Matemática Álgebra 3º ano - Fuvest 2ª Fase 2014
Professor Afonso
1. (Fuvest 2014) Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional
vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x, y) no plano
cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função
f(x)  log 1 x  4.
2
O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x  1, e atinge o chão no
ponto B, de ordenada y  0, conforme figura abaixo.
Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10m/s2 como o valor da aceleração
da gravidade,
a) encontre a abscissa do ponto B;
b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de
sua altura y e de sua velocidade escalar v;
c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo;
d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que
60 m / s.
2. (Fuvest 2014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por
f(x)  2 
m
,
xn
para x  n.
a) No caso em que m  n  2, mostre que a igualdade f( 2)  2 se verifica.
b) No caso em que m  n  2, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados.
c) No caso em que m  n  2, esboce a parte do gráfico de f em que x  2, levando em conta
as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.
d) Existe um par de inteiros (m,n)  (2,2) tal que a condição f( 2)  2 continue sendo
satisfeita?2
3. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero ΔA0OB0 de lado 7cm.
a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A 0B0 , e B1 o ponto simétrico de A1 em relação à
reta determinada por O e B0 , determine o comprimento de OB1.
1
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo
ΔA1OB1, pode‐se obter o triângulo ΔA2OB2 tal que A 2 é o ponto médio do segmento A1B1,
e B2 o ponto simétrico de A 2 em relação à reta determinada por O e B1. Repetindo mais
uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo ΔA3OB3 . Assim, sucessivamente, pode‐se
construir uma sequência de triângulos ΔAnOBn tais que, para todo n  1, An é o ponto médio
de An1Bn1, e Bn, o ponto simétrico de An em relação à reta determinada por O e Bn1,
conforme figura abaixo.
Denotando por an , para n  1, o comprimento do segmento An1An , verifique que
a1,a2,a3, ... é uma progressão geométrica. Determine sua razão.
c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal
A0 A1A2 ...An,n  1.
O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP' é
perpendicular à reta r e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'.
4. (Fuvest 2014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas
brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no
recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se
uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado
por:
i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.
Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do
recipiente na mesma unidade de medida, determine
a) os quocientes
PA
P
e R;
PB
PB
b) o número nA de bolas azuis e o número nB de bolas brancas no recipiente.
5. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado
Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá
dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas
terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.
2
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões
são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para
N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas,
ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P  1/ 50.
Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988,
cada unidade da Federação é representada por três senadores.
6. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana x2  y2  4y  0 e a
parábola α de equação y  4  x2.
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α.
Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as
inequações x2  y2  4y  0 e y  4  x2 .
7. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x)  x3  ax2  bx  c são reais.
Sabendo que 1 e 1  αi, com α  0, são raízes da equação p(x)  0 e que o resto da divisão
de p(x) por (x  1) é 8, determine
3
a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x  1).
i é a unidade imaginária, i2  1.
8. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar
retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto
médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge
a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo
agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da
reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ.
4
Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Quando x  xB  yB  0.
Assim:
 1
log 1 x  4  0  log 1 x  4   
2
2
2
4
 x  x  24  x  16 unidades de comprimento.
b) Usando a expressão da Energia Mecânica:
Emec  Ecin  Epot  Emec 
 v2

M v2
 M g y  Emec  M 
 g y 
 2

2


 v2

Emec  M
 10 y  unidades de energia.
 2



c) Como o corpo parte do repouso em x = 1, temos v0 = 0.
Na expressão dada, para x = 1, temos: y  log 1 1  4  0  4  y  4.
2
Aplicando esses dados na expressão obtida no anterior:
 v2

 02

Emec  M
 10 y   Emec  M
 10  4   Emec  40 M.
 2

 2





Pela conservação da Energia Mecânica:
 2


v
v2
v2
M
 10  log 1 x  4   40 M 
 40  10 log 1 x  40 
 -10 log 1 x 
2


2
2
2
2
 2


v
-20 log 1 x .
2
Caso queiramos eliminar o sinal (–) do radicando, podemos mudar o logaritmo para a base
2:
log2 x log2 x
log 1 x 

 log 1 x  log2 x.
1
1
log2
2
2
2
Assim: v 
20 log2 x unidades de velocidade.
Resposta da questão 2:
a) Se m  n  2, então
f( 2)  2 
2
2 2
 2
2
2 2
b) Se m  n  2, então f(x)  2 

2 2
2 2
 2
2  ( 2  2)
 2  2  2  2.
2
2
2
, com x  2. Tomando x  0, vem f(0)  2 
 1.
x2
02
5
Logo, o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é (0, 1). Por outro lado,
2
 x  1. Portanto, o ponto de interseção do gráfico
x2
de f com o eixo das abscissas é (1, 0).
pondo f(x)  0, obtemos 0  2 
c) O gráfico de f, para x  2, pode ser obtido a partir do gráfico da função g :   ,
2
, da seguinte forma: (i) um deslocamento horizontal de duas unidades
x
para a esquerda; (ii) uma reflexão em torno do eixo das abscissas; e (iii) um deslocamento
vertical de duas unidades para cima.
definida por g(x) 
d) Se f( 2)  2, então
2  2
m

