 2   2    2 
d)2
x e) 0
3
c = 22 = 28
10.O valor de
1 81− 1
9 = 9 = 80 = 40
1 81+ 1 82 41
9+
9
9
c) –2
b = (23)2 = 26
222
= 221
2
9−
1
2
b)–1
a = 23
9.Calcule a metade de 222.
32 − 3−2
b) 2 −2
3 +3
a)
8.Se a = 23, b = a2, c = 2a, então o valor de 2abc é:
  1  1  1  6  1  7
 −   .  −  +  
 2    2   2 
7
7
1
1
 1  1
+
=0
 −  +   = −
128 128
2
2
 1
b)g(x) =   , com g: R → R+*
 2
y
x
y
–2
4
–1
2
0
1
1
1/2
4
3
2
1
– 2 – 1 1 x
69
Caderno de Atividades
12.Construa o gráfico de cada função abaixo e determine o conjunto imagem:
a) f(x) = 2x – 2
14.Resolva, em R:
a) 3x = 1
x=0
b)3x –
y
x
y
–1
– 3/2
0
–1
1
0
2
2
3
6
6
5
4
3
2
1
– 2 – 1 1 2 3 x
–1
–2
1
=0
81
1
81
x = −4
3x =
c) 104 – 3x =
104 – 3x = 10– 1
1
10
4 – 3x = – 1
– 3x = – 1 – 4
– 3x = – 5
3 x−1
d) 8
= 64
x
 1
b)g(x) =   + 1
 3
x
y
– 2 10
–1
4
0
2
1
4/3
y
4
3
2
1
– 1 1 2 x
x −1
8 3 = 82
x −1
=2
13
x − 1= 6
x=7
15.Resolva, em R:
 1
a) 4 =  
 2
x
13.Resolva, em R, as equações:
a) 4x = 8
x2 − x
22x = (2–1)x2 –x
2x = –x2 + x
22x = 23
x=
x2 + 2x – x = 0
3
2
x2 + x = 0
b)3x = 27
x=3
1
81
x = −4
x = 0 ou x = –1
x  1 
b) 25 = 
 125 
3x =
x
1
 1
c)   =
 2
64
x=6
x . (x + 1) = 0
52x = (5–3)x –3
52x = 5–3x + 9
2x + 3x = 9
5x = 9
x=
70
9
5
x −3
Matemática
16.Resolva, em R:
b)32x – 12 . 3x + 27 = 0
a) 2x – 1 + 2x = 48
3x = y
y = 32
y
+ y = 48
2
y + 2y 96
=
2
2
3y = 96
2x
+ 2x = 48
21
2x = y
y2 – 12y + 27 = 0
2x = 32
y = 9 ou y = 3
x=5
3x = y
3x = 9 ou 3x = 3
x
1–x
b)3 + 3
3
=4
3x
3x = y
3x +
=4
y+
x = 2 x = 1
3
=4
y
y 2 + 3 4y
=
y
y
17.Resolva, em R:
x
x+1
a) 2 . 4
y – 4y + 3 = 0
2
y=3ey=1
3x = 3 ou 3x = 1
c) 4x – 12 . 2x + 32 = 0
x = 1 x = 0
22x – 12 . 2x + 32 = 0
x+3
= 16
2x = y
2x . (22)x + 1 = (24)x + 3
y2 – 12y + 32 = 0
2 .2
y = 8 ou y = 4
x
2
2x + 2
3x + 2
=2
4x +12
= 24x + 12
2x = 8 ou 2x = 4
3x + 2 = 4x + 12
x = 3 ou x = 2
3x – 4x = 12 – 2
–x = 10
x = –10
18.Na figura abaixo, está representado o gráfico de f(x) = m. ax, sendo m e a constantes positivas. Calcule f(3)+f(4):
y
12
(0; 3/2)
(0; 3/2)
m ⋅ a0 =
– 3 x
3
m=
2
3
2
(– 3; 12)
m . a– 3 = 12
3 1
⋅ = 12
2 a3
24a3 = 3
3
a3 =
24
a3 =
1
8
1
a3 = 3
8
1
a=
2
3  1
f (x) = ⋅  
2  2
x
3
3  1
3
f (3) = ⋅   =
2  2
16
4
3  1
3
f ( 4) = ⋅   =
2  2
32
3
3 6+3 9
f (3) + f ( 4 ) = +
=
=
16 32
32
32
71
Caderno de Atividades
19.A figura abaixo mostra um esboço do gráfico da
função variável real y = a + b, com a e b ∈ R,
a > 0 e a ≠ 1.
Calcule a2 – b2:
x
y
b)log927
x
2 x
3
2x
log27
= 33
9 = x ⇒ 9 = 27 ⇒ (3 ) = 3 ⇒ 3 27
log9 = x ⇒ 9 x = 27 ⇒ (32 )x = 33 ⇒ 32x = 33
2x = 3
3
2x = 3
logo3 log27
9 =
2
3
x=
x=
2
2
c) log 1 64
5
2
x
x
 1
64
 1
−1 x
6
−x
log
=6 x ⇒   = 64 ⇒ (2−1)x = 26 ⇒
log64
=
x
⇒
1
  = 64 ⇒ (2 ) = 2 ⇒ 2 =1 2
 2
2
2
2
−x = 6
−x = 6
64
log
=
−
6
logo
= −6
x
x = −6 1
3
2
2
0 1 x
22.Calcule:
a) log28 + log327+ log5625
(0; 3) e (1; 5)
625
log82 = 3; log27
3 = 3; log5 = 4
(0; 3)
(1; 5)
3 = a0 + b 5 = a1 + 2
3 = 1 + b a=3
32 – 22 = 9 – 4 = 5
625
∴ log82 + 0 log27
3 + log5 = 3 + 3 + 4 = 10
b=2
23.Calcule o valor da base de cada logaritmo:
20.Se o gráfico da função exponencial f(x) = 3x passa
pelo ponto P (K – 5;
144
11
121
x b)
4
3
c)
2
5
d)
3
e) 0
a)
3 ), então o valor de K2 é:
f (k − 5) = 3k − 5 = 3
1
3k − 5 = 3 2
1
k −5=
2
1
k = +5
2
11
k=
2
a) loga100 = 2
a2 = 100 → a = 10
ou
b)loga 4 = 1/2
1
a 2 = 4 → a = 4 → a = 16
2
121
 11
k2 =   =
 2
4
c) loga
21.Calcule:
a) log28
log82 = x ⇒ 2 x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3
logo log82 = 3
72
a = –10 (não convém pela condição existência)
1
a8 = 3 →
3 = 1/8
( a) = ( 3)
8
8
8
8
→ a = 38 → a = 34 = 81
Matemática
24.Determine o valor de x:
a) log
( 2)
4
2
a) log 6
x=4
log6 = log(2 . 3) = log2 + log3 = 0,301 + 0,477 = 0,778
=x→x=4
b)log 18
log18 = log(2 . 32) = log2 + log32 = log2 + 2log3 =
b) log 1 x = – 1/2
= 0,301 + 2 . 0,477 =
6
 1
 
