Estatística e Probabilidade
Introdução ao
teste de hipóteses
Cap. 07
Estatística e Probabilidade
Teste de hipóteses para
determinar a média
Amostras grandes (n ≥ 30)
Estatística e Probabilidade
O teste z para determinar a média
O teste z é um teste estatístico capaz de determinar a média
populacional. Ele pode ser usado:
(1) se a população é normal e s é conhecido ou
(2) quando o tamanho da amostra, n, é de pelo menos 30.
A estatística teste é a média amostral
padronizada é z.
e a estatística teste
onde
Quando n ≥ 30, use s no lugar de
.
Estatística e Probabilidade
O teste z para determinar a média (valor P)
Um fabricante de cereais alega que a média de sódio em cada
porção de seu produto não passa de 230 mg.
Você trabalha para um serviço nacional de saúde e precisa
testar essa alegação. Em uma amostra aleatória de 52 porções,
você encontrou uma média de 232 mg de sódio, com um desvio
padrão de 10 mg.
Sendo α = 0,05, você tem evidência suficiente para rejeitar a
alegação do fabricante?
Estatística e Probabilidade
O teste z para determinar a média (valor P)
1. Escreva as hipóteses nula e alternativa.
H0
mg (alegação)
Ha
2. Estabeleça o nível de significância.
mg
= 0,05
3. Determine a distribuição amostral.
Como o tamanho da amostra é maior que 30, a distribuição
amostral será normal.
Estatística e Probabilidade
4. Determine a estatística teste e padronize-a.
1,387
n = 52
s = 10
1,387
1,44
Estatística teste
5. Calcule o valor P para a estatística teste.
Como se trata de um teste monocaudal
direito, o valor P será a área encontrada à
direita de z = 1,44 na distribuição normal.
A
partir
da
tabela,
temos
que
P = 1 – 0,9251
P = 0,0749.
Área na cauda
direita.
z = 1,44
Estatística e Probabilidade
O teste z para determinar a média (valor P)
6. Tome sua decisão.
Compare o valor P a α.
Como 0,0749 > 0,05, não rejeite H0.
7. Interprete sua decisão.
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação do
fabricante de que a média de sódio em cada porção de
cereal não passa de 230 mg.
Estatística e Probabilidade
Regiões de rejeição
Distribuição amostral de
Região de rejeição
z
z0
Valor crítico z0
A região de rejeição é o intervalo de valores para os
quais a hipótese nula não é provável. Ela fica sempre
na direção da hipótese alternativa e sua área é igual
a .
Um valor crítico separa as regiões de rejeição e de nãorejeição.
Estatística e Probabilidade
Valores críticos
Um valor crítico z0 separa as regiões de rejeição e de nãorejeição. A área da região de rejeição é α .
Região de
rejeição
z0 = –2,33
z0
Determine z0 para um teste
monocaudal esquerdo com
–z0 = –2,575
e z0 = 2,575
= 0,01.
Região de
rejeição
z0
z0 = 1,645
Região de
rejeição
z0
Determine z0 para um teste
monocaudal direito com
= 0,05.
Região de
rejeição
z0
Determine –z0 e z0 para um teste bicaudal com
= 0,01.
Estatística e Probabilidade
Usando o valor crítico para tomar decisões
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
Escreva H0 e Ha como afirmativas matemáticas. Lembre-se de
que H0 sempre contém o símbolo =.
2. Estabeleça o nível de significância.
Ele representa a probabilidade máxima de se rejeitar a hipótese nula,
caso ela seja a realmente verdadeira (ou seja, de se cometer um erro
do tipo I).
3. Identifique a distribuição amostral.
A distribuição amostral é a distribuição da estatística teste, supondose que a condição de igualdade na H0 é verdadeira e que o
experimento foi repetido infinitas vezes.
Estatística e Probabilidade
Usando o valor crítico para tomar decisões
4. Determine o valor crítico z.
5. Determine a região de
rejeição.
Região de rejeição
z0
O valor crítico separa
as regiões de rejeição
e de não-rejeição.
A área da região crítica
é igual ao nível de
significância do teste.
6. Determine a estatística teste.
Faça os cálculos para padronizar sua estatística amostral.
Estatística e Probabilidade
Usando o valor crítico para tomar decisões
7. Tome sua decisão.
Se a estatística teste cair na região crítica, rejeite H0.
Caso contrário, não rejeite H0.
8. Interprete sua decisão.
Se a alegação for a hipótese nula, você pode rejeitá-la
ou determinar que não há evidência suficiente para isso.
Se a alegação for a hipótese alternativa, você pode
aceitá-la ou determinar que não há evidência suficiente
para isso.
Estatística e Probabilidade
Teste de hipóteses para
determinar a média
Amostras pequenas (n < 30)
Estatística e Probabilidade
A distribuição amostral t
Determine o valor crítico t0 para um teste monocaudal esquerdo,
dados α = 0,01 e n = 18.
Área na
cauda
esquerda
g.l. = 18 – 1 = 17
t0 = –2,567
t0
Determine os valores críticos –t0 e t0 para um teste
bicaudal, dados
= 0,05 e n = 11.