2 n
m
 2 2
2 n
 m  2 2  2  2n  2n
 m  2n  2  2  (2  n).
Sendo m, n  , tem-se que m  2n  2  e 2  n  . Logo, a igualdade é verificada se, e
somente se, m  2n  2  0 e 2  n  0, o que ocorre apenas para m  n  2.
Resposta da questão 3:
a) Como OB0  A1B1, A1A2  A2B1 e OA 2 é comum aos triângulos OA1A2 e OB1A2,
segue-se que os triângulos OA1A2 e OB1A2 são congruentes por LAL. Além disso,
OA1B0  OA1A2  90 e A1B0 A2  60 implicam em OA1B1  60. Portanto, o triângulo
OA1B1 é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo
A0OB0 , ou seja,
7 3
cm.
2
b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que
OAn 
OAn1  3
OAn1
, temos
, com n  1. Daí, como an  An1An 
2
2
OAn
an1
3
2


,
an
2
OAn1
2
6
para todo n  1 e, portanto, a1, a2, a3 ,
a1 
é uma progressão geométrica de primeiro termo
3
7
.
cm e razão
2
2
c) O comprimento da poligonal A0 A1A2 An, com n  1, corresponde à soma dos n primeiros
termos da progressão geométrica a1, a2, a3, , ou seja,
n
 3
1  

n
 
2 
7
3 


 7(2  3) 1  
cm.

  2  
2
3
1


2
Resposta da questão 4:
a) Temos
nA  PA  nB  PB  PR  16  PB  10  PB  5  PA  4  PR.
Logo,
16  PB  10  PB  5  PA  5  PA  6  PB

PA 6

PB 5
e
P
16  PB  4  PR  R  4.
PB
b) Dividindo ambos os lados da igualdade nA  PA  nB  PB  PR  16  PB por PB, vem
nA 
PA
P
P
P
6
 nB  B  R  16  B   nA  nB  12
PB
PB PB
PB
5
 nA 
5
 (12  nB ).
6
Como nA e nB são inteiros maiores do que 1, segue-se, por inspeção, que só pode ser
nA  5 e nB  6.
Resposta da questão 5:
a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a
Sul 3.
9
9!
 36
b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há   
 2  7!  2!
 4
4!
 6 modos de escolher
modos de escolher duas unidades da região Nordeste e   
 2  2!  2!
duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma
unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3
maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da
Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem,
temos N  36  6  7  4  3  37  25  311  7.
7
c) Como existem 27  3  81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de
 81
81!
 
 7  74!  7!
81 80  79  78  77  76  75

765432
 50  22  34  11 13  19  79
maneiras. Logo,
P
25  311  7
50  22  34  11 13  19  79
1 18 63 108




50 19 79 143
1

,
50
pois
18 63
108
e
são menores do que 1.
,
19 79
143
Resposta da questão 6:
a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos
 x2  y2  4y  0
x 2  4  y


 2
2
 y  4  x
 y  5y  4  0
 x2  4  y

 y2  5y  4  0
 x2  4  y

 y  1 ou y  4
 (  3, 1) ou (0, 4).
b) Completando os quadrados, obtemos
x2  y2  4y  0  (x  0)2  (y  2)2  4.
Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.
Por outro lado, a equação canônica de α é y  (x  0)2  4. Assim, o ponto de máximo do
gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em (  3, 1) e ( 3, 1).
Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações
x2  y2  4y  0 e y  4  x2 pertencem à região sombreada da figura abaixo.
8
Resposta da questão 7:
a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1, 1  αi
e 1 αi. Logo,
p(x)  (x  (1))(x (1  αi))(x (1  αi))
 (x  1)(x2  2x  α2  1).
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x  1) é 8 e α  0, pelo Teorema do Resto,
vem
p(1)  8  (1  1)(12  2  1  α 2  1)  8
 α2  4
 α  2.
b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x  1 é
p(x) (x  1)(x2  2x  5)

 x2  2x  5.
x 1
x 1
Resposta da questão 8:
Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em
relação a RT, com T pertencente a L.
9
Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do
triângulo PRP'. Logo, RS  2  ST e, portanto, RT  3  ST.
Do triângulo PRT, vem
tg60 
PT
RT
 PT  3 3  ST
e
sen60 
3 3  ST
3
PR
2
 PR  6  ST.
PT
 PR 
Do triângulo PST, obtemos
tg α 
PT
ST
 tg α 
3 3  ST
ST
 tg α  3 3.
Sabendo que cossec2 α  1 cotg2 α e que α é agudo, encontramos
2
 1 
27
cossec 2 α  1  
  sen α 
28
3 3 
 sen α 
3 21
.
14
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem
PR
QR
RS
2  ST

 2 
sen α sen θ
3 21 sen θ
14
21
 sen θ 
.
7
10