6
= 0,301 + 0954 = 1,255
−1/ 2
1/ 2
=x→x=6
→x= 6
log2031 + log803803 + log3433437
=0+1+7=
=8
26.Se logbc = 3 e logba = 4, calcule:
a) logb (a . c)
logba + logbc
c) log 5
 10 
log5 = log   = log10 – log2 = 1 – 0,301 = 0,699
 2
25.Determine o valor de:
= 4+3=7
a
b) logb  
 c
logba − logbc = 4 − 3 = 1
c) logb (a3 . c)
3
logba + logbc = 3logba + logbc = 3.4 + 3 = 15
 a2 . b 
d) logb 

 c 
2
27.Se log2 = 0,301 e log3= 0,477, calcule:
logba + logbb − logbc = 2logba + logbb − logbc = 2.4 + 1− 3 = 6
28.O conjunto solução da equação logx(10 + 3x) = 2,
em R é:
a) { – 2; 5 }
b){ – 2}
c) { – 5, 2 }
x d) { 5 }
e) { – 7, 1 }
x2 = 10 + 3x
x= –2 (não convém)
x – 3x – 10 = 0 x=5
2
29.Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então:
 6 2
2 . log10 
 é igual a:
 5 
a) 0,42
x b)0,44
c) 0,24
d)0,13
e) 0,14
1


