Faculdade Pitágoras de Uberlândia
Curso de Psicologia
Disciplina: Estatística aplicada à Psicologia
Introdução à
Distribuição Normal
Unidade 4
Prof. João Paulo Seno
[email protected]
1
Vamos considerar as seguintes observações amostrais
sobre o peso de determinada população (em kg)
• Planilha com os dados:
58,6
56,8
67,0
87,3
68,0
60,0
69,7
74,1
68,1
78,0
61,1
63,3
66,7
68,7
70,9
68,0
61,4
62,1
77,1
44,9
72,6
73,7
61,4
68,6
71,1
82,4
58,7
54,8
61,5
58,4
79,7
72,3
64,2
67,3
63,1
67,2
67,0
71,8
68,0
62,5
64,9
74,4
55,7
75,5
74,2
60,3
82,5
54,4
58,8
67,1
77,0
64,5
66,6
59,2
71,1
63,3
71,4
55,7
52,8
55,3
59,7
65,2
71,5
54,7
81,8
76,9
63,1
64,4
67,5
53,6
59,9
73,6
62,3
64,3
63,5
63,4
67,0
62,6
53,6
60,5
• Medidas calculadas:
Peso
n=
Maior valor =
Menor valor =
Média =
Desvio Padrão =
200
88,2
44,9
65,8
8,3
62,7
59,4
67,9
68,6
49,5
62,2
63,9
53,3
55,6
69,7
72,8
49,7
63,2
63,4
70,5
63,0
77,4
48,3
63,7
53,3
54,9
64,5
47,5
58,5
68,5
63,6
69,0
60,9
57,6
66,5
88,2
76,7
80,8
76,0
56,5
51,6
58,0
71,4
71,3
66,0
79,8
66,1
62,6
63,8
64,0
56,8
72,4
51,5
73,9
78,2
70,5
69,8
78,7
66,4
67,3
78,3
56,8
69,3
63,1
64,5
75,9
70,9
77,2
75,8
54,4
63,9
52,8
48,9
65,2
73,4
57,9
69,7
57,3
68,8
60,3
61,5
50,2
80,7
70,5
78,2
69,7
78,1
66,5
72,3
58,0
67,1
70,7
56,7
58,5
67,8
63,1
73,8
65,9
67,8
57,8
51,1
72,2
51,0
73,9
77,8
73,3
73,3
74,1
65,2
73,3
59,1
64,9
59,6
62,7
73,8
80,4
66,9
66,9
51,3
73,2
60,7
67,9
69,3
69,4
69,5
Histograma do Peso
Histograma do Peso
com a curva Normal
Vamos considerar as seguintes observações amostrais
sobre a altura de determinada população (em cm)
• Planilha com os dados:
151
178
164
165
188
144
176
148
172
155
160
158
150
151
175
150
161
122
147
135
189
162
187
123
150
151
201
176
149
151
177
161
143
161
194
160
163
139
133
138
170
188
151
145
162
166
165
161
165
170
190
179
152
176
137
177
168
172
161
168
144
162
153
158
153
174
184
159
154
167
154
143
153
138
157
174
168
165
161
155
178
194
169
168
180
150
173
145
164
191
167
186
172
168
139
154
174
167
150
176
139
180
154
191
175
168
166
148
149
196
138
156
156
181
127
145
137
140
124
167
142
151
161
111
139
169
148
161
145
140
166
172
152
155
176
167
143
171
157
176
180
155
166
168
129
151
174
146
146
141
158
144
163
144
164
143
174
150
116
157
• Medidas calculadas:
Altura
n=
Maior valor =
Menor valor =
Média =
Desvio Padrão =
200
203
111
160
17
Histograma da Altura
147
177
168
171
142
203
161
132
178
168
152
138
147
157
179
175
191
154
144
185
177
159
181
163
152
144
184
181
178
147
152
149
159
165
165
133
143
124
173
184
Histograma da Altura
com a curva Normal
O que é então a distribuição Normal?