–t0 = –2,228 e t0 = 2,228
g.l. = 11 – 1 = 10
t0
t0
Estatística e Probabilidade
Testando μ em uma amostra pequena
Uma universidade diz que o número médio de horas-aula por
semana, nos cursos de período integral, é 11,0. Uma amostra
aleatória do número de horas-aula por semana, nos cursos de
período integral, está relacionada a seguir.
Solicitam a você, que trabalha em uma organização estudantil,
que teste essa alegação.
Sendo α = 0,01, você tem evidência suficiente para rejeitar a
alegação da universidade?
11,8
8,6 12,6 7,9 6,4 10,4 13,6 9,1
Estatística e Probabilidade
Testando μ em uma amostra pequena
Siga estes passos...
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
H0
11,0 (alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
Ha
11,0
= 0,01
3. Determine a distribuição amostral.
Como o tamanho da amostra é 8, a distribuição amostral
é uma distribuição t com 8 – 1 = 7 g.l.
Estatística e Probabilidade
Testando μ em uma amostra pequena
Como Ha contém o símbolo ≠, trata-se de um teste bicaudal.
4. Determine os valores críticos.
5. Determine a região de rejeição.
–t0
–3,499
t0
3,499
Estatística e Probabilidade
Testando μ em uma amostra pequena
6. Determine a estatística teste e padronize-a.
n=8
= 10,050 s = 2,485
10,050 – 11,0
2,485
0,95
0,878
1,08
7. Tome sua decisão.
t = –1,08 não cai na região de rejeição, portanto não rejeite H0 a
α = 0,01
8. Interprete sua decisão.
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação da universidade de
que o curso tem uma média de 11 horas-aula semanais.
Estatística e Probabilidade
Testes de hipóteses para
determinar proporções
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar proporções
Sabemos que p é a proporção populacional de sucessos.
A estatística teste é
.
(a proporção de sucessos na amostra)
Se
e
, a distribuição amostral de
A estatística teste padronizada é:
é normal.
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar proporções
Um porta-voz do setor de comunicações alega que
mais de 40% dos norte-americanos têm celular próprio
ou, pelo menos, têm alguém na família com celular.
Em um levantamento aleatório de 1.036 norteamericanos, 456 disseram que eles ou alguém da
família tinham um celular.
Teste a alegação do porta-voz a
O que você pode concluir?
α
= 0,05.
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar proporções
1. Escreva as hipóteses nula e
alternativa.
H0
0,40
Ha
0,40 (alegação)
2. Estabeleça o nível de significância. α = 0,05
3. Determine a distribuição amostral.
1.036(0,40) > 5 e 1.036(0,60) > 5. A distribuição amostral é normal.
Região de
rejeição
1,645
4. Determine o valor crítico.
5. Determine a região de rejeição.
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar proporções
6. Determine a estatística teste e padronize-a.
n = 1.036
x = 456
1.036
0,44
0,44
0,40
(0,40) (0,60)
0,04
2,63
0,01522
1.036
7. Tome sua decisão.
z = 2,63 cai na região de rejeição, portanto rejeite H0.
8. Interprete sua
decisão.
Há evidência suficiente para aceitar a alegação de que mais
de 40% dos norte-americanos têm celular próprio ou, pelo
menos, têm alguém na família com celular.
Estatística e Probabilidade
Teste de hipóteses para
determinar a variância e o
desvio padrão
Estatística e Probabilidade
Valores críticos para χ2
s2 é a estatística teste para a
variância populacional. Sua
distribuição amostral é uma
distribuição χ2 com n – 1 g.l.
Determine um valor crítico χ20 para um teste monocaudal esquerdo,
sendo n = 17 e
= 0,05.
χ20 = 7,962
Determine os valores críticos χ20 para um teste bicaudal, sendo n = 12
e
= 0,01.
χ2 = 2,603 e χ2 = 26,757
L
A estatística teste padronizada é
R
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar σ
Em uma escola pública, os alunos da 8a série fizeram uma
prova de biologia.
Segundo o diretor da escola, o desvio padrão das notas é
inferior a 30. Solicitaram a você, que trabalha para o diretor,
que teste essa alegação.
Em uma amostra aleatória de 10 provas, você encontrou um
desvio padrão de 28,8.
Sendo α = 0,01, você tem evidência suficiente para aceitar a
alegação do diretor?
Suponha que as notas sejam normalmente distribuídas.
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar σ
1. Escreva as hipótese nula e alternativa.
H0
Ha
(alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
α= 0,01
3. Determine a distribuição amostral.
A distribuição amostral é χ2 com 10 – 1 = 9 g.l.
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar σ
4. Determine o valor crítico.
5. Determine a região de rejeição.
2,088
6. Determine a estatística teste.
n = 10
s = 28,8
28,82
8,2944
Estatística e Probabilidade
Teste para determinar σ
7. Tome sua decisão.
χ2 = 8,2944 não cai na região de rejeição, portanto você não
pode rejeitar H0.
8. Interprete sua decisão.
Não há evidência suficiente para aceitar a alegação do diretor
de que o desvio padrão é inferior a 30.
Estatística e Probabilidade
EEt
ccaap teerrmminino
p
i
o
u
t
i
u
t
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l
aavva olod uhhooje
alilaiaç daamm jeoop
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