2 ⋅ [log 6 + log 2 − log 5] = 2 ⋅ log 2 + log 3 + log 2 − log10
10 − log 2  =
2


1


= 2 ⋅ 0, 30 + 0, 47 + ⋅ 0, 30 − 1+ 0, 30 = 2 ⋅ 0, 22 = 0, 44
2


30.Sabendo que log4a+ log4b = 2, então o valor de
2ab é:
a) 2
b)4
c) 8
d)16
x e) 32
log4 (α . β) = 2 → 42 = α . β → α . β = 16 → 2αβ = 32
73
Caderno de Atividades
31.Esboce os gráficos das funções:
32.Calcule o valor de x nas equações abaixo:
a) f(x) = log2x, com f : R*+ → R
x
y
8
3
4
2
2
1
1
0
1/2
–1
1/4
–2
a) log128 32 = x
128x = 32 → (27)x = 25 → 27x = 25 →
5
5
→ x = S =  
7
7
y
 1
b) log27   = x
 9
2
1
– 2 0 1 2 4 x
–1
–2
4
–2
2
–1
1
0
1/2
1
1/4
2
1/8
3
2
3
2
S= 
3
33.Resolver, em R:
2
y
1
→ (33)x = 32 → 33x = 32 → 3x = 2 →
9
→ x=
b)g(x) = log 1 x , com g: R*+ → R
x
27x =
y
a) log0,3(4x – 3) = log0,35
4x – 3 = 5 → 4x = 8 → x = 2
b)log2(x2 + 6x + 6) = log2x
2
1
x2 + 6x + 6 = x → – 2 0 1 2 4 x
–1
–2
x2 + 5x + 6 = 0
x = –2 (não convém) S = { ∅ }
x = –3 (não convém)
34.Observe o gráfico abaixo. Nesse gráfico está representado o gráfico de f(x) = logn x:
y
4
0 81 x
 1
O valor de f   é:
 27 
a) 0
b)2
c) 3
d)– 2
x e) – 3
74
S = {2}
 1
 1
f ( x ) = log3 x → f   = log3   = log3 27−1 =
 27 
 27 
= log3 (33 )−1 = log3 3−3 = −3
Matemática
35.Resolva, em R:
38.Resolva a equação log3x + log9x = 1
a) log2x + log25 = 3
(MUDANÇAS DE BASE)
8
log2 (x . 5) = 3 → 2 = 5x → x =
5
Cond. Existência
log3x log3x
log3x log3x 1 2 ⋅ log3x + log3x 2
+
= 1→
+
= →
=
9
1
1
2
1
2
2
log3
3
x>0
⇒ 3 ⋅ log3x = 2 → log3x =
b)log10x – log105 = 2
x
x
log10  x  = 2 → 102 =
→ 100 = → x = 500
5
5
 5
S = {500}
Cond. Existência
x>0
36.Calcular o valor da expressão: log78 . log57 . log25
(MUDANÇA DE BASE)
log78 ⋅ log75 ⋅ log52
log82
log72
log7
⋅ 25
log2
⋅
log52
1
= log2 8 = 3
37.Se logaN= 4s, calcular o valor de log 1 N3
(MUDANÇAS DE BASE)
3
logN1 =
3
logNa
a
loga
 1
 
a
=
3 ⋅ logNa
−1
logaa
=
a
3 ⋅ 4s
= −12s
−1
2
2
→ x = 3 3 ou x = 3 9
3
39.Resolva a equação log8x + log4x + log2x =
Substituir log2x = y
11
24
log2x log2x log2x 11
+
+
=
1
24
log82 log24
y y y 11
+ + =
3 2 1 24
2y + 3y + 6 y 11
=
24
6
11y 11
=
6
24
y 1
=
1 4
1
y=
4
1
log2x =
4
1
24 = x
4
2=x
S=
{ 2}
4
Anotações
75
Caderno de Atividades
Anotações
76