• É um padrão de comportamento que determinados
fenômenos apresentam;
• Há muitos fenômenos biológicos, sociais, de
engenharia e outros que apresentam este padrão;
• O padrão pode ser identificado quando construímos
um histograma e obtemos um formato de um sino;
• Há também formas matemáticas de se determinar se
comportamento do fenômeno se comporta
“Normalmente”.
Regra Empírica (68-95-99,7%)
Dados com distribuição simétrica na forma de sino têm as seguintes
características:
13,5%
13,5%
2,35%
–4
–3
2,35%
–2
–1
0
1
2
3
4
Cerca de 68% dos dados estão a até 1 desvio padrão da média.
Cerca de 95% dos dados estão a até 2 desvios padrão da média.
Cerca de 99,7% dos dados estão a até 3 desvios padrão da média.
Como usar a Regra Empírica
O valor médio das casas de determinada rua é de R$ 125 mil,com um desvio padrão de
R$5 mil. O conjunto de dados tem uma distribuição na forma de sino. Estime o
porcentual de casas que custam entre R$ 120 e R$ 135 mil.
105
110
115
120
125
130
R$ 120 mil fica 1 desvio padrão abaixo da média e
R$ 135 mil fica 2 desvios padrão acima da média.
135
140
145
68% + 13,5% = 81,5%
Logo, 81,5% das casas custam entre R$ 120 e R$ 135 mil.
Propriedades da Distribuição Normal
• É uma distribuição contínua de probabilidade, ou
seja, refere-se a fenômenos cuja medida é numérica
e pode assumir um número infinito de valores;
• Apenas para vocês saberem que existe, a equação
abaixo é a que dá origem ao gráfico da curva normal;
• Onde e = 2,718281828 e π = 3,14159254
Propriedades da Distribuição Normal
(continuação)
• A média, a mediana e a moda são iguais e estão no
centro da curva;
• A curva tem o formado de sino e é simétrica em
relação à média;
• A área total sob a curva é igual a 1;
• A área sob a curva está relacionada com a
probabilidade;
• A curva se aproxima do eixo x a medida que se afasta
da média, para ambos os lados.
Exercício
• Qual das curvas abaixo apresenta média maior?
• Qual das curvas abaixo tem desvio padrão maior?
Figura 1
Figura 2
Estimando uma probabilidade para
uma curva Normal
• As pontuações de um teste de QI em adultos são
normalmente distribuídas com µ = 100 e σ = 15.
Calcule a probabilidade de um adulto escolhido
aleatoriamente ter QI entre 70 e 115.
Resposta: Utilizando os slides anteriores, e aplicando a regra
prática, verificamos que a área sob a curva é:
Área = 0,135 + 0,68 = 0,815
Portanto, a probabilidade de que um adulto escolhido ao acaso
tenha QI entre 85 e 115 é de 0,815 ou 81,5%.
Normalização
• Cálculo do escore padrão para que possamos utilizar
a Tabela da Distribuição Normal Padronizada:
• Depois de calcular o valor de z, podemos usar uma
tabela padronizada para calcular as áreas debaixo da
curva Normal. Isto é válido para qualquer
distribuição Normal.
• Precisamos, no entanto, conhecer a média µ e o
desvio padrão σ.
Curva Normal Padronizada
• A Distribuição Normal Padronizada é uma
distribuição Normal com média 0 e desvio padrão
igual a 1.
Exemplos
• Calcular a área para cada uma das situações abaixo:
Mais exemplos
• Suponha que os níveis de colesterol em homens da
região estejam normalmente distribuídos, com
média 215 mg/dl e com desvio padrão 25 mg/dl. Se
selecionarmos um homem ao acaso nesta região,
qual será a probabilidade de que seu nível de
colesterol seja inferior a 175?
• E qual a probabilidade de que esteja entre 190 e
225?
Exercícios
• Os gastos mensais com serviços públicos em uma
determinada cidade estão normalmente distribuídos,
com média R$ 100,00 e desvio padrão de R$ 12,00.
Uma despesa mensal é selecionada ao acaso.
• A) Qual a probabilidade de a despesa ser inferior a
R$ 80,00?
• B) Qual a probabilidade de a despesa estar entre R$
80,00 e R$ 115,00?
• C) Qual a probabilidade de a despesa ser superior a
R$ 115,00